2020 年石嘴山市高三年级适应性测试
文科数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中只有一项是符合题目要求的．请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．
1.已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用对数函数求出 ，再利用交集定义求出 .
【详解】解： ， ，
= ，
故选 A.
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运
用.
2.设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先根据复数除法得 ，再根据复数的模求结果.
详解：因为 ，所以 ,
因此
选 D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如
{ }0 3A x x= < < { }2log 1B x x= > A B =
(2,3) (0,3) (1,2) (0,1)
{ }2B | 1 { | 2}x log x x x= > = > A B
{ }0 3A x x= < < { }2B | 1 { | 2}x log x x x= > = >
∴ A B { | 2 3}x x< <
z ( )1 3i z i+ = + z =
2 2 2 2 5
z
( )1 3i z i+ = + 3 1 (3 )(1 ) 21 2
iz i i ii
+= = + − = −+
5,z =
( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
3. 为等差数列 的前 项和，若 ，则 ( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ，即可容易求得.
【详解】因为数列 是等差数列，
故可得 ，又 ，
故可得 .
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列前 项和的性质，属基础题.
4.通过随机询问 200 名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量 的观测值
，参照附表，得到的正确结论是（ ）
0.10 0.05 0.025
2.706 3.841 5.024
A. 有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】C
【解析】
【分析】
通过计算得到统计量值 的观测值 ，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论.
( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+ ( , )a b .−a bi
nS { }na n 15 0S = 8a =
15 815S a=
{ }na
15 815S a= 15 0S =
8 0a =
n
2K
4.892k ≈
2( )P K k≥
k
2k k【详解】解：∵计算得到统计量值 的观测值 ，
参照题目中的数值表，得到正确的结论是：
在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”.
故选：C.
【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题．
5.已知向量 满足 ,且 与 的夹角为 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
【详解】 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统
的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术
相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式.它实际上是将
圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的
圆周率近似取为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将圆锥的体积用两种方式表达，即 ，解出 即可.
【详解】设圆锥底面圆的半径为 r，则 ，又 ，
2k 4.892 3.841k ≈ >
,a b | | 1,| | 3a b= = a b
6
π
( ) (2 )a b a b+ ⋅ − =
1
2
3
2
− 1
2
− 3
2
2 2 3 1( ) (2 ) 2 2 3 1 3 2 2a b a b a b a b+ ⋅ − = − + ⋅ = − + × × =
L h 21
36V L h≈
23
112V L h≈
22
7
157
50
28
9
337
115
21
3V r hπ= = 23 (2 )112 r hπ π
21
3V r hπ= 2 23 3 (2 )112 112V L h r hπ≈ =故 ，所以， .
故选：C.
【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、
创新能力.
7.已知 ， 是两个不同的平面，直线 ，下列命题中正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
通过反例可确定 错误；由面面垂直的判定定理可知 正确.
【详解】若 且 ，则 与 相交、平行或 ， ， 错误；
若 且 ，则 与 可能相交或平行， 错误；
由面面垂直判定定理可知， 选项的已知条件符合定理，则 ， 正确.
故选
【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是
能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.
8.函数 y＝xcos x＋sin x 的图象大致为 ( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
23 (2 )112 r hπ 21
3 r hπ≈ 112 28
36 9
π ≈ =
α β m α⊂
α β⊥ //m β α β⊥ m β⊥
//m β //α β m β⊥ α β⊥
, ,A B C D
α β⊥ m α⊂ m β m β⊂ A B
/ /m β m α⊂ α β C
D α β⊥ D
D由于函数 y=xcosx+sinx 为奇函数，
故它的图象关于原点对称，所以排除选项 B，
由当 时，y=1>0，
当 x=π 时，y=π×cosπ+sinπ=−π > 2 2 4 2 0x y x+ − + =
3 2 3
3 5 2 5
5
2
2
1
3
b
a
=
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > by xa
= ±
by xa
= 0bx ay− =
2 2 4 2 0x y x+ − + = ( )2 22 2x y− + =
( )2,0 2
( )2 22 1 1d = − =
2 2
2 0 1b d
b a
− = =
+
2
2
1
3
b
a
=
2 2 2 2
2 2 2
2 31 3
c a b be a a a
+= = = + =故选 B．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意
在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
12.已知函数 ，函数 有四个不同的零点 ， ，
， ，且满足： ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据函数图象得出 4 个零点的关系及范围，进而求得结论.
【详解】 有四个不同的零点 ， ， ，
就是 图象交点横坐标，
作出 的函数图象如图所示：
由图象知 ，
，
∴ .
故 的值是-4.
3
2
log 0( )
4 1 0
x xf x
x x x
>= + + ≤
，
， ( ) ( )F x f x b= − 1x 2x
3x 4x 1 2 3 4x x x x< < < 1 2
3 4
x x
x x
+
4 − 3 − 2− 1−
( ) ( )F x f x b= − 1x 2x 3x 4x
( ),y f x y b= =
( )f x
1 2 4x x+ = −
3 3 3 4 3 4log log 1x x x x− = ⇒ =
1 2
3 4
4 41
x x
x x
+ −= = −
1 2
3 4
x x
x x
+故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点
问题是解题关键．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知等比数列 满足 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
分析】
由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比 q 及首项，进而可求.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
∴ ，
所以
则 .
故答案为：
【点睛】本题考查等比数列 基本量运算，掌握等比数列的通项公式是解题关键．
14.若实数 满足不等式组 则目标函数 的最大值为
__________．
【答案】12
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．
【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由 ，解得
目标函数 ，当 过点 时， 有最大值，且最大值为 ．
【
的
{ }na 1 3 10a a+ = 2 4 5a a+ = 5a =
1
2
1 3 10a a+ = 2 4 1 3( ) 10 5a a a a q q+ = + = =
1
2q =
2
1 1(1 0)a q+ =
1 8a =
4
5
1 18 ( )2 2a = × =
1
2
,x y
4 0,
2 3 8 0,
1,
x y
x y
x
+ − ≤
− − ≤
≥
3z x y= −
4 0
2 3 8 0
x y
x y
+ − =
− − =
( )4,0A
3y x z= − 3y x z= − ( )4,0 z 12故答案为 ．
【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
15.曲线 在 处的切线方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，把 代入即可得到切线的斜率，然后根据 和斜率写出切线的方程
即可.
【详解】解：由函数 知 ，
把 代入 得到切线的斜率
则切线方程为： ，即 .
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．
16.已知三棱锥 中， 平面 ，若 ， ， 与平面
所成线面角的正弦值为 ，则三棱锥 外接球的表面积为______．
12
( ) lnf x x x= + 1x =
2 1y x= −
1x = (1,1)
lny x x= + 1' 1y x
= +
1x = 'y 1 1 2k = + =
1 2( 1)y x− = − 2 1y x= −
2 1y x= −
P ABC− PC ⊥ ABC 6PC BC= = 2AB = PA
ABC 6
4
P ABC−【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可得 ，可得三棱锥 的外接球，即为以 ， ， 为长宽
高的长方体的外接球，根据已知 、 、 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角
线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．
【 详 解 】 解 ： 平 面 ， 与 平 面 所 成 线 面 角 的 正 弦 值 为 ，
， ，
根据勾股定理可得 ，
在 中， ， ， ，则 为直角三角形．
三棱锥 外接球即为以 ， ， 为长宽高的长方体的外接球，
故 ，三棱锥外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥 的外接球，
转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答．
（一）必考题：共 60 分．
17.在锐角 中， 分别是角 所对的边，且 .
（1）求角 的大小；
16π
AB BC⊥ P ABC− PC AC AB
PC AC AB
PC ⊥ ABC PA ABC 6
4
∴
6
4
PC
PA
= 4PA∴ =
2 2 10AC PA PC= − =
ABC∆ 6=BC 10AC = 2AB = ABC∆
P ABC− PC AC AB
2 6 6 4 4R = + + = 24 16S Rπ π= =
16π
P ABC−
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 3 2 sina c A=
C（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1） ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）由 ，利用正弦定理可得 ，结合 是锐角可得结果；(2)由
，可得 ，再利用余弦定理可得结果.
【详解】（1）因为
所以由正弦定理得 ,因为 ，
所以 ,
因为 是锐角，
所以 .
(2)由于 ， ，
又由于
，
，
所以 .
【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方
便、简捷．如果式子中含有角 余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中
含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定
理都有可能用到．
18.扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，
每天上午第三节课后全校大课间活动时长 35 分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简
的
7c = ABC∆ 3 3
2
+a b
60 5
3 2 sina c A= 3sin 2C = C
1 sin2 ab C = 3 3
2
6ab =
3 2 sina c A=
3sin 2sin sinA C A= sin A 0≠
3sin 2C =
C
60C =
1 sin2 ab C = 3 3
2
6ab∴ =
2 2 2 2 cos60c a b ab= + −
( ) ( )2 27 3 18a b ab a b= + − = + −
( )2 25a b+ =
5a b+ =单随机抽样法抽取了 100 名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调
查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组
男生人数 2 16 19 18 5 3
女生人数 3 20 10 2 1 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于 120 分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）将频率视为概率，估计我校 7000 名学生中“锻炼达人”有多少?
（2）从这 100 名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取 5 人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这 5 人中随机抽取 2 人作为组长候选人，求抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率.
【答案】(1)700 人；(2) ①男生抽取 4 人，女生抽取 1 人．②
【解析】
【分析】
（1）100 名学生中“锻炼达人”的人数为 10 人，由此能求出 7000 名学生中“锻炼达人”的人
数．
（2）①100 名学生中的“锻炼达人”有 10 人，其中男生 8 人，女生 2 人．从 10 人中按性别分
层抽取 5 人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．
②抽取的 5 人中有 4 名男生和 1 名女生，四名男生一次编号为男 1，男 2，男 3，男 4，5 人中
随机抽取 2 人，利用列举法能求出抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率．
【详解】（1）由表可知，100 名学生中“锻炼达人”的人数为 10 人，将频率视为概率，我校 7000
名学生中“锻炼达人”的人数为 （人）
（2）①由（1）知 100 名学生中的“锻炼达人”有 10 人，其中男生 8 人，女生 2 人．
从 10 人中按性别分层抽取 5 人参加体育活动，则男生抽取 4 人，女生抽取 1 人．
②抽取的 5 人中有 4 名男生和 1 名女生，四名男生一次编号为男 1，男 2，男 3，男 4，则 5
人中随机抽取 2 人的所有结果有：男 1 男 2，男 1 男 3，男 1 男 4，男 1 女，男 2 男 3，男 2
男 4，男 2 女，男 3 男 4，男 3 女，男 4 女．共有 10 种结果，且每种结果发生的可能性相
[0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180]
2
5
107000 700100
× =等．记“抽取的 2 人中男生和女生各 1 人”为事件 A，则事件 A 包含的结果有男 1 女，男 2 女，
男 3 女，男 4 女，共 4 个，故 ．
【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
19.如图，三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，
， 是 的中点， 是 的中点.
（1）证明: 平面 ;
（2） 是线段 上一点，且 ，求 到平面 的距离.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）要证 平面 ,只需证明 ,即可求得答案;
（2）先求证 , 到平面 的距离相等,结合已知条件,即可求得答案.
【详解】（1）设 中点为 ,连 ,
中 是 中点, 是 的中点,
且 ,
4 2( ) 10 5P A = =
1 1 1A B C ABC− 1BB ⊥ ABC AB BC⊥ 2AB = 1BC =
1 3BB = D 1CC E AB
//DE 1 1C BA
F 1CC 12CF FC= 1A ABF
3 5
5
//DE 1 1C BA 1//DE C M
1A 1B ABF
1A B M EM 1C M
1BAA∆ M 1A B E AB
∴ 1//EM AA 1
1
2EM AA=棱柱中侧棱 ,且 是 的中点,
且 ,
, ,
,
又 平面 且 平面 ,
平面
（2） 在线段 上,且 ,棱柱中 ,
侧面 中 ,且 平面 , 平面 ,
平面 ,
, 到平面 的距离相等.
在平面 中作 直线 于 ①
平面
可得 ,
又 ,
平面 ,
平面 ,
②,
又 ①②及 ,
可得 平面 .
故线段 长为点 , 到平面 的距离.
中 , , ,
1 1//CC AA D 1CC
∴ 1 1//DC AA 1 1
1
2DC AA=
∴ 1//EM DC 1EM DC=
∴ 1//DE C M
ED ⊄ 1 1C BA 1MC ⊂ 1 1C BA
∴ //DE 1 1C BA
F 1CC 12CF FC= 1 1 3CC BB= =
∴ 2CF =
1 1ABB A 1 1 //A B AB AB Ì ABF 1 1A B ⊄ ABF
∴ 1 1 //A B ABF
1A 1B ABF
1 1BCC B 1B H ⊥ BF H — —
1BB ⊥ ABC
1BB AB⊥
AB BC⊥
∴ AB ⊥ 1 1BCC B
1B H ⊂ 1 1BCC B
1AB B H⊥ — —
AB BF B=
1B H ⊥ ABF
1B H 1A 1B ABF
Rt BCF∆ 1BC = 2CF =
2C
π∠ =可得
,
【点睛】本题主要考查了求证线面平行和点到面的距离,解题关键是掌握线面平行判断的方法
和点到面距离的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
20.已知椭圆 ： ( )的焦距是 ，长轴长为 4.
（1）求椭圆 的方程；
（2） ， 是椭圆 的左右顶点，过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，若
的面积是 面积的 2 倍，求直线 的方程.
【答案】（1） .（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由题意求得 与 的值，结合隐含条件求得 ，则椭圆方程可求；
（2）设 ， ，由已知可得，直线 与 轴不重合，设直线 ：
，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 的一元二次方程，由面积关系可得
， 的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解 ，则直线方程可求.
【详解】（1）由题意， ， ，则 ， .
∴ .
∴椭圆 的方程 ；
（2）设 ， ，
由已知可得，直线 与 轴不重合，设直线 ： .
5BF =
1 1 1
1 1
2 2FBBS BB BC BF B H∆ = ⋅ = ⋅
∴
1
3 5
5B H =
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 2 2
C
A B C ( 2,0)F − l C M N
MAB△ NAB△ l
2 2
14 2
x y+ = 14 2 07x y− + = 14 2 07x y+ + =
a c b
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y MN x MN
2x my= − y
M N m
2 2 2c = 2 4a = 2a = 2c =
2 2 2 2b a c= − =
C
2 2
14 2
x y+ =
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
MN x MN 2x my= −联立 ，整理得 .
.
， .
由 ，得 ，即 ，
从而 .
解得 ，即 .
∴直线 的方程为： 或 .
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时总是设出交点坐标
， ，设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得
，代入题中其他条件求解．
21.已知函数 ， ，令
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）
【解析】
【分析】
（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；
（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函
数的最值；
【详解】解：（1）当 时，
2 2
2
14 2
x my
x y
= −
+ =
2 2( 2) 2 2 2 0m y my+ − − =
2 2 28 8( 2) 16 16 0m m m∆ = + + = + >
1 2 2
2 2
2
my y m
+ = + 1 2 2
2 02y y m
−= ．
令 得 又 ，所以 ．所以 的单调递增区间为 ．
令 得 又 ，所以 ．所以 的单调递减区间为 ．
综上可得： 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）令 ．
所以 ．
当 时，因为 ，所以 所以 在 上是递增函数，
又因为 ．
所以关于 的不等式 不能恒成立．
当 时， ．
令 得 ，所以当 时， ；当 时， ．
因此函数 在 是增函数，在 是减函数．
故函数 的最大值为 ．
令 ，因为 ， ．
又因为 在 上是减函数，所以当 时， ．
所以整数 的最小值为 2．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数
最值问题来解的方法．属于中档题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按
所做的第一题记分．
22.在直角坐标系 中，曲线 参数方程为 为参数且 ， ， ，
曲线 的参数方程为 为参数），以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标
的
21 1( ) ,( 0)xf x x xx x
−∴ ′ = − = >
( ) 0f x′ > 21 0x− > 0x > 0 1x< < ( )f x (0,1)
( ) 0f x′ < 21 0x− < 0x > 1x > ( )f x ( )1,+∞
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
21( ) ( ) ( 1) (1 ) 12G x F x mx lnx mx m x= − − = − + − +
21 (1 ) 1( ) (1 ) mx m xG x mx mx x
− + − +′ = − + − =
0m 0x > ( ) 0G x′ > ( )G x (0, )+∞
( ) 31 2 02G m= − + >
x ( ) 0G x
0m >
1( )( 1)
( )
m x xmG x x
− +
′ = −
( ) 0G x′ = 1x m
= 1(0, )x m
∈ ( ) 0G x′ > ,1( )mx∈ +∞ ( ) 0G x′ <
( )G x 1(0, )x m
∈ ,1( )mx∈ +∞
( )G x 1 1( ) 2G lnmm m
= −
1( ) 2h m lnmm
= − ( ) 11 02h = > ( ) 12 2 04h ln= − <
( )h m (0, )m∈ +∞ 2m ( ) 0h m <
m
0x y 1C cos (sin
x t ty t
α
α
=
= 0t ≠ [0a∈ ))π
2C cos (1 sin
x
y
θ θθ
=
= + O x系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的普通方程及 的直角坐标方程；
（2）若曲线 与曲线 分别交于点 ， ，求 的最大值．
【答案】（1） ： ， ： ；（2）
【解析】
【分析】
（1）在曲线 的参数方程中消去参数可得出曲线 的普通方程，在曲线 的极坐标方程两
边同时乘以 ，并代入 可得出曲线 的直角坐标方程；
（2）由曲线 的参数方程得出其极坐标方程为 ，并设点 、 的极坐标分别为 、
，将曲线 的极坐标方程分别代入曲线 、 的表达式，求出 、
关于 的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出 的最
大值．
【详解】（1）由 消去参数 得 的普通方程为： ；
由 得 ，得 的直角坐标方程为： ，
即 ．
（2） 的极坐标方程为： ， 的极坐标方程为：
将 分别代入 ， 的极坐标方程得： ， ，
．
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，
弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来
求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解．
23.已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
3C 4cosρ θ=
2C 3C
1C 2 3C C A B | |AB
2C 22 ( 1) 1yx + − = 3C 2 2( 2) 4x y− + = 2 5
2C 2C 3C
ρ
2 2 2
cos
x y
x
ρ
ρ θ
= +
= 3C
1C θ α= A B ( )1,ρ α
( )2 ,ρ α 1C 2C 3C 1
ρ 2
ρ
α 1 2AB ρ ρ= −
cos
1 sin
x
y
θ
θ
=
= +
θ 2C 22 ( 1) 1yx + − =
4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 3C 2 2 4x y x+ =
2 2( 2) 4x y− + =
1C θ α= 2C 2sinρ θ=
θ α= 2C 3C 2sinA
ρ α= 4cosB
ρ α=
| | | | | 2sin 4cos | | 2 5sin( ) | 2 5A BAB ρ ρ α α α ϕ∴ = − = − = +
( ) | 2 | | 3| ( )f x x a x a R= + − − ∈
1a = − ( ) 1 0f x + >（2）已知 ，若 对于任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1） 时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.
（2） 时，分类讨论去绝对值，得到 解析式，由函数的单调性可得 的最小值，
通过恒成立问题，得到关于 的不等式，得到 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以不等式 等价于 或 或 ，
解得 或 .
所以不等式 的解集为 或 .
（2）因为 ，所以 ，
根据函数的单调性可知函数 的最小值为 ，
因为 恒成立，所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.
0a > ( ) 3 2f x a+ > x∈R a
{ | 1x x < − }1x > (2, )+∞
1a = −
0a > ( )f x ( )f x
a a
1a = − ( )
12, 2
13 4, 32
2, 3
x x
f x x x
x x
− −
( ) 1 0f x + >
1
2
2 1 0
x
x
1 32
3 4 1 0
x
x
≤ ≤
− + >
3
2 1 0
x
x
>
+ + >
1x < − 1x >
( ) 1 0f x + > { | 1x x < − }1x >
0a > ( )
3, 2
3 3, 32
3, 3
ax a x
af x x a x
x a x
− − − < −
= + − − ≤ ≤
+ + >
( )f x 32 2
a af − = − −
( ) 3 2f x a+ > 3 3 22
a a− − + > 2a >
a ( )2,+∞
微信/支付宝扫码支付