高三数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1-3 页，第Ⅱ
卷 3-4 页，共 150 分，测试时间 120 分钟.
注意事项：
选择题每小题选岀答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
计算 ， ，再计算交集得到答案
【详解】 ， ，
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.
2.已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点在第（ ）
象限.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】
【分析】
【
{ }|1 2 2xA x= ≤ ≤ { }| ln 0B x x= ≤ A B =
10, 2
10, 2
10, 2
10, 2
10 2A x x
= ≤ ≤
{ }0 1B x x= < ≤
{ } 1|1 2 2 0 2
xA x x x
= ≤ ≤ = ≤ ≤
{ } { }| ln 0 0 1B x x x x= ≤ = < ≤
10, 2A B =
C
z ( )1 2 4 3z i i+ = + i z化简得到 ，故 ，得到答案.
【详解】 ，则 ，故 ，
对应的点在第一象限.
故选： .
【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
3.设命题 任意常数数列都是等比数列.则 是（ ）
A. 所有常数数列都不是等比数列 B. 有的常数数列不是等比数列
C. 有的等比数列不是常数数列 D. 不是常数数列的数列不是等比数列
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据命题的否定的定义得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
命题：任意常数数列都是等比数列，则 ：有的常数数列不是等比数列.
故选： .
【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.
4.在正方体 中，点 是 的中点，且 ，则实数
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简得到 ，得到 ， ，得到答案.
【详解】 ，
故 ， ， .
故选： .
【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
2z i= − 2z i= +
( )1 2 4 3z i i+ = +
( )( )
( )( )
4 3 1 24 3 10 5 21 2 1 2 1 2 5
i ii iz ii i i
+ −+ −= = = = −+ + − 2z i= +
A
:p p¬
p¬
B
1 1 1 1ABCD A B C D− P 1 1C D 1AP AD xAB yAA= + +
x y+
3
2
− 1
2
− 1
2
3
2
1
1
2AP AD AA AB= + + 1
2x = 1y =
1 1 1 1
1
2AP AD DD D P AD AA AB AD xAB yAA= + + = + + = + +
1
2x = 1y = 3
2x y+ =
D5.函数 在区间 上大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断函数为奇函数排除 ，计算 排除 ，得到答案.
【详解】 ， ，故函数为奇函数，排除 ；
，排除 .
故选： .
【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.
6.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失
（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲得分的极差是 11
B. 乙得分的中位数是 18.5
C. 甲运动员得分有一半在区间 上
D. 甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高
( ) sin
ln 2 2x x
xf x −
=
− [ ) ( ]3,0 0,3−
AD ( )3 0f > B
( ) sin
ln 2 2x x
xf x −
=
−
( ) ( )sin
ln 2 2x x
xf x f x−
−− = = −
− AD
( ) 3 3
sin33 0
ln 2 2
f −
= >
− B
C
[ ]20,30【答案】D
【解析】
【分析】
根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 甲得分的极差是 ， 错误；
B. 乙得分的中位数是 ， 错误；
C. 甲运动员得分在区间 上有 3 个， 错误；
D. 甲运动员得分的平均值为： ，
乙运动员得分的平均值为： ，故 正确.
故选： .
【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
7.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ，
， ，则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算 ，根据正弦定理得到 ， ，得到答案.
【详解】根据余弦定理： ，故 ，
根据正弦定理： ，故 ， 为三角形 外接圆半径，
设 为三棱锥 外接球的半径
，故 ，故 .
故选： .
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
28 9 19− = A
16 17 16.52
+ = B
[ ]20,30 C
9 12 13 13 15 20 26 28 178
+ + + + + + + =
9 14 15 16 17 18 19 20 168
+ + + + + + + = D
D
S ABC− O SA ⊥ ABC 2SA = 1AB =
2AC =
3BAC
π∠ = O
16 2
3
π 8 2
3
π
4 2π 4 2π
3
3BC = 1r =
2
2 2 22
SAR r = + =
2 2 2 2 cos 3BC AC AB AB AC BAC= + − ⋅ ∠ = 3BC =
2 2sin
BCr BAC
= =∠ 1r = r ABC
R S ABC−
2
2 2 22
SAR r = + = 2R = 34 8 2
3 3V Rπ π= =
B8.已知函数 ，若关于 的方程 有且只有两
个不同实数根，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
确定 函数的单调区间，画出函数图像，变换 ，得到
和 ，根据函数图像得到答案.
【详解】当 时， ，则 ， ，
函数在 上单调递增，在 上单调递减，画出函数图像，如图所示：
，即 ，
当 时，根据图像知有 1 个解，
故 有 1 个解，根据图像知 .
故选： .
( )
( )
( )
2 01
ln 0
x xxf x x xx
≤ −=
>
x ( ) ( ) ( )2 1 0f x m f x m+ − − =
m
1 ,2e
( ) 1,0 ,2e
−∞
( ) ( ) 1, 1 1,0 ,2e
−∞ − − ( ) ( )1,0 ,1 1,2e
−∞
0x > ( )( ) ( )( )1 0f x m f x− + = ( ) 1f x = −
( )f x m=
0x > ( ) ln xf x x
= ( ) 2
1 ln' xf x x
−= ( ) 1f e e
=
( )0,e [ ),e +∞
( ) ( ) ( )2 1 0f x m f x m+ − − = ( )( ) ( )( )1 0f x m f x− + =
( ) 1f x = −
( )f x m= ( ) ( ) 1, 1 1,0 ,2m e
∈ −∞ − −
C【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换 是解
题的关键.
二、多选题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项
中，有多个选项符合要求，全部选对得满分，部分选对得 3 分，错选得 0 分）
9.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了 100 名学生，他们的身高
都处在 ， ， ， ， 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是
（ ）
A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中 层人数最多
C. 样本中 层次男生人数为 6 人 D. 样本中 层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】样本中女生人数为： ，男生数为 ， 正确；
样本中 层人数为： ；样本中 层人数为： ；
( )( ) ( )( )1 0f x m f x− + =
A B C D E
B
E D
9 24 15 9 3 60+ + + + = 100 60 40− = A
A 9 40 10% 13+ × = B 24 40 30% 36+ × =样本中 层人数为： ；样本中 层人数为： ；
样本中 层人数为： ；故 正确；
样本中 层次男生人数为： ， 正确；
样本中 层次男生人数为： ，女生人数为 ， 错误.
故选： .
【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10.1970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始
了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦
点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫
星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别
为 ， ，下列结论正确的是（ ）
A. 卫星向径的取值范围是
B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.
【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是 ， 正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢， 正确；
，当比值越大，则 越小，椭圆轨道越圆， 错误.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度
最小， 正确.
故选： .
C 15 40 25% 25+ × = D 9 40 20% 17+ × =
E 3 40 15% 9+ × = B
E 40 15% 6× = C
D 40 20% 8× = 9 D
ABC
2a 2c
[ ],a c a c− +
[ ],a c a c− + A
B
1 2 11 1
a c e
a c e e
− −= = −+ + + e C
D
ABD【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.
11.已知函数 ，下列命题正确的为（ ）
A. 该函数为偶函数 B. 该函数最小正周期为
C. 该函数图象关于 对称 D. 该函数值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
化 简 函 数 ， 得 到 函 数 图 像 ， 计 算 ， ， 讨 论
， ，计算得到答案.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：函数不是偶函数， 错误；
，该函数最小正周期为 ，
正确；
，故该函数图象关于 对称，
正确；
根据周期性，不妨取 ， ，
， ，故值域为 .
故选： .
( ) sin cosf x x x= +
2π
2x
π= 1, 2 −
( ) ( )2f x f xπ+ = ( ) ( )f x f xπ − =
,2 2x
π π ∈ −
3,2 2x
π π ∈
cos 0x ≥ ( ) sin cos 2 sin 4f x x x x
π = + = +
cos 0x < ( ) sin cos 2 sin 4f x x x x
π = − = −
A
( ) ( ) ( ) ( )2 sin 2 cos 2 sin cosf x x x x x f xπ π π+ = + + + = + = 2π
B
( ) ( ) ( ) ( )sin cos sin cosf x x x x x f xπ π π− = − + − = + =
2x
π=
C
,2 2x
π π ∈ −
( ) 2 sin 1, 24f x x
π = + ∈ −
3,2 2x
π π ∈
( ) 2 sin 1, 24f x x
π = − ∈ − 1, 2 −
BCD【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数
知识的综合应用能力.
12.如图，已知点 是 的边 的中点， 为边 上的一列点，连接
交 于 ，点 满足 ，其中数列 是首
项为 1 的正项数列， 是数列 的前 项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 数列 是等比数列
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
化简得到 ，根据共线得到 ，
即 ，计算 ，依次判断每个选项得到答案.
【详解】 ，
故 ， 共线，故 ，
即 ， ，故 ，故 .
， 正确；数列 是等比数列， 正确；
E ABCD AB ( )*
nF n∈N BC nAF
BD nG ( )*
nG n∈N ( )1 2 2 3n n n n nG D a G A a G E+= ⋅ − + ⋅ { }na
nS { }na n
3 13a = { }3na +
4 3na n= − 12 2n
nS n+= − −
( ) ( )1 2 3 2 3n n n n n nG D a a G A a G B+= − − ⋅ − + ⋅
1 2 3 0n na a+ − − =
( )1 3 2 3n na a+ + = + 12 3n
na += −
( ) ( )1
12 2 3 2n n n n n nG D a G A a G A G B+= ⋅ − + ⋅ +
( ) ( )1 2 3 2 3n n n n n nG D a a G A a G B+= − − ⋅ − + ⋅ ,n nG D G B
1 2 3 0n na a+ − − =
( )1 3 2 3n na a+ + = + 1 1a = 13 4 2n
na −+ = × 12 3n
na += −
4
3 2 3 13a = − = A { }3na + B， 错误； ，故 错误.
故选： .
【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转
化能力和综合应用能力.
第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸中的横
线上）
13.某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组
的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，求 a 的值.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三个小组抽取的总人数为 人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以
篮球组总人数，由此计算出 的值.
【详解】因为抽样比为： ，
所以结合题意可得： ，
解得 .
【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例.
14.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 、 是棱 、 的中点， 是底面 上
（含边界）一动点，满足 ，则线段 长度的最小值为__________.
12 3n
na += − C 21 24 3 2 3 41 2
n
n
nS n n+−= − = − −− D
AB
30a =
30
a
30
45 15 30 10 20a+ + + + +
30 12
45 15 30 10 20 45+15a
=+ + + + +
30a =
1AC E F BC 1CC P ABCD
1A P EF⊥ 1AP【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ， ，故 平面 ，故 在线段 上，计算得到答案.
【详解】如图所示：
连接 ， ，易知 ， ，故 ，
，故 平面 ，故 ， ，
故 平面 ，故 在线段 上，故线段 长度的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
15.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 .
（1）若 到渐近线的距离是 3，则 为__________.
（2）若 为双曲线 右支上一点， 且 的角平分线与 轴的交点为 ，
满足 ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】 (1). 3 (2).
2
1A D 1AD DP ⊥ 1 1BCC B P CD
1A D 1AD 1//EF AD 1 1A D AD⊥ 1EF A D⊥
1A P EF⊥ EF ⊥ 1A DP EF DP⊥ 1CC PD⊥
DP ⊥ 1 1BCC B P CD 1AP 1 2A D =
2
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 1F 2F
2F b
P C 1 2 60F PF∠ = ° 1 2F PF∠ x Q
1 22FQ QF= C
3【解析】
【分析】
直接利用点到直线的距离公式计算得到答案； ，则 ，故 ，
，再利用余弦定理计算得到答案.
【 详 解 】 取 渐 近 线 方 程 为 ， 即 ， 到 直 线 的 距 离 为
，
故 ；
，则 ， ，故 ， ，
根据余弦定理： ，整理得到： ，故 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能
力.
16.若函数 在 存在唯一极值点，且在 上单调，则
的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
， 故 ， 根 据 周 期 得 到 ， 故
，解得答案.
【 详 解 】 ， 则 ， 故 ， 解 得
，
1 22FQ QF=
1 22PF PF= 1 4PF a=
2 2PF a=
by xa
= 0bx ay− = ( )2 ,0F c
2 2
3bcd
a b
= =
+
3b =
1 22FQ QF=
1 22PF PF= 1 2 2PF PF a− = 1 4PF a= 2 2PF a=
2 2 24 4 16 2 4 2 cos60c a a a a= + − × ⋅ ° 2 23c a= 3e =
3 3
( ) ( )sin 06f x x
πω ω = + >
50, 18
π
,2
π π
ω
6 4
5 3
ω< ≤
5,6 6 18 6x
π π π πω ω + ∈ +
5 3
2 18 6 2
π π π πω< + ≤ 6 25
ω< ≤
3
6 2
π ππω + ≤
50, 18x
π ∈
5,6 6 18 6x
π π π πω ω + ∈ +
5 3
2 18 6 2
π π π πω< + ≤
6 24
5 5
ω< ≤，故 ， ，即 ，
，则 ，故 ，
则 ，解得 ；
综上所述： .
故答案为： .
【点睛】本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力
和综合应用能力.
四、解答题：（解答应写出文字说眀，证明过程或演算步骤.本大题共 6 小题，共
70 分）
17.在条件① ，② ，③
中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，
__________.求 边上的高
【答案】
【解析】
【分析】
依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到 ，
，再利用等面积法计算得到答案.
【详解】若选①因为 ，
由正弦定理得： ，
即 ， ，因为 ，所以 .
2 2 2
T π ππ≥ − = T π≥ 2ω ≤ 6 25
ω< ≤
,2x
π π ∈ ,6 2 6 6x
π π π πω ω πω + ∈ + +
23 7,2 6 30 6
π π π πω + ∈
3
6 2
π ππω + ≤ 4
3
ω ≤
6 4
5 3
ω< ≤
6 4
5 3
ω< ≤
( )2cos cos cosA b C c B a+ = sin sin2
B Cc a C
+ =
( )2 2sin sin sin sin sinB C A B C− = −
ABC A B C a b c 7a = 2b c− =
BC
3 21
14
3A
π=
3b =
( )2cos cos cosA b C c B a+ =
( )2cos sin cos sin cos sinA B C C B A+ =
( )2cos sin sinA B C A+ = 1cos 2A = 0 A π< <
3A
π=由余弦定理得： ，所以 ，
化简得： ，所以 （舍去）或者 ，从而 .
设 边上的高是 ，所以 ，所以 ；
若选②由题设及正弦定理， ，
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，故 ，
因为 ，故 ，因此 ，下同选①；
若选③由已知得 ，故由正弦定理得 .
由余弦定理得 .因为 ，所以 ，下同选①.
故答案 ： .
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用
能力.
18.已知数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1） ， ，代入计算得到 ，得到答案.
为
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 7
2
b c bc
b c
+ − =
− =
2 2 3 0c + c − = 3c = − 1c = 3b =
BC h 1 1sin2 2bc A ah= 3 21
14h =
sin sin sin sin2
B CC A C
+ =
sin 0C ≠ sin sin2
B C A
+ =
180A B C+ + = ° sin cos2 2
B C A+ = cos 2sin cos2 2 2
A A A=
cos 02
A ≠ 1sin 2 2
A =
3A
π=
2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − = 2 2 2b c a bc+ − =
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = 0 A π< <
3A
π=
3 21
14
{ }na n 0 1 2 1n
n n n n nS C C C C −= + + + + { }nb 2logn nb a=
{ }na { }nb
( ) 12 2 2 2 2
1 2 3 4 1 n
n nT b b b b b+= − + − + + −
12n
na -= 1nb n= −
2
2
,2
,2
n
n n n
T
n n n
−
= −
为偶数
为奇数
2 1n
nS = − 1
1 2n
n n na S S −
−= − = 1nb n= −（2）讨论 和 两种情况，计算得到答案.
【详解】（1） ，
当 时， ，
当 时， 也满足 ，所以 ，
又数列 满足 ，所以 .
（2）当 ， 时，
；
当 ， 时，
.
所以 ， ，即 .
【点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合
应用.
19.如图，在四棱锥 中， ， ， ，
、 分别为棱 、 的中点， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 45°，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）证明 ， 得到答案.
2n k= 2 1n k= −
0 1 2 1 2 1n n
n n n n nS C C C C −= + + + + = −
2n ≥ 1
1 2n
n n na S S −
−= − =
1n = 1 1a = 12n
na -= 12n
na -=
{ }nb 2logn nb a= 1nb n= −
2n k= *k N∈ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 2 1 2n k kT b b b b b b−= − + − + + −
( )1 2 2kb b b= − + + + ( )( )1 2 2 1k = − + + + − 22k k= − +
2 1n k= − *k N∈ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 2 3 2 2 2 1n k k kT b b b b b b b− − −= − + − + + − +
( )( ) ( )21 2 2 3 4 1k k = − + + + − + − 22 3 1k k= − +
( )
( )
2
2
2 , 2
2 3 1, 2 1n
k k n kT k k n k
− + == − + = −
*k N∈
2
2
,2
,2
n
n n n
T
n n n
−
= −
为偶数
为奇数
P ABCD− //AD BC 90ADC PAB∠ = ∠ = ° 1
2BC CD AD= =
E M AD PD PA CD⊥
//MCE PAB
P CD A− − PA PCE
1
3
EC AB∥ EM AP（2）以与 垂直的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角
坐标系，面 的法向量记为 ，面 的法向量为 ，根据夹角得到
，平面 的法向量 ，计算得到答案.
【详解】（1）因为点 为 的中点， ， ，
所以四边形 为平行四边形，即 .
因为 、 分别为棱 、 的中点， .
，所以平面 平面 .
（2）如图所示
因为 ， ， 与 为相交直线，所以 平面 ，不妨设
，则 .
以与 垂直的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标
系，设 ， ， ， ， ，
从而 ， ，
面 的法向量记为 ，则 ，可得 ，
令 ，则 ， ，
又面 的法向量为 ，二面角 的大小为 45°.
，解得 ，所以 ， ， ，
AD x AD y AP z
PCD 20,1,m h
=
ACD ( )0,0,1
2h = PCE ( )2,2,1n =
E AD 1
2BC AD= AD BC∥
ABCE EC AB∥
E M AD PD EM AP
EM EC E= MCE PAB
PA AB⊥ PA CD⊥ AB CD AP ⊥ ABCD
2AD = 1 12BC CD AD= = =
AD x AD y AP z
AP h= ( )0,0,0A ( )0,2,0D ( )1,2,0C − ( )0,0,P h
( )0,2,PD h= − ( )1,0,0CD =
PCD ( )1 1 1, ,m x y z= 0
0
m PD
m CD
⋅ =
⋅ =
1 1
1
2 0
0
y hz
x
− =
=
1 1y = 1
2z h
= 20,1,m h
=
ACD ( )0,0,1 P CD A− −
2
2
2
241
h
h
=
+
2h = ( )0 0 2P , , ( )0,1,0E ( )1,2,0C −所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，可得： .
令 ，则 ， .所以 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
【点睛】本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能
力.
20.已知抛物线 的焦点为 ，圆 的方程为： ，若直线
与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ，且 .
（1）求出抛物线 和圆 的方程.
（2）过焦点 的直线 与抛物线 交于 、 两点，与圆 交于 、 两点（ ， 在
轴同侧），求证： 是定值.
【答案】（1）抛物线 ，圆 （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设 ，则 ，代入方程计算得到答案.
（2）设直线 的方程是： ， ， ，联立方程得到 ，
， ， ，计算得到答案.
【详解】（1）设 ，由 得 ，所以 ，
将点 代入抛物线方程得 ，所以抛物线 ，圆 .
（2）抛物线 的焦点 ，
设直线 的方程是： ， ， ，
( )1,1,0EC = − ( )0,1, 2PE = − ( )0,0,2AP =
PCE ( )2 2 2, ,n x y z= 0
0
n PE
n EC
⋅ =
⋅ =
2 2
2 2
2 0
0
y z
x y
− =
− + =
2 2y = 2 2x = 2 1z = ( )2,2,1n =
PA PCE θ 2 1sin cos , 39 2
AP n
AP n
AP n
θ
⋅
= = = =
×
( )2: 2 0E x py p= > F M 2 2 0x y py+ − =
4x = x R Q 5
4QF RQ=
E M
F l E A B M C D A C y
AC DB⋅
2: 4E x y= 2 2: 2 0M x y y+ − =
( )04,Q y 0 2y p=
l 1y kx= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4x x k+ =
1 2 4x x⋅ = − 1 1AF y= + 2 1BF y= +
( )04,Q y 5
4QF RQ= 0 0
5
2 4
py y+ = 0 2y p=
( )4,2p 2p = 2: 4E x y= 2 2: 2 0M x y y+ − =
2: 4E x y= ( )0,1F
l 1y kx= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 4
1
x y
y kx
=
= +有 ，则 ，且 ， .
由条件可知圆 的圆心为 ，半径为 1，圆心就是焦点，
由抛物线的定义有 ， ，
则 ， ，
.
即 为定值，定值为 1.
【点睛】本题考查了抛物线方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用
能力.
21.医院为筛查某种疾病，需要血检，现有 份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验 次；
方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取 个人的血样各一份混在一起进行
检验，如果结果是阴性，那么对这 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这
个人的另一份血样逐份检验，此时这 份血液的检验次数总共为 次.
（1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过
3 次检验就能把阳性样本全部检验岀来的概率；
（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，
且每份样本是阳性结果的概率为 .现取其中 （ 且 ）份血液样本，
记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总
次数为 .
①运用概率统计的知识，若 ，试求 关于 的函数关系式 ；
②若 ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验
的总次数期望值更少，求 的最大值.
参考数据： ， ， .
【答案】（1） （2）① ② 的最大值为 12.
2 4 4 0x kx− − = ( )216 1 0k∆ = + > 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x⋅ = −
( )22 1 1x y+ − = ( )0,1M
1 1AF y= + 2 1BF y= +
11AC AF y= − = 21BD BF y= − =
( )1 2 1 1AC BD y y kx⋅ = = + ( ) ( )2 2 2
2 1 2 1 21 1 4 4 1 1kx k x x k x x k k+ = + + + = − + + =
AC BD⋅
( )*n n∈N
n
( )2k k ≥
k
k k 1k +
( )0 1p p< < k *k ∈N 2k ≥
1X
2X
1 2EX EX= p k ( )p f k=
1
51p e
−= −
k
ln11 2.3978≈ ln12 2.4849≈ ln13 2.5649≈
2
15 ( )
1
*11 , 2k
p k kk
= − ∈ ≥ N k【解析】
【分析】
（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 事件，计算概率得到答案.
（2）①计算 ， ，根据 ，计算得到答案.
② ，所以 ，设 ，求导得到单调区间，计算
得到最值.
【详解】（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 事件，
则 .
（2）① 的取值为 ， ，所以 ，
的取值为 1， ，计算 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 .
② ， ，所以 ，即 .
设 ， ， ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
且 ， ，
所以 的最大值为 12.
【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22.已知函数 .
（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
A
1EX k= ( )2 1 1 kEX k k p= + − − 1 2EX EX=
5
2 1
k
EX k ke
−= + − 51
k
k ke k
−+ − < ( ) ln 5
xf x x= −
A
( ) 1 1 2
2 4 2
3
6
2
15
C C AP A A
= =
1X k ( )1 1P X k= = 1EX k=
2X 1k + ( ) ( )2 1 1 kP X p= = − ( ) ( )2 1 1 1 kP X k p= + = − −
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1k k kEX p k p k k p = − + + − − = + − −
1 2EX EX= ( )1 1 kk k k p= + − − ( )
1
*11 , 2k
p k kk
= − ∈ ≥ N
1
51p e
−= − 5
2 1
k
EX k ke
−= + − 51
k
k ke k
−+ − < ln 05
kk − >
( ) ln 5
xf x x= − ( ) 1 1 5
5 5
xf x x x
−′ = − = 0x >
( )0,5x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,5
( )5,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )5,+∞
( )12 ln12 2.4 0f = − > ( )13 ln13 2.6 0f = − <
k
( ) ( )ln= − +xf x xe a x x
0a = ( )f x 1x =（2）讨论 极值点的个数；
（3）若 是 的一个极小值点，且 ，证明： .
【答案】（1） （2）当 时， 无极值点；当 时， 有一个
极值点（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导得到 ， ， ，得到切线方程.
（2）求导得到 ，讨论 和 两种情况， 时必存在
，使 ，计算单调区间得到极值点个数.
（3） ，即 ，代入得到 ，设 ，确定函
数单调递减得到 ，令 ，确定单调性得到答案.
【详解】（1）当 时， ， ，所以 ， .
从而 在 处的切线方程为 ，即 .
（2） ， ，
①当 时， ， 在 上 增函数，不存在极值点；
②当 时，令 ， ，
显然函数 在 是增函数，又因为 ， ，
必存在 ，使 ，
， ， ， 为减函数，
， ， ， 增函数，
所以， 是 的极小值点，
综上：当 时， 无极值点，当 时， 有一个极值点.
是
为
( )f x
0x ( )f x ( )0 0f x > ( ) ( )3
0 0 02f x x x> −
2 0ex y e− − = 0a ≤ ( )f x 0a > ( )f x
( ) ( )1 xf x x e′ = + ( )1f e= ( )1 2f e′ =
( ) ( )( )1
'
xx xe a
f x x
+ −
= 0a ≤ 0a > 0a >
0 0x > ( )0 0h x =
( )0 0f x′ = 0
0
xx e a= 0 01 ln 0x x− − > ( ) 1 lng x x x= − −
( )0 0,1x ∈ ( ) 1 lng x x x= − −
0a = ( ) xf x xe= ( ) ( )1 xf x x e′ = + ( )1f e= ( )1 2f e′ =
( )f x 1x = ( )2 1y e e x− = − 2 0ex y e− − =
( ) ( ) 11 1xf x x e a x
′ = + − + ( ) ( )( )1
1
x
x x xe aax e x x
+ − = + − =
( )0,x∈ +∞
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( ) xh x xe a= − ( ) ( )1 0xh x x e′ = + >
( )h x [ )0,+∞ ( )0 0h a= − < ( ) ( )1 0ah a a e= − >
0 0x > ( )0 0h x =
( )00,x x∈ ( ) 0h x < ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0f x′ > ( )f x
0x x= ( )f x
0a ≤ ( )f x 0a > ( )f x（3）由（2）得： ，即 ，
，
因为 ，所以 ，
令 ， ， 在 上是减函数，
且 ，由 得 ，所以 .
设 ， ， ，
， ，所以 为增函数，
即 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
相乘得 ，
所以 ，
结论成立.
【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和
综合应用能力.
( )0 0f x′ = 0
0
xx e a=
( ) ( ) ( )0 0
0 0 0 0 0 0 0ln 1 lnx xf x x e a x x x e x x= − + = − −
( )0 0f x > 0 01 ln 0x x− − >
( ) 1 lng x x x= − − ( ) 11 0g x x
′ = − − < ( )g x ( )0, ∞+
( )1 0g = ( ) ( )1g x g> 1x < ( )0 0,1x ∈
( ) ln 1x x xϕ = − + ( )0,1x∈ ( ) 1 11 xx x x
ϕ −′ = − =
( )0,1x∈ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ
( ) ( )1 0xϕ ϕ< = ( ) 0xϕ < ln 1x x< − ln 1x x− > −
( )ln 1x x+ < 1 0xe x> + >
( )0 0,1x ∈ 0
0 1 0xe x> + > 0 0 0 01 ln 1 1 0x x x x− − > − + − >
( ) ( )( )0
0 0 0 01 ln 1 2 2xe x x x x− − > + −
( ) ( ) ( )( )0
0 0 0 0 0 0 01 ln 2 1 1xf x x e x x x x x= − − > + − ( ) ( )2 3
0 0 0 02 1 2x x x x= − = −
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