2020 届山东省烟台市新高考数学模拟试题
一、单项选择题
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解得不等式 及 时函数 的值域,再根据交集的定义求解即可.
【详解】由题,不等式 ,解得 ,即 ；
因为函数 单调递增,且 ,所以 ,即 ,
则 ,
故选:C
【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域.
2.设 i 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 a 的值为（ ）
A. B. 3 C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
整理复数为 的形式,由复数为纯虚数可知实部为 0,虚部不为 0,即可求解.
【详解】由题, ,
因为纯虚数,所以 ,则 ,
故选:D
【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.
1| 2 44
xA x = ≤ ≤
1| lg 10B y y x x = = > , A B =
[ ]2 2− , (1, )+∞ ( ]1,2−
( ] (1 )2−∞ − ∪ + ∞, ,
1 2 44
x≤ ≤ 1
10x > lgy x=
1 2 44
x≤ ≤ 2 2x− ≤ ≤ { }| 2 2A x x= − ≤ ≤
lgy x= 1
10x > 1y > − { }| 1B y y= > −
( ]1,2A B∩ = −
5i
2 i ( )a a+ ∈+ R
3− 1−
b ci+
( )
( )( ) ( )5 25 2 1 1 22 2 2
i iia a a i a ii i i
−+ = + = + + = + ++ + −
1 0a + = 1a = −3.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
若 ,则 ,利用均值定理可得 ,则 ,进而判断命
题之间的关系.
【详解】若 ,则 ,
因为 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,
因为 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选:A
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.
4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是（ ）
A. ③④ B. ①② C. ②④ D. ①③④
2a < 10,x a x x
∀ > ≤ +
10,x a x x
∀ > ≤ +
min
1a x x
≤ + min
1 2x x
+ = 2a ≤
10,x a x x
∀ > ≤ +
min
1a x x
≤ +
1 2x x
+ ≥ 1x x
=
2a ≤
{ } { }| 2 | 2a a a a< ⊆ ≤
2a < 10,x a x x
∀ > ≤ +【答案】A
【解析】
【分析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.
【 详 解 】 由 茎 叶 图 可 得 甲 同 学 成 绩 的 中 位 数 为 , 乙 同 学 成 绩 的 中 位 数 为
,故①错误；
, ,则 ,故
②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
5.刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在
割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所
失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等
分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆
的面积，运用割圆术的思想，得到 的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆的半径为 ,每个等腰三角形的顶角为 ,则每个等腰三角形的面积为 ,
由割圆术可得圆的面积为 ,整理可得 ,当 时即
可为所求.
【详解】由割圆术可知当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,
80 82 812
+ =
87 88 87.52
+ =
( )1= 72+76+80+82+86+90 =816x ×甲 ( )1= 69+78+87+88+92+96 =856x ×乙 x x 0x y+ = 2 2 M
( ) ( )2 2: 1 1 1N x y− + − =
( ) ( )22 2
1: 0, ,M x y a a M a r a M+ − = ⇒ = ⇒ 0x y+ =
2
ad = ⇒，
又 两圆相交. 选 B
8.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂
直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ， ，当阳马
体积的最大值为 时，堑堵 的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用均值不等式可得 ,即
可求得 ,进而求得外接球的半径,即可求解.
【详解】由题意易得 平面 ,
所以 ,
当且仅当 时等号成立,
又阳马 体积的最大值为 ,
所以 ,
所以堑堵 的外接球的半径 ,
( )
2
2
12 2 0,2 , 2
2
a a a M r
+ = ⇒ = ⇒ =
( ) 2 1 21,1 , 1 2N r MN r r MN= ⇒ = ⇒ − < < 1 2r r+ ⇒
1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ 1 2AA =
1 1B ACC A− 4
3 1 1 1ABC A B C−
4 π3
8 2 π3
32 π3
64 2 π3
( )
1 1
2 2 2
1
1 2 1 1
3 3 3 3B ACC AV BC AC AA BC AC BC AC AB− = ⋅ ⋅ = ⋅ ≤ + =
AB
BC ⊥ 1 1ACC A
( )
1 1
2 2 2
1
1 2 1 1
3 3 3 3B ACC AV BC AC AA BC AC BC AC AB− = ⋅ ⋅ = ⋅ ≤ + =
AC BC=
1 1B ACC A− 4
3
2AB =
1 1 1ABC A B C−
2 2
1 22 2
AA ABR = + = 所以外接球的体积 ,
故选:B
【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不
等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.
二、多项选择题
9.下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
易知 A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为 ,先利用 与 的关系判断奇偶性,
再判断单调性,即可得到结果.
【详解】由题,易知 A,B,C,D 四个选项中 函数的定义域均为 ,
对于选项 A, ,则
为奇函数,故 A 不符合题意；
对于选项 B, ,即 为偶函数,
当 时,设 ,则 ,由对勾函数性质可得,当 时是增函数,
又 单调递增,所以 在 上单调递增,故 B 符合题意；
对于选项 C, ,即 为偶函数,由二次函数性质
可知对称轴为 ,则 在 上单调递增,故 C 符合题意；
对于选项 D,由余弦函数的性质可知 是偶函数,但在 不恒增,故 D 不符合题
意；
故选:BC
的
34 8 2
3 3V rπ π= =
(0, )+∞
2ln( 1 9 3 )y x x= + − e ex xy −= +
2 1y x= + cos 3y x= +
R ( )f x− ( )f x
R
( ) ( ) ( ) ( )2 2ln 1 9 3 ln 1 9 3 0f x f x x x x x− + = + + + + − =
( ) 2ln( 1 9 3 )f x x x= + −
( ) ( )x xf x e e f x−− = + = ( ) e ex xf x −= +
(0, )x∈ +∞ ( )1xt e t= > 1y t t
= + ( )1,t ∈ +∞
xt e= ( ) e ex xf x −= + (0, )+∞
( ) ( ) ( )2 21 1f x x x f x− = − + = + = ( ) 2 1f x x= +
0x = ( ) 2 1f x x= + (0, )+∞
cos 3y x= + (0, )+∞【点睛】本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关
键.
10.已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等，且展开式的各项系
数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中奇数项的二项式系数和为 256
B. 展开式中第 6 项的系数最大
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含 项的系数为 45
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知 ,由展开式的各项系数之和
为 1024 可得 ,则二项式为 ,易得该二项式展开式的二项式系
数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断 A,B；根据通项判断 C,D 即可.
【详解】由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知 ,
又展开式的各项系数之和为 1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,故 A 错误；
由 可知展开式共有 11 项,中间项的二项式系数最大,即第 6 项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为 1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第 6 项的系数最
大,故 B 正确；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,故 C
正确；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故 D
正确,
2 1( ) ( 0)nax a
x
+ >
15x
10n =
1a =
1010 1
2 2 21x x x
x
− + = +
10n =
1x = ( )101 1024a + = 1a =
1010 1
2 2 21x x x
x
− + = +
102 1024= 1 1024 5122
× =
10n =
2x 1
2x
−
( ) 1
2 10 2
1 10
rrr
rT C x x
−
−
+ = ( ) 12 10 02r r− − = 8r =
( ) 1
2 10 2
1 10
rrr
rT C x x
−
−
+ = ( ) 12 10 152r r− − = 2r =
2
10 45C =故选: BCD
【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能
力.
11.在 中，D 在线段 上，且 若 ，则（ ）
A. B. 的面积为 8
C. 的周长为 D. 为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由同角的三角函数关系即可判断选项 A；设 ,则 ,在 中,利用余弦定理
求得 ,即可求得 ,进而求得 ,即可判断选项 B；在 中,利用余弦定理求得
,进而判断选项 C；由 为最大边,利用余弦定理求得 ,即可判断选项 D.
【详解】因为 ,所以 ,故 A 错误；
设 ,则 ,在 中, ,解得
,所以 ,
所以 ,故 B 正确；
因为 ,所以 ,
在 中, ,解得 ,
所以 ,故 C 正确；
因为 为最大边,所以 ,即 为钝角,所以
为钝角三角形,故 D 正确.
故选:BCD
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形
ABC AB 5, 3AD BD= = 52 ,cos 5CB CD CDB= ∠ = −
3sin 10CDB∠ = ABC
ABC 8 4 5+ ABC
CD a= 2BC a= BCD
a DBCS△ ABCS ADC
AC BC cosC
5cos 5CDB∠ = − 2 2 5sin 1 cos 5CDB CDB∠ = − ∠ =
CD a= 2BC a= BCD 2 2 2 2 cosBC CD BD BC CD CDB= + − ⋅ ⋅ ∠
5a = 1 1 2 5sin 3 5 32 2 5DBCS BD CD CDB= ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
3 5 83ABC DBCS S
+= =
ADC CDBπ∠ = − ∠ ( ) 5cos cos cos 5ADC CDB CDBπ∠ = − ∠ = − ∠ =
ADC 2 2 2 2 cosAC AD CD AD DC ADC= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 5AC =
( )3 5 2 5 2 5 8 4 5ABCC AB AC BC= + + = + + + = +
8AB =
2 2 2 3cos 02 5
BC AC ABC BC AC
+ −= = − > ( )2 ,P a b
10 2
2
+
1 2 1F F PF= 1 2 2F F PF=
( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c
( )2 ,P a b
1 2 2F F PF= ( )2 22 2c a c b= − + 2 2 2b c a= − 2 22 4 3 0c ac a+ − =
2a 22 4 3 0e e+ − = 10 2 12e
−= <
1 2 1F F PF= ( )2 22 2c a c b= + + 2 2 2b c a= − 2 22 4 3 0c ac a− − =同除 可得 ,解得 ,
故答案为:
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.
16.设定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解集为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件构造函数 F（x） ，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】设 F（x） ，
则 F′（x） ，
∵ ，
∴F′（x）＞0，即函数 F（x）在定义域上单调递增．
∵
∴ ，即 F（x）＜F（2x ）
∴ ，即 x＞1
∴不等式 的解为
故答案为
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
四、解答题.
17.已知函数 在 上的最大值为 3.
2a 22 4 3 0e e− − = 10 2
2e
+=
10 2
2
+
R ( )f x ( ) ( )f x f x′ > ( ) ( )1 2 1xe f x f x− < −
(1, )+∞
( )
x
f x
e
=
( )
x
f x
e
=
( ) ( )'
x
f x f x
e
−=
( ) ( )f x f x′ >
( ) ( )1 2 1xe f x f x− < −
( ) ( )
2 1
2 1
x x
f x f x
e e −
−
＜ 1−
x 2x 1−＜
( ) ( )1 2 1xe f x f x− < − ( )1,+∞
( )1,+∞
( ) 21 2 3sin cos 2cosf x x x x m= − − + R（1）求 的值及函数 的单调递增区间;
（2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范
围.
【答案】（1） ,函数 的单调递增区间为 ；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，
可以求出 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数 的单调递增区间;
（2）由（1）结合已知 ，可以求出角 值，通过正弦定理把问题 的取值范围转
化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知 是锐角三角形，三角形内角和定
理，最后求出 的取值范围.
【详解】解：（1）
由已知 ，所以
因此
令
得
因此函数 的单调递增区间为
（2）由已知 ，∴
由 得 ，因此
的
m ( )f x
ABC∆ 、 、A B C a b c、 、 ( ) 0f A = b
c
1m = ( )f x 2
6 3k k k Z
π ππ π + + ∈ ， ，
1 22
b
c
< <
m ( )f x
( ) 0f A = A b
c
ABC∆
b
c
( ) 21 2 3sin cos 2cosf x x x x m= − − +
( )3sin 2 cos2 2sin 2 6x x m x m
π = − + + = − + +
2 3m+ = 1m =
( ) 2sin 2 16f x x
π = − + +
32 2 22 6 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈，
2
6 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈，
( )f x 2
6 3k k k Z
π ππ π + + ∈ ， ，
2sin 2 1 06A
π − + + =
1sin 2 =6 2A
π +
0 2A
π< < 726 6 6A
π π π< + < 52 6 6A
π π+ =所以
因为为锐角三角形 ，所以 ，解得
因此 ，那么
【点睛】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单
调性，考查了数学运算能力.
18.已知数列 的前 n 项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前 n 项和 .
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式 求出数列 的通项公式；进而列方程组求数列
的首项与公差，得数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，再利用“错位
相减法”求数列 的前 项和 .
试题解析：（1）由题意知当 时， ，
当 时， ，所以 ．
设数列 的公差为 ，
由 ，即 ，可解得 ，
3A
π=
1sin 3 cos sinsin 3 13 2
sin sin sin 2tan 2
C C Cb B
c C C C C
π + + = = = = +
ABC∆
0 2
20 3 2
C
B C
π
π π
< = = + =
19,20,21,22,23
30 1
60 2
=
20 1 30 1 10 1, ,60 3 60 2 60 6
= = =
45 3 15 1,60 4 60 4
= =
, ,A B C , ,x y z
1( 6) ( 7) 2P x P x= = = = 1 1( 6) , ( 7)3 2P y P y= = = = 1 3 1( 8) , ( 7) , ( 8)6 4 4P y P z P z= = = = = =
( 21) ( 22) ( 23)P X P X P X> = = + =
( 22) ( 6, 8, 8) ( 7, 7, 8) ( 7, 8, 7)P X P x y z P x y z P x y z= = = = = + = = = + = = =
1 1 1 1 1 1 1 1 3 7
2 6 4 2 2 4 2 6 4 48
= × × + × × + × × =
1 1 1 1( 23) ( 7, 8, 8) 2 6 4 48P X P x y z= = = = = = × × =故 ,
即该单位一个月中 三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率为 .
（2）以题意知,X 所有可能的取值为
；
；
；
由（1）知, ,
若该单位在购买设备的同时购买了 20 件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用
为 元,则 的所有可能取值为 ,
；
；
；
；
；
若该单位在肋买设备的同时购买了 21 件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用
为 元,则 的所有可能取值为 ,
；
；
；
；
,所以该单位在购买设备时应该购买 21 件易耗品
【点睛】本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.
7 1 1( 21) 48 48 6P X > = + =
, ,A B C 1
6
19,20,21,22,23
1 1 3 1( 19) ( 6, 6, 7) 2 3 4 8P X P x y z= = = = = = × × =
( 20) ( 6, 6, 8) ( 6, 7, 7) ( 7, 6, 7)P X P x y z x y z P x y z= = = = = + = = = + = = =
1 1 1 1 1 3 1 1 3 17
2 3 4 2 2 4 2 3 4 48
= × × + × × + × × =
( 21) ( 6, 7, 8) ( 6, 8, 7) ( 7, 6, 8) ( 7, 7, 7)P X P x y z x y z P x y z P x y z= = = = = + = = = + = = = + = = =
1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 17
2 2 4 2 6 4 2 3 4 2 2 4 48
= × × + × × + × × + × × =
7 1( 22) , ( 23)48 48P X P X= = = =
1Y 1Y 2000,2200,2400,2600
1
1 17 23( 2000) ( 19) ( 20) 8 48 48P Y P X P X= = = + = = + =
1
17( 2200) ( 21) 48P Y P X= = = =
1
7( 2400) ( 22) 48P Y P X= = = =
1
1( 2600) ( 23) 48P Y P X= = = =
1
23 17 7 12000 2200 2400 2600 214248 48 48 48EY = × + × + × + × ≈
2Y 2Y 2100,2300,2500
2
1 17 17 5( 2100) ( 19) ( 20) ( 21) 8 48 48 6P Y P X P X P X= = = + = + = = + + =
2
7( 2300) ( 22) 48P Y P X= = = =
2
1( 2500) ( 23) 48P Y P X= = = =
2
5 7 12100 2300 2500 21386 48 48EY = × + × + × ≈
2 1EY EY >
2 1,3 3M
ACBD
2
2 12
x y+ = 4 3
3
1x y+ = (1,0) M 1 2 1 2
4 2,3 3x x y y+ = + =
2 1
2 1
1y y
x x
− = −− ,A B
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 21, 1x y x y
a b a b
+ = + =
2 22a b=
:l y kx= ,A B l 1 2,d d
( )1 2 1 2
1 1 1
2 2 2S CD d CD d CD d d= ⋅ + ⋅ = + y kx= CD
1 2,d d
( ) 4 10 1 03 3k k × − + −
1x y+ = (1,0) (1,0) 1c =
2 1,3 3M
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2
4 2,3 3x x y y+ = + = 2 1
2 1
1y y
x x
− = −−
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 21, 1x y x y
a b a b
+ = + =
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 0x x y y
a b
− −+ =
( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 0x x x x y y y y
a b
− + − ++ = 2 22a b=又 ,
所以 ,
因此椭圆的方程为 .
（2）由（1）联立 ,解得 或 ,
不妨令 ,易知直线 l 的斜率存在,
设直线 ,代入 ,得 ,
解得 或 ,
设 ,则 ,
则 ,
因为 到直线 的距离分别是 ,
由于直线 l 与线段 AB（不含端点）相交,所以 ,即 ,
所以 ,
四边形 的面积 ,
令 , ,则 ,
所以 ,
2 2 2 , 1a b c c= + =
2 22, 1a b= =
2
2 12
x y+ =
2
2 12
1
x y
x y
+ =
+ =
0
1
x
y
=
=
4
3
1
3
x
y
=
= −
( ) 4 10,1 , ,3 3A B −
:l y kx= 2
2 12
x y+ = ( )2 22 1 2k x+ =
2
2
2 1
x
k
=
+ 2
2
2 1k
−
+
( ) ( )3 3 4 4, , ,C D xy yx 23 2 24
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1k k
x
k
x + =
+ +
−
+
=
2 2
3 4 2
2 21 1
2 1
C x xD k k
k
− == + + ⋅
+
( ) 4 10,1 , ,3 3A B − y kx=
1 22 2
4 1
1 3 3,
1 1
k
d d
k k
+
= =
+ +
( ) 4 10 1 03 3k k × − + −
( )
1 2 2 2
4 4 4 13 3 3
1 1
k k
d d
k k
+ +
+ = =
+ +
ACBD ( )1 2 1 2 2
1 1 1 4 2 1
2 2 2 3 2 1
kS CD d CD d CD d d
k
+= ⋅ + ⋅ = + = ⋅
+
1k t+ = 3
4t > 2 22 1 2 4 3k t t+ = − +
2
222
4 2 4 2 4 2 1
3 3 2 4 3 3 4 12 4 3 2 3
t tS t tt t
t t
= ⋅ = ⋅ = ⋅− +− + − + 当 ,即 时, ，
因此四边形 面积的最大值为 .
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关
系的应用,考查运算能力.
22.已知函数 ， .
（1）当 时，讨论函数 的零点个数；
（2）若 在 上单调递增，且 求 c 的最大值.
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【分析】
（1）将 代入可得 ,令 ,则 ,设 ,则转化问
题为 与 的交点问题,利用导函数判断 的图象,即可求解；
（2）由题可得 在 上恒成立,设 ,利用导函数
可得 ,则 ,即 ,再设
,利用导函数求得 的最小值,则 ,进而求解.
【详解】（1）当 时, ,定义域为 ,
由 可得 ,
令 ,则 ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 的最大值为 ,
1 2
3t
= 1
2k = min
4 2 1 4 3
24 163 3
12
S = × =−
ACBD 4 3
3
( ) ( )2 ln 12
af x x x x b= − − − , Ra b∈
-1b = ( )f x
( )f x ( )0, ∞+ 2a bc e +≤
1b = − ( ) 2 ln2
af x x x x= − ( ) 0f x = ln
2
a x
x
= ( ) ln xg x x
=
( )g x
2
ay = ( )g x
( ) ln 0f x ax b x′ = + − ≥ ( )0,+¥ ( ) lnh x ax b x= + −
( )min
1 1 lnh x h b aa
= = + +
( )min 0h x ≥ 2 2 1 lna b a a+ ≥ − −
( ) 2 1 lnm x x x= − − ( )m x 2 ln 2a b+ ≥
-1b = ( ) 2 ln2
af x x x x= − ( )0,+¥
( ) 0f x = ln
2
a x
x
=
( ) ln xg x x
= ( ) 2
1 ln xg x x
−′ =
( ) 0g x¢ > 0 x e< < ( ) 0g x¢ < x e>
( )g x ( )0,e ( ),e +∞
( )g x ( ) 1g e e
=且当 时, ；当 时, ,
由此作出函数 的大致图象,如图所示.
由图可知,当 时,直线 和函数 的图象有两个交点,即函数 有两个零
点；
当 或 ,即 或 时,直线 和函数 的图象有一个交点,即函数
有一个零点；
当 即 时,直线 与函数 的象没有交点,即函数 无零点.
（2）因为 在 上单调递增,即 在 上恒成立,
设 ,则 ,
①若 ,则 ,则 在 上单调递减,显然 ,
在 上不恒成立；
②若 ,则 , 在 上单调递减,当 时,
,故 , 单调递减,不符合题意；
③若 ,当 时, , 单调递减,
当 时, , 单调递增,
所以 ,
由 得 ,
设 ,则 ,
x e> ( ) 10 g x e
< < 0 x e< ≤ ( ) 1g x e
≤
( )g x
20 a e
< <
2
ay = ( )g x ( )f x
1
2
a
e
= 02
a ≤ 2a e
= 0a ≤
2
ay = ( )g x
( )f x
1
2
a
e
> 2a e
>
2
ay = ( )g x ( )f x
( )f x ( )0,+¥ ( ) ln 0f x ax b x′ = + − ≥ ( )0,+¥
( ) lnh x ax b x= + − ( ) 1h x a x
′ = −
0a = ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,+¥ ( ) ln 0f x b x′ = − ≥
( )0,+¥
0a < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,+¥ max ,1bx a
> −
0, ln 0ax b x+ < − < ( ) 0h x < ( )f x
0a > 10 x a
< < ( ) 0h x′ < ( )h x
1x a
> ( ) 0h x′ > ( )h x
( )min
1 1 lnh x h b aa
= = + +
( )min 0h x ≥ 2 2 1 lna b a a+ ≥ − −
( ) 2 1 ln , 0m x x x x= − − > ( ) 12m x x
′ = −当 时, , 单调递减；
当 时, , 单调递增,
所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,即 c 的最大值为 2.
【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分
类讨论思想.
10 2x< < ( ) 0m x′ < ( )m x
1
2x > ( ) 0m x′ > ( )m x
( ) 1 ln 22m x m ≥ = 2 ln 2a b+ ≥
2a bc e +≤ 2≤c
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