榆林市 2019～2020 年度高三第二次模拟考试
数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间
120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ，由此求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
2.已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算求得 ，由此求得 对应的坐标，进而求得 在复平面内对应的点所在象限.
{ }3, 2,2,4,6A = − − ( )( ){ }| 2 5 0B x x x= + − > A B =
{ }2,4 { }2,2,4− { }2,2−
{ }3, 2,2− −
B A B
( )( ){ } { }| 2 5 0 | 2 5B x x x x x= + − > = − < < { }2,4A B =
z ( )2 3 13i z i− = z
z z z【详解】因为 ，对应点为 ，所以 在复平面内
对应的点位于第二象限.
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.
3.数列 为递增的等比数列，且 ， ，则公比 （ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，由已知条件求得 的值，由此求得 的值.
【详解】因为 ， ，且数列 为递增教列，所以 ， ，
而 ， ，从而 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础
题.
4.已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 x=（ ）
A -2 B. 2 C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意 ，代入解方程即可得解.
【详解】由题意 ，
所以 ，且 ，解得 .
故选：B.
( )
( ) ( )
13 2 313 3 22 3 2 3 2 3
i iiz ii i i
× += = = − +− − × + ( )3,2− z
{ }na 3 5 13a a+ = 2 6 36a a = q =
4
3
3
4
− 3
2
3
2
− 3
2
4
3
3 5,a a q
2 6 3 5 36a a a a= = 3 5 13a a+ = { }na 3 4a = 5 9a =
2
5 3a a q= ⋅ 2 9
4q = 3
2q =
( )0,2=
a ( )2 3,b x= a b
3
π
cos 3
a b
a b
π ⋅=
2
2 1cos 3 22 12
a b x
a b x
π ⋅= = =
+
0x > 22 12x x= + 2x =【点睛】本题考查了利用向量 数量积求向量的夹角，属于基础题.
5.为培养学生分组合作能力，现将某班分成 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同
组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在 组中的那位的成绩与甲不一样，在 组中
的那位的成绩比丙低，在 组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成
绩由高到低排序，则排序正确的是
A. 甲、丙、乙 B. 乙、甲、丙
C. 乙、丙、甲 D. 丙、乙、甲
【答案】C
【解析】
因为在 组中的那位的成绩与甲不一样，在 组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B
组，所以丙在 B 组. 假设甲在 A 组，乙在 C 组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩
由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在 C 组，乙在 A 组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、
丙、甲.故选 C.
6.若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线 的一条渐近线方程为 ，求得 ，再结合离心率的定义，即
可求解.
【详解】由题意，双曲线 的一条渐近线方程为 ，即 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质和
双曲线的离心率的定义是解答的关键，着重考查了计算能力.
7.如图所示的程序框图，当其运行结果为 31 时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
的
、 、A B C
B A
B
B B
2 2 1( 0, 0)mx ny m n− = > > 2y x=
5 5
2 6 6
2
2 2 1mx ny− = 2y x= 2b
a
=
2 2 1( 0, 0)mx ny m n− = > > 2y x= 2b
a
=
2 21 ( ) 1 2 5c be a a
= = + = + =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图的运行，循环算出当 时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】由题可知，程序框图的运行结果为 31，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
此时输出 .
故选：C.
【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
8.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解
集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得 的图象，据此分析可得答案.
【详解】解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以它的图象关于原点对称，且 ，
3?i ≤ 4?i ≤ 5?i ≤ 6?i ≤
31S =
1S = 9i =
1 9 10S = + = 8i =
1 9 8 18S = + + = 7i =
1 9 8 7 25S = + + + = 6i =
1 9 8 7 6 31S = + + + + = 5i =
31S =
( )f x R 0x > ( ) 3 2f x x= − ( ) 0f x >
3 3, 0,2 2
−∞ −
3 3, ,2 2
−∞ − ∪ +∞
3 3,2 2
−
3 3,0 ,2 2
− ∪ +∞
( )f x
( )f x R
( )0 0f =已知当 时， ，
作出函数图象如图所示，
从图象知： ，
则不等式 的解集为 .
故选：A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思
想.
9.某班 45 名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和 100 米跑
合格的人数分别为 30 和 35，两项都不合格的人数为 5.现从这 45 名同学中按测试是否合格分
层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅 100 米跑合格、两项都不合格四种）抽出 9 人进
行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ）
A. 1 人 B. 2 人 C. 5 人 D. 6 人
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的 25 人中应该抽取的人数.
【详解】由题意知两项都不合格的有 5 人，两项都合格的有 25 人，
仅立定跳远合格的有 5 人，仅 100 米跑合格的有 10 人.
从 45 人中抽取 9 人进行复测，则抽样比为 ，
故两项都合格的 25 人中应该抽取 人.
故选：C.
0x > ( ) 3 2f x x= −
3 3 02 2f f = − =
( ) 0f x > 3 3, 0,2 2
−∞ − ∪
9 1
45 5
=
25 1 55
× =【点睛】本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
10.在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线 ，
所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 ， ，因为 ，所以 为异面直线 与 所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为 2，取 的中点为 ，连接 ，在等腰 中，求出
，在利用二倍角公式，求出 ，即可得出答案.
【详解】连接 ， ，因为 ，所以 为异面直线 与 所成的角（或补
角），
不妨设正方体的棱长为 2，则 ， ，
在等腰 中，取 的中点为 ，连接 ，
则 ， ，
所以 ，
即： ，
所以异面直线 ， 所成角的余弦值为 .
故选：D.
1 1 1 1ABCD A B C D− E F 1CC 1DD AF
DE
1
4
15
4
2 6
5
1
5
BE BD //BE AF BED∠ AF DE
BD G EG BED∆
3cos
5
EGBEG BE
∠ = = cos BED∠
BE BD //BE AF BED∠ AF DE
5BE DE= = 2 2BD =
BED∆ BD G EG
5 2 3EG = − = 3cos
5
EGBEG BE
∠ = =
2cos cos2 2cos 1BED BEG BEG∠ = ∠ = ∠ −
3 1cos 2 15 5BED∠ = × − =
AF DE 1
5【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查
空间思维和计算能力.
11.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 的图象的一条对称轴方程为 D. 的图象的一个对称中心为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象变换，得到函数 ，再结合三角函数的图象与性质，
逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 ，
由三角函数的性质，可得 为非奇非偶函数，所以 A、B 不正确；
令 ，则 ，所以 是函数 的一条对称轴，所以 C 正确.
( ) 3sin 3 6f x x
π = + 6
π ( )g x
( )g x ( )g x
( )g x
18x
π= − ( )g x
5 ,018
π
( ) 3sin(3 )3g x x
π= −
( ) 3sin 3 6f x x
π = + 6
π
( ) 3sin[3( ) ] 3sin(3 )6 6 3g x x x
π π π= − + = −
( )g x
18x
π= − 3 18 3 2
π π π− × − =−
18x
π= − ( )g x由当 时， ，此时 ，所以 D 不正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着
重考查了推理与运算能力.
12.已知函数 （ ）与 （ ）的图象在第一象限有公共点，
且在该点处的切线相同，当实数 变化时，实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为 ，则 通过代入法将 用 表示，再构造函数进行求值域，
即可得答案.
【详解】设切点为 ，则 整理得
由 ，解得 .由上可知 ，
令 ，则 .
因为 ，所以 ， 在 上单调递减，
所以 ，即 .
【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程
思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
第Ⅱ卷
5
18x
π= 53 18 3 2
π π π× − = 5( ) 3sin( ) 318 2g
π π= =
( ) exf x a= 0a > 2( ) 2g x x m= − 0m >
m a
2
4 ,e
+∞ 2
8 ,e
+∞ 2
40, e
2
80, e
( )0 0,A x y
0
0
2
0
0
e 2 ,
e 4 ,
x
x
a x m
a x
= − =
m 0x
( )0 0,A x y
0
0
2
0
0
e 2 ,
e 4 ,
x
x
a x m
a x
= − =
2
0 0
0
4 2 ,
0,
0,
x x m
x
m
= −
>
>
2
0 02 4 0m x x= − > 0 2x >
0
04
ex
xa =
4( ) ex
xh x = 4(1 )( ) x
xh x e
−′ =
2x > 4(1 )( ) 0ex
xh x
−′ = < 4( ) ex
xh x = (2, )+∞
2
80 ( ) eh x< < 2
80, ea ∈ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线
上.
13.在等差数列 中， ， ，则 公差 ________.
【答案】3
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据 ， ，列出方程组，即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因 ， ，可得 ，
解得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，其中解答中根据等差数列的
通项公式和题设条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14.小林手中有六颗不同的糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随
机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人共有 20 种分法，再求得这两个孩子都分到三
种口味的糖果分法的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，价格牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味的六颗不同的糖果，
将糖果随机地平均分给他 儿子与女儿两人，共有 种分法，
其中这两个孩子都分到三种口味的糖果共有 种分法，
所以这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为 ,
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中正
的
为
的
{ }na 2 1a = − 3 7 16a a+ = { }na d =
{ }na d 2 1a = − 3 7 16a a+ =
{ }na d
2 1a = − 3 7 16a a+ = 1
1
1
2 8 16
a d
a d
+ = −
+ =
1 4, 3a d= − =
3
2
5
3
6 20C =
1 1 1
2 2 2 8C C C =
8 2
20 5P = =
2
5确理解题意，合理利用排列、组合的知识求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力.
15.已知 M 是抛物线 上一点，F 是 C 的焦点，过 M 作 C 的准线的垂线，
垂足为 N，若 （O 为坐标原点）， 的周长为 12，则 ________.
【答案】4
【解析】
【分析】
由 ，得到 ，进而得到 为等边三角形，即可求解.
【详解】如图所示，因为 ，所以 ，
又由 M 是抛物线 C 上的一点，可得 ，所以 为等边三角形，
因为 的周长为 12，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用，着重考查了转化思想，以及推理与计
算能力，属于基础题.
16.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八
分之五.已知三棱锥 的每个顶点都在球 O 的球面上， 底面 BCD， ，
且 ， ，利用张衡的结论可得球 O 的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
2: 2 ( 0)C y px p= >
120MFO∠ = ° MNF NF =
120MFO∠ = ° 60FMN∠ = FMN∆
120MFO∠ = ° 60FMN∠ =
FM MN= FMN∆
FMN∆ 4NF =
4
A BCD− AB ⊥ BC CD⊥
3AB CD= = 2BC =
50
3将此三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得半径，进而结合球的体积公式，
即可求解.
【详解】如图所示，将此三棱锥放置在一个长方体中，可得长方体的长、宽、高分别为：
，
所以球的直径为 ，即 ，
又由题意，可得 ，
所以球的体积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的几何结构特征的应用，其中把三棱
锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间
想象能力，以及计算能力.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.第 17～21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生
根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.在 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 .
（1）求 ；
（2）若点 D 是线段 AC 的中点， ， ，求 的面积.
【答案】（1） ； （2） .
3,2, 3
2 2 22 ( 3) 2 ( 3) 10R = + + = 10
2R =
10π =
3 34 4 10 5010 ( )3 3 2 3V Rπ= = × × =
50
3
ABC 2 5 csin 2 cosa B b C= +
cos B
7BD = 5c a= ABC
5
3 5【解析】
【分析】
根据正弦定理和三角恒等变换的公式及题设条件，化简得到 ，进而利用三
角函数的基本关系式，即可求解 的值；
（2）由（1）得 ，在结合余弦定理和向量的运算，列出方程，求得 ，根据三
角形的面积，即可求解.
【详解】由题意，因为 ，
根据正弦定理，可得 ，
由 ，则 ，
可得 ，
又由 ，则 ，所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
又由 ，可得 ，解得 .
（2）由（1）知， ，所以
因为 D 为线段 AC 的中点，所以 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以三角形的面积为 .
2 ios nc 5 s BB =
cos B
2sin 3B = 2 3a =
2 5 csin 2 cosa B b C= +
2sin 5 sin sin 2sin cosA C B B C= +
A B C π+ + = sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C= + = +
2 5 sin sic sin nos C BB C =
(0, )C π∈ sin 0C > 2 ios nc 5 s BB =
(0, )B π∈ sin 0B > cos 0B >
2 2sin cos 1B B+ = 2 24 cos cos 15 B B+ = 5cos 3B =
5cos 3B = 2sin 3B =
2BA BC BD+ =
2 2 2
2 cos 4BA BC BA BC B BD+ + =
2 2 55 2 5 283a a a a+ + ⋅ × × = 2 3a =
21 5 sin 52ABCS a B∆ = × =
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三
角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
18.某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了
提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大
声诵读的态度，对全班 50 名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：
考试分数
频数 5 10 15 5 10 5
赞成人数 4 6 9 3 6 4
（1）欲使测试优秀率为 30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第 1 问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀
的关系，列出 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有
关系.
参考公式及数据： ， .
0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
[ )85,95 [ )95,105 [ )105,115 [ )115,125 [ )125,135 [ ]135,145
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k【答案】（1）125 分（2）列联表见解析；没有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优
秀有关系
【解析】
【分析】
（1）根据题意，测试的优秀率为 30%，所以测试成绩优秀的人数为 ，即可得
答案；
（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.
【详解】（1）因为测试的优秀率为 30%，所以测试成绩优秀的人数为 ，
所以优秀分数线应定为 125 分.
（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有 人，其中“赞成的”有 10 人；测试成
绩不优秀的学生有 人，其中“赞成的”有 22 人.
2×2 列联表如下：
赞成 不赞成 合计
优秀 10 5 15
不优秀 22 13 35
合计 32 18 50
因此，没有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.
【点睛】本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
19.如图，四棱锥 E﹣ABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 F﹣ABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直，
AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝4，AE＝5， ．
50 30% 15× =
50 30% 15× =
50 0.3 15× =
50 15 35− =
2
2 50 (10 13 5 22) 25 0.066 2.70632 18 15 35 378K
× × − ×= = ≈ ( )f x 2
3
ax = 0x =则 ，又 ，所以 ；
当 时， 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
则 ，又 ，所以 .
综上， 的取值范围为 .
（2）证明：由题意得 ，或 ，即 （不成立），或
，
解得 .
设函数 ， ，
当 或 时， ；当 时， .
所以 在 处取得极小值，且极小值为 .
又 ，所以当 时， ，
故当 时， .
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与
转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
21.已知 O 为坐标原点， ， ，直线 AG，BG 相交于点 G，且它们的斜率之积
为 .记点 G 的轨迹为曲线 C.
（1）若射线 与曲线 C 交于点 D，且 E 为曲线 C 的最高点，证明： .
（2）直线 与曲线 C 交于 M，N 两点，直线 AM，AN 与 y 轴分别交于 P，Q
两点.试问在 x 轴上是否存在定点 T，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出 T 的坐标；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点 ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 T.
【解析】
【分析】
1 0 3a a− < < + 0a > 0 1a< <
0a < ( )f x 2
3
ax = 0x =
21 33
aa a− < < + 0a < 9 0a− < <
a ( ) ( )9,0 0,1−
( )0 0f = 2 03
af =
4 027
=
34 4 027 27a− + =
1a =
( ) ( ) 3 223 127g x f x x x x x − − = − − +
= ( ) ( )( )' 3 1 1g x x x= + −
11 3x− ≤ < − 1x > ( )' 0g x > 1 13
− <
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