河北省2020届高三数学模拟（四）考试试卷（Word版附答案）

河北省 2020 届高三模拟（四）考试数 学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 ， ，则集合 A. B. C. D. 2. 已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足： ，则 z 的虚部为 A. B. C. D. 3. 已知抛物线 C： 的焦点 F 在直线 l： 上，则点 F 到 C 的准线的 距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 如图是我国 2018 年 1 月至 12 月石油进口量统计图其中同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比，则下列说法错误的是 A. 2018 年下半年我国原油进口总量高于 2018 上半年 B. 2018 年 12 个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152 万吨 C. 2018 年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量 D. 2018 年 1 月 月各月与 2017 年同期相比较，我国原油进口量有增有减 5. 已知 ， ， ，若 ，则 A. 6 B. C. 16 D. 20 6. 已知函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处 的切线方程为 A. B. C. D. 7. 函数 的图象可看作是将函数 的图象向右平移个单位长度后，再把图象上所 有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到的，则函数 的解析式为 A. B. C. D. 8. 设函数 ，若 ， ， ，则 A. B. C. D. 9. 十三届全国人大二次会议于 2019 年 3 月 5 日至 15 日在北京召开，会议期间工作人员将 其中的 5 个代表团人员含 A、B 两市代表团安排至 a，b，c 三家宾馆入住，规定同一个代 表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若 A、B 两市代表团必须安 排在 a 宾馆入住，则不同的安排种数为 A. 6 B. 12 C. 16 D. 18 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A. B. C. D. 11. 已知坐标平面 xOy 中，点 ， 分别为双曲线 C： 的左、右焦点，点 M 在双曲线 C 的左支上， 与双曲线 C 的一条渐近线交于点 D，且 D 为 的中点，点 I 为 的外心，若 O、I、D 三点共线，则双曲线 C 的离心率为 A. B. 3 C. D. 5 12. 当 x 为实数时， 表示不超过 x 的最大整数，如 已知函数 其中 ，函数 满足 ， ，且 时， ，则方程 的实根的个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若 的展开式中第 项为常数项，则 ______． 14. 已知实数 x，y 满足 ，则 的最大值是______． 15. 我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂” 是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行面间 的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截 的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图 ， 函数 的图象与 x 轴围成一个封闭区域 阴影部分，将区域 阴影部分沿 z 轴的正方向上移 6 个单位，得到一几何体．现有一个与之等高的底面为椭 圆的柱体如图 所示，其底面积与区域 阴影部分的面积相等，则此柱体的体积为 ______． 16. 在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， ， ，点 D 在线段 BC 上，且 ，则 AD 的最小值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列 中， ，且 ， ． 判断数列 是否为等比数列，并说明理由； 当 时，求数列 的前 2020 项和 ． 18. 如图，多面体 是正三棱柱底面是正三角形的直棱柱 沿平面 切除一部分所得，其中平面 ABC 为原 正三棱柱的底面， ，点 D 为 的中点． 求证： 平面 ； 求二面角 的平面角的余弦值． 19. 某大型超市抽查了 100 天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组单位： 万元： ， ， ， ， ， ，统计结果如表所示： 组别 频数 5 20 30 30 10 5 以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题； 从该大型超市近几年的销售记录中抽出 5 天，求其中日纯利润在区间 内 的天数不少于 2 的概率； 该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润 Z 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 每组数据取区间的中点值 ． 试利用该正态分布，估计该大型超市 1000 天内日纯利润在区间 内 的天数 精确到个位 ； 该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案： 方案一：直接发放奖金，日纯利润低于 时每名员工发放奖金 70 元，日纯利润不低 于 时每名员工发放奖金 90 元； 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于 时每位员工均有两次抽奖 机会，日纯利润低于 时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率 分别为 金额 50 元 100 元 概率 小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更 有利？ 考 数 据 ： 若 ， 则 ， ． 20. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，过椭圆 C 的左焦点和上顶点的直线与 圆 O： 相切． 求椭圆 C 的方程； 过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，点 与原点 O 关于直线 l 对称，试求 四边形 的面积的最大值． 21. 已知函数 为常数． 若函数 恰有 1 个零点，求实数 m 的取值范围； 若不等式 对正数 x 恒成立，求实数 a 的最小整数值． 22. 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 为参数， ，以平面 直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ． 若 ，求直线 l 被圆 C 所截得的弦长； 设 ，且直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，若 ，求角 的大小 23. 已知函数 ． 解不等式 ； 记函数 的最小值为 m，正实数 a，b 满足 ，求证： ． 答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】 可求出集合 N，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间表示集合的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算． 【解答】 解： ，或 ； ． 故选：C． 2.【答案】A 【解析】【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 【解答】 解：由 ，得 ． 的虚部为 ． 故选：A． 3.【答案】C 【解析】解： 抛物线 C： 的焦点为 ，可得 ， 因此点 F 到 C 的准线的距离为：8； 故选：C． 根据抛物线的标准方程，将焦点 代入直线 l 方程算出 p，即可得到结果； 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 4.【答案】D 【解析】解：由图易知 A，B 正确， 由数量同比折线图可知，除 6 月和 10 月同比减少外，其他月份同比都递增，且 1 月，4 月，11 月，12 月同比增长较多，故 2018 年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量，C 正 确， 由 2018 年 1 月 月各月与 2017 年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故 D 错误， 故选：D． 先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题． 5.【答案】D 【解析】【分析】 可 求 出 ， ， 从 而 求 出 ， ，这样根据 即可得出 ，解出 m 即可求出 的坐标，从而得出 ． 考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及 根据向量坐标求向量长度的方法． 【解答】 解： ， ； ， ； 又 ； ； 解得 ； ； ． 故选：D． 6.【答案】C 【解析】【分析】 利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数．得到切线的向量求出切点坐标，然后求解切线方 程． 本题考查函数的导数的应用，函数的奇偶性以及导数的几何意义，是基本知识的考查． 【解答】 解：函数 ，若 为奇函数，可得 ，所以 ， ， ， ， 函数 ， ， 曲线 在点 处的切线斜率为： ， ， 曲线 在点 处的切线方程为： ， 即 ． 故选：C． 7.【答案】D 【解析】解：将函数 的图象向右平移个单位长度后，得 再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到 故选：D． 根据 的图象变换规律，可得结论． 本题主要考查函数 的图象变换规律，属基础题． 8.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查正切函数的单调性，涉及函数的单调性的判定以及应用，属于基础题． 根据题意，由对数函数的性质分析可得 在 上为增函数，又由对数的性质可得 ，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数 ，其周期为 ， 且在区间 上为增函数， 又由 ， 则 ，即 ， 故选：D． 9.【答案】B 【解析】【分析】 由排列组合及简单的计数问题得：不同的安排种数为 ，得解． 本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题． 【解答】 解： 当 a，b，c 三家宾馆入住人数为 3，1，1，则不同的安排种数为 ， 当 a，b，c 三家宾馆入住人数为 2，2，1，则不同的安排种数为 ， 当 a，b，c 三家宾馆入住人数为 2，1，2，则不同的安排种数为 ， 即不同的安排种数为 ， 故选：B． 10.【答案】A 【解析】解：由题意可知，几何体的是列出为 1 的正方体的 一部分， ，外接球就是正方体的外接球，半 径为： ， 外接球的表面积为： ． 故选：A． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积． 本题考查三视图求解外接球的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力． 11.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档 题． 由题意画出图形，不妨设点 M 在第二象限，设 ， ，由题意列式求得 m，n，代 入双曲线方程可得双曲线 C 的离心率． 【解答】 解：不妨设点 M 在第二象限，设 ， ， 由 D 为 的中点，O，I，D 三点共线知，直线 OD 垂直平 分 ， 则 OD： ，故有 ， 且 ，解得 ， ． 将 ，即 代入双曲线的方程可得， ，化简得 ，即 ． 当 M 在第三象限时同理可得 ． 故选：C． 12.【答案】C 【解析】解：由 ， ，得函数 的图象关于直线 及 直线 对称，且 ， 令 ，则 ， 即 为周期函数，且最小正周期为 4． 对于 ，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数 及 的图象， 由图可知，函数 与函数 共有 6 个交点， 即方程 的根的个数为 6． 故选：C． 由 ， ，得函数 的图象关于直线 及直线 对称， 又由 可得 的周期，通过作图观察的方法可得结果． 此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，对于分段函数较麻烦一点，中档题． 13.【答案】 【解析】解： 的展开式中第 项为 ，再根据它为常数 项， 可得 ，求得 ， 故答案为：． 由题意利用二项展开式的通项公式，求得 ，从而得到 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14.【答案】2 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 的几何意义为动点到定点 的斜率， 由图象可知当动点位于 A 时，直线 PA 的斜率最大， 解得 此时 ， 故答案为：2． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键． 15.【答案】 【解析】解：由题意得，阴影区域在 上为半个圆， 底面积 ， 所以该柱体的体积为 ． 故答案为： ． 阴影区域在 上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数 在 上的积 分，有了底面积，又知道高为 6，即可得到柱体的体积． 本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力． 16.【答案】 【解析】解：由正弦定理可得： ， ， 又 ， ， 由 ，可得： ， ， 两 边 平 方 ， 可 得 ： ，当且仅当 时取等号， 可得 ． 故答案为： ． 由已知利用正弦定理可得： ，根据余弦定理可求 ，结合范围 ， 可求 ，由 ，可得 ，两边平方，结合基本不等式可求 AD 的最 小值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的应用和基本不等式的应用，考查了转化思 想，属于中档题． 17.【答案】解： ， ， 当 时， ，故数列 不是等比数列； 当 时，数列 是等比数列，其首项为 ，公比为 3． 由 且当 时，有： ， 即 ， ， ． 【解析】 由 ，得 ，当 时， ，故数 列 不是等比数列；当 时，数列 是等比数列，其首项为 ，公比为 3． 由 且当 时，有 ，求得 ， 然后利用数列的分组求和求数列 的前 2020 项和 ． 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了利用分组法求数列的前 n 项和，是中档 题． 18.【答案】 证明：设 与 交于点 E，连接 DE， 多 面 体 是 正 三 棱 柱 沿 平 面 切 除 一 部 分 所 得 ， ， 四边形 是正方形，且 ， 点 D 为 的中点， ， ， ， 同 理 ． ， 为 的中点， ， ， ， 平面 ； 证明：取 BC 的中点 O，连接 AO， 为正三角形， ， 由正棱柱的性质可得，平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 以 O 为坐标原点，OB，OE，OA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 0， ， 2， ， 0， ， 1， ， ， ， ． 设平面 CBD 的一个法向量为 ． 则 ，取 ，得 ． 由 知，平面 的一个法向量为 ， ， 又 二面角 的平面角为锐角， 二面角 的平面角的余弦值为 ． 【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间 向量求解二面角的大小，是中档题． 设 与 交于点 E，连接 DE，由题意可得四边形 是正方形，且 ，再由 点 D 为 的中点， ， ，求得 CD，同理求得 ，得 ，可得 ，由线面垂直的判定可得； 取 BC 的中点 O，连接 AO，可得 ，由正棱柱的性质可得 平面 ，以 O 为坐标原点，OB，OE，OA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 CBD 与平 面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的平面角的余弦值． 19.【答案】解： 由频数分布表可知，日纯利润在区间 的频率为 ． 记其中日纯利润不低于 5 万元且低于 7 万元的天数为 X，则 所求的概率 ． ． ，又 ， ． 故该大型超市 1000 天内日纯利润在区间 的天数为 ． 易知 ． 对应奖励方案一：设小张每日奖金金额为 Y，则 Y 可能取值为 70， 其对应的概率均为， 故 E ． 对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为 Q，则 Q 的所有可能的取值为 50，100，150， 200． ， ； ； ． 的分布列为： Q 50 100 150 200 P ． ， 从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利． 【解析】本题考查了二项分布，正态分布，离散型随机变量的分布列与数学期望．主要考查 了归纳总结能力与运算能力．本题属于中档题． 日纯利润在区间 的频率为 ，记其中日纯利润不低于 5 万元且低于 7 万元的天 数为 X，则 ，结合二项分布即可得到日纯利润在区间 内的天数不少于 2 的概率； 依 题 意 ， 又 ， ，代入数 据即可； 分别计算出两种方案对应的奖金金额的期望，比较，取期望较大的即可． 20. 【 答 案 】 解 ： 过 椭 圆 C 的 左 焦 点 和 上 顶 点 的 直 线 方 程 为 ， 即 ． 又该直线与圆 O 相切， ， 又两向量 ， ． ，得 ． 椭圆 C 的方程为 ； 由 点 与 原 点 O 关 于 直 线 l 对 称 ， 得 ， 当直线 l 的斜率不存在时， 轴，四边形 不存 在，不合题意； 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 ， 设 斜 率 为 k， 则 直 线 l： ， 设 ， ， 联立 ，得 ． 当 ，即 时， ， ． 从而 ． 又点 O 到直线 AB 的距离 ． ． 设 ，则 ． 当且仅当 ，即 时等号成立，且满足 ． 四边形 的面积的最大值为 2． 【解析】 由直线与圆相切得 ，结合椭圆离心率求得 b，再由隐含条件求得 a，则椭圆 方程可求； 由点 与原点 O 关于直线 l 对称，得 ，当直线 l 的斜率不存在时， 轴，四边形 不存在，不合题意；当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，则直线 l： ， 联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式、点到直线距离公式及 三角形面积公式得到四边形 的面积，利用换元法结合基本不等式求最值． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法求最值，考 查计算能力，是中档题． 21.【答案】解： 的定义域为 ， 函数 恰有 1 个零点 方程 仅有一个正实数解， 由 ，得 ， 设 ，则 ， 令 得 ， 令 ，得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 处取得唯一的极大值，即为最大值， 故 的最大值为 ． 当 x 趋近于 0 时， 趋近于 ， 所以 为负数， 当 x 趋近于 时，x 的增长速度大于 的增长速度， 且当 时 ， 故 趋近于 0， 由图可知，当 或者 时，方程 仅有一个实数解， 的取值范围为 或 ； ， ， 设 ， 又 在 上为减函数， ， ， 存在唯一的零点 ， 此时 在 上单调递增，在 上单调递减， 且 ， ， ， 由单调性知 ， 又 ，故 ， 对任意正数 x 恒成立时， ， ， 实数 a 的最小整数值为 ． 【解析】 首先写出 的定义域，函数 恰有 1 个零点 方程 仅有一个正实数 解，由 ，得 ，设 ，然后求导，找出 的最值，结合图象求出 m 的范围； 设 ，求导判断 的单调区间，利 用单调性求出 a 的最值即可． 本题考查了函数的求导，利用导数求单调区间，求最值，还涉及到函数的零点等知识，内容 丰富，综合性强，较难解决． 22.【答案】解： 由 ，得 ， 曲线 C 的直角坐标方程为 ，即 ． 当 时，直线 l 的方程为 ，恰好经过圆 C 的圆心， 故直线 l 被圆 C 所截得的弦长为圆的直径，等于 4； 将 代入 ． 得 ． ． 设 A，B 对应的此时分别为 ， ，则 ， ， 可知 ， 异号． ， 得 ． 又 ， 或 ． 【解析】 把 两边同时乘以 ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程，求出 时的直线方程，由直线 l 恰好过圆心求得直线 l 被圆 C 所截得的 弦长； 把直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化为关于 t 的一元二次方程，再由根与系 数的关系及此时 t 的几何意义求解． 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了参数方程中此时 t 的几何 意义的应用，是中档题． 23.【答案】解： ， 由 得， 或 或 ， 或 或 ， ， 不等式的解集为： ． ， 当且仅当 ，即 时取等号， ， ， 当且仅当 ，即 时取等号， ． 【解析】 ，分段解不等式 即可； 利用绝对值三角不等式求出最小值 m，然后利用基本不等式证明 即可． 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．