高三数学试题（一）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则集合 子集个数是
（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合 A，集合 B，由此求出 ，从而能求出集合 子集个数.
【详解】∵集合 ，
集合 ，
.
∴集合 子集个数是 22＝4.
故选：B.
【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题.
2.己知 z 为复数，i 为虚数单位，若复数 为纯虚数，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.
【详解】解：设 ，
∴复数 为纯虚数，
{ }20 log 16A x N x= ∈ < < { }2 2 0xB x= − > A B
A B A B
{ } { }20 log 16 { | 0 4} 1,2,3A x N x x N x= ∈ < < = ∈ < < =
{ } { }2 2 0 1xB x x x= − > =
{2,3}A B∴ =
A B
z i
z i
−
+ z =
2 2
2
( , )z a bi a b R= + ∈
( , )z a bi a b R= + ∈
2 2
2 2 2 2
( 1) [ ( 1) ][ ( 1) ] 1 2
( 1) ( 1) ( 1)
z i a b i a b i a b i a b ai
z i a b i a b a b
− + − + − − + + − −= = =+ + + + + + +.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计
算能力，属于基础题.
3.设 p：a，b 是正实数，q： ，则（ ）
A. p 是 q 的充分条件但不是必要条件
B. p 是 q 的必要条件但不是充分条件
C. p 是 q 的充要条件
D. p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
举例并结合充分必要条件的判断得答案.
【详解】解：由 a，b 是正实数，不一定得到 ，如 ；
反之，由 ，不一定得到 a，b 是正实数，如 .
∴p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 必要条件.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.
4.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为
勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从 1～15 这 15 个
数中随机抽取 3 个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
所有的基本事件个数 ，利用列举法求出勾股数有 4 个，由此能求出这三个数为勾股数的概
2 2 1, 0a b a∴ + = ≠
2 2| | 1z a b∴ = + =
2a b ab+ >
2a b ab+ > 1a b= =
2a b ab+ > 1, 0a b= =
1
910
3
910
3
455
4
455
3
15C率．
【详解】从这 15 个数中随机选取 3 个整数，所有的基本事件个数 ，
其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共 4 个，
∴这三个数为勾股数的概率为： ．
故选 D．
【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础
题．
5.已知 ， 是两个相互垂直的单位向量，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根 据 题 意 可 设 ， 然 后 根 据 ， 即 可 得 出
，这样即可得出 的坐标，从而可求出 的值.
【详解】解： ，且 ， 都是单位向量，
∴设 ，且 ， ，
，
∴ ，
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的
定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于
基础题.
3
15C
3
15
4 4
455P C
= =
a b 2c a⋅ = 1c b⋅ = b c+ =
6 7 2 2 2 3+
(1,0), (0,1), ( , )a b c x y= = = 2c a⋅ = 1c b⋅ =
( 2,1)c = b c+ b c+
a b⊥
a b
(1,0), (0,1), ( , )a b c x y= = = 2c a⋅ = 1c b⋅ =
2
1
x
y
=∴ =
( 2,1)c =
( 2,2)b c∴ + =
| | 6b c∴ + = 6.在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A. B. 6 C. D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式即可得出.
【详解】解：通项公式为： ，
的通项公式 .
令 ，则 .
∴含 项的系数为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题.
7.双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求双曲线 的一条渐近线为 ，再利用直线互相垂直得
，代入 即可.
【详解】双曲线 的一条渐近线为 ， 渐近线
61 1x x
− +
5x
6− 24−
1 6
1 k
k
kT C x x+
= −
1 k
x x
−
2
1
1( 1) ( 1)
r
r r k r r r k r
r k kT C x xx C− −
+
= − = −
2 5k r− = 5, 0k r= =
5x 0 5
5 6 6C C⋅ =
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2 3 0x y+ + =
5 3 5
2 2
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > by xa
=
( )2 1b
a
× − = −
2
1 be a
= +
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > by xa
=
by xa
=与直线 垂直，
得 ，即 ，代入
故选 C
【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.
8.已知奇函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有
成立，则关于 x 的不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设 ，结合题意求导分析可得函数 在 上为减函数，结合函
数的奇偶性分析可得函数 为奇函数，进而将不等式 转化为
，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得 的取值范围，即可得答案.
【详解】根据题意，设 ，其导数为 ，
又由 时，有 ，
则有 ，
则函数 在 上为减函数，
又由 为定义域为 的奇函数，
2 3 0x y+ + =
( )2 1b
a
× − = − 1
2
b
a
=
2 1 51 1 4 2
be a
= + = + =
( )f x ,2 2
π π −
( )f x′ 0 2x
π< <
( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + < ( ) 2 cos4f x f x
π < ⋅
,4 2
π π
, ,2 4 4 2
π π π π − − ∪
,0 0,4 4
π π − ∪ ,0 ,4 4 2
π π π − ∪
( )( ) cos
f xg x x
= ( )g x 0, 2
π
( )g x ( ) 2 cos4f x f x
π < ⋅
( ) 4g x g
π < x
( )( ) cos
f xg x x
= '
'
2
( )cos ( )sin( ) cos
f x x f x xg x x
+=
0 2x
π< < ( )cos ( )sin 0f x x f x x′ + <
( ) 0g x′ <
( )g x 0, 2
π
( )f x ,2 2
π π − 则 ，则函数 为奇函数，
所以函数 在 上为减函数，
，
所以 ，
即不等式的解集为 .
故选：A.
【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数 ，并分
析其单调性.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的
得 3 分.
9.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期
间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.
根据折线图，下列结论错误的是（ ）
A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月
D. 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】ABC
【解析】
( ) ( )( ) ( )cos( ) cos
f x f xg x g xx x
−− = = =− ( )g x
( )g x ,2 2
π π −
( ) ( ) 4( ) 2 cos 2 ( )4 cos 4 cos 4cos 4
ff x f xf x f x f g x gx x
π
π π π
π
< ⇒ < ⇒ < ⇒ 【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等
问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位
置.
13.已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 可求得 ，从而可求得 .
【详解】解： ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题.
14.已知定义在 上的奇函数 满足 ，且
时， ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断 的周期为 4，结合 是奇函数，可得 ，从
而可得结果.
【详解】因为 ，
所以 的周期为 4.
3cos 2 5
π θ + = cos 2θ =
7
25
3cos sin ,cos2 2 5
π πθ θ θ + = − + = sinθ cos2θ
3cos sin2 5
π θ θ + = − =
3sin 5
θ∴ = −
2 7cos2 1 2sin 25
θ θ∴ = − =
7
25
R ( )f x ( ) ( )4f x f x+ =
( )0,2x∈ ( ) 2 1f x x= + ( )7f
2−
( )f x ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )7 8 1 1 1f f f f= − = − = −
( ) ( )4f x f x+ =
( )f x又因为 是奇函数，
所以 ，
因为 时， ，
所以 ，
，故答案为-2.
【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常
将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶
性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶
性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自
变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
15.已知点 在抛物线 上，则 ______；点 到抛物线 的焦点
的距离是______.
【答案】 (1). 2 (2). 2
【解析】
【分析】
将点 M 坐标代入抛物线方程可得 p 值，然后由抛物线的定义可得答案.
【详解】点 代入抛物线方程得：
，解得： ；
抛物线方程为： ，准线方程为： ，
点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离：
故答案为 2,2
【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.
16.三棱锥 的 个顶点在半径为 的球面上， 平面 ， 是边长
为 的正三角形，则点 到平面 的距离为______．
【答案】
【解析】
( )f x
( ) ( ) ( ) ( )7 8 1 1 1f f f f= − = − = −
( )0,2x∈ ( ) 2 1f x x= +
( ) 21 1 1 2f = + =
( ) ( )7 1 2f f= − = −
(1,2)M 2: 2 ( 0)C y px p= > p = M C
(1,2)M
22 2 1p= × 2p＝
2 4y x= 1x＝-
1 1 2− − =（ ）
P ABC− 4 2 PA ⊥ ABC ABC
3 A PBC
6
5【分析】
由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高 PA 的一半，求
出 PA,，然后利用等体积求点 到平面 的距离
【详解】△ABC 是边长为 的正三角形，可得外接圆的半径 2r 2，即 r＝1．
∵PA⊥平面 ABC，PA＝h，球心到底面的距离 d 等于三棱锥的高 PA 的一半即 ，
那么球的半径 R ,解得 h=2,又
由 知 ，得 故点 到平面 的距离为
故答案为 ．
【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17.在① ，② （ ），③ （ ）这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，若问题中的 k 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理由.已知
数列 为等比数列， ， ，数列 的首项 ，其前 n 项和为 ，
______，是否存在 ，使得对任意 ， 恒成立？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由数列 为等比数列可得 ，①通过 ，整理可得 ，进而可
求出数列 的通项公式，求出 ，利用单调性可判断；②由 可得数列 为
等比数列，求出数列 的通项公式，求出 ，利用单调性可判断；③由 知
数列 是等差数列，求出数列 的通项公式，求出 ，利用作差法求最大项即可判
断..
A PBC
3 a
sin60
= =°
h
2
2 2hr 2
（ ）= + = 2 5 3
4PBCS∆ =
P ABC A PBCV V− −= '1 3 1 5 3× ×3×2= ×3 4 3 4 d ' 6
5d = A PBC 6
5
6
5
2 1n nS b= − 14 n nb b −− = 2n ≥ 1 2n nb b −= + 2n ≥
{ }na 1
2
3a = 3 1 2a a a= { }nb 1 1b = nS
k ∗∈N n ∗∈N n n k ka b a b≤
{ }na 2
3
n
na = 1n n nS S b−− =
1
2n
n
b
b −
=
{ }nb n na b 14 n nb b −− = { }nb
{ }nb n na b 1 2n nb b −= +
{ }nb { }nb n na b【详解】设等比数列 的公比为 q，因为 ，所以 ，
所以 ，
故 .
若选择①，则 ，则 （ ），两式相减整理得
（ ），又 ，
所以 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以
所以
由指数函数的性质知，数列 单调递增，没有最大值，
所以不存在 ，使得对任意 ， 恒成立.
若选择②，则由 （ ）， ，知数列 是首项为 1，公比为 的等比数
列，
所以
所以
因为 .当且仅当 时取得最大值 .
所以存在 ，使得对任意 ， 恒成立.
若选择③，则由 （ ）知数列 是公差为 2 的等差数列.
又 ，所以 .
设 ，
{ }na 1
2
3a = 3 1 2a a a=
3
2
2
3
aq a
= =
2
3
n
na =
2 1n nS b= − 1 12 1n nS b− −= − 2n ≥
1
2n
n
b
b −
=
2n ≥ 1 1b =
{ }nb 12n
nb −=
12 1 423 2 3
n n
n
n na b − = ⋅ = ×
{ }n na b
k ∗∈N n ∗∈N n n k ka b a b≤
14 n nb b −− = 2n ≥ 1 1b = { }nb 1
4
−
11
4
n
nb
− = −
( )12 1 143 4 6
n n n
n na b
− = ⋅ − = − × −
( ) 1 1 1 24 4 46 6 6 3
n n
n na b = − × − ≤ × ≤ × = 1n = 2
3
1k = n ∗∈N n n k ka b a b≤
1 2n nb b −= + 2n ≥ { }nb
1 1b = 2 1nb n= −
( ) 22 1 3
n
n n nc a b n = = − 则
所以当 时， ，当 时， .
即
所以存在 ，使得对任意 ， 恒成立.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题.
18.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且
.
（1）求 的值；
（2）若 ，且 的面积 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理边角互化思想得 ，然后在等式两边同时除以 ，利
用余弦定理可求出 的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值，从而可求出
的值；
（2）由正弦定理边角互化思想得出 ，然后利用三角形的面积公式可求出 的值.
【详解】（1）因 ，故 ，
，故 ，
因此， ；
为
( ) ( )1
1
2 2 5 2 22 1 2 13 3 3 3
n n n
n n
nc c n n
+
+
− − = + − − =
2n ≤ 1n nc c+ > 3n ≥ 1n nc c+ <
1 2 3 4 5c c c c c< < > > >
3k = n ∗∈N n n k ka b a b≤
ABC∆ A B C a b c
( )2 2 23 sin sin 4 2 sin sin 3sinB C B C A+ = +
tan A
3 2 sin
sin
c B
a A
= ABC∆ 2 2ABCS∆ = c
2tan 4A = 2 2c =
2 2 2 4 2
3b c a bc+ − = 2bc
cos A sin A
tan A
3 2
2b c= c
( )2 2 23 sin sin 4 2 sin sin 3sinB C B C A+ = + 2 2 2 4 2
3b c a bc+ − =
2 2 2 2 2cos 2 3
b c aA bc
+ −∴ = = 2 8 1sin 1 cos 1 9 3A A= − = − =
sin 1 3 2tan cos 3 42 2
AA A
= = × =（2）因为 ，故 ，即 ，
的面积为 ，即 ，故 ，
解得 .
【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考
查计算能力，属于中等题.
19.已知 的各边长为 3，点 D，E 分别是 ， 上的点，且满足 ，D 为
的三等分点（靠近点 A），（如图（1）），将 沿 折起到 的位置，使二面角
的平面角为 ，连接 ， （如图（2））.
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 P，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）等边 中，由已知得到 ， ，由余弦定理算出 DE，从而得到
，则 .结合题意得 为二面角 的平面角，又
二面角 为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出 平面 ；
（2）以 D 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间
直角坐标系 ，求出平面 的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可.
3 2 sin
sin
c B
a A
= 3 2c b
a a
= 3 2
2b c=
ABC∆ 1 sin 2 22ABCS bc A∆ = =
21 3 1 2 22 32
c× × = 2 8c =
2 2c =
ABC∆ AB BC 1
2
CE
EA
= AB
ADE∆ DE 1A DE∆
1A DE B− − 90° 1A B 1AC
1A D ⊥ BCED
BC 1PA 1A BD 60°
PB
5
2PB =
ABC∆ 2AE = 1AD =
2 2 2AD DE AE+ = AD DE⊥ 1A DB∠ 1A DE B− −
1A DE B− − 1A D BCED
DB DE 1DA
D xyz− 1A BD【详解】（1）证明：由图（1）可得： ， ， .
从而
故得 ，∴ ， .
∴ ， ，
∴ 为二面角 的平面角，
又二面角 为直二面角，∴ ，即 ，
∵ 且 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）存在，由（1）知 ， 平面 .
以 D 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐
标系 ，如图，
过 P 作 交 于点 H，
设 （ ），则 ， ， ，
易知 ， ， ，所以 .
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为
因为直线 与平面 所成的角为 ，所以
，解得 .
∴ ，满足 ，符合题意.
所以在线段 上存在点 P，使直线 与平面 所成的角为 ，此时 .
【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成
2AE = 1AD = 60A = °
2 21 2 2 1 2 cos60 3DE = + − × × × ° =
2 2 2AD DE AE+ = AD DE⊥ BD DE⊥
1AD DE⊥ BD DE⊥
1A DB∠ 1A DE B− −
1A DE B− − 1 90A DB∠ = ° 1A D DB⊥
DE DB D∩ = DE DB ⊂ BCED
1A D ⊥ BCED
ED DB⊥ 1A D ⊥ BCED
DB DE 1DA
D xyz−
PH DE BD
2PB a= 0 2 3a≤ ≤ BH a= 3PH a= 2DH a= −
( )1 0,0,1A ( )2 , 3 ,0P a a− ( )0, 3,0E ( )1 2, 3 ,1PA a a= − −
ED ⊥ 1A BD 1A BD ( )0, 3,0DE =
1PA 1A BD 60°
1
2
1
3 3sin 60 24 4 5 3
PA DE a
PA DE a a
⋅
° = = =
− + ×
5
4a =
52 2PB a= = 0 2 3a≤ ≤
BC 1PA 1A BD 60° 5
2PB =角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，
属于中档题.
20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018 年春节前夕， 市某质检部门
随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图
所示．
（1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 （同一组中数据用该组区间
的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 服从正态分布 ，利用该正
态分布，求 落在 内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中
这种质量指标值位于 内的包数为 ，求 的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为 ；
②若 ，则 ，
．
【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析
【解析】
试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是
所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（ 2）①根据 服从正态分布
，从而求出 ；②根据题意得 ， 的可能取值
为 ，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进
而利用二项分布的期望公式可得 的数学期望.
试题解析：（1）所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 为：
A
x
Z 2( , )N µ σ
Z (14.55,38.45)
(10,30) X X
142.75 11.95σ = ≈
2~ ( , )Z N µ σ ( ) 0.6826P Zµ σ µ σ− < ≤ + =
( 2 2 ) 0.9544P Zµ σ µ σ− < ≤ + =
Z
( )2,N µ σ (14.55 38.45)P Z< < 1~ 4, 2X B
X
0,1,2,3,4
X
x．
（2）①∵ 服从正态分布 ，且 ， ，
∴ ，
∴ 落在 内的概率是 ．
②根据题意得 ，
； ； ；
； .
∴ 的分布列为
0 1 2 3 4
∴ ．
21.已知椭圆 ： 过点 ，且离心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于两个不同点 ，点 的坐标为 ，设直线
与 的倾斜角分别为 ，证明： ．
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于 a,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合
5 0.1 15 0.2 25 0.3 35 0.25 45 0.15 26.5x = × + × + × + × + × =
Z ( )2,N µ σ 26µ = 11.95σ ≈
(14.55 38.45) (26.5 11.95 26.5 11.95) 0.6826P Z P Z< < = − < < + =
Z ( )14.55,38.45 0.6826
1~ 4, 2X B
( ) 4
0
4
1 10 2 16P X C = = =
( ) 4
1
4
1 11 2 4P X C = = =
( ) 4
2
4
1 32 2 8P X C = = =
( ) 4
3
4
1 13 2 4P X C = = =
( ) 4
4
4
1 14 2 16P X C = = =
X
X
P 1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
( ) 14 22E X = × =
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 71 2
， 3
2e =
C
1
2 l C A B， P ( )2 1，
PA PB α β， α β π+ =
2 2
18 2
x y+ =韦达定理即可证得题中的结论.
【详解】（1）由题意得
解得 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）设直线 ，
由 消去 得 ， ，
解得 ．
设 ，
则 ，
由题意，易知 与 的斜率存在，所以 ．
设直线 与 的斜率分别为 ，
则 ， ，
要证 ，即证 ，
只需证 ，
∵ ， ，
故 ，
又 ， ，
2 2
2
2
7
1 4 1
31 2
a b
be a
+ =
= − =
，
，
2 28 2a b= =，
2 2
18 2
x yC + =：
1
2l y x m= +：
2 2
1
2
18 2
y x m
x y
= +
+ =
，
，
y 2 22 2 4 0x mx m+ + − = 2 24 8 16 0m m∆ = − + >
2 2m− < <
( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ，
2
1 2 1 22 2 4x m x m+ = − ⋅ = −x ， x
PA PB 2
πα β ≠，
PA PB 1 2k k，
1tan kα = 2tan kβ =
α β π+ = ( )tan tan tanBα π β= − = −
1 2 0k k+ =
1
1
1
1
2
yk x
−= −
2
1
2
1
2
yk x
−= −
( )( ) ( )( )
( )( )
1 2 2 11 2
1
1 2
2 1 2
1 2 1 21 1
2 2 2 2
y x y xy y
x x x xk k
− − + − −− −+ =−= − − −+
1 1
1
2y x m= + 2 2
1
2y x m= +所以
，
∴ ， ．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦
长、斜率、三角形的面积等问题．
22.已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)根据 的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可.
(2)根据题意，需求 的最值，结合(1)可得 且 ，于是
此式可转化为关于 的函数，再利用导数求其最值即可.
【详解】（1）由题意得 ，
，
令 .
①当 时， 恒成立，则 在 上单调递减.
②当 时， ，函数 与 轴有两个不同的交点 ，
则 ，
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1
1 11 2 1 2 1 2 1 22 2y x y x x m x x m x − − + − − = + − − + + − −
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2
1 2 1 22 4 1 2 4 2 2 4 1 0x x m x x m m m m m= ⋅ + − + − − = − + − − − − =
1 2 0k k+ = α β π+ =
( ) ( )ln mf x m x x m Rx
= − + ∈
( )f x
( )f x 1 2,x x
( ) ( )1 2
2 2
1 2
f x f x ax x
+
m
( )0,x∈ +∞
( ) 2
2 21m m x mx mf x x x x
− +′ = − − = −
( ) ( )2 2, 4 4g x x mx m m m m m= − + ∆ = − = −
0 4m≤ ≤ ( )0, 0g x∆ ≤ ≥ ( ) ( )0,f x f x′ ≤ ( )0 + ∞，
0m < > 0∆ ( )g x x ( )1 2 1 2,x x x x<
1 2 1 20, 0,x x m x x m+ = < = < 1 20, 0x x< >所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减.
③当 时， ，函数 与 轴有两个不同的交点 ，
则 ，
所以 时， 单调递减；
时， 单调递增；
时， 单调递减.
综上所述：当 时， 在 上单调递减.
当 时， 时， 单调递增；
时， 单调递减.
当 时， 时， 单调递减；
时， 单调递增；
时， 单调递减.
（2）由（1）知： 时 有两个极值点 ，
且 为方程 的两根，
2 40, 2
m m mx
+ −∈
( ) ( ) ( )0, 0,g x f x f x′< >
2 4 ,2
m m mx
+ −∈ +∞
( ) ( ) ( )0, 0,g x f x f x′> <
4m > > 0∆ ( )g x x ( )1 2 1 2,x x x x<
1 2 1 20, 0,x x m x x m+ = > = > 1 20, 0x x> >
2 40, 2
m m mx
− −∈
( )f x
2 24 4,2 2
m m m m m mx
− − + −∈
( )f x
2 4 ,2
m m mx
+ −∈ +∞
( )f x
0 4m≤ ≤ ( )f x ( )0 + ∞，
0m <
2 40, 2
m m mx
+ −∈
( )f x
2 4 ,2
m m mx
+ −∈ +∞
( )f x
4m >
2 40, 2
m m mx
− −∈
( )f x
2 24 4,2 2
m m m m m mx
− − + −∈
( )f x
2 4 ,2
m m mx
+ −∈ +∞
( )f x
4m > ( )f x 1 2,x x
1 2,x x 2 0x mx m− + = 1 2 1 2, .x x m x x m+ = =
( ) ( )1 2 1 1 2 2
1 2
ln lnm mf x f x m x x m x xx x
+ = − + + − +.
.
所以 .
所以 在 时恒成立.
令 ，则 .
令 则 ，
所以 在 上单调递减.又 ，
所以 在 上恒成立，即 .所以 .
所以 在 上 减函数.所以 .
所以 ，即 的取值范围是 .
【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立问
题.利用导数讨论函数的单调性时，导函数若是二次型，一般可按二次项系数的正负、判别式
的正负、根的大小结合定义域进行讨论.
为
( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 2
ln ln lnm x xm x x x x m m m m m mx x
+= − + + = − + =
( )22 2 2
1 2 1 2 1 22 2x x x x x x m m+ = + − = −
( ) ( )1 2
2 2 2
1 2
ln ln
2 2
f x f x m m m
x x m m m
+ = =+ − −
ln
2
ma m
> −
( )4,m∈ +∞
( ) ( )ln 42
mh m mm
= >− ( ) ( )2
21 ln
2
mmh m
m
− −
′ =
−
( ) 21 ln ,m mm
ϕ = − − ( ) 2 2
2 1 2 0mm m m m
ϕ −′ = − = <
( )mϕ ( )4 + ∞， ( ) 14 =1 2ln 2 02
ϕ − − <
( ) 0mϕ < ( )4 + ∞， 2 ln 0mm
1− − < ( ) 0h m¢ <
( )h m ( )4 + ∞， ( ) ( )4 ln 2h m h< =
ln 2a ≥ a [ln 2, )+∞
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