天津市红桥区2020届高三数学下学期第一次模拟试题(Word版附解析)
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天津市红桥区2020届高三数学下学期第一次模拟试题(Word版附解析)

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资料简介
高三数学 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合目要求,本卷共 9 题, 每小题 5 分,共 45 分. 1.设集合 ( 为实数集), , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合交集与补集运算,即可求得 . 【详解】集合 , , 所以 所以 故选:A 【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2.下列函数中,在区间 上单调递减的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 由每个函数的单调区间,即可得到本题答案. 【详解】因为函数 和 在 递增,而 在 递减. 故选:C 【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间,属基础题. 3.已知 , , ,则( ) A. B. C. D. 【 U = R R { }| 0A x x= > { }| 1B x x= ≥ UA C B = { }1| 0x x< < { }| 0 1x x< ≤ { }| 1x x ≥ { }| 0x x > UA C B∩ U = R { }| 0A x x= > { }| 1B x x= ≥ { }1UC B x x= < { } { } { }0 1 0 1UA C B x x x x x x∩ = ∩ < = < < (0, )+∞ 1 2y x= 2xy = 1 2 logy = x 1y x = − 1 2 , 2xy x y= = 1y x = − (0, )+∞ 1 2 logy x= (0, )+∞ a lnπ= 1 2 log 5b = 1 2c e −= a b c> > b a c> > c b a> > a c b> >【答案】D 【解析】 【分析】 根据与中间值 0,1 的大小关系,即可得到本题答案. 【详解】因为 , 所以 . 故选:D 【点睛】本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系,来比较大小,属基础题. 4.设 ,则“ “是“ ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解出两个不等式的解集,根据充分条件和必要条件的定义,即可得到本题答案. 【详解】由 ,得 ,又由 ,得 , 因为集合 , 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件. 故选:B 【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式 的解法. 5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了 200 分到 450 分之间的 2000 名学生的成绩,并根据这 2000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则 成绩在 , 内的学生人数为( ) 1 02 1 1 2 2 ln ln 1,log 5 log 1 0,0 1e e eπ −> = < = < < = a c b> > x∈R | 1| 2x − < 2x x< | 1| 2x − < 1 3x- < < 2x x< 0 1x< < { | 0 1} { | 1 3}x x x x< < ⊂ − < < | 1| 2x − < 2x x< [250 350]A. 800 B. 1000 C. 1200 D. 1600 【答案】B 【解析】 【分析】 由图可列方程算得 a,然后求出成绩在 内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求 得成绩在 内的学生人数. 【详解】由频率和为 1,得 ,解得 , 所以成绩在 内的频率 , 所以成绩在 内的学生人数 . 故选:B 【点睛】本题主要考查频率直方图的应用,属基础题. 6.已知函数 , 的图象与直线 的两个相邻交 点的距离等于 ,则 的一条对称轴是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 [250,350] [250,350] (0.002 0.004 2 0.002) 50 1a+ + + × = 0.006a = [250,350] (0.004 0.006) 50 0.5= + × = [250,350] 2000 0.5 1000= × = ( ) 3sin cos ( 0)f x x xω ω ω= − > ( )y f x= 2y = π ( )f x 12x π= − 12x π= 3x π= − 3x π=由题,得 ,由 的图象与直线 的 两个相邻交点的距离等于 ,可得最小正周期 ,从而求得 ,得到函数的解析式,又 因为当 时, ,由此即可得到本题答案. 【详解】由题,得 , 因为 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 , 所以函数 的最小正周期 ,则 , 所以 , 当 时, , 所以 是函数 的一条对称轴, 故选:D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性. 7.设 F 为双曲线 C: (a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以 OF 为直径的圆 与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点.若|PQ|=|OF|,则 C 的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 准确画图,由图形对称性得出 P 点坐标,代入圆的方程得到 c 与 a 关系,可求双曲线的离心 率. 【详解】设 与 轴交于点 ,由对称性可知 轴, 又 , 为以 为直径的圆的半径, ( ) 3sin cos 2sin 6f x x x x πω ω ω = − = −   ( )y f x= 2y = π T π= ω 3x π= 2 26x ππ− = ( ) 3sin cos 2sin 6f x x x x πω ω ω = − = −   ( )y f x= 2y = π ( )y f x= T π= 2 2T πω = = ( ) 2sin 2 6f x x π = −   3x π= 2 26x ππ− = 3x π= ( ) 2sin 2 6f x x π = −   2 2 2 2 1x y a b − = 2 3 5 PQ x A PQ x⊥ | |PQ OF c= = | | ,2 cPA PA∴ = ∴ OF为圆心 . ,又 点在圆 上, ,即 . ,故选 A. 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考 虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲 线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来. 8.已知数列 满足 ,且 ,则数列 的通项公式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析:因为 ,所以 ,即 ,所以数列 是 以 为 首 项 , 公 比 为 的 等 比 数 列 , 所 以 , 即 ,所以数列 的通项公式是 ,故选 D. 考点:数列的通项公式. A∴ | | 2 cOA = ,2 2 c cP ∴    P 2 2 2x y a+ = 2 2 2 4 4 c c a∴ + = 2 2 2 2 2, 22 c ca e a = ∴ = = 2e∴ = { }na 1 3a = 1 4 3n na a+ = + ( )*n N∈ { }na 2 12 1n− + 2 12 1n− − 22 1n + 22 1n − 1 4 3n na a+ = + ( )1 1 4 1n na a+ + = + 1 1 41 n n a a + + =+ { }1na + 1 1 4a + = 4 1 21 4 4 4 2n n n na −+ = × = = 22 1n na = − { }na 22 1n na = −9.已知 ,函数 ,若函数 恰有 三个零点,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 当 时 , 最 多 一 个 零 点 ; 当 时 , ,利用导数研究函 数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得. 【 详 解 】 当 时 , , 得 ; 最多一个零点; 当 时, , , 当 ,即 时, , 在 , 上递增, 最多一个零点.不合题意; 当 ,即 时,令 得 , ,函数递增,令 得 , , 函数递减;函数最多有 2 个零点; 根据题意函数 恰有 3 个零点 函数 在 上有一个 零点,在 , 上有 2 个零点, 如图: 且 , ,a b∈R 3 2 , 0 ( ) 1 1 ( 1) , 03 2 x x f x x a x ax x 1, 0a b> − < 1, 0a b> − > 0x < ( ) (1 )y f x ax b x ax b a x b= − − = − − = − − 0x 3 2 3 21 1 1 1( ) ( 1) ( 1)3 2 3 2y f x ax b x a x ax ax b x a x b= − − = − + + − − = − + − 0x < ( ) (1 ) 0y f x ax b x ax b a x b= − − = − − = − − = 1 bx a = − ( )y f x ax b= − − 0x 3 2 3 21 1 1 1( ) ( 1) ( 1)3 2 3 2y f x ax b x a x ax ax b x a x b= − − = − + + − − = − + − 2 ( 1)y x a x= +−′ 1 0a +  1a − 0y′ ( )y f x ax b= − − [0 )+∞ ( )y f x ax b= − − 1 0a + > 1a > − 0y′ > [ 1x a∈ + )+∞ 0y′ < [0x∈ 1)a + ( )y f x ax b= − − ⇔ ( )y f x ax b= − − ( ,0)−∞ [0 )+∞ ∴ 01 b a  + − + + − 310 ( 1 16 ,)b aa> > − + ∴ > − C ,a b ( 2 )(1 )z a i i= + + i z a ( 2 )(1 ) 2 ( 2)z a i i a a i= + + = − + + ( 2 )(1 ) 2 ( 2)z a i i a a i= + + = − + + z 2 0a − = 2a = 81( ) 2 x x + x 81 1 42 2 1 8 8 1 1 2 2 r r r r r r rT C x x C x − − − +      = =          3r =【详解】由题,得 , 令 ,得 x 的系数 . 故答案为:7 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,属基础题. 12.一个袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从中任意摸取 3 个小球,每个小球 被取出的可能性相等,则取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的概率是__. 【答案】 【解析】 【分析】 由题,得满足题目要求的情况有,①有一个数字 4,另外两个数字从 1,2,3 里面选和②有两 个数字 4,另外一个数字从 1,2,3 里面选,由此即可得到本题答案. 【详解】满足题目要求的情况可以分成 2 大类:①有一个数字 4,另外两个数字从 1,2,3 里 面选,一共有 种情况;②有两个数字 4,另外一个数字从 1,2,3 里面选,一共有 种情况,又从中任意摸取 3 个小球,有 种情况,所以取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的 概率 . 故答案为: 【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力. 13.曲线 在点 处的切线方程为__. 【答案】 【解析】 【分析】 对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式,即可写出切 线方程. 【详解】因为 ,所以 ,从而切线的斜率 , 81 1 42 2 1 8 8 1 1 2 2 r r r r r r rT C x x C x − − − +      = =          3r = 3 3 8 1 72C  = =   3 10 1 2 2 6C C 2 1 2 6C C 3 10C 1 2 2 1 2 6 2 6 3 10 3 10 C C C CP C += = 3 10 2( 1) xy x e= + (0,1) 1 0x y− + = 2( 1) xy x e= + ( )2 2 1 xy x x e= + +′ 1k =所以切线方程为 ,即 . 故答案为: 【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法,属基础题. 14.已知 , , ,则 的最小值是__. 【答案】 . 【解析】 【分析】 因为 ,展开后利用基本不等式,即可得到本题答案. 【详解】由 ,得 , 所以 ,当且仅 当 ,取等号. 故答案为: 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,考查学生的转化能力和运算求解能力. 15.已知向量 , 满足 , ,且已知向量 , 的夹角为 , ,则 的最小值是__. 【答案】 【解析】 【分析】 求 的最小值可以转化为求以 AB 为直径的圆到点 O 的最小距离,由此即可得到本题答案. 【详解】 1 1( 0)y x− = − 1 0x y− + = 1 0x y− + = 0x > 0y > 3 5x y xy+ = 2x y+ 2 6 15 + 1 1 32 ( 2 )5x y x yy x  + = + +   3 5x y xy+ = 1 3 5y x + = 1 1 3 1 6 1 6 2 62 ( 2 ) 5 (5 2 ) 15 5 5 5 x y x yx y x yy x y x y x    + = + + = + + ≥ + ⋅ = +       6x y= 2 6 15 + a b | | 2a = | | 3b = a b 60° ( ) ( ) 0a c b c− − =   | |c 19 7 2 − | |c如图所示,设 , 由题,得 , 又 ,所以 ,则点 C 在以 AB 为直径的圆上, 取 AB 的中点为 M,则 , 设以 AB 为直径 圆与线段 OM 的交点为 E,则 的最小值是 , 因为 , 又 , 所以 的最小值是 . 故答案为: 【点睛】本题主要考查向量 综合应用问题,涉及到圆的相关知识与余弦定理,考查学生的 分析问题和解决问题的能力,体现了数形结合的数学思想. 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 75 分,解答写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 16.在 中,内角 , , 所对的边分别是 , , , , , . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 的值. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据正弦定理先求得边 c,然后由余弦定理可求得边 b; (Ⅱ)结合二倍角公式及和差公式,即可求得本题答案. 【详解】(Ⅰ)因为 , 由正弦定理可得, , 的 的 , ,OA a OB b OC c= = =    ,| | 2,| | 3, , , 2 3 cos60 33AOB OA OB CA a c CB b c a b π °∠ = = = = − = − ⋅ = × × =         ( ) ( ) 0a c b c− ⋅ − =   CA CB⊥  1 ( )2OM OA OB= +   | |c | |OE 2 221 1 1 19| | ( ) 2 4 2 3 94 2 2 2OM OA OB OA OA OB OB= + = + ⋅ + = × + × + =       2 2 12 cos60 4 9 2 2 3 72AB OA OB OA OB °= + − ⋅ ⋅ = + − × × × = | |c 1 19 7| | 2 2OE OM ME OM AB −= − = − = 19 7 2 − ABC∆ A B C a b c sin 3 sinb A c B= 3a = 2cos 3B = b cos(2 )6B π− 6b = 4 5 3 18 − sin 3 sinb A c B= 3ab bc=又 ,所以 , 所以根据余弦定理得, , 解得, ; (Ⅱ)因为 ,所以 , , , 则 . 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用二倍角公式及和差公式求值,属 基础题. 17.已知数列 是各项均为正数的等比数列 , ,且 , , 成等差数 列. (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)设 , 为数列 的前 项和,记 ,证明: . 【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由 ,且 成等差数列,可求得 q,从而可得本题答案; (Ⅱ)化简求得 ,然后求得 ,再用裂项相消法求 ,即可得到本题答案. 【详解】(Ⅰ)因为数列 是各项均为正数的等比数列 , ,可设公比为 q, , 又 成等差数列, 所以 ,即 , 3a = 1c = 22 9 1 3 6 b+ −= 6b = 2cos 3B = 5sin 3B = 2 1cos2 2cos 1 9B B= − = − 4 5sin 2 2sin cos 9B B B= = 3 1 3 1 1 4 5 4 5 3cos(2 ) cos2 sin 2 ( )6 2 2 2 9 2 9 18B B B π −− = + = × − + × = { }na ( *)n N∈ 1 2a = 12a 3a 23a { }na 2logn nb a= nS { }nb n 1 2 3 1 1 1 1 n n T S S S S = + + +……+ 1 2nT 1 3 22 , ,3a a a 3 1 22 2 3a a a= + 22 2 4 3 2q q× = + ×解得 或 (舍去),则 , ; (Ⅱ)证明: , , , 则 , 因为 ,所以 即 . 【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用,以及用裂项相消法求和并证明不等式,考 查学生的运算求解能力和推理证明能力. 18.已知椭圆 的离心率为 ,且过点 . (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设 是椭圆 上且不在 轴上的一个动点, 为坐标原点,过右焦点 作 的平行 线交椭圆于 、 两个不同的点,求 的值. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)1 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题,得 , ,解方程组,即可得到本题答案; (Ⅱ)设直线 ,则直线 ,联立 ,得 ,联立 ,得 2q = 1 2q = − 1 1 2n n na a q −= = *n N∈ 2 2log log 2n n nb a n= = = 1 ( 1)2nS n n= + 1 2 1 12( 1) 1nS n n n n  = = − + +  1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12(1 ) 2(1 )2 2 3 1 1n n T S S S S n n n = + + +……+ = − + − +…+ − = −+ + 1 10 1 2n < ≤+ 11 2 1 21n  ≤ − > 2 2 6(1, )2 C Q C x O F OQ M N 2 | MN | | OQ | 2 2 14 2 x y+ = 2 2 ce a = = 2 2 1 12 3 a b + = :OQ x my= : 2MN x my= + 2 2 14 2 x my x y = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4| | 2 2 2Q Q m mOQ x y m m m += + = + =+ + + 2 2 2 14 2 x my x y  = + + =,由此即可得到本题 答案. 【详解】(Ⅰ)由题可得 ,即 , , 将点 代入方程得 ,即 ,解得 , 所以椭圆 的方程为: ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 设直线 ,则直线 , 联立 ,整理得 , 所以 , 联立 ,整理得 , 设 ,则 , 所以 , 所以 . 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题,考查学生的运算求 解能力. 19.已知数列 前 项和为 ,且满足 . (Ⅰ)求数列 的通项公式; 的 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 8 4 4| | 1 ( ) 4 1 ( )2 2 2 m mMN m y y y y m m m m += + + − = + + =+ + + 2 2 ce a = = 2 21 2c a= 2 21 2b a= 61, 2       2 2 1 12 3 a b + = 2 2 1 3 1a a + = 2 4a = C 2 2 14 2 x y+ = ( 2,0)F :OQ x my= : 2MN x my= + 2 2 14 2 x my x y = + = 2 2 2 4 2Q mx m = + 2 2 4 2Qy m = + 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4| | 2 2 2Q Q m mOQ x y m m m += + = + =+ + + 2 2 2 14 2 x my x y  = + + = ( )2 22 2 2 2 0m y my+ + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 1 22 2 2 2 2,2 2 my y y ym m + = − = −+ + 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 8 4 4| | 1 ( ) 4 1 ( )2 2 2 m mMN m y y y y m m m m += + + − = + + =+ + + 2 2 22 2 4 4 | | 2 14 4| | 2 m MN m mOQ m + += =+ + { }na n nS 2 1( *)n nS a n N= − ∈ { }na(Ⅱ)证明: . 【答案】(Ⅰ) , .(Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】 (1)由 ,分 和 两种情况,即可求得数列 的通项公式; (2)由题,得 ,利用等比数列求和公式,即可得到本题答案. 【详解】(Ⅰ)解:由题,得 当 时, ,得 ; 当 时, ,整理,得 . 数列 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, , ; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, , 故 . 故得证. 【点睛】本题主要考查根据 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前 n 项和公式求 和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力. 20.已知函数 , 为实数,且 . (Ⅰ)当 时,求 的单调区间和极值; 2 1 1 4 3 n k ka= ( )0,1 ( ) 0f x′ < (1, )+∞ (1) 0f = 1 1( ) axf x ax x −′ = − = 10 a e <  1a ≥ 1 1ae < < ( )f x [1, ]e ( )I 1a = ( ) 1f x lnx x= − + 1 1( ) 1 xf x x x −′ = − = 0 1x< < ( )' 0f x > 1x > ( ) 0f x′ < 1x = (1) 0f = ( )0,1 (1, )+∞ 1 1( ) ( ) axII f x ax x −′ = − = 10 a e <  ( ) 0f x′  ( )f x [1, ]e (1) ( ) ( )f f x f e≤ ≤ [0,1 ]a ae+ − 1a ≥ ( ) 0f x′  ( )f x [1, ]e ( ) ( ) (1)f e f x f≤ ≤ [1 ,0]a ae+ − 1 1ae < < 1[1, )x a ∈ ( )' 0f x > ( )f x [1, ]e 1 ,x ea  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x [1, ]e 1x a = 1( ) 1f lna aa = − − + (1) 0f = ( ) 1f e a ae= + −当 时, ,最小值 ; 当 , ,最小值 ; 综上,当 时,函数 值域为 , 当 时,函数的值域 , 当 时,函数的值域为 , 当 时,函数的值域为 . 【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间和极值,以及利用导数研究含参函数在给定区间 的值域,考查学生的运算求解能力,体现了分类讨论的数学思想. 的 ( )i 1 1 1ae e < − ( ) (1)f e f≥ (1) 0f = ( )ii 1 11 ae <

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