四川省成都七中2020届高三数学（理）下学期三诊模拟试题（Word版附答案）

第 1 页 成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟 数 学(理科) 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1 至 2 页,第Ⅱ卷 (非选择题)3 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ,则 (A) (B) (C) (D) 2. 已知复数 ,则 (A) (B)1 (C) (D)2 3. 设函数 为奇函数,当 时, 则 (A) (B) (C)1 (D)2 4. 已知单位向量 的夹角为 ,则 (A)3 (B)7 (C) (D) 5. 已知双曲线 的渐近线方程为 ,则双曲线的离心率是 (A) (B) (C) (D) 2{ 1,0,1,2,3,4}, { | , }A B y y x x A= − = = ∈ A B = {0,1,2} {0,1,4} { 1,0,1,2}− { 1,0,1,4}− 1 1 iz = + | |z = 2 2 2 ( )f x 0x > 2( ) 2,f x x= − ( (1))f f = 1− 2− 1 2,e e 2π 3 1 22e e− = 3 7 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= ± 10 10 3 10 10 9第 2 页 6. 在等比数列 中, 则“ ”是“ ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为 31 时,则图中判断框①处应填入的是 (A) (B) (C) (D) 8. 已知 为两条不同直线, 为三个不同平面,下列命题：①若 则 ； ②若 则 ；③若 则 ；④若 则 .其中 正确命题序号为 (A)②③ (B)②③④ (C)①④ (D)①②③ 9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所 讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高 次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差 数列,其前 7 项分别为 则该数列的第 8 项为 (A)99 (B)131 (C)139 (D)141 10. 已知 则 (A) (B) (C) (D) 11. 过正方形 的顶点 作直线 ,使得 与直线 所成的角均为 ,则这样的直线 的条数为 (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 4 12. 已知 是椭圆 上一动点, ,则 的最大值是 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) { }na 1 0,a > 41 aa < 53 aa < 6?i ≤ 5?i ≤ 4?i ≤ 3?i ≤ ,a b , ,α β γ /// ,, /αα γβ //β γ // , // ,a aα β //α β ,,α γγ β⊥ ⊥ α β⊥ ,,a b αα⊥ ⊥ //a b 1,5,11,21,37,61,95, πlog e,a = πln ,eb = 2eln ,πc = a b c< < b c a< < b a c< < c b a< < 1 1 1 1ABCD A B C D− A l l 1 1,B C C D 60° l P 2 2 14 x y+ = ( 2,1), (2,1)A B− cos ,PA PB  6 2 4 − 17 17 17 7 6 − 14 14第 3 页 BA CF DE 0.005 频率 组距 得分 0.015 0.010 100806040O 20 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列 的前 项和为 且 则 14. 已知实数 满足线性约束条件 ,则目标函数 的最大值是 15. 如图是一种圆内接六边形 ,其中 且 则 在圆内随机取一点,则此点取自六边形 内的概率是 16. 若指数函数 且 与三次函数 的图象恰 好有两个不同的交点,则实数 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 中,内角 的对边分别为 已知 (1)求角 的大小； (2)若 求 的面积. 18.(本小题满分 12 分) 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校 40 个班级进行了一次突击班级 卫生量化打分检查(满分 100 分,最低分 20 分).根据检查结果：得分在 评定为 “优”,奖励 3 面小红旗；得分在 评定为“良”,奖励 2 面小红旗；得分在 评 定为 “中”,奖励 1 面小红旗；得分在 评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分 频率分布直方图如下图： (1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打 分检查得分的中位数； (2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、“中”、 “差”的班级中抽取 10 个班级,再从这 10 个班级中随机抽取 2 个班级进行抽样复核,记抽样 复核的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和为 ,求 的分布列与数学期望 . { }na n ,nS 1 11, 1( 2),n na a S n−= = + ≥ 4a = ,x y 1 1 7 x y x y ≥  ≥ −  + ≤ 2z x y= + ABCDEF BC CD DE EF FA= = = = .AB BC⊥ ABCDEF xy a= ( 0a > 1)a ≠ 3y x= a ABC∆ , ,A B C , , .a b c 2 .tan sin a b A B = A 7, 2,a b= = ABC∆ [80,100] [60,80) [40,60) [20,40) X X ( )E X第 4 页 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 中, (1)证明： 平面 ； (2)若 且 , 为线段 上一点,且 ,求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 (1)证明：当 时, ； (2)若存在 使得对任意的 都有 成立. 求 的值.(其中 是自然对数的底数). 21.(本小题满分 12 分) 已知点 是抛物线 上的一点,其焦点为点 且抛物线 在点 处的切线 交圆 于不同的两点 . (1)若点 求 的值； (2)设点 为弦 的中点,焦点 关于圆心 的对称点为 求 的取值范围. 请考生在第 22,23 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数, ). 在以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线 的极坐标方程是 . (1)求曲线 的极坐标方程； (2)若射线 与曲线 相交于 两点,求 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 ：不等式选讲 已知 且 函数 在 上的最小值为 (1)求 的值； (2)若 恒成立,求实数 的最大值. M ABCD− 2, 2 2 ., , 2 3AB AM AD MB MDAB AD = = = = =⊥ AB ⊥ ADM //CD AB 2 3CD AB= E BM 2BE EM= EC BDM 2 2e( ) , (e, ).ln x xf x xx x + += ∈ +∞ (e, )x∈ +∞ 3 eln e xx x −> + * 0 [ , 1)( )x n n n N∈ + ∈ (e, )x∈ +∞ 0( ) ( )f x f x≥ n e 2.71828=  P 21: 2C y x= ,F C P l :O 2 2 1x y+ = ,A B (2,2),P | |AB M AB F O ,F′ | |F M′ 4 4− xOy C 2 3 cos 3sin x y α α  = + = α 0 πα≤ ≤ x l π 6 θ = C l C ,A B | | | |OA OB⋅ 4 5− 0, 0,a b> > 2 4,a b+ = ( ) 2f x x a x b= + + − R .m m 2 2a mb tab+ ≥ t第 5 页 成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟 数 学(理科)参考答案及评分意见 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.B； 2.A； 3.C； 4.D； 5.A； 6.A； 7.B； 8.C； 9.D； 10.B； 11.C； 12.A. 第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.8； 14.15； 15. ； 16. 三、解答题(共 70 分) 17. 解：(1)由正弦定理知 ,又 所以 于是 因为 所以 6 分 (2)因为 由余弦定理得 即 又 所以 故 的面积为 12 分 18.解：(1)得分 的频率为 ；得分 的频率为 ； 得分 的频率为 ； 所以得分 的频率为 设班级得分的中位数为 分,于是 ,解得 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为 分. 5 分 (2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为 又班级总数为 于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为 ． 分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为 由题意可得 的所有可能取值为 9 分 所以 的分布列为 1 2 3 4 5 6 3 2 2π 3 e(1,e ). sin sin a b A B = 2 ,tan sin a b A B = 2 .sin tan a a A A = 1cos ,2A = 0 π,A< < π .3A =  π7, 2, ,3a b A= = = 2 2 2 π7 2 2 2 cos ,3c c= + − × × 2 2 3 0.c c− − = 0,c > 3.c = ABC∆ 1 1 π 3 3sin 2 3 sin .2 2 3 2bc A = × × × =  [20,40) 0.005 20 0.1× = [40,60) 0.010 20 0.2× = [80,100] 0.015 20 0.3× = [60,80) 1 (0.1 0.2 0.3) 0.4.− + + = x 600.1 0.2 0.4 0.520 x −+ + × = 70.x = 70  0.3,0.4,0.2,0.1. 40. 12,16,8,4 3,4,2,1. X 1,2,3,4,5,6. 2 1 1 2 1 4 4 10 10 1 1 1 11 1 1 3 2 42 2 1 1 2 0 2 1 1( 1) , ( 2) , ( 3 ,1 45 9 45) C CC C C CP X P X PC C CXC CC += = = = = = =+= = 2 4 3 2 1 1 1 1 2 3 10 10 2 1 3 0 4 2 2 4( 4) , ( 5) , ( 6)4 1 15 15 15.C C C CP X P X P XC C C C C= = = = = = = =+ =  X X P 2 45 1 9 11 45 4 15 4 15 1 15 1 11 4 4 1 45 9 45 15 1 2 171 19( ) 1 2 3 4 5 65 15 .45 5E X = × + × + × + × + × + × = =第 6 页 所以 的数学期望 12 分 19.解：(1)因为 , ,所以 于是 又 且 平面 平面 , 所以 平面 5 分 (2)因为 ,所以 如图所示,在平面 内过点 作 轴垂直于 ,又由(1)知 平面 ,于是分别以 所在直线为 轴建 立空间直角坐标系 于是 因为 ,于是 所以 设平面 的法向量为 于是 即 取 得 设直线 与平面 所成角为 ,则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 12 分 20.解：(1)令 则 于是 在 单调递增,所以 即 5 分 (2) 令 当 时,由(1)知 则 (i)当 时,于是 ,从而 故 在 严格单调递增.其中 9 分 (ii)当 时, 则 X 19( ) .5E X =  2AB AM= = 2 2MB = 2 2 2.AM AB MB+ = .AB AM⊥ ,AB AD⊥ ,AM AD A AM= ⊂ ,ADM AD ⊂ ADM AB ⊥ .ADM  2, 2 3AM AD MD= = = 120 .MAD∠ = ° ADM A x AM AB ⊥ ADM ,AM AB ,y z .A xyz− 4( 3, 1,0), ( 3, 1, ), (0,0,2), (0,2,0).3D C B M− − 2BE EM= 4 2(0, , ).3 3E 7 2( 3, , ), (0,2, 2), ( 3, 1, 2).3 3EC BM BD= − = − = − −   BDM ,n 0 0 BM n BD n  ⋅ = ⋅ =     2 2 0 . 3 2 0 y z x y z − = − − = 1z = ( 3,1,1).n = EC BDM θ 4 13sin cos , .54 5 53 EC nEC n EC n θ ⋅= = = = ×      EC BDM 1.5  3 e( ) ln , (e, ).e xg x x xx −= − ∈ +∞+ 2 2 2 1 4e ( e)( ) 0.( e) ( e) xg x x x x x −′ = − = >+ + ( )g x (e, )+∞ ( ) (e) 0,g x g> = 3 eln , (e, ).e xx xx −> ∈ +∞+  2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) ln ( e )(ln 1) ( e )ln ( e )( ) .( ln ) ( ln ) x x x x x x x x x xf x x x x x + − + + + − − + +′ = = 2 2 2 2( ) ( e )ln ( e ), (e, ).h x x x x x x= − − + + ∈ +∞ (e, )x∈ +∞ 3 eln .e xx x −> + 2 2 2 2 23 e 4e 1( ) ( e ) ( e ) 2 (4e 1) 2 ( ),e 2 xh x x x x x x x xx − +> − − + + = − + = −+ 4e 1[ , )2x +∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0.f x′ > ( )f x 4e 1[ , )2 + +∞ 4e 1 5.936562 + =   (e,5]x∈ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( e )ln5 ( e ) 2( e ) ( e ) 3eh x x x x x x x x x≤ − − + + < − − + + = − −第 7 页 (用到了 在 单调递增与 ) 于是 ,故 在 严格单调递减. 11 分 综上所述, 在 严格单调递减,在 严格单调递增. 因为 所以 所以 12 分 21.解：设点 ,其中 因为 所以切线 的斜率为 于是切线 (1)因为 于是切线 故圆心 到切线 的距离为 于是 5 分 (2)联立 得 设 则 又 于是 于是 又 的焦点 于是 故 9 分 令 则 于是 因为 在 单调递减,在 单调递增. 又当 时, ；当 时, ； 当 时, 所以 的取值范围为 12 分 22.解：(1)消去参数 得 将 代入得 即 所以曲线 的极坐标方程为 5 分 220 3e 0.≤ − < 2 23ex x− − (e,5] 2e 7> ( ) 0f x′ < ( )f x (e,5]  ( )f x (e,5] 4e 1[ , )2 + +∞ 4e 1 6,2 + < 0 [5,6).x ∈ 5.n =  0 0( , )P x y 2 0 0 1 .2y x= ,y x′ = l 0 ,x 2 0 0 1: .2l y x x x= − (2,2),P : 2 2.l y x= − O l 2 . 5 d = 2 22 2 5| | 2 1 2 1 ( ) .55 AB d= − = − =  2 2 2 0 0 1 1 2 x y y x x x  + = = − 2 2 3 4 0 0 0 1( 1) 1 0.4x x x x x+ − + − = 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ).A x y B x y M x y 3 0 1 2 2 0 ,1 xx x x + = + 3 2 2 4 0 0 0 1( ) 4( 1)( 1) 0.4x x x∆ = − − + − > 2 0 0,x ≥ 2 00 2 2 2.x≤ < + 3 2 20 01 2 0 02 2 0 0 1, .2 2( 1) 2 2( 1) x xx xx y x x xx x += = = − = −+ + C 1(0, ),2F 1(0, ).2F′ − 3 2 6 4 2 2 20 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 11 1| | ( ) ( ) .2( 1) 2( 1) 2 4( 1) 2 1 x x x x xF M x x x x + − +′ = + − + = =+ + + +  2 0 1,t x= + 1 3 2 2.t≤ < + 21 3 3 1 3| | 3.2 2 t tF M tt t − +′ = = + − 3t t + [1, 3) ( 3,3 2 2)+ 1t = 1| | 2F M′ = 3t = 2 3 3| | 2F M −′ = 3 2 2t = + 2 2 1 1| | .2 2F M −′ = > | |F M′ 2 3 3 2 2 1[ , ).2 2 − −  α 2 2( 2) 3( 0)x y y− + = ≥ cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2( cos 2) ( sin ) 3,ρ θ ρ θ− + = 2 4 cos 1 0.ρ ρ θ− + = C 2 π4 cos 1 0(0 ).3 ρ ρ θ θ− + = ≤ ≤ 第 8 页 (2)法 1：将 代入 得 , 设 则 于是 10 分 法 2： 与曲线 相切于点 由切割线定理知 10 分 23.解：(1) . 当 时,函数 单调递减；当 时,函数 单调递增. 所以 只能在 上取到.当 时,函数 单调递增. 所以 5 分 (2)因为 恒成立,且 , 所以 恒成立即 . 由(1)知 ,于是 当且仅当 时等号成立即 所以 ,故实数 的最大值为 10 分 π 6 θ = 2 π4 cos 1 0(0 )3 ρ ρ θ θ− + = ≤ ≤ 2 2 3 1 0ρ ρ− + = 1 2 π π( , ), ( , ),6 6A Bρ ρ 1 2 1.ρ ρ = 1 2| | | | 1.OA OB ρ ρ⋅ = =  π 3 θ = C ,M π| | 2sin 1,3OM = = 2| | | | | | 1.OA OB OM⋅ = =  3 , ( , ),2 ( ) 2 , [ , ],2 3 , ( , ). ax a b x af x x a x b x a b x b x a b x b − − + ∈ −∞ − = + + − = + + ∈ −  + − ∈ +∞  ( , )2 ax∈ −∞ − ( )f x ( , )x b∈ +∞ ( )f x m [ , ]2 a b− [ , ]2 ax b∈ − ( )f x 2( ) 2.2 2 2 a a a bm f a b += − = − + + = =  2 2a mb tab+ ≥ 0, 0a b> > 2 2a mbt ab +≤ min a b mbt a  ≤ +   2m = 2 2 2 2.a a mb a b mb a mb+ ≥ ⋅ = = 2a b a b= 4( 2 1) 0, 2(2 2) 0.a b= − > = − > 2 2t ≤ t 2 2. 