和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级线上学习阶段性
评估检测数学学科试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A. {2} B. {1，2，4} C. {1，2，4，5} D. {x∈R|﹣1≤x≤5}
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 A∪B＝{1，2，4，6}，再与集合 C 求交集即可.
【详解】∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，
又 C＝ ，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交、并运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.
2.设 a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0” （ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解不等式，利用集合间的包含关系来判断.
【详解】|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+3a≥0，解得：0≤a≤3，
∴“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的充分非必要条件．
故选：A．
【点睛】本题考查充分条件、必要条件，通常在判断充分条件、必要条件有如下三种方法：
1.定义法，2.等价法，3.利用集合间的包含关系判断.
3.已知过点 P(2,2) 的直线与圆 相切, 且与直线 垂直, 则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】C
的
{ | 1 5}x R x∈ − ≤ ≤
2 2( 1) 5x y− + = 1 0ax y− + = a =
1
2
− 1
2【解析】
【详解】试题分析：设过点 的直线的斜率为 ，则直线方程 ，即
， 由 于 和 圆 相 切 ， 故 ， 得 ， 由 于 直 线
与直线 ，因此 ，解得 ，故答案为 C.
考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.
4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
广告费用 x(万元) 1 2 4 5
销售额 y(万元) 10 26 35 49
根据上表可得回归方程 中的 约等于 9，据此模型预报广告费用为 6 万元时，销售
额为（ ）
A. 54 万元 B. 55 万元 C. 56 万元 D. 57 万元
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 由 表 格 可 算 出 , ,根 据 点
在回归直线 上, ,代入算出 ,所以 ,当 时, ,故
选 D.
考点：回归直线恒过样本点的中心 .
5.设 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
(2,2)P k (2 2)y k x− = −
2 2 0kx y k− + − =
2
| 2 2 | 5
1
k k
k
+ − =
+
1
2k = −
2 2 0kx y k− + − = 1 0ax y− + = 1 12 a− × = − 2a =
ˆˆ ˆy bx a= + ˆb
1 (1 2 4 5) 34x = + + + = 1 (10 26 35 49) 304y = + + + =
( ),x y ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 9b = ˆ 3a = ˆ 9 3y x= + 6x = ˆ 57y =
( ),x y
sin 6a
π= 2log 3b =
2
31
4c =
a c b< < c a b< < b a c< 0，b>0)的左顶点与抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的距离为 4，且双
曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），
即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y2＝2px 的准线方程为 ，则 p=4，
则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即 a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 ，
由双曲线的性质，可得 b=1；
则 ，则焦距为 2c=2 ；
故选 A．
8.已知函数 ，那么下列命题中假命题是（ ）
A. 是偶函数 B. 在 上恰有一个零点
C. 是周期函数 D. 在 上是增函数
2
x xe e
x
−−=
2
x xe e
x
− −= = − 2
x xe e
x
−−
2
2
x
a
2
2
y
b
5 3 3 5
2
px = −
1
2y x= ±
5c = 5
( ) cos | sin |f x x x= −
( )f x ( )f x [ ,0]π−
( )f x ( )f x [ ,0]π−【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数 的性质,逐个判断各选项的真假．
【详解】对于 ，函数 ，定义域为 ，
且满足 ，所以 为定义域 上的偶函
数， 正确；
对于 ， 时， ， ，
且 ， 在 上恰有一个零点是 ， 正确；
对于 C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数 是最小正周期为 的周期函数， 正
确；
对于 D， 时， ，且 ， 在 上
先减后增，D 错误．
故选 D．
点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求
法．
9.已知函数 ， ，设 为实数，若存在实数 ，使
，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【
( ) cos | sin |f x x x= −
A ( ) cos | sin |f x x x= − R
( ) cos( ) | sin( ) | cos | sin | ( )f x x x x x f x− = − − − = − = ( )f x R
A
B [ ,0]x π∈ − sin 0x ( ) cos | sin | cos sin 2 sin 4f x x x x x x
π = − = + = +
3 ,4 4 4x
π π π + ∈ − ( )f x [ ],0π−
4
π− B
( )f x 2π C
[ ,0]x π∈ − ( ) 2 sin 4f x x
π = +
3 ,4 4 4x
π π π + ∈ − ( )f x [ ],0π−
( ) 2
1 , 7 0
ln ,
x xf x
x e x e−
+ − ≤ ≤= ≤ ≤
( ) 2 2g x x x= − a m
( ) ( )2 0f m g a− = a
[ )1,− +∞ ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ [ ]1,3− ( ],3−∞，设 为实数， ， 由函
数 ，可得 画出函数
的图象，由函数 的图象可知， 值域为 存在
实数 ，使 ， ，即 ，实数 的取值范围为
，故选 C.
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合
是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想
方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关
系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个
数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卷上．
10.设复数 满足 ，则 ______．
【答案】 .
【解析】
【分析】
求解出复数 ，根据模长的定义可求得结果.
【详解】由题意得：
( ) 2 2g x x x= − a ( ) 22 2 4 ,g a a a a R∴ = − ∈ 22 4 , ,y a a a R = − ∈
( ) 2
1 , 7 0
,
x xf x
lnx e x e−
+ − ≤ ≤= ≤ ≤
( ) ( )27 6, 2,f f e−− = = −
( ) 2
1 , 7 0
,
x xf x
lnx e x e−
+ − ≤ ≤= ≤ ≤
( )f x ( )f x [ ]2,6 ,−
m ( ) ( )2 0f m g a− = 22 2 4 6a a∴− ≤ − ≤ 1 3a− ≤ ≤ a
[ ]1,3−
z ( )1 i 3 iz+ = − z =
5
z
( )( )3 13 2 4 1 21 2 2
i ii iz ii
− −− −= = = = −+
( )221 2 5z∴ = + − =本题正确结果：
【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.
11.二项式 的展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）
【答案】112
【解析】
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可求解．
【详解】通项公式 Tr+1 ,
令 8 0，解得 r＝6
∴常数项 112．
故答案为 112
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，熟记通项公式，准确
计算是关键，属于基础题．
12.如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，且 AB＝3，BC
＝5，M 是 AA1 的中点，则三棱锥 A1﹣MBC1 的体积为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
用等体积法将三棱锥 A1﹣MBC1 的体积转化为三棱锥 的体积即可.
【详解】∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，且 AB＝3，
5
8
3
12x
x
−
( ) ( ) ( )
r 48 r8 r 8 r rr r 3
8 83
1C 2x C 2 1 x
x
−− − = − = −
4r
3
− =
6 2
8 2= =
1 1C A MB−BC＝5，
∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A1C1⊥A1B1，
∵AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面 A1MB，
∵M 是 AA1 的中点，∴ 3，
∴三棱锥 A1﹣MBC1 的体积：
4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计
算能力，是一个常考点.
13.一个口袋中装有大小相同的 2 个黑球和 3 个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概
率是________； 若 表示摸出黑球的个数，则 ________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是 ；
可取：0,1,2,.
, ,
,
14.已知 a＞0，b＞0，当（a+4b）2 取得最小值为_____时，a+b＝_____．
【答案】 (1). 8 (2).
【解析】
【分析】
由 a+4b 可得（a+4b）2 ，再利用一次基本不等式即可，要注意验证
等号成立的条件.
【详解】因为 a＞0，b＞0，
1 1
1 1 1 3 42 2 2A MB AA BS S = = × × × =
1 1 1 1 1 1 1
1 1 3 43 3A MBC C A MB A MBV V S AC− −= = × × = × × =
X EX =
3
5
4
5
1 1
2 3
2
5
6 3P 10 5
C C
C
= = =
X
( ) 2
3
2
5
3P 0 10
CX C
= = = ( ) 1 1
2 3
2
5
6P 1 10
C CX C
= = = ( ) 2
2
2
5
1P 2 10
CX C
= = =
3 6 1 40 1 210 10 10 5EX = × + × + × =
1
ab
+
5
4
4 ab≥ 1 116abab ab
+ ≥ +所以 a+4b ，当且仅当 a＝4b 时取等号，
所以（a+4b）2≥16ab，
则（a+4b）2 8，
当且仅当 即 a＝1，b 时取等号，此时取得最小值 8，a+b ．
故答案为：（1）8；（2）
【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值的问题，一般在利用基本不等式求最值时，应尽
量避免多次运用，以免等号不能同时成立，本题是一道中档题.
15.如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC＝3，D，E 与 M，N 分别是 AB，AC 的三等分点，且
• 1，则 tanA＝_____， • _____．
【答案】 (1). (2). ．
【解析】
【分析】
设 A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），利用 • 1 以及 可求得 a，b，在△ABC
中利用余弦定理求得 ，从而可得 ； • 利用数量积的定义计算.
4 ab≥
1 1 116 2 16ab abab ab ab
+ ≥ + ≥ ⋅ =
4
116
a b
ab ab
= =
1
4
= 5
4
=
5
4
DN
ME = − AB BC =
3
4
18
5
−
DN ME = − 3AB =
cos A tan A AB BC【详解】
以边 BC 所在直线为 x 轴，以边 BC 的中垂线为 y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设 A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且 D，E 与 M，N 分别是 AB，AC 的三等分点，
∴D（ ， ），E（ ， ），M（ ， ），N（ ， ），
∴ （a， ）， （﹣a， ），且 • 1，
∴﹣a2 1①，
又 AC＝3，∴a2+b2＝9②，
联立①②得，a2 ，
在△ABC 中，由余弦定理得，cosA ．
因为 A 为等腰三角形的顶角；且 cosA ，
∴sinA ；
∴tanA ；
sin ；
∴cosB＝cos（ ）＝sin ；
∴ • • 3×2a×cosB＝﹣3 ．
故答案为：（1） ；（2） ．
【点睛】本题考查向量的坐标运算以及定义法求向量的数量积，做此类题关键是建好系，准
3
a− 2
3
b 2
3
a−
3
b
3
a 2
3
b 2
3
a
3
b
DN =
3
b− ME =
3
b− DN ME = −
2
9
b+ = −
9
5
=
2
36189 9 4 35
2 3 3 18 5
a −+ −= = =× ×
3
5
=
2 41 5cos A= − =
3
4
=
1 5
2 2 5
A cosA−= =
2
Aπ − 5
2 5
A =
AB BC BA= − BC = − 3 5 52 5 5
18
5
× × × = −
3
4
18
5
−确写出点的坐标，是一道中档题.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
16.已知函数 ．
（1）求 的最小值，并写出取得最小值时的自变量 的集合．
（2）设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，若
，求 ， 的值．
【答案】（1）最小值为 ； ， ；（2） ，
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ，利用正弦函数
的图象和性质即可求解．
（2）由已知可求 ，结合范围 ，可求 ，由已知及正弦定
理可得 ，进而由余弦定理可得 ，联立即可解得 ， 的值．
【详解】解：（1） ，
当 ，即 时， 的最小值为 ，
此时自变量 的集合为： ，
（2） （C） ，
，
又 ， ， ，可得： ，
，由正弦定理可得： ①，又 ，
由余弦定理可得： ，可得： ②，
联立①②解得： ， .
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余
弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题．
23 1( ) sin 2 cos2 2f x x x= − −
( )f x x
ABC∆ A B C a b c 3c = ( ) 0f C =
sin 2sinB A= a b
2− { | 6x x k
ππ= − }k Z∈ 1a = 2b =
( ) sin(2 ) 16f x x
π= − −
sin(2 ) 1 06C
π− − = 0 C π< <
3C
π=
2b a= 2 2 3a b ab+ − = a b
23 1 3 1 cos2 1( ) sin 2 cos sin 2 sin(2 ) 12 2 2 2 2 6
xf x x x x x
π+= − − = − − = − −
∴ 2 26 2x k
π π− = π − ( )6x k k Z
ππ= − ∈ ( )f x 2−
x { | 6x x k
ππ= − }k Z∈
f 0=
sin(2 ) 1 06C
π∴ − − =
0 C π< ( )f x
0a = ( ) ( )g x xf x= [ ] 1, ,2m n ⊆ +∞
( )g x
[ ],m n ( ) ( )2 2, 2 2k m k n+ − + − k
( )min 1f x = 9 ln 4
10
+
a ( )f x
( )'g x ( )''g x ( )g x 1 ,2
+∞
( ) ( )( ) 2 2, ( ) 2 2g m k m g n k n= + − = + − ( ) ( )2 2g x k x= + − 1 ,2
+∞
1, 2m n m n > ≥
( ) 2
2
g xk x
+= +
( ) 2
2
g xy x
+= +
y a= 1 ,2
+∞
k
0a = ( ) ( )ln 0f x x x x= − >
( ) 1' 1f x x
= −
( )' 0f x = 11 0x
− = 1x =
( )' 0f x > 1x >
( )' 0f x < 0 1x< <
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
( )f x 1x =
( ) ( )min 1 1f x f= =（2）当 时，函数
导数为 ，
若 时， ， 单调递减，
若 时， ，
当 或 时， ，
当 时， ，
即函数 在区间 ， 上单调递减，
在区间 上单调递增.
若 时， ，
当 或 时， ，
当 时， ，
函数 在区间 ， 上单调递减，
在区间 上单调递增.
综上，若 时，函数 的减区间为 ，无增区间，
若 时，函数 的减区间为 ， ，增区间为 ，
若 时，函数 的减区间为 ， ，增区间为 .
（3）当 时，设函数 .
0a > ( ) ( )21 1 ln2 ax xf xx a− + + −=
( ) ( )( )1 111' x axax a xf x x
− −= − + + − = −
1a = ( )' 0f x ≤ ( )f x
1a > 1 1a
<
1x > 10 x a
< < ( )' 0f x <
1 1xa
< < ( )' 0f x >
( )f x 10, a
( )1,+∞
1 ,1a
0 1a< < 1 1a
>
1x a
> 0 1x< < ( )' 0f x <
11 x a
< < ( )' 0f x >
( )f x ( )0,1 1 ,a
+∞
11, a
1a = ( )f x ( )0, ∞+
1a > ( )f x 10, a
( )1,+∞ 1 ,1a
0 1a< < ( )f x ( )0,1 1 ,a
+∞
1 ,1a
0a = ( ) ( ) 2 lng x xf x x x x= = −令 ， ，
当 时， ， 为增函数，
， 为增函数，
在区间 上递增，
∵ 在 上的值域是 ，
所以 在 上至少有两个不同
的正根 ， ，
令 ，求导得， ，
令 ，
则 ，
所以 在 递增， ， ，
当 ， ，∴ ，
当 ， ，∴ ，
所以 在 上递减，在 上递增，
∴ ，∴ ，
∴ 的最大值为 .
( )' 2 ln 1g x x x= − − ( ) ( )1 2 1'' 2 0xg x xx x
−= − = >
1
2x ≥ ( )'' 0g x ≥ ( )'g x
( ) 1' ' ln 2 02g x g ≥ = >
( )g x
( )g x [ ] 1, ,2m n ⊆ +∞
( )g x [ ],m n ( ) ( )2 2, 2 2k m k n+ − + −
( ) ( )2 2g x k x= + − 1 ,2
+∞
1, 2m n m n > ≥
( ) 2
2
g xk x
+= +
( ) 2 ln 2
2
x x x
xF x = − +
+
( ) ( )
2
2
3 2ln
2
' 4x x x
x
F x
+ − −=
+
( ) 2 13 2ln 4 2G x x x x x = + − − ≥
( ) ( )( )2 1' 22 12 3 2
x xx xx xG x
− + = + − = ≥
( )G x 1 ,2
+∞
1 02G
( )F x 1 ,12
[ )1,+∞
( ) 1
21F k F < ≤
9 ln 41, 10k
+ ∈
k 9 ln 4
10
+【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研
究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.
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