高三年级九校联考文科数学试卷（2019．04）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则 S∩（∁UT）等于（ ）
A. {1，4，5，6} B. {1，5} C. {4} D. {1，2，3，
4，5}
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合 ， ，由补集的运算有 ,又 ，
再结合交集的运算即可得解.
【详解】解：因为集合 ， ，
所以 ,又 ，
所以 ,
故选 B.
【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础
题.
2.如果实数 满足条件 ，那么 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：当直线 过点 时， 最大，故选 B
{ }1,2,3,4,5,6U = { }2,3,4T = { }1,5,6UC T = { }1,4,5S =
{ }1,2,3,4,5,6U = { }2,3,4T =
{ }1,5,6UC T = { }1,4,5S =
{ }( ) 1,5US C T∩ =
x y、
1 0
{ 1 0
1 0
x y
y
x y
− + ≥
+ ≥
+ + ≤
2x y−
2 1 2− 3−
2x y z− = ( )0, 1A − z3.“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
先由两直线平行得到方程解出 m 的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，
再进行判断即可.
【详解】解：若直线 ： 与直线 ： 平行
则 ，
当 时，直线 ： 与直线 ： ，两直线重合，舍
所以“直线 ： 与直线 ： 平行”等价于“ ”
所以“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的既不充分也不必要条件
故选 D
【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一
定要验证两直线是否重合.
4.设 ， ， 则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
2m = 1 : 4 6 0l mx y+ − = 2 : 3 0l x my+ − =
1l mx+4y-6=0 2l x+my-3=0
2 4m = 2m = ±
2m = 1l 2x+4y-6=0 2l x+2y-3=0
1l mx+4y-6=0 2l x+my-3=0 2m = −
m=2 1l mx+4y-6=0 2l x+my-3=0
0.5log 0.8a = 1.10.8b log= 0.81.1c =
b a c< < b c a< <
a b c< < a c b< b >
1C 2C F 2C
2 1− 2 1
2
+ 6 2
2
+
2 1+
2
p c=
1C 2C F
2
1C :y 2px= ,02
pF
双曲线 的右焦点为 ，
所以 ，即
当 时，代入 ，得
当 时，代入 ，得
由题意知点 ，则
两边同除 得 ，解得 （负值舍）
所以
故选 D.
【点睛】本题考查了抛物线与双曲线的方程与几何性质，属于基础题.
8.已知函数 ，且函数 恰有三个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
函数 恰有三个不同的零点等价于 与 有三个交点，再分别画
出 和 的图像，通过观察图像得出 a 的范围.
详解】解：方程
所以函数 恰有三个不同的零点等价于 与 有三个交点
记 ，
画出函数简图如下
【
2 2
2 2 2
x yC : 1( 0 b 0)a b a− = > >， ( ),0F c
2
p c= 2p c=
2
px = 2
1C :y 2px= 2y p c= ± = ±
x c= 2 2
2 2 2
x yC : 1a b
− =
2by a
= ±
2
2 bc a
= 2 2 22b ac c a= = −
2a 22 1e e= − 1 2e = ±
1 2e = +
2 4 ( 0)( )
( 2)( 0)
a x x xf x
f x x
− − 3
4x y+ = 4 1
x y
+
12【解析】
【分析】
由题意得出 ，将代数式 和代数式 ，展开后利用基本不等式可求
得 的最小值.
【详解】由题 ，
当且仅当 时，即当 时取等号，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及 的妙用，考查计算能力，属于基础题.
13.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积______．
【答案】
【解析】
【分析】
由正方体的外接球的半径为正方体体对角线的一半，可求出 R，然后计算体积.
【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上
所以球的半径为正方体体对角线的一半，即
所以
故答案为
【点睛】本题考查了正方体的外接球，正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，属于基
础题.
( )4 13 x y+ = 4 1
x y
+ ( )4
3 x y+
4 1
x y
+
( )4 1 4 1 4 4 4 4 44 1 5 2 123 3 3
y x y xx yx y x y x y x y
+ = + ⋅ + = + + + ≥ + ⋅ =
4y x
x y
= 2x y=
4 1
x y
+ 12
12
1
27 3
2
π
3 3
2R =
3
34 4 3 3 27 3
3 3 2 2V R
ππ π = = =
27 3
2
π14.平行四边形 的两条对角线相交于点 ，点 是 的中点．若 且 ，
，则 _______．
【答案】
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： , 由 已 知 ：
考点：向量的数量积的计算
三、解答题。
15.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中，高一年级有 6 人，高二年级有 12 人， 高三年级有 24
人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取 7 人进行采访．
(1）求应从各年级分别抽取的人数；
(2）若从抽取的 7 人中再随机抽取 2 人做进一步了解（注高一学生记为 ，高二学生记为
，高三学生记为 ， ）
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的 2 人均为高三年级学生的概率．
【答案】（1）高一 1 人，高二 2 人，高三 4 人；（2）① 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 ，共 21 种；② ..
【解析】
【分析】
ABCD M P MD AB 2= AD 1=
DAB 60°∠ = AP CP⋅
25
16
−
( )AP CP AP AP AC⋅ = ⋅ −
1 1 1 1 3( ) ( ) ,2 2 2 4 4AP AM AD AB AD AD AB AD AC AB AD = + = + + = + = +
3 1
4 4AP AC AB AD− = − −
2 21 3 3 1 3 3 10 25
4 4 4 4 16 16 16 16AP CP AB AD AB AD AB AD AB AD ∴ ⋅ = − + ⋅ + = − − − ⋅ = −
iA
iB iC 1,2,3i = …
1 1A B 1 2A B 1 1A C 1 2A C
1 3A C 1 4A C 1 2B B 1 1B C 1 2B C 1 3B C 1 4B C 2 1B C 2 2B C 2 3B C 2 4B C
1 2C C 1 3C C 1 4C C 2 3C C 2 4C C 3 4C C 2
7（1）由各年级人数所占的比例即可求出各年级抽取的人数；（2）将所有抽取结果一一列出，
然后计算概率.
【详解】解：（1）高一： ；
高二： ；
高三： ；
所以抽取高一 1 人，高二 2 人，高三 4 人
（2）由（1）知高一 1 人记为 ，高二 2 人记为 ，高三 4 人记为 、
①从中抽取两人，所有可能的结果为： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 ，共 21 种
②由①知，共有 21 种情况，抽取的 2 人均为高三年级学生有 、 、 、 、
、 ，共 6 种，所以抽取的 2 人均为高三年级学生的概率 .
【点睛】本题考查了分层抽样和古典概型，属于基础题.
16.在 中， 分别是角 的对边，若 ，且
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由 得 ，即 ，再由余弦定理求出 ，转化为 ；
（2）先求出 和 ，再由和差角公式求出 ；（3）由
6 7 16 12 24
× =+ +
12 7 26 12 24
× =+ +
24 7 46 12 24
× =+ +
1A 1 2B B、 1 2 3C C C、 、 4C
1 1A B 1 2A B 1 1A C 1 2A C 1 3A C 1 4A C 1 2B B
1 1B C 1 2B C 1 3B C 1 4B C 2 1B C 2 2B C 2 3B C 2 4B C 1 2C C 1 3C C 1 4C C
2 3C C 2 4C C 3 4C C
1 2C C 1 3C C 1 4C C 2 3C C
2 4C C 3 4C C 6 2P= 21 7
=
ABC , ,a b c , ,A B C b c= 2sin 3sinB A=
sin B
cos 2 3B
π +
2b = ABC
6sinB= 3
1 2 6
6
+− 4 2
3
2sinB= 3 Asin 2b= 3a 2 3a= 3 b cosB sinB
sin2B cos2B 2 3cos B
π + ABC
1
2S acsinB∆ =直接计算即可.
【详解】解：（1）因为
所以 ，即
所以
因为 ，所以
（2）因为 ，
所以
（3）因为 ，所以 ，
所以
【点睛】本题考查了正余弦定理，给值求值，三角形的面积公式，属于基础题.
17.如图： 是菱形，对角线 与 的交点为 ，四边形 为梯形，
（1）若 ，求证： ；
2sinB= 3 Asin
2b= 3a 2 3a= 3 b
2
2 2
2 2 2
2 3
3 3cosB= 2 32 32 3
b b b
a c b
ac b b
+ − + − = =
×
B (0,π)∈ 6sinB= 3
6 3 2 2sin2B=2sinBcosB=2× 3 3 3
× =
2
2 3 1cos2B=2 1 2 13 3cos B
− = × − = −
1 1 2 2 3 1 2 62 2 23 3 3 3 2 3 2 6cos B cos Bcos sin Bsin
π π π + + = − = − × − × = −
b=2 c=2 4 3a= 3
ABC
1 1 4 3 6 4 22×2 2 3 3 3S acsinB∆ = = × × =
ABCD AC BD O DCEF
,EF DC FD FB=
DC=2EF OE ADF 平面（2）求证： ；
（3）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【详解】试题分析: （Ⅰ）取 AD 的中点 G，连接 OG，FG，证明 OGFE 为平行四边形，可得
OE∥FG，即可证明：OE∥平面 ADF；
（Ⅱ）欲证：平面 AFC⊥平面 ABCD，即证 BD⊥平面 AFC；
（Ⅲ）做 FH⊥AC 于 H，∠FAH 为 AF 与平面 ABCD 所成角，即可求 AF 与平面 ABCD 所成角．
试题解析：
(Ⅰ)证明：取 AD 的中点 G，连接 OG，FG.
∵对角线 AC 与 BD 的交点为 O，
∴OG∥DC，OG＝ DC，
∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE 为平行四边形，
∴OE∥FG，
∵FG⊂平面 ADF，OE⊄平面 ADF，
∴OE∥平面 ADF；
(Ⅱ)证明：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴OC⊥BD，
∵FD＝FB，O 是 BD 的中点，
∴OF⊥BD，
∵OF∩OC＝O，
∴BD⊥平面 AFC，
∵BD⊂平面 ABCD，
∴平面 AFC⊥平面 ABCD；
(Ⅲ)解：作 于 ，
AFC ABCD⊥平面 平面
AB=FB=2 AF=3 BCD=60∠ ° AF ABCD
30°
FH AC⊥ H因为平面 平面 ，
所以 平面 ,
则 为 与平面 所成角．
由 及四边形 为菱形，得 为正三角形，
则 ， ．
又 ，
所以 为正三角形，从而 ．
在 中，由余弦定理，得
，
则 ，
从而 ，
所以 与平面 所成角的大小为 ．
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
18.已知数列 的前 项和为 ，且满足 .数列 是首项为 ，公
差不为零的等差数列，且 成等比数列．
（1）求数列 与 的通项公式．
（2）若 ，数列 的前项和为 恒成立，求 的范围．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 化简可得 成等比，求出 的通项，再由 可求出
AFC ⊥
FH ⊥ ABCD
FAH∠ AF ABCD
ABCD BCD
3OA = 2BD AB= =
2FD FB= =
FBD 3OF =
AOF
2 2 2 2 2 2( 3) ( 3) 3 1cos 2 22 3 3
OA OF AFAOF OA OF
+ − + −∠ = = = −⋅ ⋅
120AOF∠ = °
30FAH FAO∠ = ∠ = °
AF ABCD 30°
{ }na n nS ( )*2 2,n nS a n N= − ∈ { }nb 1a
1 3 11, ,b b b
{ }na { }nb
n
n
n
bC a
= { }nc ,n nT T m< m
na 2n= nb 3 1n= − m 5≥
n n n 1a S S −= − { }na { }na 2
1 11 3b b b= { }nb的通项；（2）因为 ，用错位相减法求得 ，所以 .
【详解】解：（1）因为 ，
所以
所以
所以 成等比，首项 ，公比 q
所以
由题意知 ，设 公差为 d
则 ，即 ，
解得 或 （舍）
所以
（2）
所以
两式相减得
所以
所以
【点睛】本题考查了数列的通项与求和，对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和，
分列乘减算四步进行.
19.已知椭圆 ，离心率等于 ，且点 在椭圆上．
（1）求椭圆 的方程；
n
n
n
b 3 1c a 2n
n −= =
n
3 5T 5 52n
n += − < m 5≥
n nS 2a 2= − n 1 n 1S 2a 2− −= −
n n n 1 n n 1a S S 2a 2a− −= − = −
( )n n 1a 2a 2n−= ≥
{ }na 1 1a S 2= = 2=
na 2n=
1 1b a 2= = { }nb
2
1 11 3b b b= ( ) ( )22 2 10 2 2d d+ = +
d 3= d 0=
nb 3 1n= −
n
n
n
b 3 1c a 2n
n −= =
n 1 2 3
2 5 8 3 1T 2 2 2 2n
n −= + + +…+
n 2 3 4 1
1 2 5 8 3 4 3 1T2 2 2 2 2 2n n
n n
+
− −= + + +…+ +
1
n 1 2 3 1 1 1
3 111 2 3 3 3 3 1 3 1 5 3 54 2T 1 12 2 2 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n n
n n n−
+ + +
− − − + = + + +…+ − = + − = −
−
n
3 5T 5 52n
n += − <
m 5≥
2 2
2 2 1( 0)x yE a ba b
= + = > > 3
2
CH
E（2）①直线 与椭圆 交于两点 ．求 的弦长；
②若直线 与椭圆 交于两点 ．且线段 的垂直平分线经过点 ，求 的面
积的最大值．（ 为原点）
【答案】（1） ；（2）① ；②1.
【解析】
【分析】
（1）联立 ， ， 可解出 ， ， ，得出椭圆方
程；（2）①联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，利用弦长公式求出弦长 ；②先求出 AB
中 点 坐 标 ， 利 用 点 在 AB 中 垂 线 上 列 出 方 程 ， 找 到 m 与 k 的 关 系 ， 再 利 用
写出面积表达式，求出最值.
【详解】解：（1）因为离心率 ，点 在椭圆上，即 ，
解得 ， ，
所以椭圆方程为
（2）①联立 和 得
得
所以
所以
: ( 0)= + ≠l y kx m k E ,A B AB
l E ,A B AB 10, 2
AOB∆
O
2
2x +y =14
2 2 2
2
4 1 4 1
1 4
k k m
k
+ − +
+
3
2
c
a
=
2 2
3
1 4+ =1a b
2 2 2a b c= + 2a = 1b = 3c =
AB
10, 2
AOB
1 AB2S d∆ =
3
2
c
a
= 31, 2
2 2
3
1 4+ =1a b
2 2 2a b c= +
2a = 1b = 3c =
2
2x +y =14
y=kx+m
2
2x +y =14
( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
2
1 2 2
8
1 4
4 4
1 4
kmx x k
mx x k
+ = − + − = +
2 2
2
1 2 1 2 1 2 2
4 4 1( ) 4 1 4
k mx x x x x x k
− +− = + − = +
2 2 2
2
1 2 2
4 1 4 1AB 1 1 4
k k mk x x k
+ − += + − = +② 因为 ，
所以 AB 中点为 M
又因为 AB 的中垂线过点 N
所以 ，化简得
点 O 到直线 AB 的距离
所以
当 时， 最大为 1
【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式 ，
面积的最大值问题，属于中档题.
20.已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
（3）若过点 可作函数 图像的三条不同切线，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ；(2) ；(3)
【解析】
试题解析：（1）当 a=3 时， ，得
1 2
2
4
2 1 4
x x km
k
+ = − +
1 2 1 2
22 2 1 4
y y x x mk m k
+ + = + = +
2 2
4 , 1 4 1 4
km m
k k
− + +
10, 2
2
2
1
11 4 2
4
1 4
MN
m
kk km k
k
−+= = −
− +
21 4 6 0k m+ = − >
21
md
k
=
+
2 22 2 2 2
AOB 2 22
2 4 11 1 4 1 4 1 6AB2 2 1 4 1 4 31
m m k mk k m m mS d k kk
∆
− ++ − + − −= = × × = =+ ++
3m = − AOBS∆
2
1 2AB 1 k x x= + −
3 21( ) 2 ( )3 2
af x x x x a R= − + − ∈
3a = ( )f x
[1, )x∈ +∞ '( ) 2( 1)f x a< − a
10, 3
− ( )y f x= a
( )1,2 ( ),1−∞ ( )2,+∞ ( )1,8−
( )2,+∞
( ) 3 21 3 23 2f x x x x= − + − ( ) 2 3 2f x x x′ = − + −因 ，
所以当 1
2 8 0a a− <
2 8 0
{ 12
1 0
a a
a
a
− ≥
≤
+ >
a
3 21( , 2 )3 2
at t t t− + − ( )y f x=
2( ) 2k f t t at= = − + −′
( )3 2 21 2 2 ( )3 2
ay t t t t at x t+ − + = − + − −
10, 3
−
3 22 1 03 2 3
at t− + =
10, 3
−
( )y f x=∴ 有三个不等的实根，
令 ，解得
∵
∴
∴实数 的取值范围
考点：本题考查导数与函数
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解
法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想
3 22 1 03 2 3
at t− + =
2( ) 2 0g t t at′ = − = 0 2
at t或= =
31 1(0) , ( )3 2 24 3
a ag g= = − +
3 1( ) 0 22 24 3
a ag a= − + ⇒
a 2a >
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