山西省吕梁市孝义市实验中学2020届高三数学（文）5月模拟试卷（Word版附答案）

山西省吕梁市孝义市实验中学校 2020 届高三下学期 5 月模拟考试数学（文）试卷 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.设全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.已知复数 ， 为虚数单位，则 A. B. C. D. 3. 在 中 ， ， 点 为 边 上 一 点 ， 且 ，则 A. B. C. D. 4.运行如图所示的程序框图，输出的 x 是 A. B. C. D. 5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由 波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的 三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 ABC∆ 2 2, 120AB AC BAC= = ∠ = ° D BC 2BD DC=  AB AD⋅ =  3 2 7 3 2 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图. 现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. 6.若函数 的图象向左平移 个单位长度后关于 轴对称，则函 数 在区间 上的最小值为 A. B. C. 1 D. 7.设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 的值等于 A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 8.函数 的部分图像大致是 A. B. C. D. 9.已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 10.在正方体 中，点 M，N 分别是线段 和 上不重合的两个动 点，则下列结论正确的是 ( ) ( ) 2 8 sin 2 x xf x x x −= + − A. B. C. 平面 平面 D. 平面 平面 11.已知函数 与 ，则函数 在区间 上所有零点的 和为 A. B. C. D. 12.已知 是双曲线 上一点， 是左焦点， 是右支上一点， 与 的内切圆切于点 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为______． 14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样 本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在 的同学比支出的钱数 在 的同学多 26 人，则 的值为__________． n [ )30,40 [ )10,20 n 15.如图所示，平面 BCC1B1⊥平面 ABC，∠ABC＝120°，四边形 BCC1B1 为正方形，且 AB＝BC＝2，则异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为_____． 16.设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一 点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围 是_____． A. B. C. D. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。) 17. （本小题满分 12 分） （1）求角 ； （2）若 ，求 的面积. 18. （本小题满分 12 分） 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某 运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户， 得到用户的满意度评分如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > ( )1,0F ( )1,1A − E E P 9PA PF+ = E 1 ,12     1 1,5 4      1 1,3 2      1 2,2 3      A 3,sin 2sin 1a B C= + = ABC∆ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 78 73 81 92 95 85 79 84 63 86 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 88 86 95 76 97 78 88 82 76 89 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 79 83 72 74 91 66 80 83 74 82 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 93 78 75 81 84 77 81 76 85 89 用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本，且在第一分段里随机抽到的 评分数据为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； （2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的 10 个样本，估计该地区满意度 等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？ （参考数据： ） 19. （本小题满分 12 分） 四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 是等边三角 形， 为 的中点， . （1）求证： ； （2）若 在线段 上，且 ，能否在棱 上找到一点 ，使平面 平面 ？若存在，求四面体 的体积. 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 的焦点为 ，定点 与点 在抛物线 的两侧，抛物线 上的动点 到点 的距离与到其准线 的距离之和的最小值为 ． （1）求抛物线 的方程； （2）设直线 与圆 和抛物线 交于四个不同点，从左到右依次 为 ，且 是与抛物线 的交点，若直线 的倾斜角互补，求 的值． 21（本小题满分 12 分） .已知函数 ． 求 的单调区间； 若 在区间 上恒成立，求实数 a 的取值范围． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点 ， ， ． （1）求经过 ， ， 三点的圆 的极坐标方程； （2）以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数 方程为 （ 是参数），若圆 与圆 外切，求实数 的值． 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； 2: 2 ( 0)E y px p= > F (2,3)M F E E P M l 10 E 1 2y x b= + 2 2 9x y+ = E , , ,A B C D ,B D E ,BF DF | | | |AB CD+ ( )0,0O 2, 2A π     2 2, 4B π     O A B 1C x 2C 1 ,{ 1 x acos y asin θ θ = − + = − + θ 1C 2C a ( ) 5 4f x x x= − + + ( ) 12f x ≥ （2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.x ( ) 1f x a≥ − a 文科数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D A A A A D A A D B 1.B 利用指数函数的性质化简集合 ，利用由一元二次不等式的解法化简集合 ， 利用补集与交集的定义求解即可. 因为 ， 又因为 ， ，故选 B. 2.B 先化简复数 z 求出 z，再求 . 由题得 ， 所以 .故答案为：B 3.D 3.∵ ∴ 。故选 D. 4.A 模拟运行如图所示的程序框图知， 该程序运行后输出的 ．故选：A． 5.A 由归纳推理得：设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S，则图（3）中阴影 部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为 16S，由几何概型中的面积型 得解 设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S， 则图（3）中阴影部分的面积为：9S， 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3AD CD AC CB AC AB AC AC AB AC= + = + = − + = +          21 2 4 2 2 3 3 3 3 3AB AD AB AB AC⋅ = + ⋅ = − =     又图（3）中大三角形的面积为 16S， 由几何概型中的面积型可得： 此点取自阴影部分的概率为 ，故选：A. 6.A 利用三角函数图象的变化规律求得： ，利用对称性求得 ，由 时，可得 ，由正弦函数的单调性可得结果. 函数 的图象向左平移 个单位长度后， 图象所对应解析式为： ， 由 关于 轴对称，则 ， 可得 ， ，又 ，所以 ， 即 ， 当 时，所以 ， ，故选 A． 7.A 8.D 为奇函数，图象关于原点对称，排除 ；当 时，设 ，则 ，即 在 区间 上递增，且 ，又 在区 间 上 ，排除 B；当 时， ，排除 C，故选 D. 9.A 先证明 恒成立，得函数 在 上递减，即当 时， 恒成立，问题转化为 恒成立，即可求出 a 的范围． 设 则 ，当 时 ， 所以 在 上递增，得 ( ) ( ) ( ) ( )2 8 sin ,2 x xf x f x f xx x − +− = = − ∴+ − A ( )0,1x∈ ( ) sing x x x= − ( )' 1 cos 0g x x= − ≥ ( ) sing x x x= − ( )0,1 ( ) ( )0 0, 0g g x= ∴ > ( )( )2 2 2 1 0,x x x x+ − = + − < ∴ ( )0,1 ( ) 0f x < 1x > ( ) 0f x > 所以当 时， 恒成立. 若不等式 在 上恒成立，得函数 在 上递减， 即当 时， 恒成立，所以 即 ，可得 恒成立，因为 ,所以 ，故选： ． 10.A 利用排除法，由 与 重合排除选项 ；由 与 重合且 与 重合排除选项 ； 与 重合时，排除选项 ，从而可得结果. 与 重合时， 不成立，排除选项 ； 与 重合且 与 重合时，平面 平面 不成立，排除选项 ； 与 重合时，平面 平面 不成立，排除选项 .故选 A. 11.D 在区间 上所有零点的和，等价于函数 的图象交点横 坐标的和，画出函数 的图象，根据函数 的图象关于 点对称可得 结果. 在区间 上所有零点的和， 等价于函数 的图象交点横坐标的和， 画出函数 的图象， 函数 的图象关于 点对称，则 共有 8 个零点，其和为 16. 故选 D. 12.B 由内切圆得到 ,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解. 与 的内切圆切于点 ，∴ ,由双曲线定义 = ,当 且仅当 A,B, 共线时取等故选：B 13.-1 画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数 的最小值． 画出约束条件 表示的平面区域如图所示， 由图形知，当目标函数 过点 A 时取得最小值，由 ，解得 ， 代入计算 ，所以 的最小值为 ． 故答案为： ． 14. 由频率分布直方图可得支出的钱数在 的同学有 个，支出的钱数在 的同学有 个，又支出的钱数在 的 同 学 比 支 出 的 钱 数 在 的 同 学 多 26 人 ， 所 以 故答案为 100 15. 将 平移到和 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 过 作 ，过 作 ，画出图像如下图所示，由于四边形 是平行四边 形，故 ，所以 是所求线线角或其补角.在三角形 中， 100 [ )30,40 0.038 10 0.38n n× = [ )10,20 0.012 10 0.12n n× = [ )30,40 [ )10,20 0.38 0.12 0.26 26 100n n n n− = = ∴ = ，故 . 16. 因为点 为椭圆内一点，所以 ，设左焦点 ，则 ，又 ，所以 ，也就是 即 ，从而 . 17.(1) (2) （ 1 ） 因 为 ， 所 以 有 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ， 因 ， 故 ， 所 以 得 到 ，∵ 所以 . （2）法 1:根据正弦定理 ，于是可得 .∵ ， ∴ ，又因为 ，由余弦定理得 ， 两式联立得 ，解得 或 （负值舍去）.∴ . 法 2：因为 ，所以 ，代入 得 ，所以 . 1 1 5 4e≤ ≤ A 2 2 1 1 1a b + < ( )1 1,0F − 12PA PF a PA PF+ = + − 1 1 1AF PA PF AF− ≤ − ≤ 11 1PA PF− ≤ − ≤ 2 1 2 1a PA PF a− ≤ + ≤ + 2 1 9 2 1a a− ≤ ≤ + 4 5a≤ ≤ 1 1 5 4e≤ ≤ 2 3A π= ( )3 6 2 6S − = / /m n  2 sin cos sinc B A b C− = 2sin sin cos sin sinC B A B C− = ( ), 0,B C π∈ sin 0,sin 0B C≠ ≠ 1cos 2A = − ( )0,A π∈ 2 3A π= 3 2 sin sinsin 3 b c B Cπ = = sin ,sin2 2 b cB C= = sin 2sin 1B C+ = 2 2b c+ = 2 3A π= 2 23 b c bc= + + 23 6 1 0c c− + = 61 3{ 2 6 3 c b = − = 61 3{ 2 6 3 c b = + = − ( )3 6 21 2 3 3 6 2 6sin2 3 4 3 3 6S bc π −−= ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 3A π= 3C B π= − sin 2sin 1B C+ = sin 2sin sin 3cos sin 3cos 13B B B B B B π + − = + − = =   3 6cos ,sin3 3B B= = 因为 ，所以 .根据正弦定理 ，于 是可得 ，∴ 18. （1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32， 36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得 ， 则有 所以均值 ，方差 . （3）由题意知评分在 即 之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为 10 的样本评分在 之间有 5 人， 则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为 19. （1）连接 PF，BD 由三线合一可得 AD⊥BF，AD⊥PF，故而 AD⊥平面 PBF， 于是 AD⊥PB； （2）先证明 PF⊥平面 ABCD，再作 PF 的平行线，根据相似找到 G，再利用等积转 化求体积．连接 PF，BD, sin 2sin 1B C+ = 3 6sin 6C −= 3 2 sin sinsin 3 b c B Cπ = = 2 6 3 62sin , 2sin3 3b B c C −= = = = ( )3 6 21 2 3 3 6 2 6sin2 3 4 3 3 6S bc π −−= ⋅ = ⋅ ⋅ = ∵ 是等边三角形，F 为 AD 的中点， ∴PF⊥AD， ∵底面 ABCD 是菱形， ， ∴△ABD 是等边三角形，∵F 为 AD 的中点， ∴BF⊥AD， 又 PF，BF⊂平面 PBF，PF∩BF＝F， ∴AD⊥平面 PBF，∵PB⊂平面 PBF， ∴AD⊥PB． （2）由（1）得 BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD⊂平面 PAD， ∴BF⊥平面 PAD，又 BF⊂平面 ABCD， ∴平面 PAD⊥平面 ABCD， 由（1）得 PF⊥AD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴PF⊥平面 ABCD， 连接 FC 交 DE 于 H,则△HEC 与△HDF 相似，又 ，∴CH= CF， ∴在△PFC 中,过 H 作 GH PF 交 PC 于 G，则 GH⊥平面 ABCD，又 GH 面 GED，则面 GED⊥平面 ABCD， 此时 CG= CP, ∴四面体 的体积 ． 所以存在 G 满足 CG= CP, 使平面 平面 ，且 . 20. （1）过 作 于 ，则 ， 当 共线时， 取最小值 ． 解得 或 ． 当 时，抛物线 的方程为 ， 此时，点 与点 在抛物线 同侧，这与已知不符． ∴ ，抛物线 的方程为 ． （2） ，设 ， 由 ，得 ， 所以 ， ，且由 得 ． 因为直线 的倾斜角互补，所以 ， ∵ ， ∴ ，即 ， ， ， ， 由 ，得 ， 所以 ， P 1PP l⊥ 1P 1| | | | | | | | | |PM PP PM PF MF+ = + ≥ , ,P M F 1| | | |PM PP+ 2| | ( 2) 9 102 pMF = − + = 6p = 2p = 6p = E 2 12y x= M F E 2p = E 2 4y x= (1,0)F 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y D x y 2 1 2 4 y x b y x  = +  = 2 2(4 16) 4 0x b x b+ − + = 2 4 16 4x x b+ = − 2 2 4 4x x b= 0∆ > 2b < ,BF DF 0BF DFk k+ = 2 4 2 4 4 2 2 4 2 4 ( 1) ( 1) 1 1 ( 1)( 1)BF DF y y y x y xk k x x x x − + −+ = + =− − − − 2 4 4 2( 1) ( 1) 0y x y x− + − = 2 4 4 2 1 1( )( 1) ( )( 1) 02 2x b x x b x+ − + + − = 2 4 2 4 1( )( ) 2 02x x b x x b+ − − = 2 14 ( )(16 4 ) 2 02b b b b+ − − − = 1 2b = 2 2 1 1 2 2 9 y x x y  = +  + = 25 2 35 0x x+ − = 1 3 2 5x x+ = − 2 1 4 3 1 1| | | | 1 ( ) 1 ( )4 4AB CD x x x x+ = + − + + − ． 21.. ． ， 由 得 ， ， 当 时，在 或 时 ， 在 时 ， 的单调增区间是 和 ，单调减区间是 ； 当 时，在 时 ， 的单调增区间是 ； 当 时，在 或 时 ， 在 时 ． 的单调增区间是 和 ，单调减区间是 ． 由 可知 在区间 上只可能有极小值点， 在区间 上的最大值在区间的端点处取到， 即有 且 ， 解得 ． 即实数 a 的取值范围是 ． 22.（1） ；（2） ． （1） 对应的直角坐标分别为 ，则过 的圆的普通方程为 ，又因 为 ，代入可求得经过 的圆 的极坐标方程为 。 2 4 1 3 5 5 2 36 5( ) (14 )2 2 5 5x x x x= + − − = + = 2 2cos 4 πρ θ = −   2a = ± ( )0,0 , 2, , 2 2,2 4O A B π π           ( ) ( ) ( )0,0 , 0,2 , 2,2O A B , ,O A B 2 2 2 2 0x y x y+ − − = { x cos y sin ρ θ ρ θ = = , ,O A B 1C 2 2cos 4 πρ θ = −   （2）圆 （ 是参数）对应的普通方程为 ， 因为圆 与圆 外切，所以 ，解得 。 23.（1） 或 ；（2） ∵函数 ，∴当 时， ；当 时， ； 当 时， （1）当 时，不等式 化为 ，解得 ， 当 时，不等式 化为 ，无解， 当 时，不等式 化为 ，解得 ， 综上，不等式的解集为 或 （2） 由上述可知 的最小值为 9，因为不等式 恒成立，所以 ，所以 ，故实数 的取值范围为 2 1:{ 1 x acosC y asin θ θ = − + = − + θ ( ) ( )2 2 21 1x y a+ + + = 1C 2C 2 2 2a+ = 2a = ± 11{ 2x x ≤ − 13 2x ≥  [ ]8,10− ( ) 5 4f x x x= − + + 5x ≥ ( ) 2 1 9f x x= − ≥ 4 5x− < < ( ) 9f x = 4x ≤ − ( ) 2 1 9f x x= − + ≥ 5x ≥ ( ) 12f x ≥ 2 1 12x − ≥ 13 2x ≥ 4 5x− < < ( ) 12f x ≥ 9 12≥ 4x ≤ − ( ) 12f x ≥ 2 1 12x− + ≥ 11 2x ≤ − 11{ 2x x ≤ − 13 2x ≥  ( )f x ( ) 1f x a≥ − 1 9a − ≤ 8 10a− ≤ ≤ a [ ]8,10−