静海一中 2019-2020 第二学期高三数学（5 周）
学生学业能力调研考试试卷
考生注意：本次考试收到试卷 1：45 考试时间为 2：00—3：30 交卷时间截止到 3：
40 请同学们严格按照考试时间作答，并将答题纸拍照上传
本试卷分第Ⅰ卷基础题（130 分）和第Ⅱ卷提高题两部分，共 150 分.
知识与技能 学习能力（学法）
内容
函
数
与
导
数
三角函数
与解三角
形
数列
集合
与简
易逻
辑
易混
易错
方法归
类
一题多变
分数 10 20 30 40 10 10 5
第Ⅰ卷基础题（共 130 分）
一、选择题：（每小题 6 分，共 42 分，每小题只有一个正确选项）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得 ， ，
再根据集合的运算，即可求解．
【详解】由题意，可求得 ， ，则 ，
所以 .故选 B.
【点睛】本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对
数函数的性质，正确求解集合 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础
{ | 2 1}A x x= − > 2{ | lg(2 )}B x y x x= = − ( )RC A B∩ =
(1,2) [1,2) (2,3) (0,1]
{ 3, 1}A x x x=
2 2a a> 2
0
2
a
a a
≥
> 2
0
2
a
a a
−
2a > 2a < −
2a > 2 2a a>
( )f x R ( ],0−∞ ( )8log 0.2a f=
( )0.3log 4b f= ( )1.12c f= a b c
c b a< < a b c< <
a c b< < c a b< <
1.1
8 0.3log 0.2 log 4 2、 、
( )f x ( ],0−∞ ( )0,+¥
0.3 0.3 0.3
100 102 log log 4 log 19 3
− = < < = − 3 8 81 log 0.125 log 0.2 log 1 0− = < < =
1.12 2>
1.1
8 0.3log 0.2 log 4 2< < c b a< x 0 1 01
x
x
e
e
+ >− sin 0x > 1( ) sin 01
x
x
ef x x e
+= ⋅ >−
( ) sin(3 )6f x x
π= + ( 0)m m >
( )g x ( )g x m
9
π 2
9
π
18
π
24
π【分析】
根据三角函数的变换规则表示出 ，根据 是奇函数，可得 的取值，再求其最小值.
【详解】解：由题意知，将函数 的图像向右平移 个单位长度，得
，再将 图像上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍
（纵坐标不变），得到函数 的图像， ，
因为 是奇函数，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为 .
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
7.若函数 ，有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知 且 ，故函数 最多两个零点，故函数
必须有零点，而函数 是单调函数，故函
数 最多有一个零点，所以得出函数 必须
有一个零点，函数 必须有两个零点，再结合图象，根据函数零
点存在定理得出 的范围．
【详解】解：由题意可知 且 ，
当 时，
函数 的导函数为 ，
( )g x ( )g x m
( ) sin(3 )6f x x
π= + ( 0)m m >
( )sin 3 6y x m
π = − + sin 3 3 6y x m
π = − +
( )g x 1( ) sin( 3 )2 6g x x m
π∴ = − +
( )g x
3 ,6m k k Z
π π− + = ∈ ,18 3
km k Z
π π= − ∈
0m > m
18
π
C
( ) ( )
( )3
4 0
2 0
a
ax
− ≤= − + >
xa xf x x x a
( ]1,2 ( ]2,4 ( ]3,4 ( )3,5
0a > 1a ≠ ( ) ( )3g x x ax 2 x 0= − + >
( ) ( )xh x 4a a x 0= − ≤ ( ) ( )xh x 4a a x 0= − ≤
( ) ( )xh x 4a a x 0= − ≤ ( ) ( )xh x 4a a x 0= − ≤
( ) ( )3g x x ax 2 x 0= − + >
a
0a > 1a ≠
0x >
( ) 3g x x ax 2= − + ( ) 2g x 3x a′ = −所以函数 在 为减函数，在 为增函数，
故函数 最多两个零点；
而当 时，
函数 是单调函数，
故函数 最多有一个零点；
根据上述分析可以得出：函数 必须有两个零点，函数
必须有一个零点．
当 时，
在函数 中，
因为 ，
故 ，解得 ，
当 时，
当 时，函数 单调递减，
，不满足题意，
当 时，函数 是单调递增，
因为 在 时有一个零点，
则 ，解得：
综上： ，故选 C．
【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进
行求解，属于较难题．
二、填空题（每小题 6 分共 42 分）
8.若复数 （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值为______
【答案】0
是
( ) 3g x x ax 2= − + (0, )3
a ( , )3
a +∞
( ) ( )3g x x ax 2 x 0= − + >
0x ≤
( ) ( )xh x 4a a x 0= − ≤
( ) ( )xh x 4a a x 0= − ≤
( ) ( )3g x x ax 2 x 0= − + >
( ) ( )xh x 4a a x 0= − ≤
0x >
( ) 3g x x ax 2= − +
(0) 2 0g = >
( ) ( )3a a ag a 2 03 3 3
= − • + < 3a >
0x ≤
0 1a< < ( ) xh x 4a a= −
( )h 0 4 a 0= − >
1a > ( ) xh x 4a a= −
( ) xh x 4a a= − 0x ≤
( )h 0 4 a 0= − ≥ 4a ≤
3 4a< ≤
( )1 11
iz m ii
+= + −− m【解析】
【分析】
先将 整理为 的形式,再令实部为 0,虚部不为 0 求解即可
【详解】由题, ,
因为 是纯虚数,所以 ,
故答案为：0
【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用
9.在一次医疗救助活动中，需要从 A 医院某科室的 6 名男医生、4 名女医生中分别抽调 3 名男
医生、2 名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用
数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】
首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种
数.
【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从 名男医生、 名女医生中分别抽调 2 名男医生、 名女医生，
故选派的方法为： .
故答案为 ．
【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情
发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元
素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
10.过点 作直线 ，与圆 交于 两点,若 ，则直线
的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
将 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程 , 确 定 圆 心 与 半 径 ， 当 斜 率 存 在 时 ， 设 斜 率 为 ， 方 程
z a bi+
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
211 21 1 11 1 1 2
ii iz m i m i m mi m m ii i i
++= + − = + − = + − = + −− − +
z 0m =
60
5 4 2
2 2
5 4 10 6 60C C = × =
60
( 4,0)− l 2 2 2 4 20 0x y x y+ + − − = ,A B 8AB =
l
l k，利用垂径定理，结合勾股定理, 可求得 的值，再验证当斜率不存在时是否满
足题意即可得结果.
【详解】圆 化为 ，圆心 ，半径
，
点在圆内，
当斜率存在时，设 斜率为 ，方程 ，即 ，
圆心到直线距离为 ，
， 的方程
当斜率不存在时，直线 也满足，
的方程 或 ，
故答案为 或 .
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆
的弦长有两种方法：一是利用弦长公式 ，结合韦达定理求解；二是利用半
弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
11.若实数 满足 ，且 ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据对数的运算性质可得 xy＝2，再根据基本不等式即可求
【详解】实数 x、y 满足 x＞y＞0，且 log2x+log2y＝1，则 xy＝2，
则 ，
当且仅当 x﹣y ，即 x﹣y＝2 时取等号
( )4y k x= + k
2 2 2 4 20 0x y x y+ + − − = ( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = ( )1,2C −
= 5r
( ) ( ) ( )2 24 1 0 2 25, 4,0− + + − < ∴ −
l k ( )4y k x= + 4 0kx y k− + =
8,AB = ∴ 2 25 4 3− =
2
2 4 53, 121
k k k
k
− − +∴ = ∴ = −
+ l∴ ( )5 412y x= − +
4x = −
l∴ 5 12 20 0x y+ + = 4 0x + =
5 12 20 0x y+ + = 4 0x + =
2
1 21l k x x= + −
,x y 0x y> > 2 2log log 1x y+ = 2 2
x y
x y
−
+
1
4
( ) ( )2 2 2 2
1 1 1
4( ) 2 ( ) 4 442
x y x y x y
x y x y xy x y x y x yx y x y
− − −= = = ≤ =+ − + − + − + −− −
4
x y
= −故 的最大值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查了对数的运算，其中对代数式进行变形与灵
活配凑，是解本题的关键，属于中等题．
12.三棱锥 中， 分别为 的中点，记三棱锥 的体积为 ，
的体积为 ，则 ____________
【答案】
【解析】
【详解】由已知 设点 到平面 距离为 ，则点 到平面 距离为
，
所以，
考点：几何体的体积.
13.已知四边形 中， ， ， 为 中点且 ，则
___________．
【答案】
【解析】
2 2
x y
x y
−
+
1
4
1
4
P ABC− ,E D ,PB PC D ABE− 1V
P ABC− 2V 1
2
V
V
=
1
4
1 .2EAB PABS S∆ ∆= C PAB h D PAB
1
2 h
1
2
1 1
13 2 .1 4
3
EAB
PAB
S hV
V S h
∆
∆
⋅
= =
ABCD 3BC = 4AC = M AB MD AB⊥
AB CD⋅ =
7
2
−【分析】
利用平面向量基本定理将 与 都用 来表示，进行数量积的运算即可.
【详解】 ，
又 ， ，
，
故答案为 .
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了数量积的运算，属于中档题.
14.已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若
，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇偶性 定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的
单调性，再将原不等式转化为 求解即可.
【详解】
，
，
是奇函数，且 ，
又 ，
的
AB CD CB CA ，
( )AB CD AB CM MD AB CM⋅ = ⋅ + = ⋅
AB CB CA= − 1 ( )2CM CA CB= +
2 21 1 7= ( )= =2 2 2AB CM CB CA CA CB CB CA∴ ⋅ − ⋅ + − − （ ） （ ）
7
2
−
( ) 1 2cos 2
x
xf x e xe
π = − − − e
( ) ( ) ( )22 3 0 0f a f a f+ − + < a
3 12 a− < <
22 3a a< −
( ) 1 2cos 2
x
xf x e xe
π = − − −
1 2sinx
xe xe
= − −
( ) ( )1 2sinx
xf x e xe
−
−∴ − = − − −
( )2sin1x
x xe f xe
= − − = −
−
( )f x∴ ( )0 0f =
( ) 1 2' cosx
xf x e e x−= +，
，
在 上递增，
，
化为 ，
，故答案为 .
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，
属于难题.解决抽象不等式 时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应
该注意考查函数 的单调性．若函数 为增函数，则 ；若函数 为减函数，
则 ．
三、解答题（46 分）
15.在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，
.
（I）求 的值；
（II）求 的值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系 ，再根据余弦定理求出 ，
进而得到 ，由 转化为 ，求出 ，进而求出 ，从而求出
的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ）解：由 ，及 ，得 .
由 ，及余弦定理，得 .
2,2c s1 o 2x
xe xe
+ ≥ ≤
( )' 0f x∴ ≥
( )f x∴ ( )+−∞ ∞，
( ) ( ) ( )22 3 0 0f a f a f∴ + − + <
( ) ( ) ( )22 3 3f a f a f a< − − = −
∴ 2 32 3 12a a a< − ⇒ − < < 3 12 a− < <
( ) ( )f a f b<
( )f x ( )f x a b< ( )f x
a b>
ABC , ,A B C , ,a b c sin 4 sina A b B=
2 2 25( )ac a b c= − −
cos A
sin(2 )B A−
5
5
− 2 5
5
−
2a b= cos A
sin A 2a b= sin 2sinA B= sin B cos B 2B
sin 4 sina A b B=
sin sin
a b
A B
= 2a b=
( )2 2 25ac a b c= − − 2 2 2
5
55cos 2 5
acb c aA bc ac
−+ −= = = −（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入 ，得 .
由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以 .于是 ，
，故
.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，
利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余
弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合
正、余弦定理解题.
16.如图，在三棱锥 中，顶点 在底面 上的射影 在棱 上，
， ， ， 为 的中点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）已知 是平面 内一点，点 为 中点，且 平面 ，求线段 的
长．
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ） ；
2 5sin 5A = sin 4 sina A b B= sin 5sin 4 5
a AB b
= =
2 2 5cos 1 sin 5B B= − = 4sin2 2sin cos 5B B B= =
2 3cos2 1 2sin 5B B= − =
( ) 4 5 3 2 5 2 5sin 2 sin2 cos cos2 sin 5 5 5 5 5B A B A B A
− = − = × − − × = −
A BCD− A BCD O BD
2AB AD= = 2BC BD= = 90CBD∠ = ° E CD
AD ABC⊥ 平面
B AE C− −
P ABD Q AE PQ ⊥ ABE PQ
1
3（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，利用法向量计算余弦值即可；
(Ⅲ)利用空间向量求得点 Q 的坐标，然后结合点 P 的坐标可得线段 的长.
【详解】（Ⅰ）∵顶点 在底面 上的射影 在棱 上，
∴平面 平面 ，
∵ ，∴ ，
∵平面 平面 ，∴ 平面 ， 面 ，∴ ，
由 ， ，得 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）连结 ，分别以 、 、 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
， ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，
取 ，得 ，
， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
3
2PQ =
PQ
A BCD O BD
ABD ⊥ BCD
90CBD∠ = ° BC BD⊥
ABD ∩ BCD BD= BC ⊥ ABD AD ⊂ ABD BC AD⊥
2AB AD= = 2BD = 2 2 2BD AB AD= + AD AB⊥
AB BC B∩ = AD ⊥ ABC
OE OE OD OA x y z
( )0,0,0O ( )0,0,1A ( )0, 1,0B − ( )2, 1,0C − ( )0,1,0D ( )1,0,0E
( )2, 1, 1AC = − − ( )0, 1, 1AB = − − ( )1,0, 1AE = −
( ), ,n x y z= ABE
0
0
n AB y z
n AE x z
⋅ = − − =
⋅ = − =
1x = ( )1, 1,1n = −
( )2, 1, 1AC = − − ( )1,0, 1AE = −
ACE ( ), ,m x y z= 0
2 0
m AE x z
m AC x y z
⋅ = − =
⋅ = − − =
取 ，则 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ．
∴二面角 的余弦值为 ．
（Ⅲ）设 ， ，
因为 平面 ，所以
所以 ， ，所以 ．
【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空
间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平
面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间
向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
17.已知数列 满足 .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【详解】（1）由 得 ，得 ；
（2）易得 ，
错位相减得
所以其前 项和 ；
1z = ( )1,1,1m =
B AE C− − θ 1 1cos 33 3
m n
m n
θ ⋅= = =⋅ ×
B AE C− − 1
3
( )0, ,P y z 1 1,0,2 2Q
1 1, ,2 2PQ y z = − −
PQ ⊥ ABE ( )1 1, , 1, 1,12 2PQ y z nλ λ = − − = = −
1
2
λ = 1 , 02y z= = 1 1 1 3
4 4 4 2PQ = + + =
{ }na 1
1 12, 2 2n
n na a a +
+= = +
2
n
n n
ab = { }nb
{ }na n nS
( ) ( )2
1
1 4 2 2n n
n
n n
n n
c a a +
− + +
= { }nc n nT
nb n= ( ) 11 2 2n
nS n += − + ( )( )
( )
1
1
4 12
3 3 1 2
n
n
n
n
+
+
+ −− − + ⋅
1
1 2 2n
n na a +
+ = + 1 1n nb b+ = + nb n=
2n
na n=
1 2 2 3 11 2 2 2 2 ,2 1 2 2 2 2 ,n n
n nS n S n += × + × + + × = × + × + + ×
1 2 1 11 22 2 2 2 2 21 2
n
n n n
nS n n+ +−− = + + + − × = × − ×−
n ( ) 11 2 2n
nS n += − +（3）
，
或写成 .
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数
的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步
准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，
应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.
第Ⅱ卷提高题（共 20 分）
18.已知函数 .
（1）若曲线 存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围；
（2）求 的单调区间；
（3）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值.
【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：
（1）求出函数的导数，问题转化为 存在大于 的实数根，根据
在 时递增，求出 的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；
（3）求出函数 ，根据 ，得到存在 ，满足 ，从而让
得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.
试题解析：
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
2 2 2
1 1 1
1 4 2 2 1 4 2 1 2 1
·2 · 1 2 · 1 2 · 1 2
n n nn
n n n n n
n n n n n n n n
c n n n n n n+ + +
− + + − + + − + + + +
= = =+ + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 1 1
1 1 11 1 1 112 ·2 1 ·2 2 2 ·2 1 ·2
n n nn
n
n n n n nn n n n
+
+ + +
− − − = + − + = − + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 3 12
1 2 2 3 1
1 1 1 1 11 1 1 1 1
2 2 2 2 1·2 2·2 2·2 3·2 ·2 1 ·2
n nn
n n nT n n
+
+
− − − − −− = − + − + + − + − + − + + − +
( )
( )
1
1
12 1 1
3 6 2 1 ·2
nn
nn
+
+
− = − + − − +
( )( )
( )
1
1
4 12
3 3 1 ·2
n
n
n
n
+
+
+ −− − +
nS nqS
n nS qS−
( ) ln 1af x x x
= − −
( )y f x=
( )f x
( )
ln
x ag x x
+= 1 0a− < < ( )g x ( )1,+∞
( ),0−∞
2 0x x a+ + = 0 2y x x a= + +
0x > a
a
( )g x ( ) 0af e e
= − > 0 (1, )x e∈ 0 0( )g x′ =（1）由 得 .
由已知曲线 存在斜率为-1 的切线，所以 存在大于零的实数根，
即 存在大于零的实数根，因为 在 时单调递增，
所以实数 a 的取值范围 .
（2）由 可得
当 时， ，所以函数 的增区间为 ；
当 时，若 ， ，若 ， ，
所以此时函数 的增区间为 ，减区间为 .
（3）由 及题设得 ，
由 可得 ，由（2）可知函数 在 上递增，
所以 ，取 ，显然 ，
，所以存在 满足 ，即存在 满足
，所以 ， 在区间（1，+∞）上的情况如下：
－ 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1
( ),0−∞
( ) 2' , 0,x af x x a Rx
+= > ∈
0a ≥ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( ),x a∈ − +∞ ( )' 0f x > ( )0,x a∈ − ( )' 0f x <
( )f x ( ),a− +∞ ( )0, a−
( )
ln
x ag x x
+= ( ) ( )
( )
( )2 2
ln 1
'
ln ln
ax f xxg x
x x
− −
= =
1 0a− < < 0 1a< − < ( )f x ( ),a− +∞
( )1 1 0f a= − − < x e= 1e >
( ) ln 1 0a af e e e e
= − − = − > ( )0 1,x e∈ ( )0 0f x = ( )0 1,x e∈
( )0' 0g x = ( )g x ( )'g x
x 0(1, x ） 0x 0( +x ， ）∞
( )'g x
( )g x
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