高三数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据描述法可知集合 A 中元素，利用交集计算即可.
【详解】因为 ，
所以 A 中元素为被 5 除余 1 的自然数，
所以 ，元素有 2 个，
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合描述法，集合的交集运算，属于容易题.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则计算 ，即可写出共轭复数.
【详解】因为 ，
{ | 5 1, }A x x n n= = + ∈N {6,9,11,18}B = A B
{ | 5 1, }A x x n n= = + ∈N
={6,11}A B
z ( 2)(1 ) 2z i i+ + = z =
1 i− + 1 i− − 1 i− 1 i+
z
( 2)(1 ) 2z i i+ + =所以 ，
故 ，
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于容易题.
3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越
高．统计改革开放 40 年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线
图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A. 城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭
B. 随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高
C. 1996 年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于 50%
D. 随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象，结合选项，判断正误.
【详解】从图中可知城镇居民家庭恩格尔系数不高于农村居民家庭的恩格尔系数，所以 A 选
项正确；
从图中可知城镇居民家庭和农村居民家庭的恩格尔系数都在降低，所以 B 选项正确；
从图中可知农村居民家庭的恩格尔系数从 2001 年开始低于 50%，所以 C 选项错误；
从图中可知随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭的恩格尔系数越来越接近，所
2 2 (1 )2 2 (1 ) 2 11 (1 )(1 )
i i iz i i ii i i
−= − = − = − − = − ++ + −
1z i= − −以 D 选项正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据图象提取信息的能力，属于容易题.
4.以抛物线 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
写出抛物线的焦点即为圆心，焦点到准线的距离 即为圆的半径，可求得圆的方程.
【详解】由 知，
焦点为 ，
由圆与准线相切知：
所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，圆的标准方程，属于中档题.
5.已知 ， 为第三象限角，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由两角差的正弦公式化简可得 ，利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式即可求解.
【详解】因为 ，
2 4y x=
2 2( 2) 16x y− + = 2 2( 2) 16y x− + =
2 2( 1) 4x y− + = 2 2( 1) 4y x− + =
p
2 4y x=
(1,0), 2p =
(1,0) 2r =
2 2( 1) 4x y− + =
3sin( )cos cos( )sin 5
β α β α β β− − − = α cos 4
πα + =
2
10
− 7 2
10
− 2
10
7 2
10
sinα
3sin( )cos cos( )sin 5
β α β α β β− − − =所以 ，
即 ，
由 为第三象限角知，
，
所以 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查了两角和差的正余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.
6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量 （单位：焦
耳）与地震里氏震级 之间的关系为 ．2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域
发生里氏 9.0 级地震与 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震所释放出来的能量的
比值为（ ）
A. B. 1.5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ，能量 ，代入震级 M，计算即可.
【详解】因为地震释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为
，
所以 ，
当震级分别为里氏 9.0 级，里氏 8.0 级时，释放出来的能量的比值为：
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质、指数的运算性质，考查了实际问题中数学知识的
应用，属于中档题.
3sin( ) 5
β α β− − =
3sin 5
α = −
α
4cos 5
α = −
2 2 4 3 2cos cos cos sin sin (cos sin ) ( )4 4 4 2 2 5 5 10
π π πα α α α α + = − = − = − + = −
E
M lg 4.8 1.5E M= +
1.510 lg1.5 1.510−
lg 4.8 1.5E M= + 4.8 1.510 ME +=
E M
lg 4.8 1.5E M= +
4.8 1.510 ME +=
4.8 1.5 9
1.5
4.8 1.5 8
10 1010
+ ×
+ × =7.已知函数 （ ， ）的最小正周期为 ，且图象向右平移
个单位后得到函数 的图象，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
已 知 函 数 的 最 小 正 周 期 为 ， 所 以 ， 所 以
， 那 么 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 函 数
的图象，则 ，因为 ，所
以 ，故选 D．
8.已知点 ， 分别在双曲线 的左右两支上，且关于原点 对称，
的左焦点为 ，直线 与 的左支相交于另一点 ，若 ，且
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义及 ， ，应用勾股定理，可得 关系，即可求
解.
【详解】设双曲线的右焦点为 ，连接 , , ,如图：
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0>ω 0 ϕ π< < π
6
π
( ) cosg x xω= ϕ =
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
( ) sin( )( 0 0 π)f x xω ϕ ω ϕ= + > < > O
C 1F 1AF C M 1 1| |MF BF=
1 0BF AM⋅ = C
10 5
2 5 10
2
1 0BF AM⋅ =
1 1| |MF BF= ,a c
2F 2AF 2BF 2MF根据双曲线的对称性及 可知，四边形 为矩形.
设
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
,
在 和 中，
，①
，②
由②化简可得 ，③
把③代入①可得： ，
所以 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，勾股定理，属于难题.
1 0BF AM⋅ =
2 1AF BF
1 2| | | |AF BF m= =
1 2| | | |AF BF m= =
1 2| | | | 2BF AF a m= = +
1 1| |MF BF=
12 2 4| 2| 2 MF a a m a mMF a = + + =+ +=
1 1| | | | | | 2 2MA MF AF a m= + = +
1 2Rt AF F△ 2Rt MAF
2 2 2(2 ) (2 )m a m c+ + =
2 2 2(2 2 ) (2 ) (4 )a m a m a m+ + + = +
a m=
2
2
5
2
c
a
=
10
2e =二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0
分．
9.若 ， 为正实数，则 的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与 等价的即可.
【详解】因为 ，故 A 选项错误；
因为 ， 为正实数，所以 ，故 B 选项正确；
取 ，则 ， ，即 不成立，故 C 选项错误；
因为 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
即 ，故 D 正确.
故选：BD
【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.
10.等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则（ ）
A. B. C. D. 当且仅当
时
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质及 可分析出结果.
【详解】因为等差数列中 ，
所以 ，
a b a b>
1 1
a b
> ln lna b> ln lna a b b<
a ba b e e− < −
a b>
1 1 b aa b
> ⇔ >
a b ln lna b a b> ⇔ >
2a e b e= > = 2 2 2ln 2e e e= lne e e= ln lna a b b<
( ) 1x xy e x e′ ′= − = − 0x > 0y′ > xy e x= − (0, )x∈ +∞
a b a ba b e a e b a b e e> ⇔ − > − ⇔ − < −
{ }na n nS 1 0a > 10 20S S=
0d < 16 0a < 15nS S≤
0nS < 32n ≥
10 20S S=
10 20S S=
11 12 19 20 15 165( ) 0a a a a a a+ + + + = + =又 ，
所以 ，
所以 ， ，故 ABC 正确；
因为 ，故 D 错误,
故选：ABC
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.
11.如图直角梯形 ， ， ， ， 为 中点，
以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 ．则（ ）
A. 平面 平面 B.
C. 二面角 的大小为 D. 与平面 所成角的正切值为
【答案】AC
【解析】
【分析】
A 中利用折前折后不变可知 ,根据 可证 ,可得线面垂直，
进而证明面面垂直；B 选项中 不是直角可知 不垂直，故 错误；
C 中二面角 的平面角为 ,故正确；D 中 与平面 所成角为
,计算其正切值即可.
【详解】A 中, ,在三角形 中，
，所以 ,又 ，可得 平面 ， 平面
，所以平面 平面 ，A 选项正确；
1 0a >
15 160, 0a a> <
0d < 15nS S≤
1 31
31 16
31( ) 31 02
a aS a
+= = <
ABCD //AB CD AB BC⊥ 1 22BC CD AB= = = E AB
DE ADE A P 2 3PC =
PED ⊥ EBCD PC ED⊥
P DC B− −
4
π
PC PED
2
PD AD= 2 2 2PD CD PC+ = CD PD⊥
AED∠ ,PD ED PC ED⊥
P DC B− − PDE ADE∠ = ∠ PC PED
CPD∠
2 2 2 22 2 2 2PD AD AE DE= = + = + = PDC
2 2 2PD CD PC+ = PD CD⊥ CD DE⊥ CD ⊥ PED CD ⊂
EBCD PED ⊥ EBCDB 中，若 ，又 ，可得 平面 ,则 ,而
,
显然矛盾，故 B 选项错误；
C 中，二面角 的平面角为 ，根据折前着后不变知 ，
故 C 选项正确；
D 中，由上面分析可知， 为直线 与平面 所成角，在 中，
,故 D 选项错误.
故选：AC
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，二面角，线面角的求法，属于中档题.
12.设函数 ，则（ ）
A. 在 单调递增 B. 的值域为
C. 的一个周期为 D. 的图像关于点 对称
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所
给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.
【详解】令 ，则 ，显然函数 为增函数，
当 时， 为减函数，
根据复合函数单调性可知， 在 单调递减，
因为 ，
所以增函数 在 时， ，
PC ED⊥ ED CD⊥ ED ⊥ PDC ED PD⊥
EDP EDA∠ = ∠
P DC B− − PDE∠ =45PDE ADE∠ = ∠ °
CPD∠ PC PED tR PCD
2tan 2
CDCPD PD
∠ = =
cos2 cos2( ) 2 2x xf x −= −
( )f x 0, 2
π
( )f x 3 3,2 2
−
( )f x π
4f x
π + ,04
π
cos2t x= 12 2 2 2
t t t
ty −= − = − 12 2 2 2
t t t
ty −= − = −
0, 2x
π ∈ cos2t x=
( )f x 0, 2
π
cos2 [ 1,1]t x= ∈ −
12 2 2 2
t t t
ty −= − = − cos2 [ 1,1]t x= ∈ − 3 3
2 2y− ≤ ≤即 的值域为 ；
因为 ，
所以 的一个周期为 ，
因为 ，令 ，
设 为 上任意一点，
则 为 关于 对称的点，
而 ，
知点 不在函数图象上，
故 的图象不关于点 对称，即 的图像不关于点 对称.
故选：BC
【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函
数的周期性，值域，对称中心，属于难题.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 ， 为单位向量， ，且 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.
【详解】因为 ，
又 ，
( )f x 3 3,2 2
−
cos2( ) cos2( cos2 c) os222 )( 2 () 2 xx xxx xf fπ ππ + − + −= − =+ − =
( )f x π
sin2 sin22 24
x xf x
π − + = −
sin2 sin22( 2) x xh x − −=
( , )P x y sin2 sin22( 2) x xh x − −=
( , )2P x y
π′ − − ( , )P x y ,04
π
sin2( sin2() )2 2 sin2 sin2( )2 2 2 2 2xx x xh yx y
π ππ − −− −− = − == ≠ −−
( , )2P x y
π′ − −
( )h x ,04
π
4f x
π + ,04
π
a
→
b
→
2c a b
→ → →
= − , 3a b
π→ →
< >= ,a c
→ →
〈 〉 =
6
π
2
2 2 cos( 2 33cos , 2| | | | | ( 4 1 4cos
2 )
2 | ) 32
aa c a a a ba c
a
b
a b a bc
π
π
→ →
→ →
→ → → → → →
→ →
→ → →→
−⋅ − ⋅〈 〉 = = −
−
= = =
⋅ + −−
,0 a c π
→ →
〈≤ 〉 ≤所以 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档
题.
14.若 展开式中 的系数为 12，则 _________．
【答案】2
【解析】
【分析】
展开式中含 的项分别由 展开式中含 的项与 乘以 展开式中含 项的积
构成，分别求出，合并同类项即可求出 的系数，得解.
【详解】因为 展开式中含 的项的系数为 ，含 项的系数为 ，
故 展开式中含 的项为 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二项式定理，利用组合知识求指定项系数，属于中档题.
15.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 的鳖臑
中， 平面 ，且 ， ，则该鳖臑外接球的表面积为
_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据鳖臑 的体积可求出 ,由勾股定理可求出 ,确定外接球球心为 中点，
即可得到球半径，求出球的表面积.
【详解】如图，
, 6a c
π→ →
〈 〉 =
6
π
( )2 41 (1 )ax x+ + 3x a =
3x 4(1 )x+ 3x 2ax 4(1 )x+ x
3x
4(1 )x+ 3x 3
4 4C = x 1
4C 4=
( )2 41 (1 )ax x+ + 3x 3 2 31 4 4 (4 4 )x ax x a x× + ⋅ = +
4 4 12a+ =
2a =
2
2
3
ABCD AB ⊥ BCD 2AB = 1CD =
9π
ABCD BC ,BD AD AD鳖臑四个面都 直角三角形，且 平面 ，所以 ，
故 ,
所以 ,
由 知 ,
即 ，
在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，可知 AD 中点 O 到 A，B，C，D 的距离相
等,
所以鳖臑外接球的球心为 ,半径 ，
球的表面积 ,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的半径，球的表面积，棱锥的体积，属于中档题.
16.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建
造总面积为 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共 80 间．每
间蔬菜水果类店面的建造面积为 ，月租费为 万元；每间肉食水产店面的建造面积为
，月租费为 0.8 万元．全部店面的建造面积不低于总面积的 80%，又不能超过总面积的
85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证
任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的 90%，则 的最
大值为_________万元．
【答案】 (1). 16 (2). 1
【解析】
【分析】
（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为 ，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，
是 AB ⊥ BCD CD BC⊥
1 1 1 22 13 3 2 3A BCD BCDV AB S BC− = ⋅ = × × × × =
2BC =
2 2 2 5BD CD BC= + = 2 2 2 9AD AB BD= + =
3AD =
O 3
2R =
24 9S Rπ π= =
9π
22400m
228m x
220m
x
,a b确定解的个数；
（2）平均每间店的收入 不低于每间蔬菜水果类店面月租费的 90%建立不等式，根
据不等式恒成立求 的最大值即可.
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为 ,
（1）由题意知， ，
化简得： ，
又 ，
所以 ，
解得： ，
共 种；
（2）由题意知 ，
，
，
，
，
即 的最大值为 1 万元，
故答案为：16；1
【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17.在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，且 为锐
角．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
0.8
80
b ax+
x
,a b
0.85 2400 28 20 0.8 2400a b× ≥ + ≥ ×
480 7 5 510a b≤ + ≤
+ 80a b =
480 7 5(80 ) 510a a≤ + − ≤
40 55a≤ ≤
40,41, ,55a∴ = 16
0.8 0.980
b ax x
+ ≥
0.8 (80 ) 72b b x x∴ + − ≥
0.8 80.8[1 ]8 8
bx b b
∴ ≤ = +− −
max 80 40 40b = − =
8 50.8(1 ) 0.8 132 4x∴ ≤ + = × =
x
ABC , ,A B C , ,a b c 2cos 3 4cos2A A− = A
A
6sin (sin sin )A a B C= + ABC 3 ABC
3A
π= 2 6 6+【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据余弦的二倍角公式化为 的一元二次方程求解即可；
（Ⅱ）由三角形面积公式可得 ， 利用正弦定理可化为 ，
解得 ，根据余弦定理求 即可求解.
【详解】（Ⅰ）因 ，所以 ，
解得 或 （舍），
因为 ，
所以 ．
（Ⅱ）因为 的面积为 ，
所以 ，得 ．
已知由 ，由正弦定理可得 ，
所以 ．
由余弦定理得
得 ，
所以， 的周长为 ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.
18.记数列 的前 项和为 ，已知 ， ．设 ．
（Ⅰ）证明：数列 为等比数列；
（Ⅱ）设 ， 为数列 的前 项和，求 ．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1994
【解析】
【分析】
为
cos A
bc 6sin (sin sin )A a B C= + 6b c+ =
,b c a
2cos 3 4cos2A A− = 28cos 2cos 1 0A A− − =
1cos 2A = 1cos 4A = −
0 A π< <
3A
π=
ABC 3
1 sin 2 32 bc A = 4bc =
6sin (sin sin )A a B C= ⋅ + 6 ( )a a b c= ⋅ +
6b c+ =
2 2 2 22 cos ( ) 3 24a b c bc A b c bc= + − = + − =
2 6a =
ABC 2 6 6a b c+ + = +
{ }na n nS 1 1a = 1 4 1n nS a+ = + 1 2n n nb a a+= −
{ }nb
100n nc b= − nT { }nc n 10T（Ⅰ）根据 与 的关系，得 ，即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 去绝对值号可化为分段函数，根据等比
数列求和公式求解即可.
【详解】（Ⅰ）由 得
两式相减得 ，∴
，
又由 ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
∴
【点睛】本题主要考查了 与 的关系，等比数列的证明，等比数列求和公式、通项公式，
属于中档题.
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ．过点 做四棱锥 截面 ，分别交 ，
， 于点 ，已知 ， 为 的中点．
的
nS na ( )1 12 2 2n n n na a a a+ −− = −
12 2 2n n
nb −= ⋅ = 2 100n
nc = −
1 4 1n nS a+ = + 14 1( 2, )n nS a n n N−= + ≥ ∈
1 14 4 ( 2)n n na a a n+ −= − ≥ ( )1 12 2 2n n n na a a a+ −− = −
( )11
1 1 1
2 22 2( 2)2 2
n nn n n
n n n n n
a ab a a nb a a a a
−+
− − −
−−= = = ≥− −
2 1 2 14 1S a a a= + = +
2 4a =
1 2b =
{ }nb
12 2 2n n
nb −= ⋅ =
100 2 , 62 100
2 100, 6
n
n
n n
nc
n
− ≤= − = − >
( )1 2 6 7 8 9 10
10 600 2 2 2 2 2 2 2 400T = − + +…+ + + + + −
( )6
7 8 9 102 1 2
200 2 2 2 21 2
−
= − + + + +−
8 9 10200 2 2 2 2 1994= + + + + =
nS na
P ABCD− PA ⊥ ABCD AD CD⊥ //AD BC
2PA AD CD= = = 3BC = A P ABCD− AEFG PD
PC PB , ,E F G : 2 : 3PG PB = E PD（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）在 上取点 ，且满足 ，连接 ， ，可证 是平行四
边形，即可证明结论；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用线面角公式计算即可求解．
【详解】（Ⅰ）证明：在 上取点 ，且满足 ，
连接 ， ，则 ，且 ，
因为 ，
所以 ，且
所以 是平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（Ⅱ）过点 作与 平行的射线 ，易证两两垂直，
所以以 为 轴，以 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图，
//AG PCD
AF PAB
30
10
PC H : 2 : 3PH PC = GH HD ADHG
PAB
PC H : 2 : 3PH PC =
GH HD / /GH BC 2 23GH BC= =
/ /AD BC
/ /AD GH AD GH=
ADHG
/ /AG HD
HD ⊂ PCD AG ⊄ PCD
AG PCD
A DC l
l x AD y AP z O xyz−则有 ，
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，解得
所以 是平面 的一个法向量
因为点 在 上，所以
因为 平面 ，所以 ，
解得 ，所以
或如下证法：因 平面 且平面 平面 ，
所以 ，
所以 ，
因为 为 中点，所以 为 中点，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，解得
所以 是平面 的一个法向量， ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，线面角的向量求法，属于中档题.
20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆上一点，
为
4 2 2(0,0,2), (2,2,0), , , , (0,1,1)3 3 3P C G E −
AEFG ( , , )n x y z=
4 2 2 03 3 3
0
x y z
y z
− + =
+ =
1z =
1
1
1
x
y
z
= −
= −
=
( 1, 1,1)n
→
= − − AEFG
F PC (1 ) (2 ,2 ,2 2 )AF AC APλ λ λ λ λ= + − = −
AF ⊂ AEFG 2 2 2 2 0AF n λ λ λ⋅ = − − + − =
1
3
λ = 2 2 4, ,3 3 3AF =
AG PCD AGFE ∩ PCD EF=
/ /AG EF
/ /EF HD
E PD F PH 1
3PF PC=
2 2 4, ,3 3 3F
2 2 4, ,3 3 3AF =
PAB ( )1 1 1 1, ,n x y z
→
=
1
1 1
0
2 0
z
x y
=
− = 1 1x =
1
1
1
1
2
0
x
y
z
=
=
=
1 (1,2,0)n = PAB 1
30cos , 10AF n< >=
AF PAB 30
10
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F 31, 2P − 是 和 的等差中项．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 为椭圆的右顶点，直线 与 轴交于点 ，过点 的另一直线与椭圆交于 、
两点，且 ，求直线 的方程．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据 是 和 的等差中项可得 ，再利用 在椭圆上可解得
，即可求解；
（Ⅱ）分直线斜率存在不存在两种情况，直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，
设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆的方程可得 ， ，由
可得 ，即可求出斜率 ，求出直线方程.
【详解】（Ⅰ）因为 是 和 的等差中项，所以 ，得 ．
又 在椭圆上，所以 ，所以 ，
， ，
可得椭圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）因为 ，由（Ⅰ）计算可知
当直线 与 轴垂直时，不合题意．
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为
联立直线与椭圆的方程 ，可得 ，
1 2F F 1PF 2PF
A AP y H H M
N 6HMA PHNS S=△ △ MN
2 2
14 3
x y+ = 6 12y x= ± +
1 2F F 1PF 2PF 2a c= 31, 2P −
,a b
MN 1y kx= + 1 2x x+ 1 2x x
6HMA PHNS S=△ △ 1 23x x= − k
1 2F F 1PF 2PF 2a c= 2 24a c=
31, 2P − 2 2
1 3 14 4c c
+ = 1c =
2 4a = 2 2 2 3b a c= − =
2 2
14 3
x y+ =
31, 2P − (2,0), (0,1)A H
MN x
MN x MN 1y kx= +
2 2
1
14 3
y kx
x y
= + + =
( )2 24 3 8 8 0k x kx+ + − =由于 在椭圆内，∴ 恒成立，
设 ， ，由韦达定理可得 ①，
由 ，可得 ，又 ，
所以 ，得 ，
代入①，可得
所以 ，解得
所以直线 的方程为
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于中
档题.
21.已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，试判断 零点的个数；
（Ⅱ）若 时， ，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） 有且只有一个零点；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导数判断函数的单调性及 即可确定函数的零点；
（Ⅱ）分 和 两种情况，分别判断函数的单调性，根据单调性求函数 的最大
值，由 求解即可．
(0,1)H > 0∆
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2 2
1 2 2
8
4 3
8
4 3
kx x k
x x k
− + = + − = +
6HMA PHNS S=△ △ | || | 6 | || |AH MH NH PH= | | 2 | |AH PH=
| | 3| |MH NH= 1 23x x= −
2 2
2
2 2
82 4 3
83 4 3
kx k
x k
−− = + −− = +
( )
2
2 22
16 83 4 34 3
k
kk
× = ++
6
2k = ±
MN 6 12y x= ± +
( 1)(1 )( ) 2ln x mxf x x x
− += −
1m = ( )f x
1x ≥ ( ) 0f x ≤ m
( )f x [1, )+∞
(1) 0f =
0m ≤ 0m > ( )f x
max( ) 0f x ≤详解】（Ⅰ）当 时， ，
．
所以 ， 在 上单调递减，
又 ，
∴ 有且只有一个零点．
（Ⅱ）∵ ， ．
（1）当 时，在 上 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，不符合题意．
（2）当 时，设 ，
当 即 时， 恒成立，
所以在 上 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，符合题意，
∴ ．
当 即 时， 有两不等实根，设为
因为 ，可知 ，
所以 时 ， 时
即 在区间 上单调递增， 单调递减
所以 ，不符合题意．
综上， 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，零点，最值，不等式恒成立问题，属
【 1 m = ( 1)(1 )( ) 2ln x xf x x x
− += −
2
2
( 1)( ) xf x x
− −′ =
( ) 0f x′ ≤ ( )f x (0, )+∞
(1) 0f =
( )f x
( )1 0f = 2
2
2 1( ) mx xf x x
− + −′ =
0m ≤ [1, )+∞ ( ) 0f x′ ≥
( )f x [1, )+∞
( ) (1) 0f x f≥ =
0m > 2( ) 2 1g x mx x= − + −
4 4 0m∆ = − ≤ m 1≥ 2( ) 2 1 0g x mx x= − + − ≤
[1, )+∞ ( ) 0f x′ ≤
( )f x [1, )+∞
( ) (1) 0f x f≤ =
m 1≥
4 4 0m∆ = − > 0 1m< < ( ) 0g x = 1 2,x x
(1) 1 0g m= − > 1 21x x< <
( )21,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x ( )21, x ( )2 ,x +∞
( )2 (1) 0f x f> =
m [1, )+∞于中档题.
22.新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进
行 5000 次动物实验，一次实验方案如下：选取 3 只白鼠对药效进行检验，当 3 只白鼠中有 2
只或 2 只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有 1 只“效果明显”，则再取 2 只
白鼠进行二次检验，当 2 只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实
验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为 ．
（Ⅰ）若 ，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为 ，求 的值；
（Ⅱ）若动物实验预算经费 700 万元，对每只白鼠进行实验需要 300 元，其他费用总计为 100
万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）该阶段经费使用不会超出预算，理由见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据互斥事件的概率，求一次检验成功和经过两次检验才成功的概率之和即可求解；
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为 元，由题意可知 的可能值为 900，1500，求随
机变量的期望，利用导数求出期望的最大值，即可求总费用的最大值，得出结论.
【 详 解 】（ Ⅰ ） 当 时 ， 一 次 检 验 就 取 得 “ 实 验 成 功 ” 的 概 率 为
；
经过两次检验才取得“实验成功”的概率为 ；
在一次实验方案中“实验成功”的概率为 ．
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为 元，则 的可能值为 900，1500．
； ．
所以 ，
设 ，则 ，
(0 1)P p< <
1
2p = 0p 0p
0
19
32p =
X X
1
2p =
3
2 2 3 3
3 3
1 1 1 1(1 ) 3 4 2 2 2C p p C p − + = × × + =
1 2 2
3
1 1 1 3(1 ) 3 2 4 4 32C p p p − = × × × =
0
1 3 19
2 32 32p = + =
X X
1 2
3( 900) 1 (1 )= = − −P X C p p 1 2
3( 1500) (1 )P X C p p= = −
1 2 1 2 2
3 3( ) 900 1 (1 ) 1500 (1 ) 900 1800 (1 )E X C p p C p p p p = × − − + − = + −
2( ) (1 )f p p p= − 2( ) (1 ) 2 ( 1) (3 1)( 1)f p p p p p p′ = − + − = − −当 时， ，所以 在 上单增；
当 时， ，所以 在 上单减．
所以 的最大值为 ，
因此实施一次此方案最高费用为 元
所以动物实验阶段估计最高试验费用为 万元，
因为 ，
所以该阶段经费使用不会超出预算．
【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率，离散型随机变量的期望的最大值，实际问题中的
概率问题，属于难题.
10, 3p ∈ ( ) 0f p′ > ( )f p 10, 3
1 ,13p ∈ ( ) 0f p′ < ( )f p 1 ,13
( )f p 1 4
3 27f =
4 3500900 1800 27 3
+ × =
43500 1750 2050100 5000 10 1003 3 3
−+ × × = + =
2050 7003
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