高三一模模拟考试
数学试卷
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共 60 分；第Ⅱ卷为非选择题，
共 90 分，满分 150 分，考试时间为 120 分钟.
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. 5 B. C. D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】由（1+i）z＝|3+4i| ，
得 z ，
∴z 的虚部为 ．
故选 C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.已知数列 满足： ，则 ( )
A. 16 B. 25 C. 28 D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】
依次递推求出 得解.
z (1 ) 3 4i z i+ = + z
5
2
5
2
−
2 23 4 5= + =
( )
( )( )
5 15 5 5
1 1 1 2 2
i ii i i
−= = = −+ + −
5
2
−
{ }na 1 1,a = 1
3,
2 1,
n n
n
n n
a aa a a+
+= +
为奇数
为偶数 6a =
6a【详解】n=1 时， ，
n=2 时， ，
n=3 时， ，
n=4 时， ，
n=5 时， .
故选：C
【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的
值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能
力的考查.
【详解】当 时， ，则当 时，有 ，解得
，充分性成立；当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综
上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋
值法”，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
4.现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两
人恰好参加同一项活动的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
2 1 3 4a = + =
3 2 4 1 9a = × + =
4 9 3 12a = + =
5 2 12 1 25a = × + =
6 25 3 28a = + =
0, 0a b> > 4a b+ ≤ 4ab ≤
,a b
0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤
4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b
4a b+ ≤ 4ab ≤
,a b
1
2
1
3
1
6
1
12【解析】
【分析】
求得基本事件的总数为 ，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个
数为 ,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，现有甲乙丙丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为 ，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 ,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中
合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用
古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5.使得 的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
二项式展开式的通项公式为 ，若展开式中有常数项，则 ，解得
，当 r 取 2 时，n 的最小值为 5，故选 B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
6.等差数列 中，已知 ，且 ，则数列 的前 项和 中最小
的是（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】C
【解析】
2 2
24 2
22
2
6C Cn AA
= × =
2 2 2
2 2 2 2m C C A= =
2 2
24 2
22
2
6C Cn AA
= × =
2 2 2
2 2 2 2m C C A= =
1
3
mp n
= =
( )13
n
x n N
x x +
+ ∈
4 5 6 7
r -
n
13x ( )n r rC
x x
（ ） 3- - =02n r r
5= 2n r
{ }na 5 103 7a a= 1 0a < { }na n nS *( )n N∈
7S 8S 12S 13S 14S【分析】
设 公 差 为 ， 则 由 题 意 可 得 ， 解 得 ， 可 得
.令 ，可得 当 时， ，当 时， ，由此
可得数列 前 项和 中最小的.
【详解】解：等差数列 中，已知 ，且 ，设公差为 ，
则 ，解得 ，
.
令 ，可得 ，故当 时， ，当 时， ，
故数列 前 项和 中最小的是 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.
7.过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方)，l 为 C 的
准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程解得 M(3， )，根据 MN⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为 4 的等边三
角形，计算距离得到答案.
【详解】依题意得 F(1,0)，则直线 FM 的方程是 y＝ (x－1)．由 得 x＝ 或 x＝
3.
d ( ) ( )1 13 4 7 9a d a d+ = + 14
51
ad = −
1(55 4 )
51n
n aa
−= 55 4 051
n− < 14n ≥ 0na > 13n ≤ 0na <
{ }na n ( )*
nS n N∈
{ }na 5 103 7a a= 1 0a < d
( ) ( )1 13 4 7 9a d a d+ = + 14
51
ad = −
1
1
(55 4 )( 1) 51n
n aa a n d
−∴ = + − =
55 4 051
n− < 5
4
5n > 14n ≥ 0na > 13n ≤ 0na <
{ }na n ( )*
nS n N∈ 13S
3
5 2 2 2 3 3 3
2 3
3 2
3 1
4
y x
y x
= − =
1
3由 M 在 x 轴的上方得 M(3， )，由 MN⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF 是边长为 4 的等边三角形
点 M 到直线 NF 的距离为
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8.设 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数的换底公式可以得出 ，通分再结合不等式的性质 ab 4 2( ) 3ab a b ab< + <
2 3( ) 4ab a b ab< + < 2 3( ) 4ab a b ab> + >
1 1 3 ,22a b
+ ∈ a b+
0.1log 2a = 30log 2b =
0ab < 2 2 2
1 1 3log 0.1 log 30 log 3 ,22a b
+ = + = ∈
3 1 1 22 a b
< + < ( )4 2 3ab a b ab< + <
( ) cos 2 6f x x
π = −
( )f x π
( )f x 5,12 12
π π
C. 若函数 的定义域为 ,则值域为
D. 函数 的图像与 的图像重合
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据余弦函数的性质一一验证即可得解.
详解】解：
错，函数 是周期为 的函数，但不是偶函数；
B 正确，当 时, ，所以函数 在区间 上
是减函数；
C 错，若函数 的定义域为 ，则 ，其值域为 ；
D 正确，
，故
D 正确.
故选：
【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题.
10.已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 a 的值可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】
当 时,利用均值定理可知 ,当 时,若 为最小值,需使得对称轴满
【
( )f x 0, 2
π
1 ,12
−
( )f x 2( ) sin 2 3g x x
π = − −
( ) cos 2 6f x x
π = −
A ( )f x π
5,12 12x
π π ∈
22 0, [0, ]6 3x
π π π − ∈ ⊆ ( )f x 5,12 12
π π
( )f x 0, 2
π
52 ,6 6 6x
π π π − ∈ −
3 ,12
−
2( ) sin 2 sin 2 sin 2 cos 23 2 6 2 6 6g x x x x x
π π π π π π = − − = − − + − = − − = −
BD
2 2 9, 1
( ) 4 , 1
x ax x
f x
x a xx
− + ≤= + + >
( )f x (1)f
1x > ( )min 4f x a= + 1x ≤ (1)f足 ,且由分段函数, ,进而求解即可
【详解】当 , ,
当且仅当 时,等号成立；
当 时, 为二次函数,要想在 处取最小,
则对称轴要满足 ,且 ,
即 ,解得 ,
故选:BCD
【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小
值
11.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居
民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7 天每天新增感染人数不超过 5
人”，根据连续7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）
A. 平均数
B. 平均数 且标准差
C. 平均数 且极差小于或等于 2
D. 众数等于 1 且极差小于或等于 4
【答案】CD
【解析】
【分析】
通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选
项．
【详解】解：A 错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数 ，不符合指标.
B 错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数 ，且标准差 ，不符合指标 C
对，若极差等于 0 或 1，在 的条件下，显然符合指标；若极差等于 2 且 ，则每天
新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标 D
对，若众数等于 1 且极差小于或等于 4，则最大值不超过 5，符合指标.
1x a= ≥ (1) 4f a≤ +
1x > 4( ) 4f x x a ax
= + + ≥ +
2x =
1x ≤ 2( ) 2 9f x x ax= − + 1x =
1x a= ≥ (1) 4f a≤ +
1 2 9 4a a− + ≤ + 2a ≥
3x ≤
3x ≤ 2s ≤
3x ≤
2 3x =
3x = 18 27s =
3x ≤ 3x ≤故选： .
【点睛】本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说
明这组数据的具体情况．
12.正方体 的棱长为 2, 分别为 的中点,则（ ）
A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与平面 平行
C. 平面 截正方体所得的截面面积为 D. 点 与点 到平面 的距离相等
【答案】BC
【解析】
【分析】
A．利用线面垂直 定义进行分析；
B．作出辅助线利用面面平行判断；
C．作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；
D．通过等体积法进行判断.
【详解】A．若 ，又因为 且 ，所以 平面 ，
所以 ，所以 ，显然不成立，故结论错误；
B．如图所示，取 中点 ，连接 ，
的
的
CD
1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1 1, ,BC CC BB
1D D AF 1AG AEF
AEF 9
2 C G AEF
1D D AF⊥ 1D D AE⊥ AE AF A∩ = 1DD ⊥ AEF
1DD EF⊥ 1CC EF⊥
1 1B C Q 1 ,AQ GQ由条件可知： ， ，且 ，所以平面
平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故结论正确；
C．如图所示，连接 ，延长 交于点 ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 四点共面，
所以截面即为梯形 ，又因为 ， ，
所以 ，所以 ，故结论正确；
D．记点 与点 到平面 的距离分别为 ，
因为 ，
又因为 ，
所以 ，故结论错误.
故选：BC.
/ /GQ EF 1 / /AQ AE 1 ,CQ AQ Q EF AE E= = 1 / /AGQ
AEF
1AG ⊂ 1AGQ 1 / /AG AEF
1 1,D F D A 1 ,D F AE S
,E F 1 ,C C BC 1/ /EF A D 1, , ,A E F D
1AEFD 2 2
1 4 2 2 5D S AS= = + = 1 2 2A D =
( )1
2
21 2 22 2 2 5 62 2AD SS
= × × − = 1
3 9=6 =4 2AEFDS ×梯形
C G AEF 1 2,h h
1
1 1 1 1 123 3 2 3C AEF AEF A CEFV S h V− −
×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
2
1 1 1 2 223 3 2 3G AEF AEF A GEFV S h V− −
×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
1 2h h≠【点睛】本题考查空间立体几何的直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用，
难度一般.
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知 ， ，则 与 的夹角为 .
【答案】
【解析】
【 详 解 】 根 据 已 知 条 件 ， 去 括 号 得 ：
，
14.已知 F 为双曲线 的右焦点，过 F 作 C 的渐近线的垂线 FD，D
为垂足，且 （O 为坐标原点），则 C 的离心率为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
求出焦点到渐近线的距离就可得到 的等式，从而可求得离心率．
【详解】由题意 ，一条渐近线方程为 ，即 ，
∴ ，由 得 ，
∴ ， ，∴ ．
故答案为：2.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个
关于 的等式．
15.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已
知某种盆栽植物每株成活的概率为 ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此
2a b= = ( ) ( )2 2a b a b+ ⋅ − = − a b
60°
( 2 ) ( ) 2a b a b+ ⋅ − = −
22 2 4 2 2 cos 2 4 2a a b b θ+ ⋅ − = + × × − × = − 1cos , 602
θ θ °⇒ = =
2 2
2 2: 1x yC a b
− = ( 0, 0)a b> >
3| | | |2FD OF=
, ,a b c
(c,0)F by xa
= 0bx ay− =
2 2
bcFD b
b a
= =
+
3| | | |2FD OF= 3
2b c=
2 2 2 23
4b c c a= = − 2 24c a= 2ce a
= =
, ,a b c
p种盆栽植物 10 株，设 为其中成活的株数，若 的方差 ，
，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知： ，且 ，从而可得 值．
【详解】由题意可知：
∴ ，即 ,
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属
于中档题．
16.如图，四面体 的一条棱长为 ，其余棱长均为 1，记四面体 的体积为 ，
则函数 的单调增区间是____；最大值为____.
【答案】 (或写成 )
【解析】
试题分析：设 ，取 中点 则 ,因此 ,所以
， 因 为
X X 2.1DX =
( 3) ( 7)P X P X= < = p =
0.7
( )X ~ B 10, p
( )
( ) ( )
10 1 2.1
3 7
p p
P X P X
− = = < =
p
( )X ~ B 10, p
( )
( ) ( )
10 1 2.1
3 7
p p
P X P X
− = = < =
2100 100 21 0
0.5
p p
p
− + =
>
0.7p =
0.7
ABCD x ABCD ( )F x
( )F x
6(0, ]2
6(0, )2
1
8
AB x= AB M， ,CM AB DM AB⊥ ⊥ AB CDM⊥ 面
2
2 41 1 1 3 1( ) 1 3 (0, 3)3 3 2 4 4 12CDM
xF x x S x x x x∆= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − ∈，在 单调递增，最大值为 所以 单调增区间是 ，最大
值为
考点：函数最值，函数单调区间
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17.在① ；② ；③ 这三个
条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足________________，
，求 的面积.
【答案】横线处任填一个都可以，面积为 ．
【解析】
【分析】
无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式 ，展开后，可求
得 角，再由余弦定理 求得 ，从而易求得三角形面积．
【详解】在横线上填写“ ”.
解：由正弦定理，得 .
由 ，
得 .
由 ，得 .
所以 .
又 （若 ，则 这与 矛盾），
所以 .
又 ，得 .
由余弦定理及 ，
23 , (0,3)y t t t= − ∈ 3(0, )2
9 ,4
( )F x 6(0, )2
1
8
3( cos ) sinb C a c B− = 2 2 cosa c b C+ = sin 3 sin 2
A Cb A a
+=
ABC∆ 2 3,b =
4a c+ = ABC∆
3
sin sin( )A B C= +
B 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ac
3( cos ) sinb C a c B− =
3(sin cos sin ) sin sinB C A C B− =
sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C= + = +
3 cos sin sin sinB C C B− =
0 C π< < sin 0C ≠
3 cos sinB B− =
cos 0B ≠ cos 0B = sin 0,B = 2 2sin cos 0B B+ = 2 2sin cos 1B B+ =
tan 3B = −
0 B π< < 2
3B
π=
2 3b =得 ，
即 .将 代入，解得 .
所以 .
在横线上填写“ ”.
解：由 及正弦定理，得
.
又 ，
所以有 .
因 ，所以 .
从而有 .又 ，
所以
由余弦定理及 ，
得
即 .将 代入，
解得 .
所以 .
在横线上填写“ ”
解：由正弦定理，得 .
由 ，得 ，
所以
由二倍角公式，得 .
由 ，得 ，所以 .
为
2 2 2 2(2 3) 2 cos 3a c ac
π= + −
212 ( )a c ac= + − 4a c+ = 4ac =
1 sin2ABCS ac B=△
1 342 2
= × × 3=
2 2 cosa c b C+ =
2 2 cosa c b C+ =
2sin sin 2sin cosA C B C+ + =
sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C= + = +
2cos sin sin 0B C C+ =
(0, )C π∈ sin 0C ≠
1cos 2B = − (0, )B π∈
2
3B
π=
2 3b =
2 2 2 2(2 3) 2 cos 3a c ac
π= + −
212 ( )a c ac= + − 4a c+ =
4ac =
1 1 3sin 4 32 2 2ABCS ac B= = × × =
sin 3 sin 2
A Cb A a
+=
sin sin 3sin sin 2
BB A A
π −=
0 A π< < sin A θ≠
sin 3 cos 2
BB =
2sin cos 3 cos2 2 2
B B B=
0 2 2
B π< < cos 02
B ≠ 3sin 2 2
B =所以 ，即 .
由余弦定理及 ，
得 .
即 .将 代入，
解得 .
所以 .
【点睛】本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦
定理进行边角转换，求三角形面积时，
①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边
或该角的两边之积，代入公式求面积；
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，
总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
18.如图，四棱锥 中，底面 是矩形，面 底面 ，且 是
边长为 的等边三角形， 在 上，且 面 .
（1）求证: 是 的中点；
（2）在 上是否存在点 ，使二面角 为直角？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由.
【答案】(1) 见解析;(2) .
2 3
B π= 2
3B
π=
2 3b =
2 2 2 2(2 3) 2 cos 3a c ac
π= + −
212 ( )a c ac= + − 4a c+ =
4ac =
1 sin2ABCS ac B=△
1 342 2
= × × 3=
P ABCD− ABCD PAD ⊥ ABCD PAD∆
2 13,PC M= PC PA MBD
M PC
PA F F BD M− − AF
AP
3
8
AF
AP
=【解析】
试题分析：(1)连 交 于 可得 是 中点，再根据 面 可得 进
而根据中位线定理可得结果；(2)取 中点 ，由（1）知 两两垂直.以 为原
点， 所在直线分别为 轴, 轴， 轴建立空间直角坐标系，求出面 的一个
法向量 ，用 表示面 的一个法向量 ，由 可得结果.
试题解析：(1)证明：连 交 于 ，连 是矩形， 是 中点.又
面 ，且 是面 与面 的交线， 是 的中点.
(2)取 中点 ，由（1）知 两两垂直. 以 为原点， 所在直线分
别为 轴，
轴， 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为
.
设存在 满足要求，且 ，则由 得： ，面 的一个
法向量为 ，面 的一个法向量为 ，由 ，得
，解得 ，故存在 ，使二面角 为直角，此时 .
19.正项数列 的前 n 项和 Sn 满足：
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)令 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn＜
AC BD E E AC PA MBD ,PA ME
AD O , ,OA OE OP O
, ,OA OE OP x y z MBD
n λ FBD m · 0n m =
AC BD E .ME ABCD E∴ AC PA
MBD ME PAC MDB ,PA ME M∴ ∴ PC
AD O , ,OA OE OP O , ,OA OE OP
x
y z
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 31,0,0 , 1,3,0 , 1,0,0 , 1,3,0 , 0,0, 3 , , ,2 2 2A B D C P M
− − −
F AF
AP
λ= AF APλ= ( )1 ,0, 3F λ λ− MBD
2 31, ,3 3n = − FBD 2 21, ,3 3
m
λ
λ
− = −
· 0n m =
4 21 09 3
λ
λ
−+ + = 3
8
λ = F F BD M− − 3
8
AF
AP
=
{ }na 2 2 2( 1) ( ) 0n nS n n S n n− + − − + =
{ }na na
2 2
1
( 2)n
n
nb n a
+= + .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【详解】（1）因为数列 的前 项和 满足： ，
所以当 时， ，
即
解得 或 ，
因为数列 都 正项，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为数列 都是正项，
所以 ，
当 时，有 ，
所以 ，
解得 ，
当 时， ，符合
所以数列 的通项公式 ， ;
（2）因为 ，
所以
，
所以数列 的前 项和 为：
，
当 时，
是
5
64
2 ;na n=有 ，
所以 ，
所以对于任意 ，数列 的前 项和 .
20.某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台 10000 元，
乙设备每台 9000 元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费
维修，三次以外的维修费用均为每次 1000 元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各 50 台设备在
一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在 50 台中的维修次数频率代
替维修次数发生的概率.
维修次数 2 3 4 5 6
甲设备 5 10 30 5 0
乙设备 0 5 15 15 15
（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为 和 ，求 和 的分布
列；
（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数
尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.
【答案】（1） 分布列见解析， 分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析
【解析】
【分析】
（1） 的可能取值为 10000，11000，12000， 的可能取值为 9000，10000，11000，12000，
计算概率得到分布列；
（2）计算期望，得到 ，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为 ，
，计算分布列，计算数学期望得到答案.
【详解】（1） 的可能取值为 10000，11000，12000
， ，
因此 的分布如下
X Y X Y
X Y
X Y
( ) ( ) 10800E X E Y= = ξ
η
X
5 10 3( 10000) 50 10P X
+= = = 30 3( 11000) 50 5P X = = = 5 1( 12000) 50 10P X = = =
X10000 11000 12000
的可能取值为 9000，10000，11000，12000
， ， ，
因此 的分布列为如下
9000 10000 11000 12000
（2）
设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为 ，
的可能取值为 2，3，4，5
， ， ，
则 的分布列为
2 3 4 5
X
P 3
10
3
5
1
10
Y
5 1( 9000) 50 10P Y = = = 15 3( 10000) 50 10P Y = = = 15 3( 11000) 50 10P Y = = =
15 3( 12000) 50 10P Y = = =
Y
Y
P 1
10
3
10
3
10
3
10
3 3 1( ) 10000 11000 12000 1080010 5 10E X = × + × + × =
1 3 3 3( ) 9000 10000 11000 12000 1080010 10 10 10E Y = × + × + × + × =
ξ η
ξ
5 1( 2) 50 10P ξ = = = 10 1( 3) 50 5P ξ = = = 30 3( 4) 50 5P ξ = = = 5 1( 5) 50 10P ξ = = =
ξ
ξ
P 1
10
1
5
3
5
1
10
1 1 3 1( ) 2 3 4 5 3.710 5 5 10E ξ = × + × + × + × =的可能取值为 3，4，5，6
， ， ，
则 的分布列为
3 4 5 6
由于 ， ，因此需购买甲设备
【点睛】本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21.已知椭圆 的右焦点为 ,过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交
于 两点,线段 的中点为 为坐标原点.
（1）证明:点 在 轴的右侧;
（2）设线段 的垂直平分线与 轴、 轴分别相交于点 .若 与 的面积
相等,求直线 的斜率
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点 的横坐标即可证出；
（2）根据线段 的垂直平分线求出点 的坐标，即可求出 的面积，再表示出
的面积，由 与 的面积相等列式，即可解出直线 的斜率 ．
【详解】（1）由题意，得 ，直线 （ ）
设 ， ，
η
5 1( 3) 50 10P η = = = 15 3( 4) 50 10P η = = = 15 3( 5) 50 10P η = = = 15 3( 6) 50 10P η = = =
η
η
P 1
10
3
10
3
10
3
10
1 3 3 3( ) 3 4 5 6 4.810 10 10 10E η = × + × + × + × =
( ) ( )E X E Y= ( ) ( )E Eξ η<
2
2: 14
xW y+ = F F ( )0k k ≠ l W
,A B AB ,M O
M y
AB x y ,C D ODC△ CMF
l k
2
4
±
l M
AB ,C D ODC△
CMF ODC CMF l k
( 3,0)F ( 3)l y k x= −： 0k ≠
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y联立 消去 ，得 ，
显然 ， ，
则点 的横坐标 ，
因为 ，
所以点 在 轴的右侧．
（2）由（1）得点 的纵坐标 ．
即 ．
所以线段 的垂直平分线方程为： ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 的面积 ，
的面积 ．
因为 与 的面积相等，
所以 ，解得 ．
所以当 与 的面积相等时，直线 的斜率 ．
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的
面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
22.已知函数 ，曲线 在点 处的切线在 y 轴上
2
2
( 3),
1,4
y k x
x y
= −
+ =
y 2 2 2 2(4 1) 8 3 (12 4) 0k x k x k+ − + − =
> 0∆ 2
1 2 2
8 3
4 1
kx x k
+ = +
M
2
1 2
2
4 3
2 4 1M
x x kx k
+= = +
2
2
4 3 04 1M
kx k
= >+
M y
M 2
3( 3) 4 1M M
ky k x k
−= − = +
2
2 2
4 3 3( , )4 1 4 1
k kM k k
−+ +
AB
2
2 2
3 1 4 3( )4 1 4 1
k ky xk k k
+ = − −+ +
0x =
2
3 3(0, )4 1
kD k + 0y = 2
2
3 3( ,0)4 1
kC k +
ODC
2 2
2 2 2 2
1 3 3 3 3 27 | || | | |=2 4 1 4 1 2(4 1)ODC
k k k kS k k k∆
⋅= ⋅ ⋅+ + +
CMF
2 2
2 2 2 2
1 3 3 3 3( 1) | || 3 | | |2 4 1 4 1 2(4 1)CMF
k k k kS k k k∆
+ ⋅= ⋅ − ⋅ − =+ + +
ODC CMF
2 2
2 2 2 2
27 | | 3( 1) | |
2(4 1) 2(4 1)
k k k k
k k
⋅ + ⋅=+ +
2
4k = ±
ODC CMF l 2
4k = ±
( ) ln(2 )f x x a= + ( 0, 0)x a> > ( )y f x= (1, (1))f的截距为 .
（1）求 a；
（2）讨论函数 和 的单调性；
（3）设 ，求证： .
【 答 案 】（1 ） （ 2 ） 为 减 函 数 ，
为增函数. （3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，求出切线方程，令 得切线的纵截距，可得 （必须利用函数
的单调性求解）；
（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；
（3）不等式 变形为 ，由 递减，得 ( )，
即 ，即 ，依次放缩，
．
不等式 ， 递增得 ( )， ,
, ,先证 ，然后同样放缩得出结
论．
【详解】解：（1）对 求导，得 .
因此 .又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
，
2ln3 3
−
( ) ( ) 2g x f x x= − ( 0)x > 2( ) ( ) 2 1
xh x f x x
= − + ( 0)x >
1
2 ,5a = ( )1n na f a+ =
15 2 1 2 02
n
n
na
+− < − < ( 2)n ≥
1a = ( ) ( ) 2g x f x x= − ( 0)x > 2( ) ( ) 1 2
xh x f x x
= − +
( 0)x >
( )f x′ 0x = a
15 2 1 22
n
n
na
+− < − 2
5
n
na < ( )g x ( ) (0) 0g x g> = 0x >
( ) 2f x x< 1 1(2 1) 2n n na f a a− −= + <
2 1
1 2 1
22 2 2 5
n
n
n n na a a a−
− −< < < < =
1 2 0
na
− < 2( ) ( ) 2 1
xh x f x x
= − + ( ) (0)h x h> 0x > 2( ) 02 1
xf x x
> >+
1 1 1( ) 2f x x
< + 1 1 12 2( ) 2f x x
− < − 2 1
1 12 2 0( )a f a
− = − <
( ) ln(2 )f x x a= + 2( ) 2f x x a
′ = +
2(1) 2f a
′ = + (1) ln(2 )f a= +
( )y f x= (1, (1)f
2ln(2 ) ( 1)2y a xa
− + = −+即 .
由题意， .
显然 ，适合上式.
令 ，
求导得 ，
因此 为增函数：故 是唯一解.
（2）由（1）可知， ，
因为 ，
所以 为减函数.
因为 ，
所以 为增函数.
（3）证明：由 ，易得 .
由（2）可知， 在 上为减函数.
因此，当 时， ，即 .
令 ，得 ，即 .
因此，当 时， .
所以 成立.
下面证明： .
2 2ln(2 )2 2y x aa a
= + + −+ +
2 2ln(2 ) ln32 3a a
+ − = −+
1a =
2( ) ln(2 ) 2a a a
ϕ = + − + ( 0)a >
2
1 2( ) 02 (2 )a a a
ϕ′ = + >+ +
( )aϕ 1a =
( ) ln(2 1) 2g x x x= + − ( 0),x > 2( ) ln(2 1) 2 1
xh x x x
= + − + ( 0)x >
2 4( ) 2 02 1 2 1
xg x x x
′ = − = −
2
2 2( ) 2 1 (2 1)h x x x
′ = −+ + 2
4 0(2 1)
x
x
= >+
2( ) ( ) 1 2
xh x f x x
= − + ( 0)x >
1
2 ,5a = ( ) ( )1 ln 2 1n n na f a a+ = = + 0na >
15 2 1 222 5
n n
nn
n
aa
+− < − ⇔ <
( ) ( ) 2g x f x x= − ln(2 1) 2x x= + − (0, )+∞
0x > ( ) (0) 0g x g< = ( ) 2f x x<
1( 2)nx a n−= ≥ ( )1 12n nf a a− −< 12n na a −<
2n ≥ 2 1
1 2 12 2 2n
n n na a a a−
− −< < < ⋅⋅⋅ < 2
5
n
=
15 2 1 22
n
n
na
+− < −
1 2 0
na
− ( ) (0) 0h x h> =
2( ) 02 1
xf x x
> >+
1 1 1( ) 2f x x
< +
1 1 12 2( ) 2f x x
− < −
1( 2)nx a n−= ≥ ( )1 1
1 1 12 22n nf a a− −
− < −
1
1 1 12 22n na a −
− < −
2n =
2
1 12 2
na a
− = − ( )1
1 2f a
= −
1 22
5f
= −
1 2ln1.8
= −
1ln1.8 ln 3 ln e 2
> > =
1 2 0ln1.8
− <
2
1 2 0a
− <
3n ≥
2 2
1 2 2
1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 02 2 2n
n n na a a a−
− −
− < − < − < ⋅⋅⋅ < −
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