山西省吕梁市孝义市实验中学校 2020 届高三下学期 5 月模拟考试数学（理）试卷
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。)
1.设复数 满足 ，则
A. 3 B. C.
9 D. 10
2.若 的展开式中 的系数为 ，则
A. B.
C. D.
4.各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的取值范围是
A. B. C.
D.
5.如图所示，直线 为双曲线 ： 的一条渐近线， ， 是双曲线
的左、右焦点， 关于直线 的对称点为 ，且 是以 为圆心，以半焦距 为半径
的圆上的一点，则双曲线 的离心率为
A. B. C.
2 D. 3
6.设 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围为
A. B. C.
D.
7.函数 的大致图像为
8.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯
卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在 1654 年发现这一规律的，比杨辉要迟 393
年，比贾宪迟 600 年。右图的表在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章
算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示，在“杨
辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则
此数列前 16 项和为
A. B. C.
D.
9.已知函数 ，将 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，再向右平移 个单位得到 的图像，若 为偶函数，则 的一个值为
A. B.
C. D.
10.三棱锥 中，底面 满足 ， ， 在面 的
射影为 的中点，且该三棱锥的体积为 ，当其外接球的表面积最小时， 到
面 的距离为
P ABC− ΔABC BA BC= π
2ABC∠ = P ABC
AC 9
2 P
ABC
A. 2 B. 3
C. D.
11. 以下四个命题中：
①某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布
，已知 ，若按成绩分层抽样的方式抽取 100 分试卷进行
分析，则应从 120 分以上（包括 120 分）的试卷中抽取 15 分；
②已知命题 ， ，则 ， ；
③在 上随机取一个数 ，能使函数 在 上有零点的概率为 ；
④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的 20 名男乘客中有 5 名晕机，12
名女乘客中有 8 名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检
验，有 97%以上的把握认为与性别有关．
0．15 0．1 0．05 0．025
2．072 2．706 3．841 5．024
其中真命题的序号为
A. ① ② ③ B. ② ③ ④
C. ①②④ D. ①③④
12.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过左焦点 作斜率为 2 的直
线与椭圆交于 两点， 的中点是 ， 为坐标原点，若直线 的斜率为 ，则
的值是
A. 2 B. C.
D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.若 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为______．
2 3 3 3
14. 某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩( 单位: 分) 服从正态分布
，从中抽取一个同学的数学成绩 ，记该同学的成绩 为事
件 ，记该同学的成绩 为事件 ,则在 事件发生的条件下 事件发生
的概率 ______.
（结果用分数表示） 附： 满足： ；
； .
15.设函数 的最小正周期为 ，且满足
，则函数 的单调增区间为 ．
16.祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条
原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句
话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两
个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷
却塔是曲线 与直线 ， 和 所围成的平面图
形绕 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，
求出此冷却塔的体积为_______.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
17. （本小题满分 12 分）
已知函数 ．
求 在 上的值域；
X
( )2110,10N ξ 90 110ξ< ≤ A 80 100ξ< ≤ B A B ( | )P B A = X ( ) 0.68P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.95P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.99P Xµ σ µ σ− < ≤ + = 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 0x = 0y = y b=
y
在 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 ， ，求 a
的取值范围．
18. （本小题满分 12 分）
某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 实验地分别用甲、乙方
法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 株，对每株进
行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分
为 及以上的花苗为优质花苗.
求图中 的值，并求综合评分的中位数.
用样本估计总体，以频率作为概率，若在 两块试验地随机抽取 棵花苗，求
所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
填写下面的列联表，并判断是否有 的把握认为优质花苗与培育方法有关.
附：下面的临界值表仅供参考.
（参考公式： ，其中 .）
19. （本题满分 12 分）
如图，在四棱锥 中，底而 为正方形， 底面 ， ，点
为棱 的中点，点 ， 分别为棱 ， 上的动点（ ， 与所在棱的端点不重
合），且满足 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值
20. （本小题满分 12 分）
为抛物线 的焦点，过点 的直线 与 交于 两点， 的准线与
轴的交点为 ，动点 满足 ．
（Ⅰ）求点 的轨迹方程；
（Ⅱ）当四边形 的面积最小时，求直线 的方程．
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 ，其导函数 的最大值为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 ，证明： .
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位
建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程
为 .
（1）设 为参数，若 ，求直线 的参数方程；
（2）已知直线 与曲线 交于 ，设 ，且 ，求实数
的值.
F xyC 4: 2 = F l C BA, C x
E P EAEBEP +=
P
EAPB l
x
l cos 33
πρ θ + = C
4 cos ( 0)a aρ θ= >
t 12 3 2y t= − + l
l C ,P Q ( )0, 2 3M − 2| |PQ MP MQ=
a
23. （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
理科数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D B B C A A C B B B D
1.A【解析】 利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出．
满足 = =2﹣ i，
则|z|= =3．
故选：A．
2.D【解析】由题意二项式 的展开式为 ，
展开式的 为 ，所以 ，
解得 ，故选 D.
4.B【解析】根据题意，可得等比数列 中，由等比数列的前 n 项和公式，可得
，进而结合极限的计算公式，可得 ，即可求解公比点
取值范围。根据题，等比数列 中， ，必有 ，则 ，
( ) 2 1 1f x x x= + − −
( ) 2f x < x ( ) 2 2 af x a≤ − a
则 ，
若 存在，且 的各项均为正数，必有 ，
此时 ，解得 ，即 的取值范围是 ，故选 B。
5.C【解析】设焦点 关于渐近线 的对称点为 ，则
，又点 在圆 上，
，故选 C.
6.A【解析】由题意得令 ，即 与 恰有 3 个交点，由
，利用导数得到函数的单调性即可得解.
恰有 3 个零点，则 恰有 3 个根，
令 ，即 与 恰有 3 个交点，
，
当 时， ，所以 在 上是减函数；
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 时增函数，在 时减函数，且 ，
所以
故选 A．
7.A【解析】此题主要利用排除法，当 时，可得 ，故可排除 C，D，当
时，可排除选项 B，故可得答案.
当 时， ， ，∴ ，故可排除 C，D 选项；
当 时， ， ，∴ ，故可排除 B 选项，故选 A.
8.C【解析】分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可求
得最终结果.
考查每行第二个数组成的数列： ，归纳推理可知其通项公式为 ，
其前 项和 ；
每行第三个数组成的数列： ，
归纳推理可知其通项公式为 ，
其前 项和 ，
据此可得题中数列前 16 项和为 .本题选择 C 选项.
9.B【解析】化简函数可得 ，经图象变换可得 ，
结合对称性求出 的值.
，
将 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
得到 的图像，即
又 为偶函数，∴ ，
即 故选：B
10.B
【解析】设 AC 的中点为 D，连结 PD，很明显球心在 PD 上，设球心为 O，
PD=h，AB=x，则： ，
在 Rt△OAD 中： ，设 ,则： ，
2 2 21 1 9 2727,3 2 2x h hx x h
× × = ⇒ = =
2 2 2OA AD OD= + OA R= ( )
2
22 2
2R x h R
= + −
解得： ，
当且仅当 时等号成立，即当其外接球的表面积最小时， 到面
的距离为 3 .
11.B【解析】对于①，在一次调研测试中，数学成绩 ξ 服从正态分布 N（100，
σ2），∴数学成绩 ξ 关于 ξ=100 对称，
∵P（80＜ξ≤100）=0.40，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5-0.40=0.1，则该班数学
成绩在 120 分以上的人数为 0.1×100=10，故①错误；
对于②，已知命题 p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1，故②正确；
对于③，由( )2−8≥0，解得 m≤-2 或 m≥2，∴在[-4，3]上随机取一个数 m，能使
函数 在 R 上有零点的概率为 ，故③正确；
对于④，填写 2×2 列联表如下：
晕机 不晕机 合计
男乘客 5 15 20
女乘客 8 4 12
合计 13 19 32
则 k2 的观测值 k＝ 有 97%以上的把握认为晕机与性别有
关.故④对。故选 B
12.D【解析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），根据点差法和中点坐标公式和斜率公式
可得 • ，结合条件可得结果.
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， 1，
两式相减可得 （x1﹣x2）（x1+x2） （y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∵P 为线段 AB 的中点，
∴2xp＝x1+x2，2yp＝y1+y2，
∴ • ，
22 2
3
2 2
1 271
1 27 1 1 1 27 1 1 922 32 2 4 4 4 4 4 4 4
hx h hR h h h hh h h h
× ++
= = = × + + ≥ × × × =
2
1 27 1 , 34 4 h hh
× = = P
ABC
又 kAB＝2，
∴ ，即 ，
∴ 。故选：D
13.8【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合
得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结
论.
画出 满足约束条件 的平面区域，如图所示：
由 ，得 ，平移 ，
显然直线过 时， 最大，
由 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，故答案为 8.
14. 【解析】由题意， ， ，
.
∴ 。故答案为 .
15.
【解析】因为 ，所以由 ，由
，因为 ，所以 ，由
，即函数 的单调增区间为
27
95
( ) 0.475P A = ( ) ( )1 0.99 0.68 0.1552P B = × − =
( ) ( )1 0.95 0.68 0.1352P AB = × − =
( ) 0.135 27| 0.475 95P B A = = 27
95
16.
【解析】设点 ，则 ，所以圆环的面积为 .
因 为 ， 所 以 ， 所 以 圆 环 的 面 积 为
.
根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何
的 体 积 等 于 底 面 半 径 为 、 高 为 的 圆 柱 的 体 积 ， 所 以 冷 却 塔 的 体 积 为 ：
.
17.（1） ；（2）
【解析】 ，
，
，
，
，
故 在 上的值域 ，
，
，
24π
3
a b
( )0 0A x y， 0 0
aB y yb
，
2
2
0 0π π ax yb
−
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 20
0 2
a yx ab
= +
22 2
2 20
02π π πa y aa y ab b
+ − =
a b
2 2 21 4π π π3 3a b a b a b+ =
，
，或 ，
即 ， 舍去 ， ，
根据余弦定理，得 ，
，可得 ，
，
即当且仅当 时， 的最小值为 1，
故 的取值范围为 ．
18.【解析】 由 ，
解得
令得分中位数为 ，由 解得
故综合评分的中位数为
由 与频率分布直，优质花苗的频率为 ，即概率为 ，
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为 ，则 ，于是，
其分布列为：
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望
结合 与频率分布直方图，优质花苗的频率为 ，则样本种，
优质花苗的颗数为 棵，列联表如下表所示：
可得
所以，有 的把握认为优质花苗与培育方法有关系.
19.【解析】（1）【解法一】：
证明：连接 交 于 ，连接 .
因为底面 为正方形，所以 ， ，
又因为 ，所以 .
由 底面 知， 底面 ，
又 底面 ，所以 ；
又 ； 平面 ，所以 平面 .
在 中，因为 ， ，所以 ，即 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
【解法二】
（向量法）
因为 底面 ， ，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系 .则
， ， ， .设 ，则 .
， ， ， .
设 为平面 的一个法向量，则
即 可取 .
设 为平面 的一个法向量，则
即 可取 .
因为 ，所以 .
所以平面 平面 .
（2）解：设 ，
由题意知， ，又 ，
所以 .
易知当三棱锥 的体积最大时， ，即此时 ， 分别为棱 ， 的中点.
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ， .
， ， .
设 是平面 的法向量，则
即 可取 .
设 是平面 的法向量，则
即 可取 .
则 .
由图知所求二面角为钝二面角，所以二面角 的余弦值为 .
20.（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ）∵ ，∴可设 代入 得 ．
设 ， ， ，则 ， ．
由 及 得
，
∴ ， ，
消去 得 为所求点 的轨迹方程．
（2）由 ，可知四边形 为平行四边形，则四边形 的面积
为
，
当 时， 取得最小值 8，
此时直线 的方程为 ．
21.（1） ；（2）见解析
【解析】证明 ，对 求导，研究其单调性和极值，得到结论.
（1）由题意，函数 的定义域为 ，其导函数
记 则 .
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，且 .
所以 ，有 ，故 时不成立；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 .
所以 在 单调递增，在 单调递减。
所以 .
2 4 12y x= − 1x =
( )1,0F : 1l x my= + 2 4y x= 2 4 4 0y my− − =
( )1 1,A x y 2 2( ),B x y ( ),P x y 1 2 4y y m+ = 2
1 2 4 2x x m+ = +
EP EB EA= + ( )1,0E −
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 21, 1, 1, 2,x y x y x y x x y y+ = + + + = + + +
1 2 4y y y m= + = 2
1 2 1 4 3x x x m= + + = +
m 2 4 12y x= − P
EAEBEP += EAPB EAPB
161624)(22
122 2
21
2
2121 +=−+=−××== ∆ myyyyyyEFSS EAB
0m = S
l 1x =
令 ，则 .
当 时， ；当 时， .所以 在 的单减，在 单
增.
所以 ，故 .
（2）当 时， ，则 .
由（1）知 恒成立，
所以 在 上单调递减，
且 ，
不妨设 ，则 ，
欲证 ，只需证 ，因为 在 上单调递减，
则只需证 ，又因为 ，
则只需证 ，即 .
令 （其中 ），且 .
所以欲证 ，只需证 ，
由 ，
整理得： ，
，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ， ，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以有 ， ，故 .
22.(1) （ 为参数）；(2) .
3
2{
12 3 2
x t
y t
=
= − +
t 5 1a = −
【解析】（1）直线 的极坐标方程为
所以 ，即
因为 为参数，若 ，代入上式得 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数）
（2）由 ，得
由 代入，得
将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立
得 （*）
，
设点 分别对应参数 恰为上述方程的根
则 ，
由题设得 ，
则有 ，得 或
因为 ，所以 .
23.（1） ；（2）
【解析】（1）当 时，无解；
当 时， ；
当 时， .
l cos 33
πρ θ + =
1 3cos sin 32 2
ρ θ ρ θ− = 1 3 32 2x y− =
t 12 3 2y t= − + 3
2x t=
l
3
2{
12 3 2
x t
y t
=
= − +
t
4 cos ( 0)a aρ θ= > 2 4 cos ( 0)a aρ ρ θ= >
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 4 ( 0)x y ax a+ = >
l C
( )2 2 3 1 12 0t a t− + + =
( ) ( )2 22 3 1 4 12 1 4 0a a ∆ = + − × = + − >
( )1 2 1 22 3 1 , 12t t a t t+ = + =
,P Q 1 2,t t
1 2 1 2, ,MP t MQ t PQ t t= = = −
2
1 2 1 2| |t t t t− =
( ) 2
2 3 1 60 0a + − = 5 1a = − 5 1a = − −
0a > 5 1a = −
24, 3x ∈ −
[ ]1,3a∈ −
1x ≥
1 12 x− < < 1 2 2 3x− < < 1 2x ≤ − 14 2x− < ≤ −
综上， .
（2）函数 的最小值为 ， ，所以 .
24, 3x ∈ −
( )f x 3
2
−
2 3
2 2
aa − ≥ − [ ]1,3a∈ −
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