青岛市 2020 年高三统一质量检测
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．
【详解】解： ，则 的共轭复数 的虚部为 1．
故选：B．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
先求出集合 ，集合 ，由此能求出 ．
【详解】解： 集合 ，
集合 ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础
题．
3.已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 （单位：元）服从正态分布
【
i 1 2iz i
−= z z
i− i 1−
1 2 (1 2 ) 2i i iz ii i i
− − −= = = − −−
z 2z i= − +
2{ | log 2}A x R x= ∈ < { }| 1 2B x R x= ∈ − < A B =
(0,3) ( 1,3)− (0, 4) ( ,3)−∞
A B A B
2{ | log 2} { | 0 4}A x R x x x= ∈ < = < <
{ || 1| 2} { | 1 3}B x R x x x= ∈ − < = − < <
{ | 0 3} (0,3)A B x x∴ = < < =
ξ，则该市某居民手机支付的消费额在 内的概率为（ ）
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
A. 0.9759 B. 0.84 C. 0.8185 D. 0.4772
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得 ， ，然后结合 与 原则求解．
【详解】解： 服从正态分布 ， ，
， ，
则
．
故选：C．
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的运用、 与 原则的应用，考查了推
理能力与计算能力，属于基础题．
4.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把它们和 0，1 比较，可得出结果．
【详解】解： ， ， ，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查指数，对数比较大小，属于基础题．
5.已知函数 （ 为自然对数的底数），若 的零点为 ，极值
2(2000,100 )N (1900,2200)
ξ 2( , )N µ σ ( ) 0.6826P uµ σ ξ σ− < < + =
( 2 2 ) 0.9544P µ σ ξ µ σ− < < + = ( 3 3 ) 0.9974P µ σ ξ µ σ− < < + =
2000µ = 100σ = σ 2σ
ξ (2000N 2100 )
2000µ∴ = 100σ =
[ ]1(1900 2200) ( ) ( 2 2 ) ( )2P P P Pξ µ σ ξ µ σ µ σ ξ µ σ µ σ ξ µ σ< < = − < < + + − < < + − − < < +
10.6826 (0.9544 0.6826) 0.81852
= + − =
σ 2σ
0.22a = sin 2b = 2log 0.2c = a b c
a b c> > b a c> > b c a> > c a b> >
0.22 1a = > 0 sin 2 1b< = < 2log 0.2 0c = <
a b c> >
3 9, 0( )
, 0
x
x
xf x
xe x
− ≥=
1x∴ = − ( )f x ( )f x 1β = −
2 1 1α β∴ + = − =
P ABCD− E F PA PC / /EF
ABCD EF PB
30° 45° 60° 90°
AC BD AC BD O= //EF AC的判定定理可得 平面 ，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求
角．
【详解】解：连接 ， ，设 ，
则 平面 ，平面 平面 ，
由 底面 ，可得 ，
由四边形 为菱形，可得 ，
由 为 的中点， ，可得 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
又 平面 ，
则 ，
又 ，可得 ，
即异面直线 与 所成角的大小为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性
质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
7.在同一直角坐标系下，已知双曲线 的离心率为 ，双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离为 2，函数 的图象向右平移 单位后得到曲
线 ，点 ， 分别在双曲线 的下支和曲线 上，则线段 长度的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
AC ⊥ PBD
AC BD AC BD O=
EF ⊂ PAC PAC ABCD AC=
/ /EF ABCD //EF AC
ABCD AC BD⊥
O AC PA PC= PO AC⊥
BD OP O= BD ⊂ PBD PO ⊂ PBD
AC ⊥ PBD
PB ⊂ PBD
AC PB⊥
//EF AC EF PB⊥
EF PB 90°
2 2
2 2: 1( 0, 0)y xC a ba b
− = > > 2 C
sin 2 6y x
π = + 3
π
D A B C D AB
3 2显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数 ， ．再画出曲线 的图象
和双曲线的图象，观察图象可得解．
【详解】解：因为离心率为 ，所以该双曲线是等轴双曲线，可设 方程为
所以 ，故焦点 ，渐近线 ，
取 到 的距离为 2，得 ，解得 ．
所以双曲线方程为 ．
函数 的图象向右平移 单位后得到曲线 的方程为：
．
同一坐标系做出曲线 、 的图象：
由图可知，当 点为 与 轴的交点 ， 点为双曲线的下顶点 时，
最小为 1．
故选： ．
【点睛】本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换．同时考查了利用数形结合解
决问题的能力．属于中档题．
8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”
三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为 ，
为
a b D
2 C
2 2
2 2 1( 0)y x aa a
− = >
2c a= (0, 2 )a± y x= ±
(0, 2 )a 0x y− =
2 2
2 2
1 1
a =
+ 2a b= =
2 2
14 4
− =y x
sin(2 )6y x
π= +
3
π
D
sin[2( ) ] sin(2 ) cos23 6 2y x x x
π π π= − + = − = −
C D
B cos2xy = − y (0, 1)− A (0, 2)−
| |AB
D
4
5且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用 次独立重复试验中事件 恰好发生 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至
少答对两道题的概率．
【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创
新题型”三类题型，
每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为 ，且各次答对与
否相互独立，
则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：
．
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法，考查 次独立重复试验中事件 恰好发生 次概率计算公式
等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的
得 0 分．
9.已知向量 ， ， ，设 的夹角为 ，则（ ）
A B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据题意，求出 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．
【详解】根据题意， ， ，则 ， ，
依次分析选项：
112
125
80
125
113
125
124
125
n A k
4
5
3 2 2
3
4 4 1 112( ) ( ) ( )5 5 5 125P C= + =
n A k
(1,1)a b+ = ( 3,1)a b− = − (1,1)c = ,a b θ
| | | |a b= a c⊥ / /b c 135θ = °
,a b
(1,1)a b+ = ( 3,1)a b− = − ( 1,1)a = − (2,0)b =对于 ， ， ，则 不成立， 错误；
对于 ， ， ，则 ，即 ， 正确；
对于 ， ， ， 不成立， 错误；
对于 ， ， ，则 ， ， ，则 ，
则 ， 正确；
故选：BD．
【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
10.已知函数 ， ，则（ ）
A. B. 在区间 上只有 1 个零点
C. 的最小正周期为 D. 为 图象的一条对称轴
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
【详解】解：已知函数 ，
，
则 、 正确，
、当 ， ，即 ， ， 在区间 上只有 2 个零点，
则 在区间 上只有 1 个零点错误，
、 的最小正周期为 ，正确
、当 时，函数 ， ，
所以 为 图象的一条对称轴，正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查二倍角公式和三角函数的性质，属于中档题．
11.已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 的前 项和
A 2a| |= | | 2b = | | | |a b= A
B ( 1,1)a = − (1,1)c = 0a c =
a c⊥ B
C (2,0)b = (1,1)c = / /b c C
D ( 1,1)a = − (2,0)b = 2a b = −
2a| |= | | 2b = 2 2cos 22 2
θ −= = −
135θ = ° D
2 2( ) sin 2 3sin cos cosf x x x x x= + − x∈R
2 ( ) 2f x− ≤ ≤ ( )f x (0, )π
( )f x π
3x
π= ( )f x
2 2( ) sin 2 3sin cos cos 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x x x x x x x x
π= + − = − = −
x∈R
A 2 ( ) 2f x−
B 2 6x k
π π− = k Z∈
2 12
kx
π π= + k Z∈ ( )f x (0, )π
( )f x (0, )π
C ( )f x π
D 3x
π= ( ) 2sin(2 )6f x x
π= − x∈R 2sin 2 23 3 6f
π π π = × − =
3x
π= ( )f x
{ }na n S 1 1a = 1 2 1n n nS S a+ = + +
1
2n
n na a +
⋅
n为 ， ，则下列选项正确的为（ ）
A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列
C. 数列 的通项公式为 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由数列的递推式可得 ，两边加 1 后，运用等比数列的定义和通项公式
可得 ， ，由数列的裂项相消求和可得 ．
【详解】解：由 即 ，
可化为 ，由 ，可得数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数
列，
则 ，即 ，
又 ，可得
，
故 错误， ， ， 正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，
考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
12.已知四棱台 上下底面均为正方形，其中 ， ，
，则下述正确的是（ ）．
A. 该四棱台的高为 B.
为
的
nT *n∈N
{ }1na + { }1na +
{ }na 2 1n
na = − 1nT <
1 1 2 1n n n na S S a+ += − = +
na 1 1
1
2 2 1 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
n n
n n n n
n na a + +
+
= = −− − − − nT
1 2 1n n nS S a+ = + + 1 1 2 1n n n na S S a+ += − = +
1 1 2( 1)n na a+ + = + 1 1 1S a= = { 1}na +
1 2n
na + = 2 1n
na = −
1 1
1
2 2 1 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
n n
n n n n
n na a + +
+
= = −− − − −
2 2 3 1 1
1 1 1 1 1 11 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nT + += − + − +…+ − = − k
2na n=
11
3
n
nb
− = 4k =【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，在等差数列 中，由已知求解公差 ，进一步求得首
项，可得等差数列的通项公式；由 求得 ，结合已知求得 ，可得等比数列的公比，
则等比数列的通项公式可求；
（2）由（1）知， ，由 解得 范围，再由 ，
解得 范围，即可判断出结论．
【详解】解：（1）设数列 的为 ，在数列 中，
又因为 ，所以
从而 ，所以
由 得：
因为 ，设数列 的公比为
所以 ，所以
（2）由（1）知：
所以 ，整理得 ，解得
又因为
所以 ，即 ，解得
所以
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前 项和、方程与不等式的解法，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
18.在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，
．
{ }na d { }na d
1 1 2a b = 1b 2b
1( ) ( 1)2
k
k
k a aS k k
+= = + 6kS k< k 1
3 1 13
2 2 3 9k kT −= − >×
k
{ }na d { }na 3 2 3 6S S a− = =
2 1 2 3 32 12 3 6S a a a d a d d= + = − + − = − = 2d =
1 3 2 2a a d= − = 2 ( 1) 2 2na n n= + − × =
1 1 2a b = 1 1 1b T= =
2 2 1
4 113 3b T T= − = − = { }nb q
2
1
1
3
bq b
= =
1 11 11 3 3
n n
nb
− − = × =
( )1 ( 1)2
k
k
k a aS k k
+= = +
( 1) 6kS k k k= + < 2 5 0k k− < 0 5k< <
1
11 1 3 1 3 13 11 2 3 2 2 31 3
k
k k kT −
× − = = − = − × −
1
3 1 13
2 2 3 9k kT −= − >× 1
1 1
3 9k − < 3k >
4k =
n
ABC a b c A B C
2 2 2 22 ( )(1 tan )b b c a A= + − −（1）求角 ；
（2）若 ， 为 中点，在下列两个条件中任选一个，求 的长度．
条件①： 的面积 且 ；
条件②： ．
【答案】（1） ；（2）选择条件②， ．
【解析】
【分析】
（1） ．利用余弦定理可得； ．化为
，再利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）选择条件②， ，可得 ．利用诱导公式可得
，由正弦定理可得： ．在 中，由余弦定理可得 ．
【详解】解：（1）在 中，由余弦定理知： ，
所以 ，所以
又由正弦定理知： ，得
所以
即：
所以
因为 ，所以 ，所以
又因为 ，所以
（2）选择条件②：
因为 ，所以
C
2 10c = D BC AD
ABC 4S = B A>
2 5cos 5B =
3
4C
π= 26AD =
2 2 2 22 ( )(1 tan )b b c a A= + − − 22 2 cos (1 tan )b bc A A= −
(cos sin )b c A A= −
2 5cos 5B = 5sin 5B =
sin sin( )A B C= + sin
sin
c Aa C
= ABD∆ AD
ABC 2 2 2 2 cosb c a bc A+ − =
22 2 cos (1 tan )b bc A A= − (cos sin )b c A A= −
sin
sin
b B
c C
= sin sin (cos sin )B C A A= −
sin( ) sin (cos sin )A C C A A+ = −
sin cos cos sin sin cos sin sinA C A C C A C A+ = −
sin cos sin sinA C C A= −
sin 0A ≠ cos sinC C= − tan 1= −C
0 C π< < 3
4C
π=
2 5cos 5B =
2 5cos 5B = 5sin 5B =因为
由正弦定理知： ，所以
在 中，由余弦定理知：
解得：
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
19.在如图所示的四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 为边长为 2 的
等边三角形， ，点 ， 分别为 ， 的中点， 是异面直线 和 的
公垂线．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）记 的重心为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1） 为 的中点，利用等边三角形的性质可得 ，根据 是异面直线 与
的 公 垂 线 ， 可 得 ． 可 得 平 面 ． 进 而 得 出 ： 平 面 平 面
．
（2）根据 ， 为中点，可得 ，又 是异面直线 与 的公垂线，可得
， 可得： 平面 ．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面
的一个法向量为 ，可得 ，由 ， ， 的坐标可得
的重心 ．设直线 与平面 所成角为 ，则 ， ．
10sin sin( ) sin cos sin cos 10A B C B C C B= + = + =
sin sin
c a
C A
= sin 2 2sin
c Aa C
= =
ABD△ 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B= + − ⋅ ⋅
26AD =
E ABCD− ABCD BCE
AB AE= F O AB BE OF AB OC
ABE ⊥ BCE
OCDE G AG ABCD
105
35
O BE OC BE⊥ OF AB
OC OC OF⊥ OC ⊥ ABE ABE ⊥
BCE
F O / /OF AE OF AB OC
OF AB⊥ AE AB⊥ OA ⊥ BCE
ABCD ( ), ,n x y z= 0n BA n BC= =
C E D
CED∆ G AG ABCD θ sin | cos AGθ = < | ||
| | | |
n AGn
n AG
> =
【详解】解：（1）证明：因为 为 的中点，所以在等边 中，
又因为 是异面直线 和 的公垂线，所以
又因为 ， 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，所以平面 平面
（2）因为 、 为中点，所以 ，又因为 是异面直线 和 的公垂线，
所以 ， ，所以 为等腰直角三角形
连接 ， ，
因为 ， 平面 ，平面 平面 且平面 平面
所以 平面
因此，以 为原点，分别以 、 、 所在的直线为 、 、 轴建系如图所示：
则 ， ， ，
因为四边形 为平行四边形，设
因为 ，所以
所以
设面 的一个法向量为
，
由
令 ，则 ， ，所以
因为 ， ， ，
O BE BCE OC BE⊥
OF AB OC OC OF⊥
OF BE O∩ = OF BE ⊂、 ABE OC ⊥ ABE
OC ⊂ BCE ABE ⊥ BCE
F O //OF AE OF AB OC
OF AB⊥ AE AB⊥ ABE△
AO 2AB AE= = 1OA =
OA BE⊥ OA ⊂ ABE ABE ⊥ BCE ABE BCE BE=
OA ⊥ BCE
O OE OC OA x y z
(0,0,1)A ( 1,0,0)B − (0, 3,0)C (1,0,0)E
ABCD ( )0 0 0, ,D x y z
BC AD= ( )0 0 0(1, 3,0) , , 1x y z= −
(1, 3,1)D
ABCD ( , , )n x y z=
(1,0,1)BA =uuur
(1, 3,0)BC =
00
0 3 0
x zn BA
n BC x y
+ =⋅ = ⇒ ⋅ = + =
1y = − 3x = 3z = − ( 3, 1, 3)n = − −
(0, 3,0)C (1,0,0)E (1, 3,1)D所以 的重心为 的坐标为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形与等腰直角三角形的性质、法向量的应用、数
量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大
消费者喜爱｡
（1）已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
成交额（百亿元） 9 12 17 21 27
求成交额 （百亿元）与时间变量 （记 2015 年为 ，2016 年为 ，……依次类推）
的线性回归方程，并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；
（2）在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别
参加 、 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 、两店订单“秒杀”
成功的概率分别为 、 ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 ．
（i）求 的分布列及 ；
（ii）已知每个订单由 件商品 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品
总数量为 ，假设 ， ，求 取最大值时正整数 的值．
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
CDE△ G 2 2 3 1, ,3 3 3
2 2 3 2, ,3 3 3AG
= −
uuur
AG ABCD θ
2 3
1053sin | cos , | 35| | | | 2 57 3
AGAG
AG
nn
n
θ ⋅= < > = = =
⋅ ×
uuuruu
u
rr
urr
ur
u
y x 1x = 2x =
A B A
p q X
X ( )E X
*2,( )k k k≥ ∈N W
W Y
2
7sin
4
kp k k
π
π= −
sin
4
kq k
π
= ( )E Y k
ˆˆy bx a= +， ．
【答案】（1） ；30.7 百亿元；（2）（i）分布列详见解析， ；
（ii）3．
【解析】
【分析】
（1）计算 、 ，求出系数 和 ，写出线性回归方程，利用方程计算 时 的值即可；
（2） 由题意知随机变量 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望
值；
根据题意求出 的解析式，利用换元法和求导法计算 取最大值时正整数 的
值．
【详解】解：（1）由已知可得：
，
所以
所以
所以
当 时， （百亿元）
所以估计 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额为 30.7（百亿元）
（2）（ⅰ）由题知， 的可能取值为：0，1，2
1 1
2 2 2
1 1
( ) )
ˆ
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nx y x x y y
b
x nx x x
= =
= =
− ⋅ − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆa y bx= −
ˆ 4.5 3.7y x= + ( )E X p q= +
x y b a 6x = y
( )i X
( )ii ( )E Y ( )E Y k
1 2 3 4 5 35x
+ + + += = 9 12 17 21 27 17.25y
+ + + += =
5
1
1 9 2 12 3 17 4 21 5 27 303i i
i
x y
=
= × + × + × + × + × =∑
5
2 2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 5 55i
i
x
=
= + + + + =∑
5
1
5 2
2 2
1
5 303 5 3 17.2 45ˆ 4.555 5 3 105
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
− ⋅ − × ×= = = =− ×−
∑
∑
ˆ 17.2 4.5 3 3.7a y bx= − = − × =
ˆˆ 4.5 3.7y bx a x= + = +
6x = 4.5 6 3.7 30.7y = × + =
X所以 的分布列为：
0 1 2
（ⅱ）因为
所以
令 ，设 ，则
因为 ，且
所以，当 时， ，所以 在区间 上单调递增；
当 时， ，所以 在区间 上单调递减；
所以，当 即 时， （百亿元）
所以 取最大值时 的值为 3
【点睛】本题主要考查了概率与随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运用概
率统计知识解决简单实际问题的能力，属于中档题．
( 0) (1 )(1 )P X p q= = − −
( 1) (1 ) (1 )P X p q q p= = − + −
( 2)P X pq= =
X
X
P 1 p q pq− − + 2p q pq+ − pq
( ) 0 (1 )(1 ) ( 2 ) 2E X p q p q pq pq p q= × − − + + − + = +
Y kX=
2
7sin sin
( ) ( ) ( ) 2sin4 4
k kE Y kE X k p q k k k k k k
π π
π π π
= = + = − + =
1 10, 2t k
= ∈ ( ) 2sinf t t tπ π= − ( ) ( )E Y f t=
1( ) 2 cos 2 cos 2f t t tπ π π π π ′ = − = − 0, 2t
ππ ∈
10, 3t ∈ ( ) 0f t′ > ( )f t 10, 3
1 1,3 2t ∈ ( ) 0f t′ < ( )f t 1 1,3 2
1
3t = 3k = 1( ) 33 3f t f
π ≤ = −
( )E Y k21.已知 为坐标原点，椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， 点
又恰为抛物线 的焦点，以 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与 相交于 ， 两点，记点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，
．直线 与 相交于 ， 两点，记 ， 的面积分别为 ，
．
（ⅰ）证明： 的周长为定值；
（ⅱ）求 的最大值．
【答案】（1） ；（2）（i）详见解析；（ii） ．
【解析】
【分析】
（1）由已知求得 ，可得 ，又以 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点，知
，从而求得 与 的值，则答案可求；
（2） 由题意， 为抛物线 的准线，由抛物线的定义知，
，结合 ，可知等号当且仅当 ， ， 三点
共线时成立．可得直线 过定点 ，根据椭圆定义即可证明 为定值；
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，求出 与 可得
；若直线 的斜率存在，可设直线方程为 ， ， ， ，
， ， ， ， ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利
用弦长公式求得 ， ，可得 ，由此
O
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F 2F 2F
2: 4D y x= 1 2F F C
C
l D A B A B 1x = − 1d 2d
1 2| |AB d d= + l C E F OAB OEF 1S
2S
1EFF△
2
1
S
S
2
2 12
x y+ = 2
4
2 (1,0)F 1c = 1 2F F C
b c= a b
( )i 1x = − D
1 2 2 2| | | | | |AB d d AF BF= + = + 2 2| | | | | |AB AF BF+ A B 2F
l 2F 1 1| | | | | |EF EF FF+ +
( )ii l l 1x = | |AB | |EF
2
1
| | 2
| | 4
S EF
S AB
= = l ( 1)y k x= − 1(A x 1)y 2(B x
2 )y 3(E x 3 )y 4(F x 4 )y
| |AB | |EF
2
2
2
1
2
| | 2 1 2( ) (0, )1| | 2 42(1 2 ) 2
S EF k
S AB k
k
= = = × ∈
+ +可求 的最大值．
【详解】解：（1）因为 为抛物线 的焦点，故
所以
又因为以 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点知：
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为：
（2）（ⅰ）由题知，因为 为抛物线 的准线
由抛物线的定义知：
又因为 ，等号当仅当 ， ， 三点共线时成立
所以直线 过定点
根据椭圆定义得：
（ⅱ）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为
因为 ， ，所以
若直线 的斜率存在，则可设直线 ，设 ，
由 得，
所以 ，
设 ， ，
由 得，
则 ，
2
1
S
S
2F 2: 4D y x= 2 (1,0)F
1c =
1 2F F C b c=
2a = 1b =
C
2
2 12
x y+ =
1x = − D
1 2 2 2| |AB d d AF BF= + = +
2 2| |AB AF BF≤ + A B 2F
l 2F
1 1 2 1 1 2| | 4 4 2EF EF FF EF EF FF FF a+ + = + + + = =
l l 1x =
| | 4AB = | | 2EF = 2
1
| | 2
| | 4
S EF
S AB
= =
l : ( 1)( 0)l y k x k= − ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 4
( 1)
y x
y k x
=
= −
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =
2
1 2 2
2 4kx x k
++ =
2
1 2 2
4 4| | 2 kAB x x k
+= + + =
( )3 3,E x y ( )4 4,F x y
2
2 12
( 1)
x y
y k x
+ =
= −
( )2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
2
3 4 2
4
1 2
kx x k
+ = +
2
3 4 2
2 2
1 2
kx x k
−= +所以
则
综上知： 的最大值等于
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查
计算能力，属于中档题．
22.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）当 时，证明： ；
（2）设函数 ，当 时，证明： ；
（3）若数列 满足： ， ， ．证明： ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知结合导数的几何意义可求 ，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求 的
范围；
（2）先对 求导，结合导数及（1）的结论可求函数 的范围，即可证；
（3）结合（1）（2）的结论，结合对数的运算性质可证．
【详解】解：（1）由题知： ，
所以 ，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增；
当 时， ， 在区间 上单调递减；
所以 ，即
( ) ( )2
22 2
3 4 3 4 3 4 2
2 2 1
| | 1 1 4 1 2
k
EF k x x k x x x x k
+
= + − = + + − = +
( )
2
2
2
1
2
| | 2 1 20,1| | 2 42 1 2 2
S EF k
S AB k
k
= = = × ∈ + +
2
1
S
S
2
4
2( ) ln 2f x ax x x= − + (1,1) 1y =
( )0,2x∈ 0 ( ) 2 f x< <
( ) ( )g x xf x= (0,1)x∈ 0 ( ) 1g x< <
{ }na 1 ( )n na f a+ = 10 1a< < *n∈N
1
ln 0
n
i
i
a
=
( )h x (0,1)
(1,2)x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x (1,2)
( ) (1) 0h x h≤ = ( ) 0f x′ ≤所以 在区间 上单调递减，
所以
又因为 ，所以 ，
所以
综上知：当 时，
（2）由题意，因为
所以
由（1）知： 在区间 上单调递减，所以 ，
又因为当 时，
所以 ， 在区间 上单调递增，所以
由（1）可知： ，又 ，∴
综上可知：
（3）由（1）（2）知：
若 ， ，若 ，
因为 ，∴ ， ，
所以 ， ，
当 时，
当 时，
所以 ，从而
【点睛】本题综合考查了导数及函数的性质在证明不等式中的应用，考查了考试的逻辑推理
与运算的能力，属于难题．
( )f x (0,2)
2( ) (2) 4ln 2 2 ln16 ln 0f x f e> = − = − >
( ) ln 1 0h x x x= + − ≤ ln 1x x≤ −
2 2 2 2( ) 2 ln 2 2 ( 1) 2 2 2 ( 1) 1 2f x x x x x x x x x x= − + ≤ − − + = − + = − + <
(0,2)x∈ 0 ( ) 2f x< <
2( ) ( ) ( ) 4 ln 3 2 2g x f x xf x x x x x′ ′= + = − + +
( ) ( ) ( )2 2 2( ) 2 2 ln 2 2 2 2 ( ) 2 2g x x x x x x f x x x′ = − + + − + − = + − + −
( )f x (0,1) ( ) (1) 1f x f> =
(0,1)x∈ 2 2 2 ( 2, 1)x x− + − ∈ − −
( ) 0g x′ > ( )g x (0,1) ( ) (1) 1g x g< =
( ) 0f x > (0,1)x∈ ( ) ( ) 0g x xf x= >
0 ( ) 1g x< <
(0,1)x∈ 1 (1) ( ) 2f f x= < < (1,2)x∈ 0 (2) ( ) (1) 1f f x f< < < =
1 (0,1)a ∈ ( )2 1 (1,2)a f a= ∈ ( )3 2 (0,1)a f a= ∈ ( )4 3 (1,2)a f a= ∈
2 1 (0,1)ka − ∈ 2 (1,2)ka ∈ *k ∈N
2n k=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 4 2 2 1 3 2 1 1n k k ka a a a a a a a a a g a g a g a+ +× × × × = =
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