湖南省怀化市溆浦县江维中学2020届高三数学（理）下学期第一次模拟试卷（Word版附答案）

湖南省怀化市溆浦县江维中学 2020 届高三第一次模拟考试数学(理)试卷注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形 码上的姓名、准考证号和科目。 2. 考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上 按答题卡中注意事项的要求答题。 3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 4. 本试题卷共 4 页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分. 时量：120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. 集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位，复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 对两个非零向量 ，命题 ：向量 与向量 的夹角 为锐角，命题 ： ，则命 题 是命题 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知数列 中， ， ．若右图所示的程序框图 是用来计算该数列的第 2020 项，则判断框内可填写的条件是 A． B． C． D． 5. 若 满足约束条件 则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. 6. 以下四个命题中： ①函数关系是一种确定性关系； ②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法； ③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件 、 相互独立； ④某项测量结果 服从正态分布 ，且 ，则 . 以上命题中，真命题的个数为 A. 1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 7. 数列 为正项等比数列，若 ，且 ，则此数列的前 5 项和 等于 A. B. 41 C. D. 8.将函数 的图象向右平移 个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标 { }03| 2 ≤−= xxxA { })2lg(| xyxB −== =BA{ }20|   p q { }na 1 1a = 1n na a n+ = + ?2018≤n ?9201≤n ?2017> ba 1F P O 1OPF x xxf 1)( 2 += xe xxg =)( )0()( >= xe xxg x 1x 2 (0, )x ∈ +∞ 1 )()( 21 +≤ k xf k xg k 在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)若△ 的面积 ，求 的最小值． 18．（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平 面 ， 为线段 的中点，且 ． (Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 19．（本题满分 12 分） 若抛物线 ： 的焦点为 ， 是坐标原点， 为抛物线上的一点，向 量 与 轴正方向的夹角为 ，且△ 的面积为 ． (Ⅰ)求抛物线 的方程； (Ⅱ)若抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，求当 取得最大值时， 直线 的方程． 20．（本题满分 12 分） 某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗．为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美 好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司．假定基地得到公司甲、乙、丙的购买 合同的概率分别为 、 、 ，且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的． (Ⅰ)若公司甲计划与基地签订 300 棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为 90 元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为 0.9，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种 1 棵。 现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案， 方案一：公司甲购买 300 棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务， 且每次补种人工及运输费用平均为 800 元； 方案二：公司甲购买 300 棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲 60 棵树苗，后期的移 栽培育工作由公司甲自行负责． 若基地首次运送方案一的 300 棵树苗及方案二的 360 棵树苗的运费及栽种费用合计都为 1600 元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？ (Ⅱ)记 为该基地得到三家公司购买合同的个数，若 ，求随机变量 的 分布列与数学期望 ． 21．（本题满分 12 分） 已知函数 ， ，其中常数 ． (Ⅰ)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； (Ⅱ)若 ，且 ，求证： ． A B C a b c ab F 60 ABC baBc += 2cos2 Ccos ABC cS 12 3= ABCDP − ABCD ⊥PA CDP M PD 2== PDPA //PB ACM PAC MAC C )0(22 >= ppxy O M FM x OFM 3 C C x A N C NF NA AN 3 2 p p−1 ξ 12 1)0( ==ξP ξ )(ξE 2)( axexf x −= )(ln)( xxaxxg −= Ra∈ ),0( +∞∈x 0)( >xf a ]2,0( 2ea∈ 0>x )()( xgxf > （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一 题计分． 22.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为： （ 为参数）， 的参数方程为： （ 为参数）． (Ⅰ)化 、 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若直线 的极坐标方程为： ，曲线 上的点 对应的参数 ， 曲线 上的点 对应的参数 ，求 的中点 到直线 的距离． 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ． (Ⅰ)若 ，且不等式 的解集为 ，求 的值； (Ⅱ)如果对任意 ， ，求 的取值范围． 1C    += +−= α α sin3 ,cos4 y x α 2C    = = β β sin3 ,cos8 y x β 1C 2C l 7cossin2 =− θρθρ 1C P 2 πα = 2C Q 0=β PQ M l 3)( −+−= xaxxf 3 10 ≤< x 1>xe 0ln 1>x 0ln >xx 20 2ea ≤< xxexax ln2ln0 2 ≤< xxeex ln2 2 > 0ln2 2 >− − xx ex )1(ln2)( 2 >−= − xxx exF x 2 2 )1(2)( x xxexF x −−=′ − xxexG x −−= − )1(2)( 2 12)( 2 −=′ −xxexG )(xG′ ),1( +∞ 012)1( =′G )21(0 ，∈x 0)( 0 =′ xG 即 …………10 分 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 又 ， ，所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增，……………11 分 所以 ，故 ，问题得证.……………12 分 法二、因为 ，要证 ，只要证 . 当 时，则 ，因为 ，所以 成立………6 分 当 时，则 ，要证 ，只要证 ， 记 ，则 …………7 分 记 ，则 ， 因 ，所以 ，即 在 上递增……8 分 因为 ，所以， 使 ，即 ，且 时， ，即 ， 在 上递减， 时， ，即 ， 在 上递增，…………9 分 所以， ，…………10 分 记 ，则 ， 所以， 在 上递增，即 ， 12 2 0 0 =−xex )(xG )1( 0x， )( 0 ∞+，x 01)1( −=≥ FxF 0)( >xF ( ) ( ) lnxf x g x e ax x− = − )()( xgxf > ln 0xe ax x− > ]1,0(∈x 0ln ≤x ]2,0( 2ea∈ ln 0xe ax x− > (1, )x∈ + ∞ ln 0x x > ln 0xe ax x− > ln xe ax x > ( ) ( 1)ln xeh x xx x = > 2 2 ln ln 1( ) ln xx x xh x ex x − −′ = ( ) ln ln 1( 1)x x x x xϕ = − − > 1 1( ) ln 1 ln xx x xx x ϕ −′ = + − = + (1, )x∈ + ∞ 1( ) ln 0xx x x ϕ −′ = + > ( )xϕ (1, )+ ∞ (2) ln 2 1 0, ( ) 2 0e eϕ ϕ= − < = − > 0 (2, )x e∃ ∈ 0 0 0 0( ) ln ln 1 0x x x xϕ = − − = 0 0 1ln 1x x = − 0(1, )x x∈ ( ) 0xϕ < ( ) 0h x′ < ( )h x 0(1, )x 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0xϕ > ( ) 0h x′ > ( )h x 0( , )x +∞ 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1( ) ( ) 1ln x x xxeh x h x e ex x x x  ≥ = = −    －＝ 11 (2 )xy e x ex  = − < 11 xy ex  = −   (2, )e 2 2 2 1| 1 2 2x ey y e=  > = − =   得 …………11 分 又 ， 所以 成立，故原不等式成立．…………12 分 22 解：（Ⅰ）曲线 ，……………1 分 曲线 ，……………2 分 其中曲线 为圆心是 ，半径是 1 的圆；……………3 分 曲线 为中心是坐标原点，焦点在 轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.……5 分 （Ⅱ）曲线 中，当 时，点 的坐标为 ，……………6 分 同理点 的坐标为 ，……………7 分 故线段 的中点 的坐标为 ．……………8 分 又直线 的普通方程为 ，……………9 分 故点 直线 的距离为 .……………10 分 23 解：（Ⅰ）因为 ，故 ……………2 分 所以 ，……………4 分 所以 ；……………5 分 （Ⅱ）对任意 ，当 时，由（1）知 ，即 ；……………6 分 当 时， 不恒成立；……………7 分 0 2 0 1( ) 1 2 x eh x ex  ≥ − >    ]2,0( 2ea∈ ln xe ax x > ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2: 4 3 1, : 164 9 x yC x y C+ + − = + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2: 4 3 1, : 164 9 x yC x y C+ + − = + = 1C ( )4,3− 2C x 1C 2 πα = P )44( ，− Q )08( ， PQ M )22( ， l 072 =+− yx M l 5 )2(1 7222 22 = −+ +×−=d 3−− ≤−− ≤