2020 届安康中学高三第三次模拟考试卷
理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.己知全集为实数集 R，集合 A={x|x2 +2x-8>0}，B={x|log2x0，得 x＜-4 或 x＞2，
∴A={x|x2 +2x-8>0}＝{x| x＜-4 或 x＞2}，
由 log2x 1m =
, ,a b c
1cos 3 6
πα + = −
2
6 3
π πα< < 7sin 12
πα + = A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系,结合题中 的范围求出 ,由两角和的正弦公式即可
求解.
【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 ，
.
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式;考查运算求解能力;熟练掌握
象限角的三角函数符号和两角和的正弦公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
5.在 中， ， ，在边 上随机取一点 ，则事件
“ ”发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
70 2
12
+− 70 2
12
− 2 70
12
−
70 2
12
+
α sin 3
πα +
2
6 3a
π π< <
2 3
π πα π< + < sin 03
πα + >
sin 3
πα + =
21 351 6 6
− − =
∴ 7sin sin sin cos cos sin12 3 4 3 4 3 4
π π π π π π πα α α α + = + + = + + +
35 2 1 2
6 2 6 2
= × − × = 70 2
12
−
Rt ABC∆ 90A °= AB AC a= = BC D
10
4AD a>
3
4
2
3
1
2
1
3根据题意作出图形,在边 上求出符合题意的点 的位置,利用与长度有关的几何概型概率
计算公式求解即可.
【详解】根据题意作图如下：
记事件“ ”为 ,设 的中点为 ，则 ,
所以 ，解得 ，
.
故选：C
【点睛】本题考查与长度有关的几何概型概率计算公式;考查运算求解能力和分析问题解决问
题的能力;正确求出符合题题的点 的位置是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
6.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则 等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥构成,结合题中的数据,代入圆锥和三棱锥
的体积公式求解即可.
【详解】由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥构成，
BC D
10
4AD a> M BC P ⊥AP BC
2
2 2 22
2AD AP DP a DP
= + = +
10
4 a> 2
4DP a>
∴
2 22 2 4 1( ) 22
a a
P M
a
−
= =
D
3 6π + x所以该几何体的体积为
，
解得 .
故选：A
【点睛】本题考查三视图还原几何体并求几何体的体积;考查空间想象能力和运算求解能力;三
视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
7.已知抛物线 y2= 4x 的焦点为 F，抛物线上任意一点 P，且 PQ⊥y 轴交 y 轴于点 Q，则
的最小值为（ ）
A. B. C. l D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
设 点 ， 则 点 ， ， 利 用 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 可 得
，利用二次函数的性质可得最值.
【详解】解：设点 ，则点 ， ，
，
，
当 时， 取最小值，最小值为 .
故选：A.
【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
8.“2020”含有两个数字 0，两个数字 2，“2121”含有两个数字 1，两个数字 2，则含有两个数字
0，两个数字 2 的四位数的个数与含有两个数字 1，两个数字 2 的四位数的个数之和为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】B
21 1 1 134 3 3 2V xπ= × × × × + × 3 3 3 6x π× × × = +
4x =
PQ PF⋅
- 1
4
- 1
2
-
2
,4
yP y
( )0,Q y ( )1,0F
( )221 1216 4PQ PF y=⋅ − −
2
,4
yP y
( )0,Q y ( )1,0F
2 2
,0 , 1 ,4 4PQ Py F y y
∴ = − = − −
( )2 2 4 2 221 1,0 1 , 24 4 16 4 16 4PQ P y y yy yF y ∴ = − ⋅ − − = − = − −
⋅
2 2y = PQ PF⋅ 1
4
−【解析】
【分析】
先求含有两个数字 0，两个数字 2 四位数，再求两个数字 1，两个数字 2 的四位数，可得答
案.
【详解】第一类，含有两个数字 0，两个数字 2 的四位数的个数为 ；
第二类，含有两个数字 1，两个数字 2 的四位数的个数为 ，由分类加法计数原理得，满
足题意的四位数的个数为 .
故选:B.
【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基础题.
9.已知函数 的两个零点之差的绝对值的最小值为 ，将函数
的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
①函数 的最小正周期为 ；②函数 的图象关于点( )对称；
③函数 的图象关于直线 对称；④函数 在 上单调递增.
A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出函数 解析式,利用函数 图象平移变换法则求出函数
的解析式,再由正弦函数的周期性、对称性、单调性求解即可.
【详解】由题意知，函数 的最小正周期是 ，
则 ，所以 ，
所以将函数 的图象向左平移 个单位长度得到
的
2
3 3C =
2
4 6C =
3 6 9+ =
( ) sin ( 0)6f x x
πω ω = + > 2
π
( )f x
3
π ( )g x
( )g x π ( )g x 7 ,012
π
( )g x 2
3x
π= ( )g x ,3
π π
( )f x ( )siny A ωx φ= + ( )g x
( ) sin ( 0)6f x x
πω ω = + >
π
2 2
πω π= = ( ) sin 2 6f x x
π = +
( )f x
3
π函数 的图象，
即 ，则函数 的最小正周期为 ，故①正确；
令 ，解得 ，
令 ，则 ，则函数 的图象关于点 对称，故②正确；
令 ，解得 ，
令 ，2，得函数 的图象关于直线 对称，故③错误；
令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，故④错误；
故选：B
【点睛】本题考查函数 解析式的求解和正弦函数的周期性、对称性、单调
性;考查运算求解能力和整体换元思想;正确求出函数 的解析式和熟练掌握
正弦函数的有关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
10.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的
《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在 1654 年发现这一规律，
比杨辉要迟了 393 年.如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形
数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第 37 项是( )
sin 2 3 6y x
π π = + + =
5sin 2 6x
π +
5( ) sin 2 6g x x
π = + ( )g x 2
2T
π π= =
52 ( )6x k k Z
π π+ = ∈ 5 ( )2 12
kx k Z
π π= − ∈
2k = 7
12x
π= ( )g x 7 ,012
π
52 ( )6 2x k k Z
π ππ+ = + ∈ ( )2 6
kx k Z
π π= − ∈
1k = ( )g x 5,3 6x x
π π= =
52 2 2 ( )2 6 2k x k k Z
π π ππ π− + + ∈
2 ( )3 6k x k k Z
π ππ π− − ∈
( )g x 5,3 6
π π
( )siny A ωx φ= +
( )siny A ωx φ= +A 153 B. 171 C. 190 D. 210
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“杨辉三角”找出数列 1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。
【详解】由题意可得从第 3 行起的每行第三个数： ，
所以第 行的第三个数为 在该数列中，第 37 项为第 21 行第三个
数，所以该数列的第 37 项为
故选：C
【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。
11.已知双曲线 C： =1(a>0，b>0)的右焦点为 F，过原点 O 作斜率为 的直线交 C 的
右支于点 A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. +1
【答案】B
【解析】
【分析】
以 为圆心，以 为半径的圆的方程为 ，联立 ，可求出点
，则 ，整理计算可得离心率.
【详解】解：以 为圆心，以 为半径 圆的方程为 ，
联立 ，取第一象限的解得 ，
的
3 1 2,6 1 2 3,10 1 2 3 4= + = + + = + + +
k ( 3)k ≥ ( )1 2 2 ,k+ + + −
( )19 19 11 2 19 1902
⋅ ++ + + = =
2 2
2 2
x y
a b
− 4
3
3 5 3
O OF 2 2 2x y c+ =
2 2 2
2 2
2 2 1
x y c
x y
a b
+ = − =
2 2 2
,a c b bA c c
+
2
2 2
4
3
b
c
a c b
c
=
+
O OF 2 2 2x y c+ =
2 2 2
2 2
2 2 1
x y c
x y
a b
+ = − =
2 2
2
a c bx c
by c
+=
=即 ，则 ，
整理得 ，
则 （舍去）， ，
.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.
12.设函数 的定义域为 ， 是其导函数，若 ，则不等
式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数 ，求出 ，利用条件知 ，所以 单调递增，将
转化为 ，利用函数单调性即可得到答案.
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
而 可化为 ，又
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构
2 2 2
,a c b bA c c
+
2
2 2
4
3
b
c
a c b
c
=
+
( )( )2 2 2 29 5 5 0c a c a− − =
2
2
5 19
c
a
= <
2
2 5c
a
=
5ce a
∴ = =
( )f x R ( )f x′ 3 ( ) ( ) 0 (0) 1f x f x f′+ > =，
3( ) xf x e> －
(0, )+∞ (1, )+∞ ( ,0)−∞ (0,1)
3( ) ( )xg x e f x= ( )g x′ ( ) 0g x′ > ( )g x
3( ) xf x e> － ( ) (0)g x g>
3( ) ( )xg x e f x= 3 3( ) 3 ( ) ( )x xg x e f x e f x= +′ ′
3 ( ) ( ) 0f x f x′+ > 3 33 ( ) ( ) 0x xe f x e f x′+ > ( ) 0g x′ >
3( ) ( )xg x e f x= R
3( ) xf x e> － 3 ( ) 1xe f x > 3 0(0) e (0) 1g f×= =
( ) (0)g x g> 0x >
3( ) xf x e> － (0, )+∞造函数的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知函数 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数解析式可得 ，进而计算得到答案.
【详解】根据题意，当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.
14.已知(2x-1)7=ao+a1x+ a2x2+…+a7x7，则 a2=____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式即可得结果.
【详解】解：(2x-1)7 的展开式通式为：
当 时， ，
则 .
故答案为：
【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.
15.已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴相交于点 为抛物线上的一点，且满
3log ( 1) 2, 0( ) ( 3), 0
x xf x f x x
+ − ≥= + = = −
×
21
7
−
+ A
WiFi WiFi h
200
90% A WiFi
45 1
3 3 WiFi X的，求 的分布列，数学期望 和方差 ．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）没有 的把握认为；（2）分布列见解析， ， ．
【解析】
【分析】
（1）由列联表计算观测值，再比较临界值即可得出结论；
（2）由题意 服从二项分布， ，根据独立重复试验概率公式分别计算对应的概
率，写出分布列，再利用二项分布的期望和方差公式计算即可.
【详解】（1）由列联表可知 ，
因为 ，所以没有 的把握认为 市使用免费 的情况与年龄有关．
（2）由题意可知 ， 的所有可能取值为 ，
， ，
， ．
所以 的分布列为
X 0 1 2 3
P
X ( )E X ( )D X
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
90% 6( ) 5E X = 18( ) 25D X =
X 2(3, )5X B
2
2 200 (70 40 60 30) 2.198130 70 100 100K
× × − ×= ≈× × ×
2.198 2.706< 90% A WiFi
2(3, )5X B X 0,1,2,3
0 3
3
3 27( 0) ( )5 125P X C= = = 1 2
3
2 3 54( 1) ( ) ( )5 5 125P X C= = × =
2 2
3
2 3 36( 2) ( )5 5 125P X C= = × = 3 3
3
2 8( 3) ( )5 125P X C= = =
X
27
125
54
125
36
125
8
125， ．
【点睛】本题主要考查独立性检验、二项分布的分布列及其期望方差的计算，考查学生计算
能力，属于基础题.
20.已知椭圆 ，圆心为坐标原点的单位圆 O 在 C 的内部，且与 C 有
且仅有两个公共点，直线 与 C 只有一个公共点.
（1）求 C 的标准方程；
（2）设不垂直于坐标轴的动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且弦 AB
的中垂线交 x 轴于点 P，试求 的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据单位圆 O 在 C 的内部,且与 C 有且仅有两个公共点可得 ,再联立 与
C 求得二次方程令判别式等于 0 即可求得 .
(2) 由题意设直线 l 的方程为 ,联立直线 l 与椭圆的方程,再利用韦达定理与
面积公式求得关于 的面积的表达式,最后利用换元求导分析函数的最值即可.
【详解】解：（1）依题意,得
将 代入椭圆的方程,得
由 ,解得
所以椭圆的标准方程为
（2）由（1）可得左焦点
由题意设直线 l 的方程为 ,
2 6( ) 3 5 5E X = × = 2 2 18( ) 3 (1 )5 5 25D X = × × − =
2 2
: 2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
2 2x y+ =
ABP△
2
2 12
x y+ = 3 6
16
1b = 2 2x y+ =
2 2a =
1( 0)x my m= − ≠
ABP△
1b =
2 2x y= − ( )2 2 22 4 2 4 0a y y a+ − + − =
( )( )2 232 4 2 4 0a a∆ = − + − = 2 2a =
2
2 12
x y+ =
( 1,0)F −
1( 0)x my m= − ≠代入椭圆方程,得
设 ,则
所以 ,AB 的中点为
设点 ,则 ,解得
故
令 ,则 ,且
设 ,则
所以 ,即 的面积的最大值为
【点睛】本题主要考查了根据直线与椭圆的位置关系求椭圆的方程,同时也考查了解析几何中
面积的最值问题,需要根据题意联立方程利用韦达定理求解对应的函数解析式,再根据面积的
函数解析式求导求最值.属于难题.
21.已知函数 f(x)=ex-x2 -kx（其中 e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值
点．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）证明：f(x)的极大值不小于 1．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出 ，记 ，问题转化为方程 有两个不同解，
求导，研究极值即可得结果 ；
( )2 22 2 1 0m y my+ − − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
−+ = =+ +
( )1 2 1 2 2
42 2x x m y y m
−+ = + − = + 2 2
2 ,2 2
mQ m m
−
+ +
( )0 ,0P x ( )2
02 2PQ
mk m
m x
−= = −
+ + 0 2
1
2x m
−= +
( ) ( )
( )
2 2
20
1 2 1 2 1 2 22
2 1 111 | | 42 2 2ABP
m mxS PF y y y y y y
m
+ ++= ⋅ − = + − =
+
2 1( 1)t m t= + > 2 2 1m t= − ( )
3
22
3
2 2
2 11ABP
tS
t t t t
= =
+ + +
3
2 1( ) ( 1)f t t tt t
= + + > ( )2
2 4 4
( 3)( 3) 12 3( ) 1
t t t
f t t t t
′
− + +
= − − =
2 3 6
1616 3
9
ABPS =
ABP△ 3 6
16
(2 2ln2, )k ∈ − +∞
( ) 2xf x e x k′ = − − ( ) 2xg x e x= − ( )g x k=（2）由（1）知， 在区间 上存在极大值点 ，且 ，则可求出极
大值 ，记 ，求导，求单调性，求
出极值即可.
【详解】（1） ，由 ，
记 ， ，
由 ，且 时， ， 单调递减，
，
时， ， 单调递增， ，
由题意，方程 有两个不同解，所以 ；
（2）解法一：由（1）知， 在区间 上存在极大值点 ，且 ，
所以 的极大值为 ，
记 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以 ，即函数 极大值不小于 1.
解法二：由（1）知， 在区间 上存在极大值点 ，且 ，
所以 的极大值为 ，
因为 ， ，所以 .
即函数 的极大值不小于 1.
【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一
道中档题.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
的
( )f x ( ,ln 2)−∞ 1x 1
12xk e x= −
( ) ( ) 1
1 1
2
11 xf x x e x= − + 2( ) (1 ) ( ( ,ln2))th t t e t t= − + ∈ −∞
( ) 2xf x e x k′ = − − ( ) 0 2xf x e x k′ = ⇒ − =
( ) 2xg x e x= − ( ) 2xg x e′ = −
( ) 0 ln2g x x′ = ⇒ = ln 2x < ( ) 0g x′ < ( )g x
( ) (2 2ln2, )g x ∈ − +∞
ln 2x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) (2 2ln2, )g x ∈ − +∞
( )g x k= (2 2ln2, )k ∈ − +∞
( )f x ( ,ln 2)−∞ 1x 1
12xk e x= −
( )f x ( ) ( ) ( )1 1 1
1 1 1 1
2 2
1 12 1x x xf x e x e x x x e x= − − − = − +
2( ) (1 ) ( ( ,ln2))th t t e t t= − + ∈ −∞ ( )( ) 2 2t th t te t t e′ = − + = −
( ,ln2)t ∈ −∞ 2 0te− >
0t < ( ) 0h t′ < ( )h t 0 ln 2t< < ( ) 0h t′ > ( )h t
( ) (0) 1f t h≥ = ( )f x
( )f x ( ,ln 2)−∞ 1x 1
12xk e x= −
( )f x ( ) ( ) ( )1 1 1
1 1 1 1
2 2
1 12 1x x xf x e x e x x x e x= − − − = − +
11 0x− > 1
11xe x≥ + ( ) ( )( )1 1 1 11 1 1f x x x x 2≥ − + + =
( )f x22.已知在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为
极点， 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线 的方程为
.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
利用极坐标和直角坐标的互化公式: 即可求解;
把直线的参数方程化为直角坐标方程,联立直线方程和曲线 的方程,得到关于 的一元二
次方程,利用韦达定理和弦长公式即可求出 的值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
代入 ，得 ，即 ，
故曲线 的直角坐标方程是 .
（2）由 ，消去 ，得 ，
联立 ，消去 ，得 ，
得 ，解得 或 ，
设 ，由韦达定理可得 ，
又 ，
解得 .
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化及弦长公式的运用;熟练掌握
l 1
x t
y bt
=
= − + t O
x C
22sin cos 0θ ρ θ− =
C
l C A B | | 4AB = b
2 2x y= 3b = ±
( )1 cos , sinx yρ θ ρ θ= =
( )2 C x
b
22sin cos 0θ ρ θ− =
2 22 sin cos 0ρ θ ρ θ− =
sin
cos
y
x
ρ θ
ρ θ
=
=
22 0y x− = 2 2x y=
C 2 2x y=
1
x t
y bt
=
= − + t 1y bx= − +
2
1
2
y bx
x y
= − +
=
y 2 2 2 0x bx− + =
2( 2 ) 4 2 0b∆ = − − × > 2b > 2b < −
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 , 2x x b x x+ = ⋅ =
( )22 2 2
1 2 1 2| | 1 4 1 4 8 4AB b x x x x b b= + ⋅ + − = + ⋅ − =
3b = ±参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
【选修 4-5：不等式选讲】
23.已知函数 .
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若函数 的图象与 轴围成的三角形的面积为 ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
由题知, ,利用零点分段讨论法：分 , , 三种
情况分别去绝对值，解不等式，然后再取并集即可;
去绝对值,把函数 写成分段形式,求出三角形的三个顶点坐标,列出三角形面积的表达
式,解方程即可求解.
【详解】（1）当 时, ，
当 时， 可化为 ，解得 ；
当 时， 可化为 ，得 ，此时无解；
当 时， 可化为 ，解得 ；
综上可知，不等式 的解集是 .
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ，
( ) | 3 | -2 | -1| ( 0)f x x m x m= + >
1m = ( ) 4f x
( )f x x 20
3
m
( ] [, 7 , )1−∞ − +∞ 2m =
( )1 ( ) 3 1 2 2f x x x= + − − 1
3x < − 1 13
−
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