天津市河北区2020届高三数学停课不停学测试试题（Word版附解析）

河北区 2020 届高三毕业年级停课不停学线上测试 数学试题 参考公式: ﹒如果事件 A,B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B) ﹒如果事件 A,B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)·P(B) ﹒球的表面积公式 S=4πR ﹒球的体积公式 其中 R 表示球的半径 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用定义域的求法，求得集合 的范围，然后求两个集合的交集. 【详解】因为 , ，所以 .故选 D. 【点睛】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2.命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 分析】 根据全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结论. 【 详 解 】 命 题 “ ， ” 为 全 称 命 题 ， 其 否 定 为 “ ， ”. 【 2 34 3V Rπ= { }2, 1,0,1,2A = − − { }|B x y x= = − A B = { }1,2 { }0,1,2 { }2, 1− − { }2, 1,0− − B { }2, 1,0,1,2A = − − { }0B x x= ≤ { }2, 1,0A B = − − x R∀ ∈ 2 1 0x x− + ≥ x R∀ ∈ 2 1 0x x− + < x R∀ ∈ 2 1 0x x− + ≤ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + < 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + ≤ x R∀ ∈ 2 1 0x x− + ≥ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + 3 0x y± = 2 3 2 3 3 3 2 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > b a 2 1 be a  = +   e ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 3 0x y± = 3b a = 22 2 1 2a b be a a +  = = + =   2 1 be a  = +   2 3 4 5 6 120 72 60 48 2 4 6 1 3C择， 其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为 . 故选：B. 【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基 础题. 5.已知抛物线 与 的焦点间的距离为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出两抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可求出正数 的值. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，抛物线 的焦点坐标为 ， 由已知条件可得 ， ，解得 . 故选：A. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，涉及两点间距离公式的应用，考查计算能 力，属于基础题. 6.已知函数 ,若 则 的大小关系 是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的导数,由导函数的符号可得 在 上为增函数，由 ， 利用单调性可得结果. 【详解】因为函数 ， 1 4 3 4 3 24 72C A = × = 2 4y x= ( )2 2 0x py p= > 2 p 2 3 4 6 12 p 2 4y x= ( )1,0 ( )2 2 0x py p= > 0, 2 p     ( ) 2 21 0 0 22 p − + − =   0p > 2 3p = ( ) 3 2cosf x x x= + 2(3 ),a f= (2),b f= 2(log 7),c f= , ,a b c a b c< < c a b< < b a c< < b c a< < ( )f x R 2 2 22 log 4 log 7 3 3= < < < ( ) 3 2cosf x x x= +所以导数函数 ， 可得 在 上恒成立， 所以 在 上为增函数， 又因为 ， 所以 ，故选 D. 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数 的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图 象法等. 7.某人通过普通话二级测试的概率是 ，若他连续测试 3 次（各次测试互不影响），那么其中 恰有 1 次通过的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生一次的概率计算公式求解． 【详解】解：∵某人通过普通话二级测试的概率是 ，他连线测试 3 次， ∴其中恰有 1 次通过的概率是： p ． 故选 C． 【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意 n 次独立重复试 验中事件 A 恰好发生一次的概率计算公式的合理运用． 8.将 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再 把得到的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象关于 对称，则 （ ） ( )' 3 2f x sinx= − ( )' 3 2 0f x sinx= − > R ( )f x R 2 2 22 log 4 log 7 3 3= < < < b c a< < 1 4 1 64 1 16 27 64 3 4 1 4 1 2 3 1 1 27(1 )4 4 64C  = − =   ( ) cos( ) | | 2f x x πϕ ϕ = +   ( ) ( )g x f x x a= − − a [0 2) [0 1) (−∞ 2] (−∞ 1]本道题先绘制 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算 a 范围，即 可． 【详解】绘制出 的图像， 有 3 个零点，令 与 有三个交 点， 则 介于 1 号和 2 号之间，2 号过原点，则 ，1 号与 相切，则 ， ，代入 中，计算出 ，所以 a 的范围为 ，故选 A． 【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等． 二、填空题：本大题共 9 小题，每空 4 分，共 40 分. 10. 是虚数单位，则 的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算将复数 化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出 的值. 的( )f x ( )f x ( )f x x a= + ( )h x x a= + ( )f x ( )h x 0a = ( )f x ( ) 2' 3 2 1, 1f x x x= − = = − 1y = ( )h x 2a = [ )0,2 i 1 i i+ 2 2 1 i i+ 1 i i+【详解】 ，因此， . 故答案为： . 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础 题. 11. 的展开式中， 项的系数为____. 【答案】 【解析】 【分析】 求出展开式的通项 ，令 的指数为 ，求出 的值，然后代入通项即可求得 项的系数. 【 详 解 】 的 展 开 式 通 项 为 ， 令 ，得 ，因此，展开式中 项的系数为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，考查二项展开式通项的应用，考查计算 能力，属于基础题. 12.已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，则椭圆的方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意求出 、 的值，即可得出椭圆 的方程. 【详解】设椭圆 的半焦距为 ，则 ， ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 i ii i ii i i − += = = ++ + − 2 21 1 2 1 2 2 2 i i    = + =   +     2 2 612 x x  −   1 x 60 1rT + x 1− r 1 x 612 x x  −   ( ) ( )6 6 3 1 6 6 12 1 2 rr rr r r r rT C x C x x − − − +  = ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅   3 1r− = − 4r = 1 x ( )44 2 6 1 2 60C ⋅ − ⋅ = 60 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2 2 3 2 2 14 x y+ = a b C C ( )0c c > 2 2 3 3c c= ⇒ =椭圆 的离心率为 ，可得 ， ， 因此，椭圆 的方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查根据椭圆的几何性质求椭圆的方程，一般要结合题意求出 、 、 的值， 考查计算能力，属于基础题. 13.某重要路段限速 70km/h，现对通过该路段的 n 辆汽车的车速进行检测，统计并绘成频率分 布直方图（如图）若速度在 60km/h～70km/h 之间的车辆为 150 辆，则这 n 辆汽车中车速高于 限速的汽车有_____辆. 【答案】190 【解析】 【分析】 根据频率之和为 列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值，求得车速高于限速的汽车的 频率，由此求得这 n 辆汽车中车速高于限速的汽车数. 【 详 解 】 依 题 意 ， 解 得 ， 所 以 ，车速高于限速的汽车的频率为 ，所以这 n 辆 汽车中车速高于限速的汽车数为 辆. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查利用频率分布直方图进行估计，属于基 C 3 3 2 ce a a = = = 2a = 2 2 1b a c∴ = − = C 2 2 14 x y+ = 2 2 14 x y+ = a b c 1 x n ( )0.008 0.01 0.024 0.028 10 1x+ + + + × = 0.03x = 150 5000.03 10n = =× ( )0.01 0.028 10 0.38+ × = 500 0.38 190× = 190础题. 14.若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】 . 【解析】 【分析】 作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即 可得出结果. 【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下： 设圆柱的底面圆半径为 ，则 ，所以轴截面的面积为 ，解得 ， 因此，该圆柱的外接球的半径 ， 所以球的表面积为 . 故答案为 【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型. 15.已知 ， ，且 ，则 的最小值为___. 【答案】 【解析】 【分析】 由 等 式 可 得 出 ， 以 及 ， 代 入 可 得 出 ，利用基本不等式可求得结果. 8π r 2BC r= ( )22 4ABCDS r= =正方形 1r = 2 22 2 22 2 BDR += = = ( )2 4 2 8S π π= = 8π 0a > 0b > 1 1 1a b + = 1 4 1 1a b +− − 4 1 1 1a b + = 1a > 1b > 1 ab a = − 1 4 1 1a b +− − ( )1 4 1 4 11 1 1 aa b a + = + −− − −【详解】 ， ，且 ，得 ， 以及 ， ， 当且仅当 时，等号成立， 因此， 的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时注意对定值条件进行化简变形，考查计算 能力，属于中等题. 16.已知矩形 的对角线长为 ，若 ，则 的值为___. 【答案】 【解析】 分析】 作出图形，设 ，可知 为 的中点，利用 和 表示向量 和 ， 利用平面向量数量积的运算律即可计算出结果. 【详解】如下图所示： 设 ， ，则 为 的中点，且 为 、 的中点， ，同理可得 ， 由已知条件得 ， 因此， . 故答案为： . 【 0a > 0b > 1 1 1a b + = 1a > 1b > 1 ab a = − ( ) ( )1 4 1 4 1 14 1 2 4 1 41 1 1 1 111 a aaa b a a a a ∴ + = + = + − ≥ ⋅ − =− − − − −−− 3 2a = 1 4 1 1a b +− − 4 4 ABCD 4 3AP PC=  PB PD⋅  3− AC BD O= P OC AC BD PB PD AC BD O= 3AP PC=   P OC O AC BD 1 1 4 2PB PO OB AC BD= + = − −     1 1 4 2PD AC BD= − +   4AC BD= =  2 21 1 1 1 1 1 1 4 34 2 4 2 16 4PB PD AC BD AC BD AC BD   ⋅ = − − ⋅ − + = − = − = −               3−【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查 计算能力，属于中等题. 17.已知函数 在点 处的切线方程为 ，则 、 的值分别为____. 【答案】 ， 【解析】 【分析】 将点 代入切线方程得出 ，由 可得出关于 、 的的方程组， 即可解出这两个未知数的值. 【详解】将点 代入直线 的方程得 ， ，则 ， 由题意得 ，解得 . 故答案为： ， . 【点睛】本题考查利用函数的切线方程求参数，一般要注意两点：一是切点为函数图象与切 线的公共点，二是函数在切点处的导数值等于切线的斜率，考查分析问题和解决问题的能力， 属于中等题. 18.已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则数列 的通项公式 ____.设 ，则数列 的前 项和 ____. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由 可 求 出 数 列 的 通 项 公 式 ， 再 由 ( ) ( )ln ,f x ax x bx a b R= − ∈ ( )( ),e f e 3y x e= − a b 1a = 1b = − ( )( ),e f e ( ) 2f e e= ( ) ( ) 2 3 f e e f e′  = = a b ( )( ),e f e 3y x e= − ( ) 3 2f e e e e= − = ( ) lnf x ax x bx= − ( ) lnf x a x a b′ = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 3 f e a b e e f e a b  = − = = − =′ 1 1 a b =  = − 1a = 1b = − { }na n nS ( )22 nS n n n N ∗= + ∈ { }na na = ( ) 2 1 1 1 n n n n n ab a a + + = − ⋅ { }nb n nT = n ( )11 1 n n −− + + 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n− ==  − ≥ { }na，利用裂项求和法可求出 . 【详解】当 时， ； 当 时， . 适合 ，所以，对任意的 ， . ， 因此， . 故答案为： ； . 【点睛】本题考查利用 求 ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：本大题共 2 小题，共 24 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 19.在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 . （I）若 ， ， ，求边 的值； （II）若 ，求 的值. 【答案】（I） ；（II） . 【解析】 【分析】 （I）利用余弦定理可得出关于 的方程，即可解出边 的值； （II）由正弦定理边角互化思想结合同角三角函数的基本关系可得出 、 的方程组， 解出这两个量的值，然后利用二倍角的正、余弦公式，结合两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】（I）由余弦定理得 ， ( ) ( ) ( )2 1 1 11 11 1 n n n nb n n n n +  = − = − + + +  nT 1n = 2 1 1 1 1 12a S += = = 2n ≥ ( ) ( )22 1 1 1 2 2n n n n nn na S S n− − + −+= − = − = 1 1a = na n= n ∗∈N na n= ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 1 11 11 11 n n n nn n n n n a a nb a n n + + +  − = − + + + = − =⋅  ( ) ( )11 1 1 1 11 1 12 2 3 1 1 n n nT n n n −     = − + + + − + − + = − +     + +      n ( )11 1 n n −− + + nS na ABC∆ A B C a b c 3a c= 2b = 2cos 3B = c 2 sin cosb A a B= sin 2 3B π +   3 3c = 4 3 3sin 2 3 10B π + + =   c c sin B cos B 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −即 ，即 ，解得 ； （II） ，由正弦定理得 ， ， ，同理知 ， . 所以 ，解得 ， 由二倍角公式得 ， ， 因此， . 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系、二 倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题. 20.如图，在四棱锥 中， ，底面 为直角梯形， ， ， ， 为线段 上一点. （I）若 ，求证： 平面 ； （II）若 ， ，异面直线 与 成 角，二面角 的余弦值为 ，求 的长及直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（I）证明见解析；（II） ，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【解析】 2 210 2 3 23c c c− × × × = 26 2c = 3 3c = 2 sin cosb A a B= 2sin sin sin cosA B A B= 0 A π< sin 0B > cos 2sinB B∴ = 2 2 cos 2sin cos sin 1 sin 0 B B B B B =  + =  > 5sin 5 2 5cos 5 B B  =  = 4sin 2 2sin cos 5B B B= = 2 2 3cos2 cos sin 5B B B= − = 4 1 3 3 4 3 3sin 2 sin 2 cos cos2 sin3 3 3 5 2 5 2 10B B B π π π + + = + = × + × =   P ABCD− PA AD⊥ ABCD 3BC AD= //AD BC 90BCD∠ =  M PB 1 3PM PB= //AM PCD 2PA = 1AD = PA CD 90 B PC D− − 10 10 − CD PC ABCD 2CD = PC ABCD 2 3【分析】 （I）过点 作 ，交 于点 ，连接 ，通过证明四边形 为平行四边 形得出 ，然后利用线面平行的判定定理可得出结论； （II）证明出 平面 ，过点 作 交 于点 ，并以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，利用空间 向量法结合二面角 的余弦值为 求出 的值，再利用空间向量法可求出直线 与平面 所成角的正弦值. 【详解】（I）过点 作 ，交 于点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ，所以，四边形 为平行四边形，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （II） 异面直线 与 成 角，即 ， ， ， 平面 ， ，过点 作 交 于点 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， M //MN BC PC N DN ADNM //AM DN PA ⊥ ABCD A //AE CD BC E A AE AD AP x y z CD a= B PC D− − 10 10 − a PC ABCD M //MN BC PC N DN //MN BC PMN PBC∴∆ ∆ 1 3 MN PM BC PB ∴ = = 1 3MN BC AD∴ = = //AD BC //AD MN∴ ADNM //AM DN AM ⊄ PCD DN ⊂ PCD //AM∴ PCD  PA CD 90 PA CD⊥ PA AD⊥ CD AD D= PA∴ ⊥ ABCD 90BCD∠ =  A //AE CD BC E A AE AD AP x y z设 ，则 、 、 、 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 取 ，则 ， ，则 ， 同理可得平面 的一个法向量为 ， 由于二面角 的余弦值为 ， 则 ，解得 ， 所以， ，易知平面 的一个法向量为 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角求其它量、以及利用空间向量 法求线面角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题. CD a= ( ), 2,0B a − ( ),1,0C a ( )0,1,0D ( )0,0,2P ( )0,3,0BC = ( ),1, 2PC a= − ( ),0,0DC a= PBC ( ), ,m x y z= 3 0 2 0 m BC y m PC ax y z  ⋅ = =  ⋅ = + − =   2x = 0y = z a= ( )2,0,m a= PCD ( )0,2,1n = B PC D− − 10 10 − 2 10cos , 104 5 m n am n m n a ⋅= = =⋅ + ×      2a = ( )2,1, 2PC = − ABCD ( )0,0,1u = PC ABCD θ 2 2sin cos , 1 3 3 u PC u PC u PC θ ⋅ = = = =×⋅   PC ABCD 2 3