高三数学试题（一）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ， ．若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵ 集合 ， ，
∴ 是方程 的解，即
∴
∴ ，故选 C
2.“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】若直线 与直线 相互垂直，
则 ，即 ，
解得 或 ，
则“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分
不必要条件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系
求出 的值是解决本题的关键，属于中档题.
{ }1,2,4A = { }2 4 0B x x x m= − + = { }1A B∩ = B =
{ }1, 3− { }1,0 { }1,3 { }1,5
{ }1 2 4A ，，= { }2| 4 0B x x x m= − + = { }1A B =
1x = 2 4 0x x m− + = 1 4 0m− + =
3m =
{ } { } { }2 2| 4 0 | 4 3 0 13B x x x m x x x= − + = = − + = = ，
1
3m = ( 1) 2 3 0m x my+ + + = ( 1) ( 1) 1 0m x m y− + + − =
( 1) 2 3 0m x my+ + + = ( 1) ( 1) 1 0m x m y− + + − =
( )( ) ( )1 1 2 1 0m m m m+ − + + = ( )( )1 3 1 0m m+ − =
1m = − 1
3m =
1
3m = ( 1) 2 3 0m x my+ + + = ( 1) ( 1) 1 0m x m y− + + − =
m3.设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 在复平面内对应的点为 ，可得 ，然后根据复数模长的概念即可得解.
【详解】∵ 在复平面内对应的点为 ，
∴ ， ，
∴ ，即 .
故选：C.
【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于
基础题.
4.已知数列 中，前 项和为 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 3 D. 1
【答案】C
【解析】
当 时，
两式作差可得： ，
据此可得，当 时， 的最大值为 3
5.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总
数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033 B. 1053
| | 2z i− = ( , )x y
2 2( 1) 2x y+ + = 2 2( 1) 4x y− + =
2 2( 1) 4x y+ − = 2 2( 1) 2x y+ + =
z ( , )x y z x yi= +
z ( , )x y
z x yi= + | | 2z i− =
( )22 1 2x y+ − = 2 2( 1) 4x y+ − =
{ }na n nS 2
3n n
nS a
+=
1
n
n
a
a −
3− 1−
2n ≥ 1 1
2 1, ,3 3n n n n
n nS a S a− −
+ += =
1
1
2 1 1 213 3 1 1
n
n n n
n
an n na a a a n n−
−
+ + += − ⇒ = = +− −
2n =
1
n
n
a
a −
M
NC. 1073 D. 1093
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 设 ， 两 边 取 对 数 ，
， 所 以 ， 即 最 接 近
，故选 D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的
运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令 ，并想到两边同时取对数进行求
解，对数运算公式包含 ， ，
.
6.函数 是 上的单调函数，则 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数进行求导，令导函数大于等于 0 在 上恒成立即可．
【详解】若函数 是 上的单调函数，只需 恒成立，
即 ．
故选 C．
【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于 0 是原函
数单调递增，当导数小于 0 时原函数单调递减．
7.《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题
的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为
361
80
3
10
M xN
= =
361
361 80
80
3lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.2810x = = − = × − = 93.2810x = M
N
9310
361
80
3
10x =
log log loga a aM N MN+ = log log loga a a
MM N N
− =
log logn
a aM n M=
3 2 1y x x mx= + + + R m
1( , )3
+∞ 1( , )3
−∞ 1[ , ) 3
+∞ 1( , ]3
−∞
R
3 2 1y x x mx= + + + R 23 2 0y x x m′ = + + ≥
14 12 0 3m m= − ≤ ∴ ≥ ，无字证明.现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ，
，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
令 ，可得圆 的半径 ，又 ，则
， 再 根 据 题 图 知 ， 即
．故本题答案选 ．
8.设 且 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 ： 由 已 知 得 ， ， 去 分 母 得 ，
，所以
，又因为
F O C AB OF AB⊥ AC a=
BC b=
( 0, 0)2
a b ab a b
+ ≥ > > 2 2 2 ( 0, 0)a b ab a b+ ≥ > >
2 ( 0, 0)ab ab a ba b
≤ > >+
2 2
( 0, 0)2 2
a b a b a b
+ +≤ > >
,AC a BC b= = O 2
a br
+=
2 2
a b a bOC OB BC b
+ −= − = − =
( )2 2 2 2
2 2 2 ( )
4 4 2
a b a b a bFC OC OF
− + += + = + = FO FC≤
2 2
2 2
a b a b+ +≤ Ｄ
(0, ), (0, ),2 2
π πα β∈ ∈ 1 sintan ,cos
βα β
+=
3 2
πα β− = 3 2
πα β+ = 2 2
πα β− =
2 2
πα β+ =
sin 1 sintan cos cos
α βα α β
+= =
sin cos cos cos sinα β α α β= +
sin cos cos sin cos ,sin( ) cos sin( )2
πα β α β α α β α α− = − = = −，
，所以 ，即 ，选
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0
分．
9.关于函数 ，下列命题正确的是（ ）
A. 由 可得 是 的整数倍
B. 的表达式可改写成
C. 的图象关于点 对称
D. 的图象关于直线 对称
【答案】BD
【解析】
【分析】
举出反例 ， 可判断 A；通过诱导公式可判断 B；根据正弦型函数的对称中心
在曲线上可判断 C；根据正弦型函数在对称轴处取得最值可判断 D.
【详解】函数 ，
周期 ，
对于 A：当 ， 时，满足 ，但是不满足 是 的整数
倍，故 A 错误；
对于 B：由诱导公式， ，
2 2
π πα β− < − <
0 2 2
π πα< − <
2
πα β α− = − 2 2
πα β− = C
( ) 3sin 2 1( )3f x x x R
π = − + ∈
( ) ( )1 2 1f x f x= = 1 2x x− π
( )y f x= 5( ) 3cos 2 16f x x
π = − +
( )y f x= 3 ,14
π
( )y f x=
12x
π= −
1 6x
π= 2
2
3x
π=
( ) 3sin 2 1( )3f x x x R
π = − + ∈
2
2T
π π= =
1 6x
π= 2
2
3x
π= ( ) ( )1 2 1f x f x= = 1 2x x− π
53sin 2 1 3cos 2 1 3cos 2 13 62 3x x x
π π ππ − + = − − + = − +
故 B 正确；
对于 C：令 ，可得 ，故 C 错误；
对于 D：当 时，可得 ， 的图
象关于直线 对称；
故选：BD.
【点睛】本题主要考查利用 的信息特征，判断各选项的正误，熟练掌握三
角函数的性质是解题的关键，属于中档题.
10.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门学科中任选 3 门．若
同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B. 甲的不同的选法种数为 15
C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是
D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据对立事件的概念可判断 A；直接根据组合的意义可判断 B；乙同学选技术的概率是 可判
断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断 D.
【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故 A 错误；
由于甲必选物理，故只需从剩下 6 门课中选两门即可，即 种选法，故 B 正确；
由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 ，故 C 错误；
乙、丙两名同学各自选物理的概率均为 ，故乙、丙两名同学都选物理的概率是 ，
故 D 正确；
故选 BD.
【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概
3
4x
π= 3 3 1 53 2 1 3 14 4 3 2 2f sin
π π π = × − + = × − − = −
12x
π= − 3sin 1 1 3 1 212 6 3f
π π π − = − − + = − × + = −
( )f x
12x
π= −
( )siny A ωx φ= +
1
6
9
49
1
3
2
6 15C =
2 1
6 3
=
3
7
3 3 9
7 7 49
× =率，属于基础题.
11.三棱锥 P−ABC 的各顶点都在同一球面上， 底面 ABC，若 ， ，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是钝角三角形 B. 此球的表面积等于
C. 平面 PAC D. 三棱锥 A−PBC 的体积为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断 A，找到外接球的球心求
出半径即可判断 B，根据线面垂直判定定理可判断 C，根据椎体的体积计算公式可判断 D.
【详解】如图，
在底面三角形 ABC 中，由 ， ， ，
利用余弦定理可得： ，
∴ ，即 ，
由于 底面 ABC，∴ ， ，
∵ ，∴ 平面 PAC，故 C 正确；
∴ ，
由于 ，即 为锐角，
∴ 是顶角为锐角的等腰三角形，故 A 错误；
取 D 为 AB 中点，则 D 为 的外心，可得三角形 外接圆的半径为 1，
设三棱锥 的外接球的球心为 O，连接 OP，则 ，
PC ⊥ 1PC AC= = 2AB =
60BAC∠ = °
PAB∆ 5π
BC ⊥ 3
2
1AC = 2AB = 60BAC∠ = °
2 2 11 2 2 1 2 32BC = + − × × × =
2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥
PC ⊥ PC AC⊥ PC BC⊥
PC AC C= BC ⊥
2 2 2PB PC BC AB= + = =
2 2 2 0PB AB PA+ − > PBA∠
PAB∆
BAC ABC
P ABC−
21 512 2OP = + = 即三棱锥 的外接球的半径为 ，
∴三棱锥球 外接球的表面积等于 ，故 B 正确；
，故 D 错误；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等
等，属于中档题.
12.已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，以线段 AB
为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q．若抛物线 C 上存在一点 到
焦点 F 的距离等于 3．则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的方程是 B. 抛物线的准线是
C. 的最小值是 D. 线段 AB 的最小值是 6
【答案】BC
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得 p，进而得到抛物线方程和准线方程；
求得 ，设 ， ，直线 l 的方程为 ，联立抛物线方程，运
用韦达定理和弦长公式可得线段 AB 的最小值，可得圆 Q 的半径，由中点坐标公式可得 Q 的
坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求 的最小值.
【详解】抛物线 的焦点为 ，得抛物线的准线方程为 ，
点 到焦点 的距离等于 3，可得 ，解得 ，
则抛物线 的方程为 ，准线为 ，故 A 错误，B 正确；
由题知直线 的斜率存在， ，
的
P ABC− 5
2R =
2
54 52
π π × =
1 1 31 3 13 2 6P ABCV − = × × × × =
2 2 ( 0)x py p= >
( ,2)E t
2 2x y= 1y = −
sin QMN∠ 1
2
( )0F ，1 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1y kx= +
sin QMN∠
( )2: 2 0C x py p= > 0 2
pF
，
2
py = −
( )2E t， F 2 32
p+ = 2p =
C 2 4x y= 1y = −
l ( )0F ，1设 ， ，直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 AB 的中点 Q 的坐标为 ，
，故线段 AB 的最小值是 4，即 D 错误；
所以圆 Q 的半径为 ，
在等腰 中， ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，即 C 正确，
故选：BC.
【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达
定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 ______．
【答案】－2
【解析】
f(－1)＝－f(1)＝－2.
14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北
京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三
位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是
_____________.
【答案】乙
【解析】
【详解】假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，
则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l 1y kx= +
2
1
4
y kx
x y
= +
=
y 2 4 4 0x kx− − =
1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = −
( ) 2
1 2 1 2 2 4 2y y k x x k+ = + + = + ( )22 2 1k k +，
2 2
1 2 4 2 2 4 4AB y y p k k= + + = + + = +
22 2r k= +
QMN
2
2 2
2 1 1 1 1sin 1 12 2 2 2 2 2
Qy kQMN r k k
+∠ = = = − ≥ − =+ +
0k =
sin QMN∠ 1
2
( )f x 0x > ( ) 2 1f x x x
= + ( )1f − =假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，
则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；
假设申请了北京大学 自主招生考试的同学是丙，
则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意。
故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙。
故答案为：乙
15.如图，在半径为 r 的定圆 C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若
，且点 D 在圆 C 上，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量加法的概念以及 可得四边形 为菱形，且 ，再
由向量数量积的定义即可得结果.
【详解】∵ ，∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形
为一个内角为 的菱形是解题的关键，属于基础题.
的
AB AC AD+ = AB AC⋅ =
2
2
r
AC CD CB r= = = ABCD 60CAB∠ =
AB AC AD+ = ABCD
AC CD CB r= = = 60CAB∠ =
2
cos60 2
rAB AC r r⋅ = × × =
2
2
r
ABCD
6016.双曲线 的渐近线与直线 围成的图形绕 y 轴旋转 ，则所得旋转体的
体积为___；表面积为_____
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
易得双曲线的渐近线方程为 ，求出与 的交点坐标，然后得到该旋转体为底
面半径是 ，高为 2 的圆柱，挖掉两个底面半径为 ，高为 1，母线长为 2 的圆锥，最后
根据体积公式和表面积公式即可得结果.
【详解】双曲线 的渐近线 ，与直线 的交点为 和 ，
该旋转体为底面半径是 ，高为 2 的圆柱，
挖掉两个底面半径为 ，高为 1，母线长为 2 的圆锥，
所以所得旋转体的体积为 ，
表面积为 ，
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查了旋转体的结构特征与体积、表面积的计算问题，属于中档题.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17.已知函数 （k 为常数， 且 ）．
（1）在下列条件中选择一个________使数列 是等比数列，说明理由；
①数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列；
②数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列；
③数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列．
2
2 13
x y− = 3x = 360°
4π 8 3π
3
3y x= ± 3x =
3 3
2
2 13
x y− = 3
3y x= ± 3x = ( )3,1 ( )3, 1−
3
3
( ) ( )2 212 3 2 2 3 1 43V V V π π π= − = × × − × × × × =圆柱 圆锥
2 3 2 2 3 2 8 3S π π π= × × × + × × × =
4π 8 3π
( ) logkf x x= 0k > 1k ≠
{ }na
( ){ }nf a
( ){ }nf a
( ){ }nf a（2）在（1）的条件下，当 时，设 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1）②，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）选②，由 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；
（2）运用等比数列的通项公式可得 ，进而得到 ，由数列的裂项相消求和可得
所求和.
【详解】（1）①③不能使 成等比数列.②可以：由题意 ，
即 ，得 ，且 ， .
常数 且 ， 为非零常数，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以当 时， .
因为 ，
所以 ，所以 ，
.
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，
属于中档题.
18.已知 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 a 的值．
2k =
1
2
2
4 1
+
= −
n
n na b n
{ }nb nT
2 1n
nT n
= +
( )f x
na 2
1
4 1nb n
= −
{ }na ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n= + − × = +
log 2 2k na n= + 2 2n
na k += 4
1 0a k= ≠
2( 1) 2
21
2 2
n
n
n
n
a k ka k
+ +
+
+∴ = =
0k > 1k ≠ 2k∴
∴ { }na 4k 2k
( ) 14 2 2 2n k
na k k k
− += ⋅ = 2k = 12n
na +=
1
2
2
4 1
+
= −
n
n na b n
2
1
4 1nb n
= −
1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n
= = − − + − +
1 2
1 1 1 1 1 1L 1 L2 3 3 5 2 1 2 1n nT b b b n n
= + + + = − + − + + − − +
1 112 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
ABC∆ sin 1 cos
sin 2 cos
A A
B B
+= −
2a b c= +
4cos 5A = 6ABCS =
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，由正弦定理可
得结论成立；
（2）利用同角三角函数基本关系式可求 的值，根据三角形的面积公式可求 的值，进
而根据余弦定理即可解得 的值.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
可得 ，
所以由正弦定理可得： .
（2）∵ ， 为三角形内角，
∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
由余弦定理可得
．
整理得 ，解得 （负值舍去）．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，同角三角函数基本关系式，
三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题.
19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备 生产质量情况，随机从两
套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指
标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品. 表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，
图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表 1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125]
的
2 6a =
2sin sin sinA B C= +
sin A bc
a
sin 1 cos
sin 2 cos
A A
B B
+= − 2sin sin cos sin sin cosA A B B B A− = +
2sin sin sin cos sin cos sin sin( ) sin sinA B A B B A B A B B C= + + = + + = +
2a b c= +
4cos 5A = A
2 3sin 1 cos 5A A= − =
6ABCS =
16 sin2 bc A= 20bc =
2 2 2 2 2( ) 2cos 2 2
b c a b c bc aA bc bc
+ − + − −= =
2 2 2 24 2 3 2 3 40 4
2 2 40 5
a bc a a bc a
bc bc
− − − −= = = =
2 24a = 2 6a =
[100,120)频数 1 4 19 20 5 1
图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图
（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质
量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
甲套设备 乙套设备 合计
合格品
不合格品
合计
（2）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较；
（3）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的不合
格品的个数为 ，求 的期望 .
附：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
X X ( )E X
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
3
25试题分析：（1）根据表 1 和图 1 即可完成填表，再由 将
数据代入计算得 即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关
（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指标值
与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足 ，代入即可求
得结果
解析:（1）根据表 1 和图 1 得到列联表
甲套设备 乙套设备 合计
合格品 48 43 91
不合格品 2 7 9
合计 50 50 100
将列联表中的数据代入公式计算得
∵ ，∴有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关
（2）根据表 1 和图 1 可知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ，乙套设备生产的合格品
的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生
产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概
率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.
（3）由题知， ∴ .
20.如图，在直三棱柱 中， 是 的中点.
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
3.053 2.706>
1~ 3, 25X B
( )
( )( )( )( )
( )2 2
2 100 48 7 2 43 3.05350 50 91 9
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= = ≈+ + + + × × ×
3.053 2.706>
48
50
43
50
1~ 3, 25X B
( ) 1 33 25 25E X = × =
1 1 1ABC A B C− M AB（1）求证： 平面 ；
（2）若 是正三角形，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析.（2） .
【解析】
试题分析：（1）连接 ，设 与 的交点为 ，则 为 的中点，连接 ，通
过证明 可证到线面平行．（2）可求得 ，以 为 轴， 为 轴，
为 轴建立空间直角坐标系.由空间向量求得线面角．
试题解析：（1）连接 ，设 与 的交点为 ，则 为 的中点，连接 ，又
是 的中点，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以
平面 .
（2） 是 的中点， 是正三角形，则 ， ，
，
设 ，则 ，以 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标
系.
则 ， ， ， ， ，
， .
设 是平面 的法向量，则 ，可取平面 的法向量为
为
1BC 1MCA
BMC∆ 1AB BC= AB 1MCA
15
5
1AC 1AC 1AC N N 1AC MN
1/ /MN BC 90ACB °∠ = 1CC x CB y
CA z
1AC 1AC 1AC N N 1AC MN
M AB 1/ /MN BC MN ⊂ 1MCA 1BC ⊂ 1MCA 1 / /BC
1MCA
M AB BMC 60ABC °∠ = 30BAC °∠ =
90ACB °∠ =
1BC = 1 3AC CC= = 1CC x CB y CA z
( )0,1,0B ( )0,0, 3A ( )1 3,0, 3A 1 30, ,2 2M
( )0,1, 3AB = −
1 30, ,2 2CM
=
( )1 3,0, 3CA =
( ), ,n x y z= 1MCA
1
0
0
n CM
n CA
⋅ = ⋅ =
1MCA，则
，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】空间向量在立体几何中的应用
(1)两条异面直线所成角的求法：设两条异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则
cos φ＝|cos θ|＝ (其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．
(2)直线和平面所成的角的求法：如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为
n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ .
(3)求二面角的大小：①如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，
则二面角的大小 θ＝
②如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角
的大小 θ＝〈n1，n2〉(或 π－〈n1，n2〉)．
( )1, 3, 1n = −
cos ,AB n〈 〉 = 15
5
AB n
AB n
⋅
= AB 1MCA 15
5
a b
a b
⋅
n e
n e
⋅
,AB CD 21.如图，点 是椭圆 的一个顶点， 的长轴是圆
的直径， 、 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 、 两
点， 交椭圆 于另一点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 面积的最大值及取得最大值时直线 的方程.
【答案】（1） ；当直线 的方程为 时， 的面积取最大值
.
【解析】
【详解】试题分析：（1）首先根据题中条件求出 和 的值，进而求出椭圆 的方程；（2）
先设直线 的方程为 ，先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系（勾股定理）
求出直线 截圆 所得的弦长
，然后根据直线 与 两者所满足的垂直关系设直线 ，将直线 的方程与椭圆的方程联
立，求出直线 截椭圆 的弦长 ，然后求出 的面积的表达式，并利用基本不等式
求出 的面积的最大值，并求出此时直线 的方程.
试题解析：（1）由题意得 ，
( )0, 1P − ( )2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1C
2 2
2 : 4C x y+ = 1l 2l P 1l 2C A B
2l 1C D
1C
ABD∆ 1l
2
2 14
x y+ = 1l 10 12y x= ± − ABD∆
16 13
13
a b 1C
1l 1y kx= −
1l 2C
AB 1l 2l 2l 2l
2l 1C CD ABD∆
ABD∆ 1l
1{ 2
b
a
=
=椭圆 的方程为 ；
（2）设 、 、 ，
由题意知直线 的斜率存在，不妨设其为 ，则直线 的方程为 ，
故点 到直线 的距离为 ，又圆 ，
，
又 ， 直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，整理得 ，
故 ，代入 的方程得
，
设 的面积为 ，则
，
，
当且仅当 ，即 时上式取等号，
当 时， 的面积取得最大值 ，
此时直线 的方程为
考点：1.椭圆 方程；2.直线与圆、椭圆的位置关系；3.基本不等式
22.已知 ， ．
的
∴ 1C
2
2 14
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,P x y
1l k 1l 1y kx= −
O 1l 2
1
1
d
k
=
+
2 2
2 : 4C x y+ =
2
2
2
4 32 4 2 1
kAB d k
+∴ = − = +
1 2l l⊥ ∴ 2l 0x ky k+ + =
2 2
0{ 4 4
x ky k
x y
+ + =
+ = y ( )2 24 8 0k x kx+ + =
0 2
8
4
kx k
= − + 2l
2
0 2
4 .4
ky k
−= +
22 2 2
2 2 2
8 4 8 114 4 4
k k kPD k k k
− + ∴ = + + = + + +
ABD∆ S
2
2
1 8 4 3
2 4
kS AB PD k
+= ⋅ = +
2 2
2 2
32 32 16 13
13 13134 3 2 4 34 3 4 3
S
k kk k
∴ = ≤ =
+ + + ⋅+ +
2
2
134 3
4 3
k
k
+ =
+
10
2k = ±
∴ 10
2k = ± ABD∆ 16 13
13
1l 10 1.2y x= ± −
2( ) 2ln( 2) ( 1)f x x x= + − + ( ) ( 1)g x k x= +（1）当 时，求证：对于 ， 恒成立；
（2）若存在 ，使得当 时，恒有 成立，试求 k 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）令 ，利用导数判断出 的单调性和单调区间，得出 的
最大值，证明 即可；
（2）由（1）易知 时显然不满足，而 时， 时， ，此
时 更不可能成立，当 时，令 ，通过导数判断 的单
调性，证得 成立即可.
【详解】（1）证明：当 时，
令 ， ，
令 ，即 ，解得 或 （舍）．
所以当 时， ， 在 上单调递减．
所以 ，
所以对于 ，即 .
（2）由（1）知，当 时， 恒成立，即对于
，
不存在满足条件的 ；
当 时，对于 ， ，此时 ，
所以 ，
即 恒成立，不存在满足条件的 ；
2k = 1x∀ > − ( ) ( )f x g x<
0 1x > − ( )01,x x∈ − ( ) ( )f x g x>
( ,2)−∞
( ) ( ) ( )H x f x g x= − ( )H x ( )H x
( ) 0maxH x <
2k = 2k > ( )01,x x∈ − 2( 1) ( 1)x k x+ < +
( ) ( )f x g x> 2k < ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )h x
( ) ( 1) 0h x h> − =
2k = ( ) 2( 1)g x x= +
2( ) ( ) ( ) 2ln( 2) ( 1) 2( 1)H x f x g x x x x= − = + − + − +
22 8 6( ) 2
x xH x x
− − −′ = +
( ) 0H x′ = 22 8 6 0x x− − − = 1x = − 3x = −
1x > − ( ) 0H x′ < ( )H x ( 1, )− +∞
max( ) ( 1) 0H x H< − =
1,x∀ > − ( ) 0H x < ( ) ( )f x g x<
2k = ( ) ( )f x g x< 1,x > −
22ln( 2) ( 1) 2( 1)x x x+ − + < +
0x
2k > 1x > − 1 0x + > 2( 1) ( 1)x k x+ < +
22ln( 2) ( 1) 2( 1) ( 1)x x x k x+ − + < + < +
( ) ( )f x g x< 0x当 时，令 ，
，
令 ，
又 为一开口向下的抛物线，且 时， ，
又 ，
所以必存在 ，使得 ．
所以 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减．
当 时， ，即 恒成立，
综上，k 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查
分类讨论思想，是一道综合题.
2k < 2( ) ( ) ( ) 2ln( 2) ( 1) ( 1)h x f x g x x x k x= − = + − + − +
22 ( 6) (2 2)( ) 2
x k x kh x x
− − + − +′ = +
2( ) 2 ( 6) (2 2)t x x k x k= − − + − +
( )y t x= x → +∞ ( )t x → −∞
( 1) 2 ( 6) (2 2) 2 0t k k k− = − + + − + = − >
0 ( 1, )x ∈ − +∞ ( )0 0t x =
( )01,x x∈ − ( ) 0t x > ( ) 0h x′ > ( )h x
0 ( 1, )x ∈ − +∞ ( ) 0t x < ( ) 0h x′ < ( )h x
( )01,x x∈ − ( ) ( 1) 0h x h> − = ( ) ( ) 0f x g x− >
( ,2)−∞
微信/支付宝扫码支付