山西省吕梁市孝义市实验中学2019届高三数学（理）第一次模拟试卷（Word版附答案）

山西省吕梁市孝义市实验中学 2019 届高三第一次模拟考试数学(理)试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数 满足 ，则复数 等于（ ） A． B． C． D． 3.等差数列 中， ,则数列 前 6 项和 为（ ） A.18 B. 24 C. 36 D. 72 4. 已知菱形 的边长为 ， ,则 （ ） A. 4 B. 6 C. D. 5．已知双曲线 ： 的焦距为 ，焦点到双曲线 的渐近线的距离 为 ，则双曲线的渐近线方程为（） A. B. C. D. 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 , 则 ＝(  ) A. －1 B. 0C.1D.2 7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦 ABCD 60ABC∠ =  BD CD⋅ =  { }2| log 1A x x= > { }| 1B x x= ≥ A B = (1 2]， (1 )+ ∞， (1 2)， [1 )+ ∞， z ( )1 1 3z i i− = − z 1 i− 1 i+ 2 2− { }na 710 451 ==+ aaa ， { }na 6S 2 2 3 4 3 C 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 2c C 3 2 c 3y x= ± 2y x= ± y x= ± 2y x= ± 2log (1 )( ) ( 5) xf x f x −=  − 0 0 x x ≤ > )2019(f 图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四 个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2 ×勾×股+(股－勾)2=4×朱实十黄实=弦实=弦 2，化简得：勾 2+股 2=弦 2．设勾股形中勾股比 为 ，若向弦图内随机抛掷 l 000 颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大 约为（） A.866 B. 500 C.300 D.134 8．函数 的图象向右平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 9.过抛物线 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线交抛物线于 A、B 两点，以 AF、BF 为直 径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N，则|MN| =（ ） A. B. C. D. 10. 已 知 函 数 ， 则 的 图 象 大 致 为 （ ） ( )f x 1 3： )2|)(|2sin()( πϕϕ 2 2( 1) ( 1) 2a b− + − < 2 2 8a b+ > 6 2 1(2 )x x − ,x y 3, 2, , x x y y x   +  ≤ ≤ ≥ xyz 2−= , , ,A B C D C D B A D C 中点，且 , . （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值. 19.（本小题 12 分） 诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推 进诚信教育，并用“ ”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四 周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 ； （2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取出的 3 个数 据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列和期望； （3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚 信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有 数据陈述理由． 20.（本小题 12 分）已知椭圆 C: + =1( >b>0)离心率为 ，直线 =1 被椭圆截得的弦长为 . （1）求椭圆方程； （2）设直线 交椭圆 C 于 A.B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直线 =1 上，求证：线 段 AB 的中垂线恒过定点. 21.（本题满分 12 分）已知函数 ， . （1）求 g(x)在区间 上的值域； 1 1 1 1BC B C AA CC、 、 、 22== ACAB 41 == AABC ADEBC 平面⊥ 1BEFG −− 周投入成本 周实际回收水费 x 1ln)1)(1()( +−−−= xxaxf xxexg −= 1)( ( ]e，0 （2）是否存在实数 ，对任意给定的 ,在 存在两个不同的 (i=1,2)使得 = ，若存在，求出 的范围，若不存在，说出理由. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分） 在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为： ，以坐标原 点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）若直线 ： （t 为参数）被圆 C 截得的弦长为 ，求直线 的倾斜角. 23. [选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 ，且 的解集为 （1）求实数 ； （2）若 的图像与直线 及 （ma 0)( ≥xf { }73| ≤≤− xx 的值ba, )(xf 0=x my = 数 学 (理工类) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B C B A C D B D A D C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 240 14．-1 15.B 16. 8 三．解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.如图：在△ABC 中， ＝ ，c＝4， . 求角 A 设 D 为 AB 的中点，求中线 CD 的长. 解 . = = ..........2 分 由正弦定理 即 得 = C 为钝角，A 为锐角，....5 分（理由不充分扣一分） 故 A= .........6 分 .解法（一） = + = .. .....8 分 由正弦定理 即 得 b= ..........10 分 在 中 由 余 弦 定 理 得 = - =2 . ....12 分 解法（二）参照评分 在 中由余弦定理得： 10= 即 则 或 而 b= 18 如.图.在直三棱柱中，D、E、F、G,分别是 中点，且 , .求证： .求二面角 的余弦值。 解 . . 为直三棱柱，D.E 为 ........4 分 .由 知建系如图，且 . , 1111, CCAACBBC ，， 22== ACAB 41 == AABC ADEBC 平面⊥ 1BEFG −−  22== ACAB 4=BC AB∴ AC⊥  的中点是BCD BCAD ⊥∴  111 CBAABC − 中点11, CBBC ABCDE 平面⊥∴ ∴ BCDE ⊥ ADEBC 平面⊥∴ ( )200 ，，F )0022(1 ，，B )022( ，，E ( )2220 ，，G 设平面 的法向量为 由 得 取 ，同理得平面 EFG 的法向量 ........9 分 ，而二面角 为钝二面角， 二面角 的余弦值为 ........12 分 19．（本小题 12 分） 诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教 育，并用“ ”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期， 如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 ； （2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取出的 3 个数 据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列和期望； （3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信 为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据 陈述理由． ∴ ( )222 ，，−−=EF ( )02,21 ，−=EB ( )0220 ，，=FG EFB1 ),,( zyxm =    =⋅ =⋅ 0 0 1EBm EFm    =+− =+−− 022 0222 yx zyx ）2,1,1(=m ）（ 1,0,2=n ∴ 3 6 32 22,cos =>=< nm 1BEFG −− ∴ 1BEFG −− 3 6− 周投入成本 周实际回收水费 x 解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数： = × =91%．-----3 分 （2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X=0）= = ， P（X=1）= = ， P（X=2）= ， P（X=3）= ， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P EX= =2．-----9 分 （3）两次活动效果均好． 理由：活动举办后，“水站诚信度”由 88%→94%和 80%到 85%看出，后继一周都 有提升．----12 分 20.已知椭圆 C: + =1( 离心率为 ，直线 =1 被椭圆截得的弦长为 ．求椭圆方程 ．设直线 交椭圆 C 于 A.B 两点，若线段 AB 的中点 M 在直线 =1 上，求证线段 AB 的中垂线恒过定点. 解：（1）由直线 =1 被椭圆截得的弦长为 ，得椭圆过点 ，即），（ 2 31 14 31 22 =+ ba 又 ，得 所以 ，即椭圆方程为 。.........4 分 （2）由 得（1+4 ） +8km +4 -4=0 由 得 .........7 分 由 =— 设 AB 的中点 M 为 得 - =1 即 1+4 =—4km =- .........10 分 AB 的中垂线方程为 =- 即 故 AB 的中垂线恒过点 N（ ） .........12 分 21.（本题满分 12 分）已知函数 f(x)=(1-a)(x-1)-lnx+1. g(x)=xe1-x (1)求 g(x)在区间 上的值域。 (2)是否存在实数 a，对任意给定的 x0∈（0，e],在[1,e]存在两个不同的 xi(i=1,2)使得 f(xi)=g(x0)，若存在求出 a 的范围，若不存在说出理由。 解： 。 ∴g(x)在(0,e]上值域为（0,1]........4 分 (2) 2 31 2 2 =−== a b a ce 22 4ba = 1,4 22 == ba 14 2 2 =+ yx 0166416)44)(41(464 222222 >++−=−+−=∆ kmmkmk 22 41 km +< ( ]e，0 由已知得 ，且 当 时， 在 上单调递增，不合题意。 当 时， 在 上单调递减，不合题意。 ........6 分 当 时， 得 。 当 时 单调递减 当 时, 单调递增，∴ ........7 分 由（1）知 g(x)在(0,e]上值域为（0,1]，而 f(1)=1， 所以对任意 x0∈（0，e],在区间[1,e]上总有两个不同的 xi(i=1,2) 使得 f(xi)=g(x0)， 当且仅当 即 ........9 分 由（1）得 。 设 ， h(a)> 当 ， 单调递减，∴ ∴ 无解 综上，满足条件的 不存在。........12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】 (10 分） 22.在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为： ，以坐标 xaxf 11)( −−=′ [ ]ex ,1∈ 0≤a )(0)( xfxf ，≥′ [ ]e,1 ea 1-1≥ )(0)( xfxf ，≤′ [ ]e,1 ea 110 −