2020 北京平谷高三二模
数学
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 6 页，共 150 分，
考试时间为 120 分钟.
2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.
第 I 卷选择题（共 40 分）
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分.在每题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
集合 ，
所以 .
故选 C.
2.若角 终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简选项，再结合角 的终边所在象限即可作出判断.
【详解】解：角 的终边在第二象限， ＝ ＜0，A 不符；
的
{ }1,0,1A = − 2{ 1}B x x= < A B =
{ }1,1− { }1,0,1− { }1 1x x− ≤ ≤
{ }1x x ≤
{ }1,0,1A = − { }2 1 { | 1 1}B x x x x= < = − < <
{ }1 1A B x x∪ = − ≤ ≤
α
sin( + )2
πα s( + )2co
πα sin( )π α+
s( )co π α+
α
α sin + 2
πα
cosα＝ ＜0，B 不符；
＝ ＜0，C 不符；
＝ ＞0，所以，D 正确
故选 D
【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本
题的关键．
3.在下列函数中，值域为 的偶函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项.
【详解】对于 A 选项，函数 的定义域为 ，故为非奇非偶函数，不符合题
意.
对于 B 选项， 的定义域为 ，且 ，所以 为
偶函数，由于 ，所以 的值域为 ，符合题意.
对于 C 选项， ，故 的值域不为 .
对于 D 选项， 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，不符合题意.
故选：B
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题.
4.若等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的值为（ ）．
A. 21 B. 63 C. 13 D. 84
s + 2co
πα
sinα−
( )sin π α+ sinα−
( )sco π α+ sco α−
R
( )f x x= ( )f x ln x=
( ) 2 2x xf x −= + ( )f x xcosx=
( )f x x= [ )0,+∞
( )f x ln x= { }| 0x x ≠ ( ) ( )lnf x x f x− = = ( )f x
0x > ( )f x ln x= R
( ) 1 12 2 2 22 2
x x
x xf x = + ≥ ⋅ = ( ) 2 2x xf x −= + R
( ) cosf x x x= R ( ) ( ) ( )cos cosf x x x x x f x− = − − = − = −
( ) cosf x x x=
{ }na n nS 13 0S = 3 4 21a a+ = 7S【答案】B
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求 ， ，然后结合等差数列的求和公式即可
求解．
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，解可得， ， ，
则 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．
5.若抛物线 y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则 p 的取值范围是（ ）
A. p＜1 B. p＞1 C. p＜2 D. p＞2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的几何性质当 P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值 ，列不等式求
解.
【详解】∵设 P 为抛物线的任意一点，
则 P 到焦点的距离等于到准线：x 的距离，
显然当 P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值 ．
∴ ，即 p＞2．
故选：D．
【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范
围问题.
6.已知 ，且 则（ ）
d 1a
13 0S = 3 4 21a a+ =
1
1
13 13 6 0
2 5 21
a d
a d
+ × =
+ = 3d = − 1 18a =
7
17 18 7 6 ( 3) 632S = × + × × × − =
2
p
2
p= −
2
p
12
p＞
∈，x y R 0x y> > ，A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项.
【详解】取 ，则 ，所以 A 选项错误.
取 ，则 ，所以 B 选项错误.
由于 在 上递减，而 ，所以 ，故 C 选
项正确.
取 ，则 ，所以 D 选项错误.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题.
7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，
且两直角边分别为 和 ，所以底面面积为
1 1 0x y
− > 0cosx cosy− <
1 1 02 2
x y −
2, 1x y= = 1 1 02
− <
4 , 2x yπ π= = cos4 cos2 1 1 0π π− = − =
1
2
x
y = R 0x y> > 1 1 1 1 02 2 2 2
x y x y < ⇒ − > 1a b> >
,M N OA ,M N
,a b
(1,1)A ,M N OA 1 1,3 3M
2 2,3 3N
1 1,3 3M
xy a=
1
31
3 a= 1
27a =
2 2,3 3N
logby x= 2 2log3 3b
=
3
22 2 6
3 9b = =
1a b< <
,a b，则 _______.
【答案】
【解析】
由题意，根据复数的表示可知 ，所以 ．
12.在 中， ， ， ，则 __________ ；
____________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由已知利用余弦定理可求 cosC ，结合范围 C∈（0，π），可求 C 的值，进而根据正弦定理
可得 a 的值．
【详解】∵a2+b2﹣c2＝ab，
∴可得 cosC ，
∵C∈（0，π），
∴C ，
∵ ，c＝3，
∴由正弦定理 ，可得： ，解得：a ．
故答案为 ， ．
1 2,z z 2
1
z
z
=
1 2i− −
1 2, 2z i z i= = − 2
1
2 (2 ) ( ) 1 2( )
z i i i iz i i i
− − ⋅ −= = = − −⋅ −
ABC∆
4A
π∠ = 2 2 2a b c ab+ − = 3c = C∠ = a =
3
π
6
1
2
=
2 2 2 1
2 2 2
a b c ab
ab ab
+ −= = =
3
π=
4A
π∠ =
a c
sinA sinC
=
3
2 3
2 2
a =
6=
3
π
6【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于
基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有
时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件
中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出
现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
13.如图，矩形 中， ， ， 为 的中点. 当点 在 边上时，
的值为________；当点 沿着 ， 与 边运动时， 的最小值为
_________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可.
【详解】以 A 为原点建立平面直角坐标系，
则 A（0,0），O（1,0），B（2,0），设 P（2，b），
（1） ＝ ；
（2）当点 P 在 BC 上时， ＝2；
当点 P 在 AD 上时，设 P（0，b）， ＝（2，0）（－1，b）＝－2；
当点 P 在 CD 上时，设点 P（ ，1）（0＜ ＜2）
＝（2,0）（ －1，1）＝2 －2，
因为 0＜ ＜2，所以，－2＜2 －2＜2，即
ab 2b 2a
ABCD 2AB = 1BC = O AB P BC
AB OP⋅ P BC CD DA AB OP⋅
2 2−
AB OP
2,0 2⋅（ ）( 1, b) ＝
AB OP
AB OP
a a
AB OP
a a
a a ( 2,2)AB OP∈ −
综上可知， 的最小值为－2.
故答案为-2.
【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，
运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向
量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不
等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是
利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向
量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
14.已知函数 给出下列结论：
① 在 上有最小值，无最大值；
②设 则 为偶函数；
③ 在 上有两个零点
其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】
①利用导函数 进行判断；②根据奇偶性的定义进行判断. ③利用函数图像进行判断.
【详解】①，由于 ，所以 ，所以 在 上递减，
所以 在 上有最小值，无最大值，故①正确.
②，依题意 ，由于 ，
所以 不是偶函数，故②错误.
③，令 得 ，画出 和 在区间 上的图像如下图所
示，由图可知 和 在区间 上的图像有两个交点，则 在
上有两个零点，故③正确.
AB OP
( ) 1f x cosxx
= + ，
( )f x ( ]0 π，
( ) ( ) ( )F x f x f x= − − ， ( )F x
( )f x ( )0 2π，
( )'f x
( ]0,x π∈ ( )'
2
1 sin 0f x xx
= − − < ( )f x ( ]0,π
( )f x ( ]0,π
( ) ( ) ( ) ( )1 1cos cosF x f x f x x xx x
= − − = + − − − −
2
x
= ( ) ( )F x F x− ≠
( )F x
( ) 0f x = 1cos x x
= − cosy x= 1y x
= − ( )0,2π
cosy x= 1y x
= − ( )0,2π ( )f x ( )0 π，2故答案为：①③
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数
的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
15.地铁某换乘站设有编号为 的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全
出口，疏散 名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
疏散乘客时间（ ）
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号.
【详解】同时开放 ，需要 秒；同时开放 ，需要 秒；所以 疏散比 快.
同时开放 ，需要 秒；同时开放 ，需要 秒；所以 疏散比 快.
同时开放 ，需要 秒；同时开放 ，需要 秒，所以 疏散比 快.
同时开放 ，需要 秒；同时开放 ，需要 秒，所以 疏散比 快.
综上所述，D 疏散最快.
故答案为：D
【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.
A B C D E， ， ， ，
1000
A B， B C， C D， D E， A E，
s 120 220 160 140 200
AE 200 DE 140 D A
AE 200 AB 120 B E
AB 120 BC 220 A C
BC 220 CD 160 D B三、解答题共 6 题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.已知函数 ， ，求 在
的值域.
从①若 的最小值为 ；② 两条相邻对称轴之间的距离为
；③若 的最小值为 ，这三个条件中任选一个，补充在上面问
题中并作答.
【答案】 在区间 上的值域为 .
【解析】
【分析】
根据三个条件求得半周期，由此求得 ，进而求得 在 上的值域.
【详解】由于
.
所以①②③都可以得到 的半周期为 ，则 .
所以 .
由于 ， ，
所以 ，即 的值域为 .
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，
属于中档题.
17.某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、
安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分 0 分，最高分 100 分，每个景
点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分
( ) ( )32 03 2f x cos xsin x
πω ω ω = − + >
( )f x 6 6
π π − ，
( ) ( )1 2 1 22f x f x x x− = −，
2
π ( )f x
2
π ( ) ( )1 2 1 20f x f x x x= = −，
2
π
( )f x 6 6
π π − ， [ ]0,1
ω ( )f x 6 6
π π − ，
( ) 32 3 2f x cos xsin x
πω ω = − +
1 3 32cos sin cos2 2 2x x xω ω ω = − +
[ ]1 3sin 2 cos2 sin 2 1,12 2 3x x x
πω ω ω = + = + ∈ −
( )f x
2
π 12 2 2
π π π ωω ω= = ⇒ =
( ) sin 2 3f x x
π = +
6 6x
π π− ≤ ≤ 20 2 3 3x
π π≤ + ≤
( ) [ ]0,1f x ∈ ( )f x [ ]0,1与景点总分散点图如下：
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（I）若从交通得分前 6 名的景点中任取 2 个，求其安全得分都大于 90 分的概率；
（II）若从景点总分排名前 6 名的景点中任取 3 个，记安全得分不大于 90 分的景点个数为 ，
求随机变量 的分布列和数学期望；
（III）记该市 26 个景点的交通平均得分为 安全平均得分为 ，写出 和 的大小关系？
（只写出结果）
【答案】（I） ；（II）分布列见解析，期望为 ；（III）
【解析】
【分析】
（I）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望.
（III）根据两种得分的数据离散程度进行判断.
【详解】（I）由图可知，交通得分前 名的景点中，安全得分大于 分的景点有 个，所以
从交通得分前 名的景点中任取 个，求其安全得分都大于 分的概率为 .
（II）结合两个图可知，景点总分排名前 的的景点中，安全得分不大于 分的景点有 个，
所以 的可能取值为 .
.
所以 的分布列为:
ξ
ξ
1x， 2x 1x 2x
2
5 1 1 2x x>
6 90 4
6 2 90
2
4
2
6
6 2
15 5
C
C
= =
6 90 2
ξ 0,1,2
( ) ( ) ( )3 2 1 1 2
4 4 2 4 2
3 3 3
6 6 6
0 1 21 3 1, ,5 5 5
C C C C CP P PC C C
ξ ξ ξ= == = = = ===
ξ所以 .
（III）由图可知， 个景点中，交通得分全部在 分以上，主要集中在 分附近，安全得
分主要集中在 分附近，且 分一下的景点接近一半，故 .
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，
属于中档题.
18.如图，由直三棱柱 和四棱锥 构成的几何体中，
，平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求
的值，若不存在，说明理由．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.
【解析】
试题分析：（1）由条件中 ，平面 平面 ，结合线面垂直的性质
定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据
题意计算是否存在点满足要求
解析：(Ⅰ)证明:在直三棱柱 中, 平面 ABC,故 ,
ξ 0 1 2
P 1
5
3
5
1
5
( ) 1 3 10 1 2 15 5 5E ξ = × + × + × =
26 80 85
80 80 1 2x x>
1 1 1ABC A B C− 1 1D BB C C−
0
1 190 , 1, 2, 5BAC AB BC BB C D CD∠ = = = = = = 1CC D ⊥ 1 1ACC A
1AC DC⊥
BC P DP 1BB D 3
π BP
BC
090BAC∠ = 1CC D ⊥ 1 1ACC A由平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 ⊂平面 ,所以
(Ⅱ)证明:在直三棱柱 中, 平面 ABC,
所以 , ,
又 ,所以,如图建立空间直角坐标系 ,
根据已知条件可得 , , , , ,
,
所以 , ,
设平面 的法向量为 ,
由 即
令 ,则 , ,于是 ,
平面 的法向量为
设 , ,
则 ,
若直线 DP 与平面 成角为 ,则,
计算得出 ,
故不存在这样的点.
点睛：方法总结：由面面垂直 线面垂直 线线垂直，这里需要用到垂直的性质定理进行证
明，难度不大，但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相
关知识，计算法向量然后再求解
19.已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）当 时，若方程 在区间 上有唯一解，求 取值范围.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，最小值为 ；（3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由 可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程；
（2）由 ，可得 ，所以 在区间 上单调递增，
从而可得最值；
（3）当 时， .设 ，
，分析可知 在区间 上单调递减，且 ，
，所以存在唯一的 ，使 ，即 ，
结合函数单调性可得解.
试题解析：
（1）当 时， ，
的
( ) sin cosf x x x a x x= + + Ra∈
1a = − ( )y f x= (0, (0))f
=2a ( )f x [0, ]2
π
2a > ( ) 3 0f x − = [0, ]2
π a
1y x= − ( )2f
π = π (0) 2f = 2 3a< ≤
( )0 1f ′ =
( )' sin cos 1f x x x x= − + + ( )' 0f x > ( )f x 0, 2
π
2a > ( ) ( )' 1 sin cos 1f x a x x x= − + + ( ) ( )1 sin cos 1h x a x x x= − + +
( ) ( )' 2 cos sinh x a x x x= − − ( )h x 0, 2
π
( )0 1 0h = >
1 1 2 02h a a
π = − + = − cos 0x x >
( )' 0f x >
( )f x 0, 2
π
( )f x 0, 2
π
2f
π π =
( )0 2f =
2a > ( ) ( )' 1 sin cos 1f x a x x x= − + +
( ) ( )1 sin cos 1h x a x x x= − + + ( ) ( )' 2 cos sinh x a x x x= − −
2a > 0, 2x
π ∈
( )' 0h x <
( )h x 0, 2
π
( )0 1 0h = > 1 1 2 02h a a
π = − + = −
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