武功县 2020 届高三第三次质量检测
文科数学试题
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用 2B 铅笔将答案涂在答题
卡上.第Ⅱ卷为非选题，用 0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试结束后，
只收答题纸.
2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题纸首有关项目填写清楚.
3.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
集合 ， ，
则 .
故答案为 C.
2.已知复数 满足 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】由 ，
得 ．
故选 ．
{ | 2 4}A x x= − < < { | 2}B x x= ≥ ( )RA C B =
(2,4) ( 2,4)− ( 2,2)− ( 2,2]−
{ }2 4A x x= − < < { }2B x x= ≥ RC B { }| 2x x= <
( ) ( )2,2RA C B∩ = −
z ( )2 3 4i z i− = + z =
2 i− − 2 i− 2 i− + 2 i+
(2 )z | 3 4 | 5i i− = + =
5 5(2 )z 22 (2 )(2 )
i ii i i
+= = = +− − +
D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.已知 ，那么“ ”是“ 共线”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 共线时 的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.
【详解】 ，当 共线时得 ，
所以“ ”是“ 共线”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基
础题.
4.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织
几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5
尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 50 尺，
则至少需要
A. 7 天 B. 8 天 C. 9 天 D. 10 天
【答案】C
【解析】
【分析】
设所需天数为 n 天，第一天 3 为 尺，先由等比数列前 n 项和公式求出 ，在利用前 n 项和
，便可求出天数 n 的最小值．
【详解】设该女子所需天数至少为 n 天，第一天织布 尺，
由题意得： ，
解得 ，
(1, ), ( ,4)a k b k= = 2k = − ,a b
,a b k
(1, ), ( ,4)a k b k= = ,a b 2 4, 2k k= = ±
2k = − ,a b
1a 1a
n 50S ≥
1a
( )5
5
1 2
51 2S
−
= =−
1
5
31a = ，
解得 ， ，
所以要织布的总尺数不少于 50 尺，该女子所需天数至少为 9 天，
故选 C.
【点睛】本题考查等比数列的前 n 项和，直接两次利用等比数列前 n 项和公式便可得到答
案．
5.设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.
【详解】长方体的长、宽、高分别为 ，
则其对角线长为 ，
又长方体的顶点都在一个球面上，
所求的球半径 ，
所以表面积为 .
故选：B.
【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，
属于基础题.
6.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）
( )5 1 231 501 2
n
nS
−
= ≥−
2 311n ≥ 9 82 =512,2 =256
3 2a a a、 、
23 aπ 26 aπ 212 aπ 224 aπ
3 2a a a、 、
2 2 23 2 6a a a a+ + =
6
2
aR =
2 24 6R aπ π=A. 70 B. 75 C. 66 D. 68
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解.
【详解】依题意该班历史平均数估计为
.
故选：D.
【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，
属于基础题.
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得 ，结合条件可得
所求结果．
【 详 解 】 由 题 意 得
，
故选 A．
【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所
求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．
30 0.1 50 0.2 70 0.4 90 0.3 68× + × + × + × =
tan 3α = πcos 22
α − =
3
5
3
10
3
4
3 10
10
2 2 2
π 2 2cos 2 2 22 1
sin cos tansin sin cos sin cos tan
α α αα α α α α α α
− = = = = + +
2 2 2 2
π 2 2 2 3 6 3cos 2 2 22 1 3 1 10 5
sin cos tansin sin cos sin cos tan
α α αα α α α α α α
× − = = = = = = = + + + 8.圆 上的点到直线 的距离最大值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得圆心到直线 的距离为 ，再结合圆的性质，即可得到最大距离为 ，
即可求解，得到答案.
【详解】由题意，圆 ，可得圆心坐标 ，半径为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆 上的点到直线 的距离最大值是 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关
系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基
础题.
9.在区间 上随机取一个 ，则 的值介于 与 之间的概率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求解正弦不等式 在区间 上的解集，结合几何概型的概率计算公式即
可容易求得.
【详解】因为 ，
2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2x y− =
1 2+ 21 2
+ 1 2 2+
2x y− = 2d = 1d +
2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = (1,1)O 1r =
(1,1)O 2x y− = 1 1 2 2
2
d
− −= =
2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2x y− = 1 2 1d + = +
,2 2
π π − x sin x 1
2
− 1
2
2
π
1
3
1
2
2
3
sin1 1
2 2x >
1c = 1
2
c
a
=
2a = 2 2 2 3b a c= − =
2
4
y 2
3
x 1=
1 2 2 4PF PF a+ = = 1 2 1PF PF− =
1
5
2PF = 2
3
2PF = 1 2 2 2F F c= =
2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
25 9 4 34 4cos 5 32 52 2 2
PF PF F FF PF PF PF
+ −+ −∠ = = =
× ×
1 2cos F PF∠ 3
5
=
ABCD ABE△ 2AE BE= =
ABCD ⊥ ABE（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知可证 平面 ，得到 ，再由 长度关系，得到
，进而有 平面 ，即可证明结论；
（2）取 中点 ，连接 ，根据已知可证 平面 ，利用 ，
即可求解
【详解】（1） 四边形 是正方形， .
又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，而 平面 .
∴ .又 ，
而 ， 平面 ，
平面 ，而 平面 ，
平面 平面 .
（2）如图，取 中点 ，连接 .
是等腰三角形， .
又 平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面
平面 ，即 是三棱锥 的高.
又
.
ADE ⊥ BCE
D ACE−
2
3
AD ⊥ ABE AD BE⊥ , ,AE BE AB
AE BE⊥ BE⊥ ADE
AB O OE OE ⊥ ABCD D ACE E ACDV V− −=
ABCD AD AB∴ ⊥
ABCD ⊥ ABE ABCD ABE AB=
AD ⊂ ABCD AD∴ ⊥ ABE BE ⊂ ABE
AD BE⊥ 2,AE BE= = 2AB =
2 2 2 ,AB AE BE AE BE∴ = + ∴ ⊥
AD AE A∩ = AD AE ⊂、 ADE
BE∴ ⊥ ADE BE ⊂ BCE
∴ ADE ⊥ BCE
AB O OE
ABE OE AB∴ ⊥
ABCD ⊥ ABE
ABCD ABE AB= OE ⊂ ABE
OE∴ ⊥ ABCD OE D ACE−
2, 2AE BE AB= = = 1OE∴ =
1 2
3 3D ACE E ACD ACDV V OE S− −∴ = = ⋅ ⋅ =
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直、求椎体的体积，空间垂直关
系的相互转化是解题的关键，属于中档题.
21.设 实数，函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）求 在 上的极大值与极小值.
【答案】（1）单调区间有 ；（2）当 时， 的极大值是
，极小值是 ；当 时， 无极值；当 时， 的极大值
是 ，极小值是 .
【解析】
【分析】
（1）当 时，求出 ，求解 ，即可得出结论；
（2）求出 ，进而得到 的根，按照根的大小对 分类讨论，求出单调区间，即
可求解.
【详解】（1）当 时，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减.
所以 的单调区间有 ；
为a 3 21 1( ) ( 1) ( )3 2f x x a x ax x R= − − − ∈
1a = ( )f x
( )f x R
( , 1),(1, ),( 1,1)−∞ − +∞ − 1a < − ( )f x
3 21 1
6 2a a− − 1 1
2 6a + 1a = − ( )f x 1a > − ( )f x
1 1
2 6a + 3 21 1
6 2a a− −
1a = ( ),f x f x′( ) 0f x f x′( ) > 0, ′( ) <
( )f x′ ( ) 0f x′ = a
1a = 31( ) 3f x x x= −
2 1 0 1f x x x= −′ =) ∴( = ±
( , 1)x∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( , 1)−∞ −
(1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞
( 1,1)x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1,1)−
( )f x ( , 1),(1, ),( 1,1)−∞ − +∞ −（2）
或 ，
当 时，
所以 在 上单调递增，所以 在 上无极值.
当 时，随 的变化 变化如下：
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以 的极大值是 ，
极小值是 ；
当 时，随 的变化 变化如下：
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以 的极小值是 ，
极大值是 .
综上，当 时， 的极大值是 ，
极小值是 ；
当 时， 无极值；
2 ( 1) ( 1)( ) 0x a xf x a x x a′( ) = − − − = + − =
1x∴ = − x a=
1a = − 2( 1) 0xf x = +′( )
( )f x ( , )−∞ +∞ ( )f x R
1a < − x , ( )f x f x′( )
x ( , )a−∞ a ( , 1)a − 1− ( 1, )− +∞
( )f x′
( )f x
( )f x 3 21( ) 6
1
2f a a a−= −
1 1( 1) 2 6f a− = +
1a > − x , ( )f x f x′( )
x ( , 1)−∞ − 1− ( 1, )a− a ( , )a +∞
( )f x′
( )f x
( )f x 3 21( ) 6
1
2f a a a−= −
1 1( 1) 2 6f a− = +
1a < − ( )f x 3 21 1
6 2a a− −
1 1
2 6a +
1a = − ( )f x当 时， 的极大值是 ，
极小值是 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、
数学计算能力，属于中档题.
（二）选考题（共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按
所做的第一题记分）
22.在极坐标系中,过曲线 外的一点 (其中
， 为锐角)作平行于 的直线 与曲线分别交于 ．
(Ⅰ) 写出曲线 和直线 的普通方程(以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建系)；
（Ⅱ）若 成等比数列,求 的值．
【答案】(Ⅰ) 曲线 L 和直线 的普通方程分别为 ，
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.
（Ⅱ）写出直线 的参数方程,代入曲线 L 的普通方程得 ,利用
韦达定理以及题设条件化简得到 的值．
【详解】(Ⅰ)由 两边同乘以 得到
所以曲线 L 的普通方程为
由 ， 为锐角，得
所以 的直角坐标为 ，即
因为直线 平行于直线 ，所以直线 的斜率为 1
即直线 的方程为
1a > − ( )f x 1 1
2 6a +
3 21 1
6 2a a− −
2: sin 2 cos ( 0)L a ar q q= > (2 5, )A p q+
tan 2θ = θ ( )4 R
πθ ρ= ∈ l ,B C
L l x
| |,| |,| |AB BC AC a
l 2 2y ax= = 2y x -
1a =
l 2 2 2(4 ) 8(4 ) 0t a t a− + + + =
a
2sin 2 cosaρ θ θ= ρ 2( sin ) 2 ( cos )aρ θ ρ θ=
2 2y ax=
tan 2θ = θ 2 1sin ,cos
5 5
θ θ= =
(2 5, )A p q+ 2 5 cos( ) 2, 2 5 sin( ) 4x yπ θ π θ= + = − = + = −
( 2, 4)A − −
l ( )4
πθ ρ= ∈R l
l 4 2 = 2y x y x+ = + ⇒ −所以曲线 L 和直线 的普通方程分别为 ，
（Ⅱ）直线 的参数方程为 ( 为参数),代入 得到
,则有
因为 ,所以
即
解得
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，
属于中档题．
23.设函数 .
（1）当 时，求函数 的定义域；
（2）若函数 的定义域为 ，试求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
分析】
（1）令 ，在同一坐标系中作出函数 和 的图
象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；
（2）由题意转化为 ，由（1）求得 ，即可求解．
【详解】（1）由题意，令 ，
在同一坐标系中作出函数 和 的图象，如图所示，
结合图象可得，不等式的解集为 ，
函数 的定义域为 .
（2）由题设知，当 时，恒有 ，即 ，
又由（1）知 ，∴ ，即 .
【
l 2 2y ax= = 2y x -
22 2{
24 2
x t
y t
= − +
= − +
t 2 2y ax=
2 2 2(4 ) 8(4 ) 0t a t a− + + + = 1 2 1 22 2(4 ), 8(4 )t t a t t a+ = + ⋅ = +
2| |BC AB AC= ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 24t t t t t t t t− = + − ⋅ = ⋅
2
2 2(4 ) 32(4 ) 8(4 )a a a + − + = +
1a =
( ) | 1| | 2 |f x x x a= + + − +
5a = − ( )f x
( )f x R a
( , 2] [3, )−∞ − ∪ +∞ 3a −
| 1| | 2 | 5 0x x+ + − − ≥ | 1| | 2 |y x x= + + − 5y =
| 1| | 2 |x x a+ + − ≥ − | 1| | 2 | 3x x+ + − ≥
| 1| | 2 | 5 0x x+ + − − ≥
| 1| | 2 |y x x= + + − 5y =
( , 2] [3, )−∞ − ∪ +∞
( )f x ( , 2] [3, )−∞ − ∪ +∞
x∈R | 1| | 2 | 0x x a+ + − + ≥ | 1| | 2 |x x a+ + − ≥ −
| 1| | 2 | 3x x+ + − ≥ 3a− ≤ 3a ≥ −【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转
化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，
以及推理与运算能力，属于基础题．
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