陕西省渭南市韩城市2019届高三数学(理)3月调研试题(Word版附解析)
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陕西省渭南市韩城市2019届高三数学(理)3月调研试题(Word版附解析)

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资料简介
2019 年 3 月高三调研考试数学(理科)试卷 总分:150 分时量:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每个小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 则 ( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解二次不等式求出集合 M,进而根据集合补集运算的定义,可得答案. 【详解】∵全集 U=R,M={x|x2<2x}={x|0<x<2}, ∴∁UM={x|x≤0 或 x≥2}, 故选 C. 【点睛】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,熟练掌握并正确理解集合运算 的定义是解答的关键. 2.已知是 虚数单位, 是 的共轭复数,若 ,则 的虚部为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可得: , 则 ,据此可得, 的虚部为 . 本题选择 A 选项. 3.某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍,为了更好地对比该校考生 的升学情况,统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况,得到如图柱状图: ,U R= 2{ | 2 }M x x x= − ≥ UC M = { | 2 0}x x− < < { | 2 0}x x− ≤ ≤ { | 2 0}x x x< − >或 { | 2 0}x x x≤ − ≥或 i z z 1 i(1 i) 1 iz −+ = + z 1 2 1 2 − 1 i2 1 i2 − ( )2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 21 i iz ii ii − −= = = − = − − + 1 1 2 2z i= − + z 1 2则下列结论正确的是( ) A. 与 2015 年相比,2018 年一本达线人数减少 B. 与 2015 年相比,2018 二本达线人数增加了 0.5 倍 C. 2015 年与 2018 年艺体达线人数相同 D. 与 2015 年相比,2018 年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2015 年该校参加高考的人数为 ,则 2018 年该校参加高考的人数为 . 观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设 2015 年该校参加高考的人数为 ,则 2018 年该校参加高考的人数为 . 对于选项 A.2015 年一本达线人数为 .2018 年一本达线人数为 ,可 见一本达线人数增加了,故选项 A 错误; 对于选项 B,2015 年二本达线人数为 ,2018 年二本达线人数为 ,显 然 2018 年二本达线人数不 增加了 0.5 倍,故选项 B 错误; 对于选项 C,2015 年和 2018 年.艺体达线率没变,但是人数是不相同的,故选项 C 错误; 对于选项 D,2015 年不上线人数为 .2018 年不上线人数为 .不达线 人数有所增加.故选 D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体,观察柱状统计图,找出各数据,再利 用各数量间的关系列式计算是解题的关键. 是 S 1.5S S 1.5S 0.28S 0.24 1.5 0.36S S× = 0.32S 0.4 1.5 0.6S S× = 0.32S 0.28 1.5 0.42S S× =4.已知双曲线 的左右焦点分别为 ,其一条渐近线方程为 ,点 在该双曲线上,则 =( ) A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 由题知 ,故 , ∴ ,故选择 C. 5.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元 222 年,赵爽为《周髀算经》一书作序时, 介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图 形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 ,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分) 的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可. 【 详 解 】 在 中 , , , , 由 余 弦 定 理 , 得 2 2 2 1( 0)2 x y bb − = > 1 2,F F y x= 0( 3, )P y 1 2PF PF⋅  12− 2− 1 2 ( 2 3, 1) (2 3, 1) 3 4 1 0PF PF⋅ = − − ± ⋅ − ± = − + =  2 2DF AF= = 4 13 2 13 13 9 26 3 13 26 ABD∆ 3AD = 1BD = 120ADB∠ = °, 所以 . 所以所求概率为 . 故选 A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题. 6.已知函数 ( , )的最小正周期为 ,且其图象向左平移 个单位后,得到函数 的图象,则函数 的图象( ) A. 关于直线 对称 B. 关于直线 对称 C. 关于点 对称 D. 关于点 对称 【答案】C 【解析】 试题分析:依题意 ,平移后为 , ,关于 对称. 考点:三角函数图象与性质. 7.设函数 为函数 的导函数,则函数 的图像大致为( ) A. B. 2 2 2 cos120 13AB AD BD AD BD= + − ⋅ ° = 2 13 DF AB = 22 4= 1313 DEF ABC S S ∆ ∆   =   ( ) sin( )f x xω ϕ= + 0>ω | | 2 πω < π 3 π ( ) cosg x xω= ( )f x 12x π= 5 12x π= ( ,0)12 π 5( ,0)12 π ( ) ( )2, sin 2f x xω ϕ= = + 2sin 2 cos2 ,3 6x x π πϕ ϕ + + = = −   ( ) sin 2 6f x x π = −   ,012 π     ( )f x′ ( ) sinf x x x= ( )f x′C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析: ,可得 是奇函数,排除 C,当 时, , 排除 A、D,故选 B. 考点:函数求导. 【方法点晴】作为选择题,不一定要像解答题那样正面解答,排除法不失为一种简单的方 法.首先从函数的奇偶性可以 C,其次采用特殊值的方式对 进行赋值,最好是特殊角,可求 三角函数值, 是比较好值,由此得出函数值小于 ,故排除 A,C,这样答案就确定了, 本题难度中等. 8.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示. 则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:由三视图可知,上面是半径为 的半球,体积为 ,下 ( ) sin cosf x x x x′ = + ' ( )f x ' ( ) 0f x < 0 1 2 3 3 π+ 1 2 3 3 π+ 1 2 3 6 π+ 21 6 π+ 2 2 3 1 1 4 2 2 2 3 2 6V π π= × × =( )面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积 ,故选 C. 【考点】根据三视图求几何体的体积 【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体 体积计算,本题涉及正四棱锥及球的体积计算, 综合性较强,较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等. 9.在二项式 的展开式中,其常数项是 15.如下图所示,阴影部分是由曲线 和 圆 及 轴围成的封闭图形,则封闭图形的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 用二项式定理得到中间项系数,解得 a,然后利用定积分求阴影部分的面积. 【详解】(x2+ )6 展开式中,由通项公式可得 , 令 12﹣3r=0,可得 r=4,即常数项为 ,可得 =15,解得 a=2. 曲线 y=x2 和圆 x2+y2=2 的在第一象限的交点为(1,1) 所以阴影部分的面积为 . 故选 B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题. 10.如下图,在正方体 中,点 分别为棱 , 的中点,点 为上 的 2 1 11 13 3V = × × = 2 6( )2 ax x + 2y x= 2 2x y a+ = x 1 4 6 π + 1 4 6 π − 4 π 1 6 a 2x 12 2 r 1 6 2 r r r raT C x x− − +  =    4 4 6 2 aC      4 4 6 2 aC      ( )1 2 2 3 1 0 0 1 1 1- x-x |4 4 2 3 4 6dx x x π π π = − − = −  ∫ 1 1 1 1ABCD A B C D− E F、 1BB 1CC O底面的中心,过 三点的平面把正方体分为两部分,其中含 的部分为 ,不含 的部分为 ,连接 和 的任一点 ,设 与平面 所成角为 ,则 的最 大值为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 EF,可证平行四边形 EFGH 为截面,由题意可找到 与平面 所成的角,进 而得到 sinα 的最大值. 【详解】连接 EF,因为 EF//面 ABCD,所以过 EFO 的平面与平面 ABCD 的交线一定是过点 O 且与 EF 平行的直线,过点 O 作 GH//BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点,则 GH//EF,连接 EH, FG,则平行四边形 EFGH 为截面,则五棱柱 为 ,三棱柱 EBH-FCG 为 ,设 M 点为 的任一点,过 M 点作底面 的垂线,垂足为 N,连接 ,则 即为 与平面 所成的角,所以 =α,因为 sinα= ,要使 α 的正弦最大, 必须 MN 最大, 最小,当点 M 与点 H 重合时符合题意,故 sinα 的最大值为 = , 故选 B E F O、 、 1A 1V 1A 2V 1A 2V M 1A M 1111 DCBA α sinα 2 2 2 5 5 2 6 5 2 6 6 1A M 1111 DCBA 1 1 1 1A B EHA D C FGD− 1V 2V 2V 1111 DCBA 1A N 1MAN∠ 1A M 1111 DCBA 1MAN∠ 1 MN A M 1A M 1 1 =MN HN A M A H 2 5 5【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用,考查线面角的求法,属于中档题. 11.设是定义在 上的偶函数,且 时,当 时, ,若 在区间内关于 的方程 且 有且只有 4 个不同的根,则实数 的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由偶函数得 ,从而可得 是周期函数,且周期为 4,这样 可作出函数 的图象,再作 的图象,只能有 ,它们在 内有 四个交点。由此可得不等关系式 ,从而得解。 【详解】∵ 是偶函数,∴ , ∴对于任意的 ,都有 , 所以 ,所以函数 是一个周期函数, 且 , 又因为当 时, ,且函数 是定义在 R 上的偶函数, 若在区间 内关于 的方程 恰有 4 个不同的实数解, 则函数 与 在区间 上有四个不同的交点,作函数 R ( 2) (2 )f x f x+ = − [ 2,0]x∈ − ( ) 2( ) 12 xf x = − ( )2,6− x ( ) log ( 2) 0( 0af x x a− + = > 1)a ≠ a (1 ,14 ) (1,4) (1,8) (8, )+∞ ( 2) (2 ) ( 2)f x f x f x+ = − = − ( )f x ( )y f x= log ( 2)ay x= + 1a > ( )2,6− log 8 1a < ( )f x (2 ) ( 2)f x f x− = − x∈R ( ) ( )2 2f x f x− = + ( ) ( )] [( ) ( )4 2 2 2 2f x f x f x f x + = + + = + − =  ( )f x 4T = [ ]2 0x∈ − , ( ) 2( ) 12 xf x = − ( )f x ( )2,6− x ( ) ( )log 2 0af x x− + = ( )y f x= ( )( )log 2 1ay x a= + > ( )2,6− y =和 的图象,只能如下图所示: 又 ,则对于函数 ,由题意可得,当 时的函数 值小于 1,即 ,由此解得 ,所以 的范围是 , 故选:D. 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的分布问题,解题关键是把问题转化为函数图象的交 点个数,利用数形结合思想求解。 12.如图, 是坐标原点,过 的直线分别交抛物线 于 、 两点, 直线 与过点 平行于 轴的直线相交于点 ,过点 与此抛物线相切的直线与直线 相交于点 .则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 过 E(p,0)的直线分别交抛物线 y2=2px(p>0)于 A、B 两点,不妨设直线 AB 为 x=p,分 别求出 M,N 的坐标,即可求出答案. 【详解】过E(p,0)的直线分别交抛物线 y2=2px(p>0)于 A、B,两点为任意的,不妨设 直线 AB 为 x=p,由 ,解得 y=± , 则 A(p,﹣ ),B(p, ), ( )f x log ( 2)ay x= + ( ) ( ) ( )2 2 6 1f f f− = = = ( )log 2ay x= + 6x = log 8 1a < 8a > a ( )8 + ∞, O ( ,0)E p 2 2 ( 0)y px p= > A B BO A x M M x p= N 2 2| |ME NE− = 2p 2p 22p 24p 2y 2px x p  =  = 2p 2p 2p∵直线 BM 的方程为 y= x,直线 AM 的方程为 y=- x, 解得 M(﹣p,﹣ ),∴|ME|2=(2p)2+2p2=6p2, 设过点 M 与此抛物线相切的直线为 y+ =k(x+p), 由 ,消 x 整理可得 ky2﹣2py﹣2 +2p2k=0, ∴△=4p2﹣4k(﹣2 +2p2k)=0, 解得 k= , ∴过点 M 与此抛物线相切的直线为 y+ p= (x+p), 由 ,解得 N(p,2p), ∴|NE|2=4p2, ∴|ME|2﹣|NE|2=6p2﹣4p2=2p2, 故选 C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线位置关系,以及直线和直线的交点坐标问题,属于难题. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.若实数 满足不等式组 则 的最小值为______. 【答案】-13 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,再将目标函数 z=2x+y 对应的 直线进行平移,可得当 x=y=1 时,z=2x+y 取得最小值. 2 2 2p 2p ( ) 2y 2 y+ 2 =k px p x p  = + 2p 2p 2+ 2 2 2 2+ 2 2 ( )2+ 2y+ 2 = 2 x p p x p = + x y, 3 5 0 2 4 0 2 0 x y x y y − + ≥  + − ≤  + ≥ , , , z x y= +【详解】作出不等式组 表示的平面区域: 得到如图的阴影部分,由 解得 B(﹣11,﹣2)设 z=F(x,y)=x+y,将直 线 l:z=x+y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最小值, ∴z 最小值=F(﹣11,﹣2)=﹣13. 故答案为﹣13 【点睛】本题给出二元一次不等式组,求目标函数的最小值,着重考查了二元一次不等式组 表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 14.平面向量 , , ( R),且 与 的夹角等于 与 的夹 角,则 . 【答案】2 【解析】 试题分析: , 与 的夹角等于 与 的夹角, 所以 考点:向量的坐标运算与向量夹角 15.甲袋中装有 3 个白球和 5 个黑球,乙袋中装有 4 个白球和 6 个黑球,现从甲袋中随机取出 一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没 3 5 0 2 4 0 2 0 x y x y y − + ≥  + − ≤  + ≥ y 2 3 5 0x y = −  − + = (1,2)a = (4,2)b = c ma b= +   m∈ c a c b m = ( ) ( ) ( )1,2 4,2 4,2 2c ma b m m m= + = + = + +  c a c b · · 4 4 4 4 16 4 4 2 5 20 a c b c m m m m ma c b c + + + + + += ∴ = ∴ =      有减少的概率为____. 【答案】 【解析】 【分析】 甲袋中白球没有减少的两种情形;一是从甲袋中取出的球为黑球,此时不论从乙袋中取何种 球放回甲袋,甲袋中的白球不会减少,另一种情形为从甲袋中取出的球是白球,放入乙袋, 并由乙袋取白球放入甲. 【详解】甲袋中白球没有减少的两种情形;一是从甲袋中取出的球为黑球,记作事件 E, 此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋,甲袋中的白球不会减少, 另一种情形为从甲袋中取出的球是白球,放入乙袋,此事件用 F1 表示, 并由乙袋取白球放入甲,用 F2 表示,令 F=F1F2.则所求事件为 E∪F,且 E 与 F 互斥, 显然 P(E)= , 下面计算 P(F),记 F1 为由甲袋取出白球(不放入乙袋),F2 为当乙袋内有 5 个白球,6 个黑 球时取出一球为白球,则显然有 P(F1F2)=P(F1′F2′).而 F1′与 F2′独立,故 P (F1′F2′)= .∴P(E∪F)=P(E)+P(F)= + = 故答案为 . 【点睛】本题关键是看清题意,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指 两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 16.已知 的三边分别为 所对的角分别为 ,且三边满足 , 已知 的外接圆的面积为 ,设 .则 的取值范围 为______,函数 的最大值的取值范围为_______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 化简已知等式结合余弦定理可得角 B,然后利用基本不等式可得 a+c 的范围,再利用配方可得 函数 f(x)的最大值,由 a+c 的范围即得 f(x)最大值的范围. 35 44 5 8 3 5 8 11 ⋅ 5 8 3 5 8 11 ⋅ 35 44 35 44 ABC∆ , ,a b c , ,A B C 1c a a b b c + =+ + ABC∆ 3π ( ) cos2 4( )sin 1f x x a c x= + + + a c+ ( )f x (3,6] (12,24]【详解】由 ,可知 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 化简得 ,由余弦定理可得 cosB= ,又 B∈(0,π),B= , 因为 ,解得 R= , 由 ,解得 b=3, 由余弦定理得 , 由基本不等式可得 ,解得 a+c≤6,根据两边之和大于第三边可得 a+c>3,即 a+c 得取值范围是 ; =- +4(a+c)sinx+2=-2 又-1≤sinx≤1,可知 sinx=1 时,函数 f(x)的最大值为 4(a+c), 函数 的最大值的取值范围为 故答案为(1) (2) 【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查利用基本不等式求最值,考查分析与推理和计算能 力. 三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) (一)必考题:共 60 分 17.在数列 中, , ,前 项之和为 . (1)若 是等差数列,且 ,求 的值; (2)对任意 有: ,且 .试证明:数列 是等比数列. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 的 1c a a b b c + =+ + 2 2 2ac a c b= + − 1 2 3 π 2 3Rπ π= 3 2 2 3sin 3 2 b b RB = = = ( )22 2 9= 2 9ac a c a c ac= + − + − − ( ) ( )2 239=3 4a c ac a c+ − ≤ + ( ]3,6 ( ) ( )cos2 4 sin 1f x x a c x= + + + 22sin x [ ] ( )2 2sin ( ) 2 2x a c a c− + + + + ( )f x ( ]12,24 ( ]3,6 ( ]12,24 { }na 1 1a = 2a b= n nS { }na 8 22a = b *n N∈ 2 4n n a a + = 10 102 1S a= − { }na 4b =(1)由等差数列的通项公式计算即可;(2)由已知可得数列 的奇数项和偶数项分别成 等比数列,利用等比数列的前 n 项和公式计算可得数列的通项,从而可得到证明. 【详解】解:(1)设 的公差为 ,则由已知可得: 解得 ∴ (2)由 得:数列 的奇数项和偶数项依次均构成等比数列, 由已知 ,得 . 解得 ∴ ∴ 即 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的 应用,属于基础题. 18.某单位为促进职工业务技能提升,对该单位 120 名职工进行一次业务技能测试,测试项目 共 5 项.现从中随机抽取了 10 名职工 测试结果,将它们编号后得到它们的统计结果如下表 (表 1)所示(“√”表示测试合格,“×”表示测试不合格). 表 1: 编号\测试项目 1 2 3 4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 的 { }na { }na d 1 1 1 7 22 a a d =  + = 3d = 4b = 2 4n n a a + = { }na 10 102 1S a= − ( )55 44 14 1 2 4 13 3 b b −− + = ⋅ − 2b = ( )2 1 11 2 1 24 2 , nn n na a− −− − = = 1 2 12 4 2n n− −= ⋅ = 12n na −= { }na7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × 规定:每项测试合格得 5 分,不合格得 0 分. (1)以抽取的这 10 名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率. ①设抽取的这 10 名职工中,每名职工测试合格的项数为 ,根据上面的测试结果统计表,列 出 的分布列,并估计这 120 名职工的平均得分; ②假设各名职工的各项测试结果相互独立,某科室有 5 名职工,求这 5 名职工中至少有 4 人 得分不少于 20 分的概率; (2)已知在测试中,测试难度的计算公式为 ,其中 为第 项测试难度, 为第 项合格的人数, 为参加测试的总人数.已知抽取的这 10 名职工每项测试合格人数及相应的 实测难度如下表(表 2): 表 2: 测试项目 1 2 3 4 5 实测合格人数 8 8 7 7 2 定义统计量 ,其中 为第 项的实测难度, 为第 项的预测难度( ).规定:若 ,则称该次测试的难度预测合理, 否则为不合理,测试前,预估了每个预测项目的难度,如下表(表 3)所示: 表 3: 测试项目 1 2 3 4 5 预测前预估难 度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 X X i i RN z = iN i iR i Z 2 2 2 1 2 2 2 1 [( ) ( ) ( ) ]n nS N N N N N Nn = − + − − ′+′ +′  iN i iN′ i 1, 2, ,i n=  0.05S ≤判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】(1)①分布列见解析,平均得分为 ;② ;(2)合理. 【解析】 【分析】 (1)① 可取 ,由表格中数据,利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概 率,从而可得分布列,进而利用期望公式可得 的数学期望,由 的值可得平均分;② 由①知 ,由互斥事件的概率公式以及独 立事件的概率公式可得结果;(2)直接利用方差公式求出方差,与 比较大小即可得结果. 【详解】(1)①根据上面的测试结果统计表,得 的分布列为: 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.2 0.4 0.1 所以 的数学期望 . 所以估计这 12 名职工的平均得分为 . ②“得分不小于 20 分”即“ ”, 由①知 . 设该科室 5 名职工中得分不小于 20 分的人数为 ,则 . 所以 , 即这 5 名职工中至少有 4 人得分不小于 20 分的概率为 . (2)由题意知 该次测试的难度预估是合理的. 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机 变量的分布列与数学期望,属于中档题. 求解数学期望问题,首先要正确理解题意,其次要准 16 3 16 X 01 2 3 4 5,,,,, X ( )5E X ( ) ( ) ( )4 4 5 0.4 0.1 0.5P X P X P X≥ = = + = = + = 0.05 X X P X ( ) 1 0.1 2 0.2 3 0.2 4 0.4 5 0.1 3.2E X = × = × + × + × + × = ( )5 3.2 5 16E X = × = 4X ≥ ( ) ( ) ( )4 4 5 0.4 0.1 0.5P X P X P X≥ = = + = = + = ξ ( )5,0.5Bξ ∼ ( ) ( ) ( ) 4 5 4 5 5 5 1 1 1 34 4 5 2 2 2 16P P P C Cξ ξ ξ    ≥ = = + = = × + =       3 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 0.8 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.2 0.4 0.012 0.055S  = − + − + − + − + − = > 10 4a< < a 2 1 1 ,4 2e  + +∞  3 25 (4 5 x t t y t  = − +  = 3 2 2 2( )2 4 a ax y+ − = 4 3 8 0x y+ − = 32a = 32 11a = t sinaρ θ= 2 sinaρ ρ θ= cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2x y ay+ = 2 2 2( )2 4 a ax y+ − =由直线 l 的参数方程为 为参数),可得 为参数), 两式相除,化简得直线 l 的普通方程为 . (2)由(1)得圆 C: ,直线 l: , 因为直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍, 所以圆心 C 到直线 l 的距离 ,解得 或 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化, 以及直线与圆的位置关系的应用,其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式, 结合直线与圆的位置关系,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础 题. 23.已知关于 x 的不等式|x-3|+|x-5|≤m 的解集不是空集,记 m 的最小值为 . (1)求 ; (2)已知 a>0,b>0,c=max { , },求证:c≥1. 注:max A 表示数集 A 中的最大数. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 分析】 (1)根据绝对值三角不等式求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值即可求出 t;(2)由(1)得: 根据基本不等式的性质求出即可. 【详解】解:(1)因为 . 当 时取等号,故 ,即 . (2)由(1)知 ,则 , 【 3 25 (4 5 x t t y t  = − +  = 32 5 (4 5 x t t y t  − = −  = 4 3 8 0x y+ − = 2 2 2( )2 4 a ax y+ − = 4 3 8 0x y+ − = 3 2 2 3 8 12 2 24 3 a ad − = = × + 32a = 32 11a = t t 1 a 2 2a b tb + 2t = c = 2 21 , a b a tb  +     ( ) ( )3 5 3 5 2x x x x− + − ≥ − − − = 3 5x≤ ≤ 2m ≥ 2t = 2 21max , 2 a bc a b  +=     2 2 2 2 2 1 12 2 a b a bc a b ab + +≥ ⋅ = ≥等号当且仅当 , 即 时成立. ∵ ,∴ . 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查基本不等式的性质,是一道基础题. 2 21 12 a b a b += = 1a b= = 0c > 2 1c ≥

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