、高密一中、高三年级第一次在线联考
数学试题
本试卷共 6 页，22 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在
答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 非空真子集的个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数 和 的图象，根据图象知集合有 3 个元素，得到答案.
【详解】画出函数 和 的图象，根据图象知集合 有 3 个元素，
故集合 的非空真子集的个数为 .
故选： .
的{ }2| 2 ,xx x x R= ∈
2xy = 2y x=
2xy = 2y x= { }2| 2 ,xx x x R= ∈
{ }2| 2 ,xx x x R= ∈ 32 2 6− =
C【点睛】本题考查了真子集个数，方程的解，画出函数图象是解题的关键.
2.复数 满足 ，则 对应点的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】B
【解析】
【分析】
设复数 ，根据椭圆定义直接得到答案.
【详解】设复数 ，则 ，
根据椭圆定义知 对应点的轨迹为椭圆.
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，意在考查学生对于椭圆基础知识的理解.
3. 展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
z { }2 , , 0z z c z c a z C a c− + + = ∈ > > z
z x yi= +
z x yi= + ( ) ( )2 2 2 2z c z c x c y x c y a c− + + = − + + + + = >
z
B
( ) 6
2 11 x x x
− −
35− 5− 5 35【答案】A
【解析】
【分析】
将二项式 表示为 ，得出其通项，
令 的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.
【详解】 ，
展开式通项为 ，
令 ，得 ，
因此，二项式 展开式中的常数项为 ，故选 A.
【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通
项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.
4.1943 年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病
毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现
实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的
总数 和天数 的函数关系为： ，且该种病毒细胞的个数超过 时会发生变异，则
该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（ ）
A. 25 B. 26 C. 27 D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】
计算 ，得到 ，得到答案.
【 详 解 】 取 ， 故 ， 即
( ) 6
2 11 x x x
− −
( ) 6 6 6
2 21 1 11 x x x x xx x x
− − = − − −
x
( ) 6 6 6
2 21 1 11 x x x x xx x x
− − = − − −
( ) ( )6 2 6 6 2 8 2
6 6 6 6
1 1 1 1
k r
k rk k r r k k r rC x x C x C x C xx x
− − − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
6 2 0
8 2 0
k
r
− =
− =
3
4
k
r
=
=
( ) 6
2 11 x x x
− −
3 4
6 6 35C C− − = −
y t 12ty −= 810
lg 2 0.3010≈
1 812 0ty − == 27.6t ≈
1 812 0ty − == 8
2 21 log 10 8log 10t − = =，
故该种病毒细胞实验最多进行的天数为 .
故选： .
【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔
裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函
数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 f（x） 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据奇偶性的判断可知 f（x） 为偶函数，排除 A，再通过 x 1 进行特值判
断即可得解.
【详解】函数的定义域为{x|x ±1}，
f（﹣x） f（x），则函数 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，
排除 A，
当 x 1 时，f（x） 0 恒成立，排除 B，D，
故选：C.
【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：
2
18log 10 1 8 1 27.6lg 2t
= + = + ≈
27
C
( )
2 1
x xx e e
x
−−
= −
( )
2 1
x xx e e
x
−−
= −
>
≠
( ) ( )
2 21 1
x x x xx e e x e e
x x
− −− − −
= = =− −
> >（1）根据奇偶性判断；
（2）根据特值判断；
（3）根据单调性和趋势判断.
6.当 时，关于 的不等式 的解集是 ，则 取
得最值的充分条件是（ ）
A. 有最大值， B. 有最小值，
C. 有最大值， D. 有最小值，
【答案】C
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，计算 ，根据充分条件的定义得到答案.
【详解】不等式 的解集是 ，故 ， .
，
当 ，即 时等号成立，根据充分条件的定义知 满足.
故选： .
【点睛】本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合
应用能力.
7.若 有零点，值域为 ，则 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
0a < x 2 24 3 0x ax a− + < ( )1 2,x x 1 2
1 2
ab x x x x
= + +
1b ≤ − 4 3b ≥ −
5b ≤ − 4 3
3b ≤ −
1 2 4x x a+ = 2
1 2 3x x a= 4 3
3b ≤ −
2 24 3 0x ax a− + < ( )1 2,x x 1 2 4x x a+ = 2
1 2 3x x a=
1 2
1 2
1 1 4 4 34 4 23 3 3 3
ab x x a ax x a a
= + + = + = − − + ≤ − = − −
14 3a a
− = −
3
6a = − C
C
( ) sin 6f x x
πω = −
( )[0, ], 0x π ω∈ > 2 ,2M
⊆ − +∞
ω
1 4,2 3
4 ,23
1 1,6 3
1 17,6 12
【分析】
根据函数零点和值域得到 ，解得答案.
【 详 解 】 ， 则 ， 有 零 点 ， 值 域 为
，
故 ，解得 .
故选： .
【点睛】本题考查了三角函数值域和零点问题，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.
8.已知数列 的首项 ，函数 为奇函数，记 为数列
的前 项之和，则 的值是（ ）
A. B. 1011 C. 1008 D. 336
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性得到 ，计算知 以 6 为周期循环，计算得到答案.
50 6 4
π πωπ≤ − ≤
[0, ]x π∈ ,6 6 6x
π π πω ωπ − ∈ − −
( )f x
2 ,2M
⊆ − +∞
50 6 4
π πωπ≤ − ≤ 1 17
6 12
ω≤ ≤
D
{ }na 1 1a = ( ) 3
1 cos 3n nf nx ax a
π
+= + − − nS
{ }na n 2020S
2023
2
1 cos 3n n
na a
π
+ − = na【详解】函数 为奇函数，则 ，
即 ， 周期为 .
， ， ， ， ， .
解得 ， ， ， ， ， ， ， 以 6 为周期循环.
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，数列求和，确定 以 6 为周期循环是解题的关键.
二、多项选择题本题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0
分.
9.下列结论正确的有（ ）
A. 若随机变量 ， ，则
B. 若 ，则
C. 已知回归直线方程为 ，且 ， ，则
D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3，3，5，3，6，11，若这组数据
的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 22
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据正态分布对称性知 正确，计算 ， 错误，将 代入回
归直线，计算得到 正确，讨论三种情况得到可能数据的和为 ， 错误，得到答案.
【详解】随机变量 ， ，则 ，
正确；
( ) 3
1 cos 3n nf nx ax a
π
+= + − − ( ) 1 c0 os 03n n
nf a a
π
+= − − =
1 cos 3n n
na a
π
+ − = cos 3
nπ
6
2 1
1
2a a− = 3 2
1
2a a− = − 4 3 1a a− = − 5 4
1
2a a− = − 6 5
1
2a a− = 7 6 1a a− =
1 1a = 2
3
2a = 3 1a = 4 0a = 5
1
2a = − 6 0a = 7 1a = na
( )2020 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4
2023
2336S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + =
A
na
( )2~ 1,Nξ σ ( )4 0.79P ξ ≤ = ( )2 0.21P ξ ≤ − =
1~ 10, 3X B
( )3 2 22D X + =
ˆ 10.8y bx= + 4x = 50y = ˆ 9.8b =
A ( ) ( )3 2 9 20D X D X+ = = B ( ),x y
C 12 D
( )2~ 1,Nξ σ ( )4 0.79P ξ ≤ = ( ) ( )2 1 4 0.21P Pξ ξ≤ − = − ≤ =
A，则 ，故 ， 错误；
将 代入回归直线，计算得到 ， 正确；
设丢失的数据为 ，则平均数为 ，众数为 ，
当 时，中位数为 ，故 ， ；
当 时，中位数为 ，则 ， ；
当 时，中位数为 ，故 ， ；
故可能数据的和为 ， 错误；
故选： .
【点睛】本题考查了正态分布，二项分布，回归方程，中位数，平均数，众数，意在考查学
生的综合应用能力.
10.设抛物线 的焦点为 ， 为其上一动点，当 运动到 时， ，
直线 与抛物线相交于 两点，点 ，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为 6
C. 存在直线 ，使得 、 两点关于 对称
D. 当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据 得到故 ， 错误， ， 正确，
计算 中点 在抛物线上， 错误，计算 ， 正确，得到答案.
【详解】 ，故 ， ，故 ， 错误；
过 作 垂直于准线于 ，则 ，当 共线时等号成立，
1~ 10, 3X B
( ) 1 2 2010 3 3 9D X = × × = ( ) ( )3 2 9 20D X D X+ = = B
( ),x y ˆ 9.8b = C
x 31
7
x+
3
3x ≤ 3 313 2 37
x+× = + 10x = −
3 5x< < x 312 37
xx
+= + 4x =
5x≥ 5 312 5 37
x+× = + 18x =
12 D
AC
2 2 ( 0)y px p= > F P P (2, )t 4PF =
l ,A B ( )4,1M
2 4y x=
PM PF+
l A B 6 0x y+ − =
l F AF y
2 42
pPF = + = 2 8y x= A 6PM PF PM PE+ = + ≥ B
AB ( )2,4D C 1
2DG AF= D
2 2 ( 0)y px p= > 2 42
pPF = + = 4p = 2 8y x= A
P PE E 6PM PF PM PE+ = + ≥ PEM故 正确；
设 ， ，设 中点 则 ， ，
相减得到 ，即 ，故 ，故 ，点
在抛物线上，不成立，故不存在， 错误；
如图所示： 为 中点，故 ，故 为直径的圆与
轴相切，故 正确；
故选： .
【点睛】本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算
能力，转化能力，综合应用能力.
11.在长方体 中， ， ， 分别是
上的动点，下列结论正确的是（ ）
A. 对于任意给定的点 ，存在点 使得
B
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )0 0,D x y 2
1 18y x= 2
2 28y x=
( )( ) ( )1 2 1 2 1 28y y y y x x+ − = − 02 8ABy k⋅ = 0 4y = 0 2x = ( )2,4
C
G AF ( )1 1 1
2 2 2DG OF AQ AC AF= + = = AF y
D
BD
1 1 1 1ABCD A B C D− 2 3AB = 1 2AD AA= = , ,P Q R
1 1, ,AB BB AC
P Q 1D P CQ⊥B. 对于任意给定的点 ，存在点 使得
C. 当 时，
D. 当 时， 平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，计算 ， ，
， ，得到答案.
详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设 ， ， ，
，
设 ，得到 ， .
， ， ，当 时， ， 正确；
， ，取 时， ，
正确；
，则 ，
，此时 ， 错误；
，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，
故 ，故 平面 ， 正确.
故选： .
【
Q R 1D R CQ⊥
1AR AC⊥ 1AR D R⊥
1 13AC A R= 1 //D R 1BDC
1 4 2D P CQ b⋅ = − ( )1 2 2 2 2D R CQ bλ λ⋅ = − −
1
3
4AR D R⋅ = −
1 0D R n⋅ =
( )2, ,0P a 0,2 3a ∈ ( )2,2 3,Q b
[ ]0,2b∈
1 1A R ACλ= ( )2 2 ,2 3 ,2 2R λ λ λ− − [ ]0,1λ ∈
( )1 2, , 2P aD −= ( )2,0,CQ b=
1 4 2D P CQ b⋅ = − 2b = 1D P CQ⊥ A
( )1 2 2 ,2 3 , 2D R λ λ λ= − − ( )1 2 2 2 2D R CQ bλ λ⋅ = − − 2
2 b
λ = + 1D R CQ⊥
B
1AR AC⊥ ( ) ( )1 2 ,2 3 ,2 2 2,2 3, 2 2 12 4 4 0AR AC λ λ λ λ λ λ⋅ = − − ⋅ − − = − + − + =
1
4
λ = 1
1 3 3 3 3 1 3, , , , 02 2 2 2 2 2 4AR D R
⋅ = − ⋅ − = − ≠
C
1 13AC A R= 4 2 3 4, ,3 3 3R
1
4 2 3 2, ,3 3 3D R
= −
1BDC ( ), ,n x y z=
1
0
0
n BD
n DC
⋅ = ⋅ =
( )3, 1, 3n = −
1 0D R n⋅ =
1 //D R 1BDC D
ABD【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能
力，推断能力.
12.新型冠状病毒属于 属 冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模
型的 ， ，人体肺部结构中包含 ， 的结构，新
型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为 .则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 为周期函数
B. 对于 ， 的最小值为
C. 若 在区间 上是增函数，则
D. 若 ， ，满足 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
计算得到 或 正确，设 ，
的
在
β
cosy B ωβ= y k bβ= + siny A ωβ= lny β=
( )f β
( ) ( ) ( )( )21 02 f f f a aβ β β+ − = + > ( )f β
0, 2
πβ ∀ ∈
sin β
β
2
π
( ) ( )sin 1 lnaf ββ β= − + (0,1) 0a ≤
( ) ( ) ( )sin 2cosf πβ ϕ πβ ϕβ = + − + 0 ϕ π< < ( ) ( )1 1f fβ β+ = −
4sin 2 5
ϕ = −
( ) ( )2f a fβ β+ = ( ) ( )4f a fβ β+ = A ( ) sing
ββ β= ( )g β上单调递增，在 上单调递减，计算得到 正确，化简即 恒
成立，计算故 ， 错误，三角恒等变换知 正确，得到答案.
【 详 解 】 ， 则
，
，
代换整理得到： ，
若 ，则 为周期函数；
若 ，则 ， ，
则 为周期函数， 正确；
设 ，故 ，设 ，
故 ，故 单调递减，
且 ， ，故存在 使 .
在 上单调递增，在 上单调递减，
，当 时， ，故 ， 正确；
在区间 上增函数，则 ，
即 恒成立，
设 ，则 ，
故 在 上单调递增，故 在 上单调递减， ，
( )00,β 0 , 2
πβ
B ( )
1
cos 1a β β≤ −
1a ≤ C D
( ) ( ) ( )21
2 f f f aβ β β+ − = +
( ) ( ) ( ) ( )2 21
4f f f a f aβ β β β− = − + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 24f a f a f a f aβ β β β+ − + = − + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 0f a f f a fβ β β β+ + − + − =
( ) ( )2f a fβ β+ = ( )f β
( ) ( )2 1 0f a fβ β+ + − = ( ) ( )4 1 0f a fβ β+ + − = ( ) ( )4 2f a f aβ β+ = +
( )f β A
( ) sing
ββ β= ( ) 2
cos sin'g
β β ββ β
−= ( ) cos sinh β β β β= −
( )' sin 0, 0, 2h
πβ β β β = − < ∈
( )h β
( )0 0h β= > 1 02h
π = −
( )k β (0,1) ( ) ( )
1
cos 1p β β β= − (0,1) ( )1 1p =故 ， 错误；
D. 若 ， ，满足 ，则
，其中 .
，即函数关于 对称，故 ，
即 ，
，故 正确；
故选： .
【点睛】本题考查了函数周期，最值，对称，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应
用.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 且 ，若在椭
圆上存在点 ，使得过点 可作以 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的
范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，根据题意知 为正方形， ，故 ，解得答案.
【详解】如图所示，根据题意知： 为正方形，故 ，故 ，
故 ，解得 ，又 ，故 ，故 .
故答案为： .
1a ≤ C
( ) ( ) ( )sin 2cosf πβ ϕ πβ ϕβ = + − + 0 ϕ π< < ( ) ( )1 1f fβ β+ = −
4sin 2 5
ϕ = −
( ) ( ) ( ) ( )sin 2cos 5 sinf πβ ϕ πβ β ϕ πβ ϕ α= + − + = + − tan 2, 0, 2
πα α = ∈
( ) ( )1 1f fβ β+ = − 1β = ,2 k k Z
ππ ϕ α π+ − = + ∈
2 2 2 ,k k Zϕ π α π= − + + ∈
( ) 4sin 2 sin 2 2 sin 2 2sin cos 5kϕ π α π α α α= − + + = − = − = − D
ABD
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c b c>
P P 1 2F F
3 2,3 2
PAOB 2PO c= b PO a≤ ≤
PAOB 2PO c= b PO a≤ ≤
2 2 22b c a≤ ≤ 3 2
3 2e≤ ≤ b c> 2
2e < 3 2,3 2e
∈
3 2,3 2
【点睛】本题考查了椭圆离心率的范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14.已知 是 的外心，且 ， ， ，若 ，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
计 算 ， ， ， 得 到 方 程 组 ，
，解得答案.
【 详 解 】 ， 同 理
.
，
故 ，
，解得 ， ，故 .
故答案为： .
O ABC∆
3A
π= 5AB = 3AC = AO mAB nAC= +
m n+ =
26
45
25
2AO AB⋅ = 9
2AO AC⋅ = 15
2AB AC⋅ = 15 2525 2 2m n+ =
15 992 2m n+ =
2
25cos 2 22
AB AB
AO AB AO AB BAO AO AB
AO
⋅ = ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ = =
9
2AO AC⋅ =
15cos 2AB AC AB AC A⋅ = ⋅ =
( ) 15 2525 2 2AO AB mAB nAC AB m n⋅ = + ⋅ = + =
( ) 15 992 2AO AC mAB nAC AC m n⋅ = + ⋅ = + = 7
15m = 1
9n = 26
45m n+ =
26
45【点睛】本题考查了向量的应用，计算 ， 是解题的关键，意在考
查学生的计算能力和应用能力.
15.已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上，且该三棱锥的体积为 ， 平面
， ， ，则球 的体积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据体积公式得到 ，根据余弦定理得到 ，根据正弦定理得到 ，
根据 得到 ，计算得到答案.
【详解】 ，故 .
根据余弦定理： ，
即 ，当 时等号成立.
设外接圆半径为 ，故 ，即 .
设球 的半径为 ，球心 在平面 的投影 为 外心，
则 ， ， .
故答案为： .
25
2AO AB⋅ = 9
2AO AC⋅ =
S ABC− O 2 3 SA ⊥
ABC 4SA = 120ABC∠ = ° O
40 10
3
π
6BA BC⋅ = 3 2AC ≥ 6r ≥
2
2 2
2
SAR r = + 10R ≥
1 1 1 3 4 2 33 3 2 2S C CAB ABV S SA BA BC− ∆= ⋅ = × × ⋅ × = 6BA BC⋅ =
2 2 2 2 22 cos 3AC BA BC BA BC B BA BC BA BC BA BC= + − ⋅ = + + ⋅ ≥ ⋅
3 2AC ≥ BA BC=
r 2 2 6sin
br B
= ≥ 6r ≥
O R O ABC 1O ABC∆
2
2 2 6 4 102
SAR r = + ≥ + = 10R ≥ 34 40 10
3 3V R
ππ= ≥
40 10
3
π【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
16.设双曲线 的左右两个焦点分别为 、 ， 是双曲线上任意一点，过 的直
线与 的平分线垂直，垂足为 ，则点 的轨迹曲线 的方程________； 在曲线
上，点 ， ，则 的最小值________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
延长 与 的延长线交于点 ，计算 得到轨迹方程，取点
， ，解得答案.
【详解】如图所示：延长 与 的延长线交于点 ，
则 ，
故轨迹方程为 .
取点 ，则 ， ，故 ，
2 2
2 116
x y
b
− = 1F 2F P 1F
1 2F PF∠ Q Q E M E
(8,0)A (5,6)B 1
2 AM BM+
2 2 16x y+ = 3 5
1FQ 2PF M 1 2
1 42OQ PF PF= − =
( )2,0C 1
2 AM BM MC BM BC+ = + ≤
1FQ 2PF M
( )2 2 1 2
1 1 1 42 2 2OQ MF PM PF PF PF a= = − = − = =
2 2 16x y+ =
( )2,0C 1
2
OC OM
OM OA
= = MOC MOA∆ ∆
1
2MC PA=，当 共线时等号成立.
故答案为： ；
【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取
点 证明相似是解题的关键.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知 的内角 的对应边分别为 ，
在①
②
③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求 的最大值.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据正弦定理或余弦定理计算得到 ，再计算 ，得到
最值.
【详解】若选①，则由正弦定理 ，
1 3 52 AM BM MC BM BC+ = + ≤ = BMC
2 2 16x y+ = 3 5
( )2,0C
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
( )3 cos cos cos sinC a B b A c C+ =
sin sin2
A Ba c A
+ =
( )2 2sin sin sin sin sinB A C B A− = −
sin sinA B⋅
3C
π= 1 1sinsin 2s 2 6 4inA B A
π = − +
⋅
( )3 cos sin cos sin cos sin sinC A B B A C C+ =， ，
若选②，则由正弦定理知：
， ， ，
若选③，则有正弦定理知 ，
，由余弦定理知： ， ，
，
， ，所以当 时， 的最大值是 .
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合
应用能力.
18.数列 的前 项和为 ，且满足 ，
（1）设 ，求证：数列 是等比数列；
（2）设 ，求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】
（1）整理化简得到 ， ，化简得
到 ，得到证明.
（2）计算 ， ，根据题意 ，解得答案.
( )3 cos sin sin sinC A B C C+ = 3 tanC=
3C
π=
sin sin sin sin2
CA C A
π − = cos sin 2sin cos2 2 2
C C CC= = 1sin 2 2
C =
3C
π=
( )2 2b a c bc− = −
2 2 2b a c bc∴ + − = 1cos 2C =
3C
π=
2
3A B
π+ = 2sin sin sin sin 3A B A A
π ∴ ⋅ = ⋅ −
3 1sin cos sin2 2A A A
= ⋅ +
( )23 1 3 1sin cos sin sin 2 1 cos22 2 4 4A A A A A= ⋅ + = + − 1 1sin 22 6 4A
π = − +
20, 3A
π ∈
72 ,6 6 6A
π π π ∴ − ∈ − 3A
π= sin sinA B⋅ 3
4
{ }na n nS ( )
1 11n n
nS a n n
−+ = ++ 1,2,3n = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
( )
1
1n nb a n n
= + + { }nb
11 2n
n nc a−= − nc
1
3
( )( )1 1 2n
na n n+ = + + ( )1
1
1n n
na an n+
−− − ++ ( )
1
1n nb a n n
= + +
12 n nb b+ =
( )
11 1
2 1
n
na n n
− = − + ( )
12
1
n
nc n n
−
= +
1
1
n n
n n
c c
c c
+
−
≤
≤【详解】（1） ， ，
当 时，易知 ，
，
，
令 ，则 ，上式可化为
是以 为首项，公比为 的等比数列，
（2） ，设第 项最小，
， .
所以当 或 时，最小值为 .
【点睛】本题考查了等比数列的证明，数列的最值，意在考查学生对于数列公式方法的综合
应用.
19.在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为 的
中点， 为 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
( )
11 1n n
nS a n n
−= − + + ( )( )1 11 1 2n n
nS a n n+ +∴ = − + + +
1n = 1
1
2a = ( )( )1 1 1 2n n n
na S S n n+ +∴ = − = + + ( )1
1
1n n
na an n+
−− − ++
( )( ) ( )1
2 2 1 12 1 2 1 1n n
n na an n n n n+
+ − −∴ = − + =+ + + + ( )( ) ( )
2 1 1
1 2 1 1 nan n n n n
− + ++ + + +
( )( )1
12 1 2na n n+
∴ + + + ( )
1
1na n n
= + +
( )
1
1n nb a n n
= + + ( )( )1 1
1
1 2n nb a n n+ += + + + 12 n nb b+ =
{ }nb∴ 1 1b = 1
2
11
2
n
nb
−
=
( )
11 1
2 1
n
na n n
− ∴ = − + ( )
12
1
n
nc n n
−
∴ = + n
1
1
n n
n n
c c
c c
+
−
≤∴ ≤
( ) ( )( )
( ) ( )
1
1 2
2 2
1 1 2
2 2
1 1
n n
n n
n n n n
n n n n
−
− −
≤ + + +∴
≤ + −
1 2
2
2 1
1 1
n n
n n
≤ +∴
≤ + −
2 3n∴ ≤ ≤
2n = 3n = 2 3
1
3nc c c= = =
S ABC− AB ⊥ SAC AS SC⊥ 1AB = 2AC = E AB
M CE
SCE ⊥ SAB（2）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，指出点 的位置并给出
证明，若不存在，说明理由；
（3）若 ，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点 为 上靠近 的四等分点即 （3）
120°
【解析】
【分析】
（1）证明 ， 得到 平面 ，得到答案.
（2）取 的中点 ，连接 ，证明 得到答案.
（3）如图所示建立空间直角坐标系，计算面 的一个法向量为 ，面 的
一个法向量为 ，计算夹角得到答案.
【详解】（1） 平面 ， 面 ， ，
又因为 ， ， 面 ， 平面 ，
而 平面 ， 平面 平面
（2）存在点 为 上靠近 的四等分点即 时， 平面 .
取 的中点 ，连接 ， 是 的中点， 为 的中点， .
面 ， 面 ， 平面 .
为 的中点， ， ，
面 ， 面 ， 平面 .
， 面 ， 面 平面 .
面 ， 平面 .
（3）过 作 于 ，则 平面 ，过 作 的平行线交 于 ，以 为
坐标原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，面 的一个法向量为
若 ， ， ， ， ， ，
SB N //MN SAC N
30SAC∠ = ° S CE B− −
N SB S 1
4SN SB=
AB SC⊥ AS SC⊥ SC ⊥ SAB
AE F ,FN FM //NF SA
BEC 1 (0,0,1)n = SEC
2 (1, 2 2, 3)n = − −uur
AB ⊥ SAC SC ⊂ SAC AB SC∴ ⊥
AS SC⊥ AB AS A∩ = ,AB AS ⊂ SAB SC∴ ⊥ SAB
SC ⊂ SCE ∴ SCE ⊥ SAB
N SB S 1
4SN SB= //MN SAC
AE F ,FN FM F AE M CE //MF AC∴
AC ⊂ SAC MF ⊄ SAC //MF∴ SAC
E AB 3
4
BF BN
BA BS
∴ = = //NF SA∴
SA ⊂ SAC NF ⊄ SAC //NF∴ SAC
MF NF F∩ =Q ,MF NF ⊂ MNF ∴ //MNF SAC
MN ⊂ MNF //MN∴ SAC
S SO AC⊥ O SO ⊥ ABC O AB BC Q O
OA x OQ y OS z
BEC 1 (0,0,1)n =
30SCA∠ = ° AS SC⊥Q 2
2AS∴ = 2
4AO = 3 2
4OC = 6
4OS =，从而 ， ， ， ，
面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，即
取 ，则
从而 ，
因为二面角 是钝二面角，所以二面角 的大小是 120°.
【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能
力.
20.“未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联
合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以
前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打
开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市
门口随机抽取 50 名顾客进行了调查，得到了如下列联表：
1
2AE = 2 ,1,04B
2 1, ,04 2E
3 2 ,0,04C
−
60,0, 4S
SEC 2 ( , , )n x y z= 12, ,02CE =
uuur 3 2 6,0,4 4SC
= − −
uuur
2
2
0
0
n CE
n SC
⋅ = ⋅ =
12 02
3 2 6 04 4
x y
x z
+ =
− − =
2 2
3
y x
z x
= −
= −
1x = 2 (1, 2 2, 3)n = − −uur
1 2
1 2
1 2
3 1cos , 22 3
n nn n
n n
⋅ −〈 〉 = = = −
ur uurur uur
ur uur
S CE B− − S CE B− −男性 女性 总计
刷脸支付 18 25
非刷脸支付 13
总计 50
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？
（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取 2 人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：
“一等奖”中奖概率为 0.25，奖品为 10 元购物券 张（ ，且 ），“二等奖”中奖概
率 0.25，奖品为 10 元购物券两张，“三等奖”中奖概率 0.5，奖品为 10 元购物券一张，每位顾
客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为 元，若要使 的均值
不低于 50 元，求 的最小值.
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.869
【答案】（1）列联表见解析，没有 95%的把握认为使用刷脸支付与性别是否有关（2）6
【解析】
【分析】
（1）完善列联表，计算 ，得到答案.
（2） 的可能取值为 ， ， ，40，30，20，计算概率得到分布列，
，得到答案.
【详解】（1）列联表补充如下：
男性 女性 总计
m 3m > *m N∈
X X
m
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
2 3 3.841k = <
X 20m 10 20m + 10 10m +
( ) 5 20E X m= +刷脸支付 18 7 25
非刷脸支付 12 13 25
总计 30 20 50
，
所以没有 95%的把握认为使用刷脸支付与性别是否有关.
（2）由题意可知， 的可能取值为 ， ， ，40，30，20
； ；
； ；
；
所以 的分布列为
40 30 20
所以 .
由 解得 ， 的最小值为 6.
【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21.已知动圆与 轴相切于点 ，过点 ， 分别作动圆异于 轴的两切线，
设两切线相交于 ，点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）过 的直线 与曲线 相交于不同两点 ，若曲线 上存在点 ，使得
成立，求实数 的范围.
2
2 (18 13 12 7) 50
30 20 25 25k
× − × ×= × × × 3 3.841= <
X 20m 10 20m + 10 10m +
( ) 1 1 120 4 4 16P X m= = × = ( ) 1 1 110 20 2 4 4 8P X m= + = × × =
( ) 1 1 110 10 2 4 2 4P X m= + = × × = ( ) 1 1 140 4 4 16P X = = × =
( ) 1 1 130 2 4 2 4P X = = × × = ( ) 1 1 120 2 2 4P X = = × =
X
X 20m 10 20m + 10 10m +
P 1
16
1
8
1
4
1
16
1
4
1
4
( ) 5 20E X m= +
5 20 50m + ≥ 6m ≥ m∴
y (0,2)M (0, 1)E − (0,1)F y
Q Q Ω
Ω
(2,0) l Ω ,A B Ω P
OP OA OBλ = +uuur uuur uuur λ【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）设过点 、 与动圆相切的切点分别为 ，计算得到 ，得到
答案.
（2）设直线 的方程为 ，联立方程得到 ，
，计算 ， ，代入椭圆方程计算得到答案.
【详解】（1）设过点 、 与动圆相切的切点分别为 ，
则 ， ， ，
故 ，
由 、 、 的坐标可知 ， ， ，
由椭圆的定义可知，点 是以 、 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（不包括长轴端点）.
设曲线 的方程为： ，即 ， ， ，
故曲线 的轨迹方程为
（2）由题可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消 得 ，
， 且 ，
设 ， ， ，则 ， ，
2 2
1( 0)4 3
y x x+ = ≠ 4 7 4 7 4 7 4 72, , ,27 7 7 7
λ − −∈ − ∪ ∪
E F ,C D 4QE QF EF+ = >
l ( 2)( 1)y k x k= − ≠ ± 2
1 2 2
12
3 4
kx x k
+ = +
( )2
1 2 2
12 1
3 4
k
x x k
−
= +
2
0 2
1 12
3 4
kx kλ= + 0 2
1 16
3 4
ky kλ
−= +
E F ,C D
QC QD= FD FM= EC EM=
QE QF QE QD DF+ = + + QE QC FM= + + = CE FM EM FM+ = +
E F M 3EM = 1FM = 4QE QF EF∴ + = >
Q E F
Ω
2 2
2 2 1y x
a b
+ = ( 0, 0)a b x> > ≠ 2a = 1c = 2 3b∴ =
Ω
2 2
1( 0)4 3
y x x+ = ≠
l l ( 2)( 1)y k x k= − ≠ ±
2 2
14 3
( 2)
y x
y k x
+ =
= −
y ( ) ( )2 2 2 23 4 12 12 1 0k x k x k+ − + − =
( )( )4 2 2144 48 3 4 1 0k k k∆ = − + − > 20 4k∴ ≤ < 2 1k ≠
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,P x y
2
1 2 2
12
3 4
kx x k
+ = +
( )2
1 2 2
12 1
3 4
k
x x k
−
= +，
， ，
，
当 时， ，直线 为 轴，满足 .
当 ， 时， ， ，
代入椭圆方程得 ，化简得 ，
，且 ， ，且 ，
综上可得 的取值范围为： .
【点睛】本题考查了轨迹方程，根据直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能
力和综合应用能力.
22.函数 ，
（1）判断 时， 的零点个数，并加以说明；
（2）正项数列 满足 ， ，
①判断数列 的单调性并加以证明.
②证明：
【答案】（1）0 个，说明见解析（2）①数列 为减数列，证明见解析 ②证明见解析
【解析】
【分析】
( )1 2 1 2 4y y k x x∴ + = + −
2
2 2
12 1643 4 3 4
k kk k k
−= − = + +
OP OA OBλ = +uuur uuur uuur
Q ( ) ( )0 0 1 2 1 2, ,x y x x y yλ λ∴ = + +
2
0 1 2 2
12
3 4
kx x x k
λ∴ = + = + 0 2
16
3 4
ky k
λ −= +
0λ = 0k = l x OP OA OBλ = +uuur uuur uuur
0λ ≠ 0k ≠ ( ) 2
0 1 2 2
1 1 12
3 4
kx x x kλ λ= + = +
( )0 1 2 2
1 1 16
3 4
ky y y kλ λ
−= + = +
( )
( )
( )
( )
22 2
2 22 2 2 2
1216 1
4 3 4 3 3 4
kk
k kλ λ
− + =
+ +
2
2
2
2
16 16
43 4 3
k
k
k
λ = =+ +
20 4k< ( ) ( )f x h x−
{ }na 1 1a = ( )1na
n na e f a+− =
{ }na
1
1
12 2
nn
i
i
a
+
=
< − ∑
{ }na（1）计算 ，设 ，确定函数单调递增，得到零点个
数.
（2）化简得到 ，则只需证 ，根据（1）知成立；只要证 ，
即证即 ，设 ，求导得到单调性得到证明.
【详解】（1）当 时 ，
， ， 在 是增函数.
， ， 零点个数为 0 个
（2）①数列 为减数列，
证明如下： ， ， ，
要证 减数列，只需证 ， ，
只需证 ， ， ，
由 ，
即 ，由（1）可知成立，
②要证明： ，由 ，只需证 ，只要证 ，
由于 ，此时 成立.
所以即证 ，即 ，即 ， ，
为
( ) ( ) ( )
1
1
x
x
e
e xf x xx h
− −= +− ( ) 1xx e xϕ = − −
1
1ln
na
n
n
ea a
−
+
−= − 1 x xe xe− −− > 1 2
n
n
aa + <
1ln 2
xe x
x
−−− < ( ) ( )2 2 0
x x
m x e e x x
−= − − >
0x > ( ) ( ) 1 11 1 1xf x h ex x
− − − +
=
− ( )
1
1
x
x
e x
e x
− −= +
( ) 1xx e xϕ = − − ( ) 1 0xx eϕ′ = − > ( ) 1xx e xϕ = − − (0, )+∞
( ) ( )0 0xϕ ϕ∴ > = ( ) ( ) 0f x h x∴ − > ( ) ( )f x h x∴ −
{ }na
1 1a = ( )1na
n na e f a+− = 1
1ln
na
n
n
ea a
−
+
−∴ = −
{ }na 1n na a+ < 1ln
na
n
n
e aa
−−∴− <
1ln
xe xx
−−− < ( )0x > 1 x xe xe− −− >
( ) 1 1
x
x
x
e eef x −−= = − ( )1 1 1x x xe xe x e− − − ∴ − > = − −
( ) 1 1
x
x
x
e eef x −−= = − ( )
1
xh x x
> = +
1
1
12 2
nn
i
i
a
+
=
< − ∑ 1 1a = 1
1
2n na + < 1 2
n
n
aa + <
1 1a = 1
1 22 2
n n
n
a aa −
+ < < < 1 1
2 2n n
a< =L L
1ln 2
na
n
n
ae
a
−−− < 1ln 2
xe x
x
−−− < 21 xxe ex
− −− > 2 2 ( 0)
x x
e e x x
−− > >令 ， ，故 在 递增，
，于是 成立，所以原不等式成立.
【点睛】本题考查了函数零点问题，数列的单调性，证明数列不等式，意在考查学生的计算
能力和综合应用能力.
( ) ( )2 2 0
x x
m x e e x x
−= − − > ( ) 2 21 1 02
x x
m x e e
− ′ = + − >
( )m x (0, )+∞
( ) ( )0 0m x m∴ > = ( )2 2 0
x x
e e x x
−− > >
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