数 学 (文史类)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 满足 ，则复数 等于（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列 中， , ,则数列 的前 6 项的和 为( )
A. 18 B. 24 C. 36 D. 72
4.已知菱形 的边长为 ， ,则 （ ）
A. 6 B. 4 C. D.
5. 定义在 R 上的函数 f(x)满足
,
则 f(2 019)＝( )
A．－1 B．0 学 C．1 D．2
6．已知双曲线 ： 的焦距为 ，焦点到双曲线 的渐近线的距离
为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．从抛物线 上一点 P(p 点在 x 轴上方）引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|=5，
ABCD 60ABC∠ = BD CD⋅ =
{ }2| log 1A x x= > { }| 1B x x= ≥ A B =
(1 2]， (1 )+ ∞， (1 2)， [1 )+ ∞，
z ( )1 1 3z i i− = − z
1 i− 1 i+ 2 2−
1 5 10a a+ = 4 7a =
2
2 3 4 3
2log (1 )( ) ( 5)
xf x f x
−= −
0
0
x
x
≤
>
C
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> > 2c C
3
2 c
y x= ± 2y x= ± 2y x= ± 3y x= ±
xy 42 =
设抛物线的焦点为 F，则直线 MF 的斜率为（ ）
A．-2 B．2 C．- D．
8.将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象关于 y 轴对称，则 的最
小正值是( )
A. B. C. D.
9.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面
中，最大面积为( ).
A. B. C. D.
(第 9 题图) （第 10 题图 ）
10．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的
弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含
四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利
用 2×勾×股+ =4×朱实十黄实=弦实=弦 2，化简得：勾 2+股 2=弦 2．设勾股形中勾股
比为 ，若向弦图内随机抛掷 l 000 颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数
大约为( )
A． 866 B.500 C．300 D．134
11..函数 的图象大致为( )
( ) sin(2 )f x x φ= − 1
8
φ
8
π 3
4
π
2
π
4
π
2 2 2 3 4 2 6
1 3：
( ) 21
x
xf x e
−=
CC
12.右图为一个正四面体的侧面展开图，G 为 BF 的中点，则
在原正四面体中，直线 EG 与直线 BC 所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知函数 ，若 .
14．若 满足 则目标函数 的最大值为 .
15.在各项均为正数的等比数列 中， ，且 成等差数列，则 .
16．学校艺术节对同一类的 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，
甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“ 或 作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”；
丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“ 作品获得一等奖”
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 .
三．解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. （本小题满分 12 分）
如图：在△ABC 中， ＝ ，c＝4， .
求角 A；
设 D 为 AB 的中点，求中线 CD 的长 .
18．（本小题满分 12 分）
.A .B .C .D
3
3
3
6
6
3
6
33
( ) 3 sinf x x x= − + ( ) , ( )f a M f a= − =则
,x y
3,
2,
,
x
x y
y x
+
≤
≤
≥ xyz 2−=
{ }na 21 =a 231 3,,2 aaa =na
, , ,A B C D
C D B
A D C
G
F E D
CBA
如图.在直三棱柱中 ， 分别是 中点，且
, .
求证： ；
求点 D 到平面 EFG 的距离.
19．（本小题满分 12 分）
诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚
信教育，并用“ ”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为
一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：
第一周 第二周 第三周 第四周
第一个周期 95% 98% 92% 88%
第二个周期 94% 94% 83% 80%
第三个周期 85% 92% 95% 96%
计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 ；
若定义水站诚信度高于 90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的
前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；
(III)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚
信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有
数据陈述理由．
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 C: 的离心率为 ，点 在椭圆上.
求椭圆的标准方程；
1 1 1 1BC B C AA CC、 、 、
22== ACAB 41 == AABC
ADEBC 平面⊥
周投入成本
周实际回收水费
x
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 3
2
3( 1, )2P −
设直线 交椭圆 C 于 A.B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直线 =1 上，求证：线段
AB 的中垂线恒过定点.
21．（本小题满分 12 分）
.
， ；
若 为增函数，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分）
在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为： ，以坐标原
点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.
求圆 C 的极坐标方程;
若直线 ： （t 为参数）被圆 C 截得的弦长为 ，求直线 的倾斜角.
23. [选修 4—5：不等式选讲] (本小题满分 10 分）
已知 ，且 的解集为 .
求实数 ;
若 的图像与直线 及 （ma 0)( ≥xf { }73| ≤≤− xx
的值ba,
)(xf 0=x my =
数 学 (文史类)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 D B C A C D A D B D B C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．-M 14.-1 15. 16. B
三．解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.如图：在△ABC 中， ＝ ，c＝4，
. 求角 A
设 D 为 AB 的中点，求中线 CD 的长.
解 . = = ..........2 分
由正弦定理 即
得 = C 为钝角，A 为锐角，....5 分（理由不充分
2n
na =
C
A
B
D
扣一分）
故 A= .........6 分
.解法（一）
= +
=
.......8 分
由正弦定理 即 得 b= ..........10 分
在 中 由 余 弦 定 理 得 = -
=2 . ....12 分
解法（二）参照评分
在 中由余弦定理得：
10= 即 则 或
而 b=
18 如.图.在直三棱柱中，D、E、F、G,分别是 中点，且
,
.求证：
.求点 D 到平面 EFG 的距离
解 . .
1111, CCAACBBC ，，
22== ACAB 41 == AABC
ADEBC 平面⊥
22== ACAB 4=BC AB∴ AC⊥
F
E
DB
C1
A1
A
C
B1
G
为直三棱柱，D.E 为
........4 分
（2）求点 D 到平面 的距离
,
由 知 , 取 则
........8 分
设点 D 到平面 的距离为
由 得
........12 分
19．（本小题 12 分）
诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教
育，并用“ ”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，
如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：
第一周 第二周 第三周 第四周
第一个周期 95% 98% 92% 88%
第二个周期 94% 94% 83% 80%
第三个周期 85% 92% 95% 96%
的中点是BCD BCAD ⊥∴
111 CBAABC − 中点11, CBBC
ABCDE 平面⊥∴ ∴ BCDE ⊥
ADEBC 平面⊥∴
EFG
22== ACAB 4=BC 中点，，分别是 1111,, CCAACBGFE
22===∴ EGFGEF
BCAD ⊥ 11BBCCAD 平面⊥∴ HDE中点为 ADFH
=
||
11BBCCFH 平面⊥∴
EFG h
DEGFEFGD VV −− = DEGEFG SFHSh ⋅⋅=⋅⋅ ∆ 3
1
3
1
( ) 123
1224
3
3
1 2 ××=⋅⋅⋅h 3
3=∴h
3
3的距离为到平面点 EFGD∴
周投入成本
周实际回收水费
（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 ；
（2）若定义水站诚信度高于 90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期
的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的。
（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信
为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据
陈述理由．
解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：
= × =91%．------3 分
（II）解：设抽到“高诚信度”的事件为 ,则抽到“一般信度”的事件为 B，则随
机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为 C .
基本事件为 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 ,事件 C 所包含的基本事件为 、 、
、 、 、 、 、 、 ，则 -----9 分
（3）两次活动效果均好．
理由：活动举办后，“水站诚信度”由 88%→94%和 80%到 85%看出，后继一周都
有提升．-------12 分
20. 已知椭圆 C: 的离心率为 ，点 在椭圆上.
．求椭圆方程
．设直线 交椭圆 C 于 A.B 两点，线段 AB 的中点 M 在直线 =1 上，求证:线段 AB
x
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 3
2
3( 1, )2P −
的中垂线恒过定点.
解：（1）由直线 =1 被椭圆截得的弦长为 ，得椭圆过点 ，即
又 ，得
所以 ，即椭圆方程为 。 .........4 分
（2）由 得（1+4 ） +8km +4 -4=0
由
得 .........7 分
由 =—
设 AB 的中点 M 为 得 - =1 即 1+4 =—4km
（3） =- .........10 分
AB 的中垂线方程为 =-
即 故 AB 的中垂线恒过点 N（ ） .........12 分
21.文
，
若 为增函数，求实数 a 的取值范围．
【答案】解：函数 的定义域为 ，------ 分
当 时，
31 2
（- ， ） 14
31
22
=+
ba
2
31 2
2
=−==
a
b
a
ce 22 4ba =
1,4 22 == ba 14
2
2
=+ yx
0166416)44)(41(464 222222 >++−=−+−=∆ kmmkmk
22 41 km +< 已知函数 xxaxxf ln)( ++= 为常数）（a 时当 5−=a 的单调区间求 )(xf
令 得 ，或 ------ 分 ， 随 x 的变化情况如下表
x 4
0 __ 0
递增 递减 递增
------6 分
由题意得 在区间 恒成立，----7 分
即 在区间 恒成立，
在区间 恒成立----9 分
，当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 a 的取值范围是 ----12 分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】 (10 分）
22.在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为： ，以坐标
原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同。
.求圆 C 的极坐标方程
( )∞+
∴ ，，，的单调递增区间为 44
10)(xf
4,4
1单调递减区间为
022 ≥++ xax
+≤
x
x 12a-
4)1(2- min =+≤
x
xa
[ )∞+，4-
为参数）α
α
α
(
sin23
cos21
+=
+=
y
x
x
.若直线 ： （t 为参数）被圆 C 截得的弦长为 ，求直线 的倾斜角。解：
圆 C： 消去参数 得：
即：
.........5 分
. 直线 ： 的极坐标方程为 =
当 时
即: , 或
或
直线 的倾斜角为 。 .........10 分
23. 【选修 4—5：不等式选讲】（10 分）
已知 ，且 的解集为
.求 .
.若 的图像与直线 及 围成的四边形的面积小于 14，求 m 取值范围
解： 由 ： ，
即 解得 .........5 分
. 的图像与直线 及 围成的四边
形 ABCD, , , ， ，
l
=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
ty
tx 32 l
+=
+=
α
α
sin23
cos21
y
x
α 4)3()1 22 =−+− yx（
032222 =−−+ yxyx
222 yx +=ρ θρ cos=x θρ sin=y
∴ 0sin32cos22 =−− θρθρρ
)3cos(4
πθρ −=
l
=
=
φ
φ
sin
cos
ty
tx θ ϕ
ϕθ = 32)3cos(4 =−= πϕρ
2
3)3cos( =− πϕ ∴
63-
ππϕ =
63-
ππϕ −=
∴
2
πϕ =
6
πϕ =
∴ l 26
ππ 或
bxaxf −−=)( ( )0>a 0)( ≥xf { }73| ≤≤− xx
的值ba,
)(xf 0=x my =
得0)( ≥xf abx ≤− baxab +≤≤−
=+
−=−
7
3
ab
ab 2,5 == ba
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