★2020 年 5 月 28 日
2020 年河南省六市高三第二次联合调研检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟．其中第
I1 卷 22 题，23 题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将答题卡交回.
注意事项:
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．设全集 U=R，集合 ，则 =
A．（ ，4] B．[ ，4） C．（ ，4） D．[ ，4]
2．复数 z1 在复平面内对应的点为（2，3）． （i 为虚数单位），则复数 的虚部为
A． B． C． D．
3．在△ABC 中 ，若点 D 满足 ，则 =
A． B． C． D．
4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则
积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，
如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个
几何体的体积分别为 V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 S1、S2，则“S1、
S2 不总相等”是“V1，V2 不相等”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
{ }0)1)(4( ≥+−= xxxA ACU
1− 1− 1− 1−
iz +−= 22
2
1
z
z
5
8
5
8− i5
8 i5
8−
bACcAB == ， DCBD 2
1= AD
cb 3
2
3
1 + cb 3
1
3
2 + cb 3
1
3
4 − cb 2
1
2
1 +5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图 1 是经典的六
柱鲁班锁及六个构件的图片，下图 2 是其中一个构件的三视图（图中单位 mm），则此构件的体积为
A．34000 mm3 B．33000 mm3 C．32000 mm3 D．30000 mm3
6．在正项等比数列 中， ，则 的个位数字是
A．1 B．7 C．3 D．9
7．关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以
通过设计下面的试验来估计 π 的值，试验步骤如下：
①先请高三年级 1000 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x，y）（0＜x＜1，0＜y＜1）；②若卡片
上的 x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为 m；④根据统计数 m 估计
π 的值．假如本次试验的统计结果是 m=218，那么可以估计 π 的值约为
A． B． C． D．
8．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（ ，2），且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
9．已知三棱锥 A—BCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，且 AB⊥BC，AB⊥CD，∠BCD= ，若
BC=CD=2，AB= ，则球 O 的表面积为
A．20π B．24π C．28π D．32π
10．将函数 的图像分别向左、向右各平移 个单位长度后，所得的两个图象对称
轴重合，则 的最小值为
A．3 B．2 C．4 D．6
11．已知函数 y=f（x）满足 f（x+1）=f（x-1），当 x∈[-1，1]时 f（x）=x2，则方程 实根共有
A．10 个 B．9 个 C．18 个 D．20 个
12．已知椭圆 C1： （a＞b＞0）与圆 C2： ，若在椭圆 C1 上不存在点 P，使得由
点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直，则椭圆 C1 的离心率的取值范围是
{ }na 4651
2
4
2
2 92900 aaaaaa =−=+ ， 2020a
124
389
124
391
125
389
125
391
12
2
2
2
=−
b
y
a
x 3−
xy 742 =
12821
22
=− yx 12128
22
=− yx
143
22
=− yx 134
22
=− yx
3
2π
32
)0)(3sin(4 >−= ωπωxy 6
π
ω
xxf lg)( =
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
4
3 2
22 byx =+A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 的图像在点（1， ）处的切线过点（2，11），则 a= ．
14．若实数 x，y 满足约束条件工 ，则 z=5x +y 的最小值为 ．
15．设函数 ，则不等式 的解集是 ．（用区间表示）
16．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 BC 边上的高为 ，则 的最大值
是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{an}满足： （n∈N+）．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，若数列{bn}的前 n 项和为 ，求满足 的最小正整数 n．
18．（本小题满分 12 分）
在直角梯形 ABCD 中（如图 1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点 E 在 CD 上，
且 DE=2，将△ADE 沿 AE 折起，使得平面 ADE⊥平面 ABCE（如图 2），G 为 AE 中点．
（Ⅰ）求四棱锥 D—ABCE 的体积；
（Ⅱ）在线段 BD 上是否存在点 P，使得 CP∥平面 ADE？若存在，求 的值；若不存在，请说明理
由．
19．（本小题满分 12 分）
某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新 50 元，快递骑手
每完成一单业务提成 3 元：方案（2）规定每日底薪 100 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单
开始，每完成一单提成 5 元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取 100 天的数据，
将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整
理得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概率；
)3
3,0( )2
2,0( )12
2[ ， )13
3[ ，
3( ) 1f x ax x= + + (1)f
1
3 3 0
y x
x y
x y
≤
+ ≥
− + ≥
2 2( ) 4x xf x e e x−= − − 2( ) ( 5 6)f x f x+ − − ＜0
2
4 a c b
b c
+
21 2
2 3 1
naa a n nn
+ +⋅⋅⋅+ = ++
1
n
n
b a
= nS 19
40nS ＞
BP
BD（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述 5 名骑手中
随机选取 2 人，求至少有 1 名骑手选择方案（2）的概率；
（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，
并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
20．（本小题满分 12 分）
设函数 ．
（Ⅰ）若当 x=1 时 取得极值，求 a 的值及 的单调区间；
（Ⅱ）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
21．（本小题满分 12 分）
已知圆 F： ，动点 Q （x≥0），线段 QF 与圆 F 相交于点 P，线段 PQ 的长度与
点 Q 到 y 轴的距离相等．
（Ⅰ）求动点 Q 的轨迹 W 的方程；
（Ⅱ）过点 A（2，4）作两条互相垂直的直线与 W 的交点分别是 M 和 N（M 在 N 的上方，A，M，N
为不同的三点），求向量 在 y 轴正方向上的投影的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设 A．B 为曲线 C2 上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB= ，射线 OA，OB 交曲线 C1 分
2( ) lnf x x ax x= − +
( )f x ( )f x
( )f x 1x 2x 2 1
2 1
( ) ( ) 4
2
f x f x a
x x a
− −− ＞
4)2( 22 =+− yx )( yx，
NM
+=
−=
ty
tx
2
13
2
31
θρ 2
2
sin21
3
+=
2
π别于点 D，C．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形 ABCD 的面积。
23．（本小题满分 10 分）
已知 a，b，c 均为正实数，函数 的最小值为 1．
证明：（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
222 4
111)( cxbxaxf ++−+=
94 222 ≥++ cba
12
1
2
11 ≤++
acbcab
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