2019 年 3 月高三调研考试数学（理科）试卷
总分：150 分时量：120 分钟
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每个小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集 则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解二次不等式求出集合 M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．
【详解】∵全集 U=R，M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，
∴∁UM={x|x≤0 或 x≥2}，
故选 C．
【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算
的定义是解答的关键．
2.已知是 虚数单位， 是 的共轭复数，若 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得： ，
则 ，据此可得， 的虚部为 .
本题选择 A 选项.
3.某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生
的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如图柱状图：
,U R= 2{ | 2 }M x x x= − ≥ UC M =
{ | 2 0}x x− < < { | 2 0}x x− ≤ ≤
{ | 2 0}x x x< − >或 { | 2 0}x x x≤ − ≥或
i z z 1 i(1 i) 1 iz
−+ = + z
1
2
1
2
− 1 i2
1 i2
−
( )2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 21
i iz ii ii
− −= = = − = − −
+
1 1
2 2z i= − + z 1
2则下列结论正确的是（ ）
A. 与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少
B. 与 2015 年相比，2018 二本达线人数增加了 0.5 倍
C. 2015 年与 2018 年艺体达线人数相同
D. 与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加
【答案】D
【解析】
【分析】
设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为 .
观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.
【详解】设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为 .
对于选项 A.2015 年一本达线人数为 .2018 年一本达线人数为 ，可
见一本达线人数增加了，故选项 A 错误；
对于选项 B，2015 年二本达线人数为 ，2018 年二本达线人数为 ，显
然 2018 年二本达线人数不 增加了 0.5 倍，故选项 B 错误；
对于选项 C，2015 年和 2018 年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项 C 错误；
对于选项 D，2015 年不上线人数为 .2018 年不上线人数为 .不达线
人数有所增加.故选 D.
【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利
用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
是
S 1.5S
S 1.5S
0.28S 0.24 1.5 0.36S S× =
0.32S 0.4 1.5 0.6S S× =
0.32S 0.28 1.5 0.42S S× =4.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，其一条渐近线方程为 ，点
在该双曲线上，则 =( )
A. B. C. 0 D. 4
【答案】C
【解析】
由题知 ，故 ，
∴ ，故选择 C．
5.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，
介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三
角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图
形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设
，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）
的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．
【 详 解 】 在 中 ， ， ， ， 由 余 弦 定 理 ， 得
2 2
2 1( 0)2
x y bb
− = > 1 2,F F y x=
0( 3, )P y 1 2PF PF⋅
12− 2−
1 2 ( 2 3, 1) (2 3, 1) 3 4 1 0PF PF⋅ = − − ± ⋅ − ± = − + =
2 2DF AF= =
4
13
2 13
13
9
26
3 13
26
ABD∆ 3AD = 1BD = 120ADB∠ = °，
所以 .
所以所求概率为 .
故选 A.
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
6.已知函数 （ ， ）的最小正周期为 ，且其图象向左平移
个单位后，得到函数 的图象，则函数 的图象（ ）
A. 关于直线 对称 B. 关于直线 对称
C. 关于点 对称 D. 关于点 对称
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意 ，平移后为 ，
，关于 对称.
考点：三角函数图象与性质.
7.设函数 为函数 的导函数，则函数 的图像大致为（ ）
A. B.
2 2 2 cos120 13AB AD BD AD BD= + − ⋅ ° =
2
13
DF
AB
=
22 4= 1313
DEF
ABC
S
S
∆
∆
=
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0>ω | | 2
πω < π
3
π ( ) cosg x xω= ( )f x
12x
π= 5
12x
π=
( ,0)12
π 5( ,0)12
π
( ) ( )2, sin 2f x xω ϕ= = + 2sin 2 cos2 ,3 6x x
π πϕ ϕ + + = = −
( ) sin 2 6f x x
π = − ,012
π
( )f x′ ( ) sinf x x x= ( )f x′C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析： ，可得 是奇函数，排除 C，当 时， ，
排除 A、D，故选 B.
考点：函数求导.
【方法点晴】作为选择题，不一定要像解答题那样正面解答，排除法不失为一种简单的方
法．首先从函数的奇偶性可以 C，其次采用特殊值的方式对 进行赋值，最好是特殊角，可求
三角函数值， 是比较好值，由此得出函数值小于 ，故排除 A，C，这样答案就确定了，
本题难度中等．
8.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图可知,上面是半径为 的半球,体积为 ,下
( ) sin cosf x x x x′ = + ' ( )f x ' ( ) 0f x <
0
1 2
3 3
π+ 1 2
3 3
π+
1 2
3 6
π+ 21 6
π+
2
2
3
1
1 4 2 2
2 3 2 6V π π= × × =（ ）面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积 ,故选 C.
【考点】根据三视图求几何体的体积
【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体 体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，
综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.
9.在二项式 的展开式中，其常数项是 15.如下图所示，阴影部分是由曲线 和
圆 及 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得 a，然后利用定积分求阴影部分的面积．
【详解】（x2+ ）6 展开式中，由通项公式可得 ,
令 12﹣3r＝0，可得 r＝4,即常数项为 ，可得 ＝15，解得 a＝2．
曲线 y＝x2 和圆 x2+y2＝2 的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为 ．
故选 B
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
10.如下图，在正方体 中，点 分别为棱 ， 的中点，点 为上
的
2
1 11 13 3V = × × =
2 6( )2
ax x
+ 2y x=
2 2x y a+ = x
1
4 6
π + 1
4 6
π −
4
π 1
6
a
2x
12 2
r 1 6 2
r
r r raT C x x− −
+
=
4
4
6 2
aC
4
4
6 2
aC
( )1
2 2 3 1
0
0
1 1 1- x-x |4 4 2 3 4 6dx x x
π π π = − − = − ∫
1 1 1 1ABCD A B C D− E F、 1BB 1CC O底面的中心，过 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 的部分为 ，不含
的部分为 ，连接 和 的任一点 ，设 与平面 所成角为 ，则 的最
大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 EF，可证平行四边形 EFGH 为截面，由题意可找到 与平面 所成的角，进
而得到 sinα 的最大值.
【详解】连接 EF，因为 EF//面 ABCD,所以过 EFO 的平面与平面 ABCD 的交线一定是过点 O
且与 EF 平行的直线，过点 O 作 GH//BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH//EF,连接 EH，
FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 为 ，三棱柱 EBH-FCG 为
，设 M 点为 的任一点，过 M 点作底面 的垂线，垂足为 N，连接 ,则
即为 与平面 所成的角，所以 =α，因为 sinα= ,要使 α 的正弦最大，
必须 MN 最大， 最小，当点 M 与点 H 重合时符合题意，故 sinα 的最大值为
= ,
故选 B
E F O、 、 1A 1V 1A
2V 1A 2V M 1A M 1111 DCBA α sinα
2
2
2 5
5
2 6
5
2 6
6
1A M 1111 DCBA
1 1 1 1A B EHA D C FGD− 1V
2V 2V 1111 DCBA 1A N 1MAN∠
1A M 1111 DCBA 1MAN∠
1
MN
A M
1A M
1 1
=MN HN
A M A H
2 5
5【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
11.设是定义在 上的偶函数，且 时，当 时，
，若 在区间内关于 的方程 且
有且只有 4 个不同的根，则实数 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由偶函数得 ，从而可得 是周期函数，且周期为 4，这样
可作出函数 的图象，再作 的图象，只能有 ，它们在 内有
四个交点。由此可得不等关系式 ，从而得解。
【详解】∵ 是偶函数，∴ ，
∴对于任意的 ，都有 ，
所以 ，所以函数 是一个周期函数，
且 ，
又因为当 时， ，且函数 是定义在 R 上的偶函数，
若在区间 内关于 的方程 恰有 4 个不同的实数解，
则函数 与 在区间 上有四个不同的交点，作函数
R ( 2) (2 )f x f x+ = − [ 2,0]x∈ −
( ) 2( ) 12
xf x = − ( )2,6− x ( ) log ( 2) 0( 0af x x a− + = > 1)a ≠
a
(1 ,14 ) (1,4) (1,8) (8, )+∞
( 2) (2 ) ( 2)f x f x f x+ = − = − ( )f x
( )y f x= log ( 2)ay x= + 1a > ( )2,6−
log 8 1a
<
( )f x (2 ) ( 2)f x f x− = −
x∈R ( ) ( )2 2f x f x− = +
( ) ( )] [( ) ( )4 2 2 2 2f x f x f x f x + = + + = + − = ( )f x
4T =
[ ]2 0x∈ − ， ( ) 2( ) 12
xf x = − ( )f x
( )2,6− x ( ) ( )log 2 0af x x− + =
( )y f x= ( )( )log 2 1ay x a= + > ( )2,6− y =和 的图象，只能如下图所示：
又 ，则对于函数 ，由题意可得，当 时的函数
值小于 1，即 ，由此解得 ，所以 的范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点与方程根的分布问题，解题关键是把问题转化为函数图象的交
点个数，利用数形结合思想求解。
12.如图， 是坐标原点，过 的直线分别交抛物线 于 、 两点，
直线 与过点 平行于 轴的直线相交于点 ，过点 与此抛物线相切的直线与直线
相交于点 .则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
过 E（p，0）的直线分别交抛物线 y2＝2px（p＞0）于 A、B 两点，不妨设直线 AB 为 x＝p，分
别求出 M，N 的坐标，即可求出答案．
【详解】过E（p，0）的直线分别交抛物线 y2＝2px（p＞0）于 A、B，两点为任意的，不妨设
直线 AB 为 x＝p，由 ，解得 y＝± ，
则 A（p，﹣ ），B（p， ），
( )f x log ( 2)ay x= +
( ) ( ) ( )2 2 6 1f f f− = = = ( )log 2ay x= + 6x =
log 8 1a
< 8a > a ( )8 + ∞，
O ( ,0)E p 2 2 ( 0)y px p= > A B
BO A x M M
x p= N 2 2| |ME NE− =
2p 2p 22p 24p
2y 2px
x p
=
= 2p
2p 2p∵直线 BM 的方程为 y＝ x，直线 AM 的方程为 y＝- x，
解得 M（﹣p，﹣ ），∴|ME|2＝（2p）2+2p2＝6p2，
设过点 M 与此抛物线相切的直线为 y+ ＝k（x+p），
由 ，消 x 整理可得 ky2﹣2py﹣2 +2p2k＝0，
∴△＝4p2﹣4k（﹣2 +2p2k）＝0，
解得 k＝ ，
∴过点 M 与此抛物线相切的直线为 y+ p＝ （x+p），
由 ，解得 N（p，2p），
∴|NE|2＝4p2，
∴|ME|2﹣|NE|2＝6p2﹣4p2＝2p2，
故选 C．
【点睛】本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13.若实数 满足不等式组 则 的最小值为______．
【答案】-13
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数 z＝2x+y 对应的
直线进行平移，可得当 x＝y＝1 时，z＝2x+y 取得最小值．
2 2
2p
2p
( )
2y 2
y+ 2 =k
px
p x p
= +
2p
2p
2+ 2
2
2 2+ 2
2
( )2+ 2y+ 2 = 2
x p
p x p
= +
x y，
3 5 0
2 4 0
2 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
+ ≥
，
，
，
z x y= +【详解】作出不等式组 表示的平面区域：
得到如图的阴影部分，由 解得 B（﹣11，﹣2）设 z＝F（x，y）＝x+y，将直
线 l：z＝x+y 进行平移，
当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值，
∴z 最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．
故答案为﹣13
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组
表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
14.平面向量 ， ， （ R），且 与 的夹角等于 与 的夹
角，则 .
【答案】2
【解析】
试题分析： ， 与 的夹角等于 与 的夹角，
所以
考点：向量的坐标运算与向量夹角
15.甲袋中装有 3 个白球和 5 个黑球，乙袋中装有 4 个白球和 6 个黑球，现从甲袋中随机取出
一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没
3 5 0
2 4 0
2 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
+ ≥
y 2
3 5 0x y
= −
− + =
(1,2)a = (4,2)b = c ma b= + m∈ c a c b
m =
( ) ( ) ( )1,2 4,2 4,2 2c ma b m m m= + = + = + + c a c b
· · 4 4 4 4 16 4 4 2
5 20
a c b c m m m m ma c b c
+ + + + + += ∴ = ∴ =
有减少的概率为____．
【答案】
【解析】
【分析】
甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，此时不论从乙袋中取何种
球放回甲袋，甲袋中的白球不会减少，另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，
并由乙袋取白球放入甲．
【详解】甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件 E，
此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋，甲袋中的白球不会减少，
另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，此事件用 F1 表示，
并由乙袋取白球放入甲，用 F2 表示，令 F＝F1F2．则所求事件为 E∪F，且 E 与 F 互斥，
显然 P（E）＝ ，
下面计算 P（F），记 F1 为由甲袋取出白球（不放入乙袋），F2 为当乙袋内有 5 个白球，6 个黑
球时取出一球为白球，则显然有 P（F1F2）＝P（F1′F2′）．而 F1′与 F2′独立，故 P
（F1′F2′）＝ ．∴P（E∪F）＝P（E）+P（F）＝ + ＝
故答案为 ．
【点睛】本题关键是看清题意，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指
两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．
16.已知 的三边分别为 所对的角分别为 ，且三边满足 ，
已知 的外接圆的面积为 ，设 .则 的取值范围
为______，函数 的最大值的取值范围为_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
化简已知等式结合余弦定理可得角 B,然后利用基本不等式可得 a+c 的范围，再利用配方可得
函数 f(x)的最大值，由 a+c 的范围即得 f(x)最大值的范围.
35
44
5
8
3 5
8 11
⋅ 5
8
3 5
8 11
⋅ 35
44
35
44
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 1c a
a b b c
+ =+ +
ABC∆ 3π ( ) cos2 4( )sin 1f x x a c x= + + + a c+
( )f x
(3,6] (12,24]【详解】由 ，可知 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
化简得 ,由余弦定理可得 cosB= ,又 B∈(0,π),B= ,
因为 ,解得 R= ,
由 ,解得 b=3,
由余弦定理得 ，
由基本不等式可得 ，解得 a+c≤6,根据两边之和大于第三边可得
a+c>3,即 a+c 得取值范围是 ；
=- +4（a+c）sinx+2=-2
又-1≤sinx≤1,可知 sinx=1 时，函数 f(x)的最大值为 4（a+c）,
函数 的最大值的取值范围为
故答案为(1) (2)
【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最值，考查分析与推理和计算能
力.
三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
（一）必考题：共 60 分
17.在数列 中， ， ，前 项之和为 .
（1）若 是等差数列，且 ，求 的值；
（2）对任意 有： ，且 .试证明：数列 是等比数列.
【答案】（1） （2）见证明
【解析】
【分析】
的
1c a
a b b c
+ =+ +
2 2 2ac a c b= + − 1
2 3
π
2 3Rπ π= 3
2 2 3sin 3
2
b b RB
= = =
( )22 2 9= 2 9ac a c a c ac= + − + − −
( ) ( )2 239=3 4a c ac a c+ − ≤ +
( ]3,6
( ) ( )cos2 4 sin 1f x x a c x= + + +
22sin x [ ] ( )2 2sin ( ) 2 2x a c a c− + + + +
( )f x ( ]12,24
( ]3,6 ( ]12,24
{ }na 1 1a = 2a b= n nS
{ }na 8 22a = b
*n N∈ 2 4n
n
a
a
+ = 10 102 1S a= − { }na
4b =（1）由等差数列的通项公式计算即可；（2）由已知可得数列 的奇数项和偶数项分别成
等比数列，利用等比数列的前 n 项和公式计算可得数列的通项，从而可得到证明.
【详解】解：（1）设 的公差为 ，则由已知可得：
解得 ∴
（2）由 得：数列 的奇数项和偶数项依次均构成等比数列，
由已知 ，得 . 解得
∴
∴
即 是首项为 1，公比为 2 的等比数列.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的
应用，属于基础题.
18.某单位为促进职工业务技能提升，对该单位 120 名职工进行一次业务技能测试，测试项目
共 5 项.现从中随机抽取了 10 名职工 测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表
（表 1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）.
表 1：
编号\测试项目 1 2 3 4 5
1 × √ √ √ √
2 √ √ √ √ ×
3 √ √ √ √ ×
4 √ √ √ × ×
5 √ √ √ √ √
6 √ × × √ ×
的
{ }na
{ }na d 1
1
1
7 22
a
a d
=
+ =
3d = 4b =
2 4n
n
a
a
+ = { }na
10 102 1S a= − ( )55
44 14 1 2 4 13 3
b
b
−− + = ⋅ − 2b =
( )2 1 11
2 1 24 2 , nn
n na a− −−
− = = 1 2 12 4 2n n− −= ⋅ =
12n
na −=
{ }na7 × √ √ √ ×
8 √ × × × ×
9 √ √ × × ×
10 √ √ √ √ ×
规定：每项测试合格得 5 分，不合格得 0 分.
（1）以抽取的这 10 名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.
①设抽取的这 10 名职工中，每名职工测试合格的项数为 ，根据上面的测试结果统计表，列
出 的分布列，并估计这 120 名职工的平均得分；
②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有 5 名职工，求这 5 名职工中至少有 4 人
得分不少于 20 分的概率；
（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为 ，其中 为第 项测试难度， 为第
项合格的人数， 为参加测试的总人数.已知抽取的这 10 名职工每项测试合格人数及相应的
实测难度如下表（表 2）：
表 2：
测试项目 1 2 3 4 5
实测合格人数 8 8 7 7 2
定义统计量 ，其中 为第 项的实测难度，
为第 项的预测难度（ ）.规定：若 ，则称该次测试的难度预测合理，
否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表 3）所示：
表 3：
测试项目 1 2 3 4 5
预测前预估难
度
0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
X
X
i
i
RN z
= iN i iR i
Z
2 2 2
1 2 2 2
1 [( ) ( ) ( ) ]n nS N N N N N Nn
= − + − − ′+′ +′ iN i
iN′ i 1, 2, ,i n= 0.05S ≤判断本次测试的难度预估是否合理.
【答案】（1）①分布列见解析，平均得分为 ；② ；（2）合理.
【解析】
【分析】
（1）① 可取 ，由表格中数据，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概
率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望，由 的值可得平均分；②
由①知 ，由互斥事件的概率公式以及独
立事件的概率公式可得结果；（2）直接利用方差公式求出方差，与 比较大小即可得结果.
【详解】（1）①根据上面的测试结果统计表，得 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
0 0.1 0.2 0.2 0.4 0.1
所以 的数学期望 .
所以估计这 12 名职工的平均得分为 .
②“得分不小于 20 分”即“ ”，
由①知 .
设该科室 5 名职工中得分不小于 20 分的人数为 ，则 .
所以 ，
即这 5 名职工中至少有 4 人得分不小于 20 分的概率为 .
（2）由题意知
该次测试的难度预估是合理的.
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机
变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准
16 3
16
X 01 2 3 4 5，，，，，
X ( )5E X
( ) ( ) ( )4 4 5 0.4 0.1 0.5P X P X P X≥ = = + = = + =
0.05
X
X
P
X ( ) 1 0.1 2 0.2 3 0.2 4 0.4 5 0.1 3.2E X = × = × + × + × + × =
( )5 3.2 5 16E X = × =
4X ≥
( ) ( ) ( )4 4 5 0.4 0.1 0.5P X P X P X≥ = = + = = + =
ξ ( )5,0.5Bξ ∼
( ) ( ) ( ) 4 5
4 5
5 5
1 1 1 34 4 5 2 2 2 16P P P C Cξ ξ ξ ≥ = = + = = × + =
3
16
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 0.8 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.2 0.4 0.012 0.055S = − + − + − + − + − = > 10 4a< <
a 2
1 1 ,4 2e
+ +∞
3 25 (4
5
x t
t
y t
= − +
=
3
2
2 2( )2 4
a ax y+ − = 4 3 8 0x y+ − =
32a = 32
11a =
t
sinaρ θ= 2 sinaρ ρ θ=
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2x y ay+ =
2
2 2( )2 4
a ax y+ − =由直线 l 的参数方程为 为参数），可得 为参数），
两式相除，化简得直线 l 的普通方程为 .
（2）由（1）得圆 C： ，直线 l： ，
因为直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍，
所以圆心 C 到直线 l 的距离 ，解得 或 .
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，
以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，
结合直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
题.
23.已知关于 x 的不等式|x－3|＋|x－5|≤m 的解集不是空集，记 m 的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）已知 a＞0，b＞0，c＝max { ， }，求证：c≥1．
注：max A 表示数集 A 中的最大数．
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
分析】
（1）根据绝对值三角不等式求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值即可求出 t；（2）由（1）得：
根据基本不等式的性质求出即可．
【详解】解：（1）因为 .
当 时取等号，故 ，即 .
（2）由（1）知 ，则 ，
【
3 25 (4
5
x t
t
y t
= − +
=
32 5 (4
5
x t
t
y t
− = −
=
4 3 8 0x y+ − =
2
2 2( )2 4
a ax y+ − = 4 3 8 0x y+ − =
3
2 2
3 8 12
2 24 3
a
ad
−
= = ×
+
32a = 32
11a =
t
t
1
a
2 2a b
tb
+
2t =
c =
2 21 , a b
a tb
+
( ) ( )3 5 3 5 2x x x x− + − ≥ − − − =
3 5x≤ ≤ 2m ≥ 2t =
2 21max , 2
a bc a b
+=
2 2 2 2
2 1 12 2
a b a bc a b ab
+ +≥ ⋅ = ≥等号当且仅当 ， 即 时成立.
∵ ，∴ .
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．
2 21 12
a b
a b
+= = 1a b= =
0c > 2 1c ≥
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