陕西省汉中市2020届高三数学（理）第一次联考试题（Word版附解析）

2020 届高三第一次校际联考试题数学（理科） 一、选择题 1.若 为虚数单位，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合复数的运算法则分子分母同时乘以 i，然后整理计算即可求得最终结果. 【详解】由复数的运算法则有： . 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能 力. 2.已知集合 ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用对数函数求出 ，再利用交集定义求出 . 【详解】解： ， ， = ， 故选 A. 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运 用. 3.从某健康体检中心抽取了 8 名成人的身高数据（单位：厘米），分别为 172，170，172， 166，168，168，172，175，则这组数据的中位数是（ ） A. 167 B. 170 C. 171 D. 172 【答案】C i 1 2i 2i + = 11 2 i+ 11 2 i− 1 i2 - 1 +2 i 2 1 2i (1 2i)i 2 i 11 i2i 2i 2 2 + + − += = = −− { }0 3A x x= < < { }2log 1B x x= > A B = (2,3) (0,3) (1,2) (0,1) { }2B | 1 { | 2}x log x x x= > = > A B  { }0 3A x x= < < { }2B | 1 { | 2}x log x x x= > = > ∴ A B { | 2 3}x x< 2 2a b> 1 1 a b < ln 2 ln 2a b> 2 2ac bc> ,a b a b c R∈， ， a b> 1, 1, 0a b c= = − = 2 21 ( 1)= − 1 1 11 1 > = −− 2 21 0 ( 1) 0 0× = − × = a b> 2xy = 2 2a b> lny x= ( )0, ∞+ ln 2 ln 2a b>件，在判断不等式是否成立时，还可以代入特殊值，运用排除法，属于基础题. 7.在边长为 2 的菱形 中， ， 是 的中点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 选取向量 为基底，用基底表示 ，然后计算． 【详解】由题意 ， ， ． 故选 D． 【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基 底表示． 8.如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 M，N 分别是棱 ， 的中点， 则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 过 作 的平行线交 于 ，连接 ，∴ （或其补角）就是异面直线 与 所成角，求出所在的三角形的各边的长，运用余弦定理可求得值. ABCD 60BAD °∠ = E BC AC AE⋅ =  3 3 3 + 9 2 3 9 ,BA BC  ,AC AE  120ABC∠ = ° 2 2 cos120 2BA BC⋅ = × × ° = −  1( ) ( ) ( ) ( )2AC AE BC BA BE BA BC BA BC BA⋅ = − ⋅ − = − ⋅ −          2 21 3 2 2BC BA BC BA= − ⋅ +    2 21 32 ( 2) 2 92 2 = × − × − + = ABCD A B C D′ ′ ′ ′− A B′ ′ BB′ 3 2 10 10 3 5 2 5 N AM AB H CH CNH∠ AM CN【详解】过 作 的平行线交 于 ，连接 ，∴ （或其补角）就是异面直 线 与 所成角， 因为 ， ，所以 ， ， ，所以 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查空间中异面直线所的角的计算，一般可通过平移的方法，使两异面直 线的平行线相交，找出异面直线所成的角的平面角，在运用余弦定理求得其角，属于基础题. 9.若函数 在 上是增函数，当 取最大值时， 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据辅助角公式化简成正弦型函数，再由单调性得解. 【详解】 ， 由于 在 上是增函数，所以 ，α 的最大值为 ， 则 .故选 B. 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性，属于基础题. 10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个 大于 2 的偶数可以表示为两个质数的和”，如 .在不超过 30 的质数中（0 和 1 既不是 N AM AB H CH CNH∠ AM CN 1 1 4 2BH AB= = 1BN = 17 2CH = 5CN = 5 2NH = 2 2 2 2cos 2 5 CN NH CHCNH CN NH + −∠ = =⋅ ( ) sin cosf x x x= + [0 ]α， α sinα 5 5 2 2 2 2 − 5 5 − 2 2( ) sin cos 2 sin cos 2 sin2 2 4f x x x x x x π   = + = + = +      ( )f x [ ]0,a 4 2 π πα+  4 π 2sin sin 4 2 πα = = 10 7 3= +质数，也不是合数），随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 由已知条件找出小于 所有质数，再在其中找出两个数的和等于 的数对，由古典概型可 求得概率. 【 详 解 】 小 于 的 质 数 有 共 个 ， 随 机 选 取 两 个 数 共 有 种情况， 其中两数相加等于 的有 和 、 和 、 和 共三种情况， 根据古典概型， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查古典概型，关键在于找出基本事件总数及所需求的事件中所包含的基 本事件的个数，属于基础题. 11.已知点 在抛物线 的准线上，记抛物线 C 的焦点为 F，则以原 点为圆心，且与直线 AF 相切的圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 由点 A 在抛物线的准线上，得出抛物线的焦点为 F(2,0),可得出直线 AF 的方程，再根据直线与 圆的相切的位置关系可求得圆的半径. 【详解】因为点 A 在抛物线的准线上，所以抛物线的焦点为 F(2,0),所以直线 AF 的方程为 因为以原点为圆心,且与直线 AF 相切,所以所求圆的半径为 ， 故选：A. 【 的 1 12 1 14 1 15 1 18 30 30 30 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 10 10 9 452 × = 30 7 23 11 19 13 17 3 1 45 15P = = ( 2,3)A − 2: 2 ( 0)C y px p= > 6 5 13 3 4 6 0.x y+ − = 2 24 6 6 3 5r −= = +【点睛】本题考查抛物线的简单的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题. 12.已知定义在 R 上的函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知条件分析出函数 是奇函数，和是以 4 为周期的周期函数，再根据函数的性质将所 求的函数值转化到所已知的区间内，代入可得所求的函数值. 【详解】 , ,∴函数 是奇函数， ， 令 ， 则 ， ， 所以函数 是以 4 为周期的周期函数， ， 又当 时， ， ， ， 故选：B. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，以及对数函数求值，关键在于根据函数的性 质将所求的函数值的自变量转化到所已知的区间内，属于中档题. 二、填空题 13.在锐角 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 ________. 【答案】 【解析】 ( )f x ( ) ( ) 0,f x f x− + = ( 1) ( 1) 0f x f x+ + − = ( 1,0)x∈ − 2 1( ) log ( )2f x x= + − 17 2f   =   1 2 1 2 − ( )f x ( ) ( ) 0f x f x− + = ( ) ( )f x f x∴ − = − ( )f x ( 1) ( 1) 0 ( 1) ( 1)f x f x f x f x+ + − = ∴ + = − − 1x x= + ( 2) ( )f x f x+ = − ( 4) ( 2) [ ( )] ( )f x f x f x f x∴ + = − + = − − = ( )f x 17 1 1 182 2 2 2f f f f       ∴ = + = = − −               ( 1,0)x∈ − 2 1( ) log ( )2f x x= + − 2 1 1 1 1 1log 12 2 2 2 2f    ∴ − = + = − = −       17 1 1 2 2 2f    ∴ = − − =       ABC 2 sina b A= B = 30°【分析】 由正弦定理进行边转化为角，再根据锐角三角形的角的范围，可求得角 . 【详解】 ,由正弦定理可得, , , , . . 故答案为: . 【点睛】本题考查解三角形的正弦定理，关键在于领悟边角互化，注意角的范围，属于基础 题. 14.已知偶函数 在 上单调递减，则不等式 的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为 ，解之可求得解集. 【详解】∵偶函数 在区间 单调递减,且满足 , ∴不等式等价为 ,即 , ,解得 , 故 x 取值范围是 , 故答案为： . 【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于函数值的不等式，转化 为自变量的不等式，注意在转化时，函数是偶函数时避免讨论，可添加绝对值符号得到不等 式，属于中档题. 15.已知函数 与 的图象上存在两对关于直线 对称的点，则实数 a 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 若 函 数 与 的 图 象 上 存 在 两 对 关 于 直 线 对 称 的 点,则 函 数 B 2 sina b A= sin 2sin sinA B A= sin 0A ≠ 1sin 2B∴ = 0 90B° °< ( 1,2)− | 2 1| 3x − < ( )f x [0, )+∞ ( )(2 1) 3f x f− > ( )(| 2 1|) 3f x f− > | 2 1| 3x − < 3 2 1 3x∴− < − < 1 2x− < < ( )1,2− ( )1,2− 2( )f x ax x= − ( ) xg x e= y x= (0,1) 2( )f x ax x= − ( ) xg x e= y x=与函数 的图象在 有两个交点, 即 有 两个解, 即 有两个解,令 ,对 求导函数，得 出导函数的正负，研究函数 的单调性，最值，可求得实数 a 的取值范围. 【详解】若函数 与 的图象上存在两对关于直线 对称的点, 则函 数 与函数 的图象在 有两个交点, 即 有两个解, 即 有两个解, 令 ,则 ， 令 ，则 ， ， 在 上单 调递减，而 ， ，即 ， 时， ， 在 单调递增，在 单调递减， ，又 时， ， 时， ， ∴要使 有两个解,则需 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查两函数图象的关于直线的对称点的问题，解决的关键在于将对称点问题转 化为两图象的交点问题，继而转化为方程的根的问题，运用参变分离，构造新函数，对新函 数求导，分析其导函数的正负，得出新函数的单调性、最值，图象趋势，得到参数的范围,属 于难度题. 16.圆形纸片 圆心为 O，半径为 6cm，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O，E，F，G，H 为圆 O 上的点， ， ， ， 分别是以 AB，BC，CD，DA 为底边的 等腰三角形（如图 1）.沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起 ， ， ， ，使得 E，F，G，H 重合得到个四棱锥（如图 2）.设正方形 ABCD 的边长为 a，当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的半径为________. 的 2( )f x ax x= − ( ) lnh x x= ( )0, ∞+ ( )2 ln , 0ax x x x− = > ( )2 1 ln , 0xa xx x = + > ( ) ( )2 1 ln , 0xF x xx x = + > ( )F x ( )F x 2( )f x ax x= − ( ) xg x e= y x= 2( )f x ax x= − ( ) lnh x x= ( )0, ∞+ ( )2 ln , 0ax x x x− = > ( )2 1 ln , 0xa xx x = + > ( ) ( )2 1 ln , 0xF x xx x = + > ' 2 3 3 1 1 2ln 1 2ln( ) x x xF x x x x − − −= − + = ( ) 1 2lnG x x x= − − 2( ) 1G x x ′ = − − 0, ( ) 0x G x′> ∴ ' ( ) 0F x > 1x > ( ) 0, ( ) 0G x F x′< < ( )F x∴ (0,1) (1, )+∞ ( ) (1) 1F x F∴ ≤ = 0x → ( )F x → −∞ x → +∞ ( ) 0F x → ( )2 1 ln , 0xa xx x = + > 0 1a< < (0,1) ABE△ BCF CDG ADH ABE△ BCF CDG ADH 图 1 图 2 【答案】 【解析】 【详解】连接 OE 交 AB 于点 1,设 E、F.G.H 重合于点 P,作三角形 PAB 的 AB 边上的高 PK,连 接 PO ,KO,CO,如下图所示， 设正方形 的边长为 ,则 , , ∵该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍， ，解得 ， 设该四棱维的外接球的球心为 Q,半径为 Rcm,可知 Q 在 PO 上,连接 QC,又 , 则在 中, 解得 , 故答案为: . 【点睛】本题考查平面图形的折叠,四棱锥的外接球的半径,解决的关键在于平面图形折叠成立 体图形后,明确变化的量和没有变的量,以及线线的位置,线面的位置关系,对于几何体的外接球 的问题,关键在于确定外接球的圆心的位置,球半径,属于中档题. 三、解答题 5 3 3 ABCD ( 0)cmx x > cm2 xOI KO= = 6 cm2 xIE PK  = = −   24 6 22 2 x x x ∴ ⋅ ⋅ − =   4x = 2 2 2 24 2 2 3c2 2 , 4 m,OP POC cm PK cm K KO= = = − = − = Rt QOC ( ) ( )2 22 2 3 2 2 ,R R +−= 5 3 3R = 5 3 317.如图，在三棱柱 中， 底面 ABC， ， ， D 为 AC 的中点，N 为 与 的交点. （1）证明： 平面 ； （2）设 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 (1)根据三角形的中位线定理得出两直线平行,再由线面平行的判断定理可得证； (2)如下图,以 A 为原点，AB，AC， 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量,和向量 的坐标,根据线面角的向量坐标公式,可求得值. 【详解】（1）证明：由题知，N 为 的中点， D 为 AC 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . （2）如图，以 A 为原点，AB，AC， 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1 3AA AB AC= = AB AC⊥ 1AB 1A B 1 //B C 1BA D 1AC = 1BC 1BA D 6 7 1AA 1BA D 1BC 1AB  1//DN B C∴ DN ⊂ 1BA D 1B C  1BA D 1 //B C∴ 1BA D 1AA ( 3,0,0),B 10, ,0 ,2D     1(0,0, 3),A 1(0,1, 3)C 13, ,02BD  ∴ = −    1 ( 3,0, 3)BA = − 1 ( 3,1, 3)BC = − 1BA D ( , , )m x y z=则 ，即 ， 令 ，得 ， ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,利用空间直角坐标系求得线面角的问题,在求线面 角时,注意求得面的法向量与所求的线向量的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值,这是一个 易错点,属于中档题. 18.小龙虾近几年来被称作是“国民宵夜”，某地区近几年的小龙虾产量统计如下表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码 t 1 2 3 4 5 6 年产量 y（万 吨） 6.6 6.9 7.4 7.7 8 8.4 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程 ；； （2）预测 2020 年该地区小龙虾的年产量. 参考公式： . 1 0 0 m BD m BA  ⋅ = ⋅ =   13 02 3 3 0 x y x z − + = − + = 1x = (1,2 3,1)m = 1 1 1 6cos , 7 m BCm BC m BC ⋅∴ = = ⋅    1BC 1BA D 6 7 ˆˆ ˆy bt a= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ,ˆ n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑ ˆˆa y bt= −参考数据： ， . 【答案】（1） （2）9.12 万吨 【解析】 【分析】 (1)先求均值，代入公式得 ，再根据 求, ,可得线性回归方程; (2)求自变量为 8 对应函数值，即为所求. 【详解】（1） ， ， ， ， ， ， y 关于 t 的线性回归方程为 . （2）由（1）可得，当年份为 2020 年时，年份代码 ，此时 ， 可预测 2020 年该地区小龙虾的年产量为 9.12 万吨. 【点睛】本题考查线性回归方程,和预估其后的年份的产量,注意概念的理解,函数关系是一种 确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而 相关关系是非随机变量与随机变量的关系,属于基础题. 19.已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 n 项和 . 【答案】（1） ( )( )6 1 6.3i i i t t y y = − − =∑ ( )6 2 1 17.5i i t t = − =∑ 0.36 6 4ˆ .2y t= + b ˆa y bt= −  a 1 2 3 4 5 6 3.56t + + + + += = 6.6 6.9 7.4 7.7 8 8.4 7.56y + + + + += = ( )( )6 1 6.3i i i t t y y = − − =∑ ( )6 2 1 17.5i i t t = − =∑ ( )( ) ( ) 6 1 6 2 1 6.3 0.3617.5 ˆ i i i i i t t y y b t t = = − − ∴ = = = − ∑ ∑ 7.5 0.36 3.5 6. 4ˆˆ 2a y bt= − = − × = ∴ 0.36 6 4ˆ .2y t= + 8t = 0.36 8 6.2 .ˆ 4 9 12y = × + = ∴ { }na nS 1 1 4 3 3n nS a += − 1 4a = { }na 2logn nb a= 1 1 n nb b +       nT 4n na =（2） 【解析】 【分析】 （1）由题知，由 ,在当 时，得 ，两式相减可得， ， 可得数列的通项; （2）由(1)得出 的通项，运用裂项求和法可求得数列 的前 n 项和. 【详解】（1）由题知，当 时， ，又 ， 两式相减可得 ，即 ， 当 时，可得 ，解得 ，则 ， 当 时，满足 ， 数列 的通项公式为 ， . （2） ， ， . 【点睛】本题考查数列中由数列的前 的和得出数列的通项,和运用裂项求和法求数列的和,在 求得数列的通项时,注意验证 的情况,属于中档题. 20.已知函数 . （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若方程 恰有两个实数根，求 a 的值. 【答案】（1） 4( 1)n nT n = + 1 1 4 3 3n nS a += − 2n ≥ 1 1 4 3 3n nS a− = − 1 4n na a+ = nb 1 1 n nb b +       2n ≥ 1 1 4 3 3n nS a− = − 1 1 4 3 3n nS a += − 1 1 1 3 3n n na a a+= − 1 4n na a+ = 1n = 2 1 44 3 3a= − 2 16a = ( )4 2,n na n n N= ≥ ∈ 1n = 4n na = { }na 4n na = n ∗∈N 2 2log log 4 2n n nb a n= = = 1 1 1 1 1 1 2 2( 1) 4 1n nb b n n n n+  ∴ = = − × + +  1 1 1 1 1 1 1 11 14 2 2 3 1 4 1 4( 1)n nT n n n n    ∴ = − + − +⋅⋅⋅+ − = − =   + + +    n 1n = 2 1 1( ) ( 1) ( 0)exf x a x a−= − + ≠ ( )y f x= 1x = ( ) 0f x = 2y x= − +（2） 【解析】 【分析】 （1）根据已知求得 ，可求得曲线 在 处的切线方程; （2）由方程 恰有两个实数根，进行参变分离得 ，构造函数 ，对所构造 函数求导,分析出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调 性和图象趋势,极值,从而可得出 a 的值. 【详解】（1）函数 ， ， ， 曲线 在 处 切线方程为 ，即 . （2）方程 恰有两个实数根， 即 恰有两个实数根，∵ ，所以可得 ， 显然 时，上式不成立； 设 ，则 ， 当 或 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递 减； ， ， 又当 时， ，当 时， ， ，得 . 【点睛】本题考查求在函数上的一点的切线方程,和根据方程的根的情况求参数的值,解决的关 键在于进行参变分离,构造合适的函数,并对所构造的函数求导,分析其导函数的正负,得所构造 的函数的单调性和图象趋势和极值,属于常考题,难度题. 21.已知椭圆 的焦距与短轴长相等，且点 在椭圆 C 上. （1）求椭圆 C 的标准方程； 的 的 21 e4a = − (1) 1,f = (1) 1f ′ = − ( )y f x= 1x = ( ) 0f x = 2 11 ( 1) exxa −− = − 2 1( ) ( 1) exg x x −= − 2 1 1( ) ( 1) exf x a x −= − + 1( ) 2 ( 1) e xf x a x −− −′ = (1) 1,f∴ = (1) 1f ′ = − ∴ ( )y f x= 1x = 1 ( 1)y x− = − − 2y x= − + ( ) 0f x = 2 1 1( 1) 0exa x −− + = 0a ≠ 2 11 ( 1) exxa −− = − 1x = 2 1( ) ( 1) exg x x −= − 1( ) ( 1)( 1)exg x x x −= − +′ 1x > 1x < − ( ) 0g x′ > ( )g x 1 1x− < < ( ) 0g x′ < ( )g x 2( ) ( 1) 4eg x g −∴ = − =极大值 ( ) (1) 0g x g= =极小值 x → −∞ ( ) 0g x → x → +∞ ( )g x → +∞ 21 4ea −∴− = 21 e4a = − 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2, 2)（2）若点 P 为椭圆 C 上异于左、右顶点 A、B 的任意一点，过原点 O 作直线 PA 的垂线交直 线 PB 于点 M，设直线 PA 的斜率为 ，直线 PB 的斜率为 . ①求证： 与 之积为常数； ②求点 M 的轨迹方程. 【答案】（1） （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】 （1）由已知条件求得椭圆的 ,可得出其标准方程; （2）①设 ，直线 PA 的方程为： ，直线 PB 的方程为： ，可得出 的值，可得证； ②设直线 OM 的方程为： ，联立 ，再由①的结论代入可得轨迹方 程. 【详解】（1） 椭圆 C 的焦距与短轴长相等， ， ， 点 在椭圆 C 上， ， 又 ， ， ， 椭圆 C 的标准方程为 . （2）①证明：由（1）知， ， ，设 ， 直线 PA 的方程为： ，直线 PB 的方程为： ， 1k 2k 1k 2k 2 2 18 4 x y+ = 2 2x = − , ,a b c ( )0 0,P x y 1( 2 2)y k x= + 2 ( 2 2)y k x= − 1 2k k⋅ 1 1y xk = − 1 2 1 ( 2 2) y xk y k x  = −  = −  2 2c b∴ = b c∴ =  (2, 2) 2 2 4 2 1a b ∴ + = 2 2 2a b c= + 2b c∴ = = 2 2a = ∴ 2 2 18 4 x y+ = ( 2 2,0)A − ( )2 2,0B ( )0 0,P x y ∴ 1( 2 2)y k x= + 2 ( 2 2)y k x= −则 ，为常数； ②由题意知，直线 OM 的方程为： ， 由 ，得 ， ， ， 点 M 的轨迹方程为 . 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中的定值问题,以及求动点的轨迹 方程,解决的关键在于设点,设直线的方程,联立得交点的坐标的关系,属于常考题,难度题. 22.在平面直角坐标系 xOy 中曲线 C 的直角坐标方程为 ，直线 l 过点 ，且倾斜角为 .以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线 l 的参数方程和曲线 C 的极坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值. 【答案】（1） （t 为参数）， （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线的参数方程的定义和已知条件可求得直线 l 的参数方程，根据极坐标与平面直 角坐标方程的互化公式可得曲线 C 的极坐标方程; ( )2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 1 8 12 8 8 2 xyk k x x − ⋅ = = = −− − 1 1y xk = − 1 2 1 ( 2 2) y xk y k x  = −  = − 2 1 1 ( 2 2)x k xk − = − 1 2 1 2k k = − 2 2x∴ = − ∴ 2 2x = − 2 2 2 2 3 0x y x y+ − − = (0, 3)P − 3 π | | | |PA PB+ 1 2 33 2 x t y t  =  = − + 2cos 2 3sinρ θ θ= + 7（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程中，可得 ，再运用方程的 根与系数的关系和直线的参数的几何意义可求得所求的值. 【详解】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 由 ，得 ， 即曲线 C 的极坐标方程为 . （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程中，得 ， 设 A，B 两点对应的参数分别为 ，则 ， ， ， . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角方程的互化,以及直线的参数方 程中的几何意义的运用,注意在运用直线参数方程中的几何意义时,直线的参数方程必需是关 于所需定点的直线的标准参数方程,属于基础题. 23.已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 在 时恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，分段讨论得出函数 的解析式,再分段求解不等式的解集,将所求的解集 再求并集可得所求的解集; （2）由题知当 时， 恒成立，等价于当 时， 2 7 9 0t t− + = 1 2 33 2 x t y t  =  = − + 2 2 2 2 3 0x y x y+ − − = 2 2 cos 2 3 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − = 2cos 2 3sinρ θ θ= + 2 7 9 0t t− + = 1,t 2t 1 2 7t t+ = 1 2 9 0t t = > 1 0,t∴ > 2 0t > 1 2 1 2 7PA PB t t t t∴ + = + = + = ( ) 1 1f x x ax= + + − 1a = ( ) 4f x ≤ ( ) 2f x x< + (0,1)x∈ { | 2 2}x x− ≤ ≤ (0,2] 1a = ( )f x (0,1)x∈ 1 1 2x ax x+ + − < + (0,1)x∈恒成立，分 时，和当 时，两种情况分别讨论可得出实数 a 的取值范围. 【详解】（1）当 时， ， 当 时， ，得 ； 当 时， 恒成立； 当 时， ，得 . 综上，不等式 的解集为 . （2）由题知当 时， 恒成立， 等价于当 时， 恒成立， 当 时， ，不满足条件； 当 时，由 ， 得 ， ， ， 实数 a 的取值范围为 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的恒成立问题,解决的常用方法是分段讨 论得出分段函数,分段求解,属于基础题. | 1| 1ax − < 0a ≤ 0a > 1a = 2 , 1 ( ) 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x f x x x x x x − ≤ − = + + − = − < | 1| 1ax − < 20 x a < < 2 1a ∴ ≥ 0 2a∴ < ≤ ∴ (0,2]