2019~2020 学年度北京市大兴区高三第一次综合练习
数学
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】在复平面内，复数 = =1﹣i 对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选 D．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据交集运算，即可得答案；
【详解】 ， ，
，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
2
1 i+
2
1 i+
( )
( )( )
2 1
1 1
i
i i
−
+ −
{ | 2 }A x x k k= = ∈Z， { | 2 2}B x x= − ≤ ≤ A B =
[ 1 1]− ， [ 2 2]− ，
{0 2}， { 2 0 2}− ， ，
{ | 2 }A x x k k= = ∈Z， { | 2 2}B x x= − ≤ ≤
∴ { 2 0 2}A B = − ， ，3.已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式可求得 的值，再代入前 项和公式，即可得答案；
【详解】
，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.
4.下列函数中，在区间 上单调递增且存在零点的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案；
【详解】对 A， 方程 无解， 不存在零点，故 A 错误；
对 B， 无解， 不存在零点，故 B 错误；
对 D， 在 单调递减，在 单调递增， 在 不具有单
调性，故 D 错误；
故选：C.
【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于
基础题.
{ }na nS 2 0a = 4 1a = 4S
1
2 1 2 3
1,a d n
1
1
1
1 ,0, 2
3 1, 1 ,2
aa d
a d d
= −+ = ⇒ + = =
∴ 4
1 4 3 14 12 2 2S
⋅= − ⋅ + ⋅ =
n
(0, )+∞
exy = 1y x= +
1
2
logy x= − 2( 1)y x= −
e 0x = ∴ exy =
1 0x + = ∴ 1y x= +
2( 1)y x= − (0,1) (1, )+∞ ∴ 2( 1)y x= − (0, )+∞5.在 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 项的系数等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据展开式的第三项的二项式系数最大可得 ，再由二项式展开式的通项公式，即可得答
案；
【详解】由题意得 ，
，
当 时， ，
含 项的系数等于 ，
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项
式系数与系数的区别.
6.若抛物线 上一点 M 到其焦点的距离等于 2，则 M 到其顶点 O 的距离等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设点 ，根据焦半径公式可求得 的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；
【详解】设点 ， 为抛物线的焦点，
， ，
，
故选：C.
( 2)nx − x
32− 24−
8 4
4n =
4n =
∴ 4
1 4 ( 2) , 0, ,4r r r
rT C x r−
+ = − =
3r = 3 3
4 4 ( 2) 32T C x x= ⋅ ⋅ − = −
∴ x 32−
2 4y x=
3 2
5 3
1 1( , )M x y M
1 1( , )M x y F
1 1| | 1 2 1MF x x= + = ⇒ = ∴ 2
1 4y =
∴ 2 2
1 1| | 5MO x y= + =【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.
7.已知数列 是等比数列，它的前 项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列
为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 这一关系，即可得答案；
【详解】 ，
， ， “数列 为递增数列”，
若“数列 为递增数列”，则 ，
“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的充分必要条件，
故选：C.
【点睛】本题考查 与 的关系、充分必要条件的判断，考查转化与化归思想，考查逻辑推
理能力、运算求解能力.
8.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 ，那么该几何体的最长棱的
棱长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
{ }na n nS *n∈N 0na > { }nS
1( 2)n n na S S n−= − ≥
1( 2)n n na S S n−= − ≥
∴ 0na > 1 0n nS S −⇒ − > ∴ 1n nS S −> ∴ { }nS
{ }nS 1 1 0 0n n n n nS S S S a− −> ⇒ − > ⇒ >
∴ *n∈N 0na > { }nS
na nS
1
10 13 17根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥 ，再计算各条棱的长度，即可得答
案；
【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥
， ， ， ， ， ，
该几何体的最长棱的棱长为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算，考查空间想象能力、运算
求解能力，求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.
9.已知函数 ．若关于 x 的方程 在区间 上有且仅有两
个不相等的实根，则 的最大整数值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法求出 的取值范围，再根据三角函数的图象得到 的不等式，即可得答案；
详解】令 ， ， ，
的图象如图所示，
【
A BCDE−
A BCDE−
∴ 13AB AD= = 10AC = 17AE = 2BE DE= = 5BC = 1CD =
∴ 17AE =
π( ) sin( )6f x xω= + ( 0)>ω ( ) 1f x = [0 π]，
ω
3 4
5 6
π
6xω + ω
π
6t xω= + [0 π]x∈ ， ∴ π π
6 6 6x
π ω ωπ≤ + ≤ +
siny t=关于 x 的方程 在区间 上有且仅有两个不相等的实根，
在 上有且仅有两个不相等的实根，
，
的最大整数值为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，
考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元 取值范围.
10.如图，假定两点 ， 以相同的初速度运动．点 沿直线 作匀速运动， ；点
沿线段 （长度为 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离
( )．令 与 同时分别从 ， 出发，那么，定义 为 的纳皮尔对数，用现在的数
学符号表示 x 与 y 的对应关系就是 ，其中 e 为自然对数的底．当点 从线段
的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 运动点三等分点的时间为 ，此时 运动的距离为 ， 运动点中点的时间为 ，此时
运动的距离为 ，再利用 做匀速运动，利用路程除以速度可得时间.
【详解】设 运动点三等分点的时间为 ，此时 运动的距离为 ， 运动点中点的时间为
，此时 运动的距离为 ，
两点 ， 以相同的初速度运动，设点 的运动速度为 ，
， ，
的
( ) 1f x = [0 π]，
∴ sin 1y t= = π[ , ]6 6
π ωπ +
∴ 5 π 17 5 49
2 6 4 2 12
π πωπ ω≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
∴ω 4
P Q Q CD CQ x= P
AB 710
PB y= P Q A C x y
77 10110 ( )e
x
y = P AB
ln 2 ln3 3ln 2
4ln 3
P 1t Q 1x P 2t
Q 2x Q
P 1t Q 1x P
2t Q 2x
P Q Q 710v =
∴ 1
77 7 102 110 10 ( )3 e
x
⋅ =
2
77 7 101 110 10 ( )2 e
x
⋅ =， ，
，
故选：D.
【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则，考查函数与方程思想、转化与化
归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11.已知向量 ， ， 若 ，则 _______；
【答案】
【解析】
分析】
根据向量平行，向量坐标交叉相乘相等，即可得答案；
【详解】 ， ，
故答案为： .
【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
12.若函数 在区间 上单调减区间，则 m 的一个值可以是_______；
【答案】 （答案不唯一，只要 ）
【解析】
【分析】
由题意可得 在区间 上恒成立，即可得答案；
【详解】 ， ，
在区间 上恒成立，
在区间 上恒成立，
取 ，显然 恒成立，
【
∴ 7
1 1
210 log 3e
x = 7
2 1
110 log 2e
x =
∴ 2 1 4ln 3
x xt v
−= =
( 1 1)a = − ， (2 )b t= ， / /a b t =
2−
/ /a b ∴ 1 1 2 2t t− × = × ⇒ = −
2t = −
2 2( ) cos sinf x x x= − [0 ]m，
4
π π0 2m< ≤
' ( ) 0f x ≤ [0 ]m，
( ) cos2f x x= ∴ ' ( ) 2sin 2f x x= −
∴ ' ( ) 2sin 2 0f x x= − ≤ [0 ]m，
∴ sin 2 0x ≥ [0 ]m，
∴
4m
π= sin 2 0x ≥故答案为： .
【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注
意结合三角函数的图象进行求解.
13.若对任意 ，关于 x 的不等式 恒成立，则实数 的范围是_______；
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数 的最小值，即可得到答案；
【详解】 ， ，等号成立当且仅当 ，
，
故答案为： .
【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.
14.已知 为函数 图象上两点，其中 ．已知直线 AB 的斜率等于
2，且 ，则 _______； ______；
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据斜率公式和两点间的距离公式，即可求得答案；
【详解】 直线 AB 的斜率等于 2，且 ，
且 ，
解得： ，
， ；
；
故答案为： ； .
【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式，考查转化与化归思想，考查逻辑
4
π
0x > 1a xx
+≤ a
( 2]−∞，
1 xx
+
0x > ∴ 1 2xx
+ ≥ 1x =
∴ 2a ≤
( 2]−∞，
( ) ( )A a r B b s， ， ， 2logy x= a b>
| | 5AB = a b− = a
b
=
1 4
| | 5AB =
∴ 2 2
2 2( ) (log log ) 5b a b a− + − = 2 2log log 2b a
b a
− =−
| | 1b a− =
a b> ∴ 1a b− =
∴ 2 2log log 2 4b a a
b a b
− = ⇒ =−
1 4推理能力运算求解能力，求解时注意对数的运算法则的应用.
15.在直角坐标系 中，双曲线 （ ） 离心率 ，其渐近线与圆
交 轴上方于 两点，有下列三个结论：
① ；
② 存在最大值；
③ ．
则正确结论的序号为_______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，
即可得答案；
【详解】 ， ，
对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合 ，可得 成立，
故①正确；
对②， ，由于 ， 没有最大值， 没有最大值，
故②错误；
对③，当 时， ，
，又 ， ，
的xOy
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0 0a b> >， 2e >
2 2( 2) 4x y+ − = x A B，
| | | |OA OB OA OB
→ → → →
− < +
| |OA OB
→ →
−
| | 6OA OB
→ →
+ >
21 ( ) 2 3c b be a a a
= = + > ⇒ > ∴ 60AOB∠ <
60AOB∠ < | | | |OA OB OA OB
→ → → →
− < +
| | | |OA OB AB
→ →
− = 60AOB∠ < ∴ AOB∠ ∴ | |AB
60AOB∠ = | | | | 2 2cos30 2 3OA OB= = ⋅ =
∴ 2 1| | 12 12 2 362OA OB OA OB
→ →
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ =
60AOB∠ < ∴ 2| | 36OA OB
→ →
+ >，故③正确；
故答案为：①③.
【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考
查逻辑推理能力、运算求解能力.
三、解答题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.在 中， ， ，且 的面积为 ．
（1）求 a 的值；
（2）若 D 为 BC 上一点，且 ，求 的值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】（1） ；（2）选①， ；选②， ．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式得 ，再利用余弦定理，即可得答案；
（2）①当 时，由正弦定理 ，可求得 ，再由
，可求得答案；②当 时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案；
【详解】（1） 由于 ， ， ，
所以 ，
由余弦定理 ，
解得 ．
（2）①当 时，
在 中，由正弦定理 ，
即 ，所以 ．
∴ | | 6OA OB
→ →
+ >
ABC∆ 1c = 2π
3A = ABC∆ 3
2
sin ADB∠
1AD = π
6CAD∠ =
7a = 21sin 7ADB∠ = 2 7sin 7ADB∠ =
1 sin2ABCS bc A∆ =
1AD =
sin sin
b BC
B BAC
= ∠
21sin 7B =
ADB B∠ = ∠ 30°∠ =CAD
1c = 2π
3A = 1 sin2ABCS bc A∆ =
2b =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
7a =
1AD =
ABC∆
sin sin
b BC
B BAC
= ∠
2 7
sin 3
2
B
= 21sin 7B =因为 ，所以 ．
所以 ，
即 ．
②当 时，
在 中，由余弦定理知，
．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与
方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
17.为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构 M 采用分层抽样的方法从 校抽取了 名学
生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，
[70，80)，[80，90)，[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于 60
分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有 20 人．
（1）求 的值；
（2）现从 校全体同学中随机抽取 2 人，以频率作为概率，记 表示成绩不低于 90 分的人
数，求 的分布列及数学期望；
（3）另一机构 N 也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了 100 名
1AD AB= = ADB B∠ = ∠
sin sinADB B∠ =
21sin 7ADB∠ =
30°∠ =CAD
ABC∆
2 2 2 7 1 4 2 7cos 2 72 7 1
AB BC ACB AB BC
+ − + −= = =⋅ ×
120A °= 90DAB °∠ =
π
2B ADB∠ + ∠ =
sin cosADB B∠ =
2 7sin 7ADB∠ =
A m
m
A X
X学生，经测试有 20 名学生成绩低于 60 分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪
一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．
【答案】（1） ；（2）分布列详见解析，数学期望为0.2；（3）用机构 M 测试的不达
标率 估计 A 校不达标率较为合理，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图知， ，解方程可得 的值；
（2）由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为 ，由已知 的所有可能取值为
，再根据二项分布，即可得答案；
（3）机构 M 抽测的不达标率为 ，机构 N 抽测的不达标率为 ，再从样本
能否较好反映总体的分布情况说明理由．
【详解】（1）由频率分布直方图知， ，
解得 ．
（2）由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为 ，
由已知， 的所有可能取值为 ，
则 ，
，
．
所以 的分布列为
X 0 1 2
P 0.81 0.18 0.01
所以 ．
（3）机构 M 抽测的不达标率为 ，
机构 N 抽测的不达标率为 ．
200m =
0.1
(0.002 0.002 0.006) 10 20m × + + × = m
0.01 10=0.1× X
0 1 2，，
20 0.1200
= 20 0.2100
=
(0.002 0.002 0.006) 10 20m × + + × =
200m =
0.01 10=0.1×
X 0 1 2，，
0 2
2( 0) (1 0.1) 0.81P X C= = ⋅ − =
1
2( 1) 0.1 (1 0.1) 0.18P X C= = ⋅ ⋅ − =
2 2
2( 2) 0.1 0.01P X C= = ⋅ =
X
=0 0.81+1 0.18 2 0.01 0.2EX × × + × =
20 0.1200
=
20 0.2100
=（以下答案不唯一，只要写出理由即可）
①用机构 M 测试的不达标率 估计 A 校不达标率较为合理．
理由：机构 M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构 N，样本更有代表性，所
以，能较好反映了总体的分布．
②没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理．
理由：尽管机构 N 的样本量比机构 M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了
总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理．
【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系，考查数据处理能力，求
解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.
18.如图，在三棱柱 中， ， ，
， 是 的中点，E 是棱 上一动点．
（1）若 E 是棱 的中点，证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）是否存在点 E，使得 ，若存在，求出 E 的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）不存在，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）取 中点为 ，连结 ，证明 ，再利用线面平行判定定理，即可证
得结论；
（2）先证明 两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面
的法向量 ，平面 ABC 的法向量为 ，再利用向量的夹角
0.1
1 1 1ABC A B C− 1AB AC BC AA= = = 1 60BCC∠ =
1 1ABC BCC B⊥平面 平面 D BC 1 1A B
1 1A B / /DE 1 1ACC A
1C CA B− −
1DE BC⊥
5
5
1 1AC P CP EP， / /CP DE
1DC DA DB， ， D xyz−
1ACC (1 3 1)n = −， ，
1 (0 0 3 )DC = ， ，公式，即可得答案；
（3）设 ，由 ，解得 与假设矛盾，从而得到结论.
【详解】（1）证明：取 中点为 ，连结 ，
在 中，因为 为 的中点，
所以 且 ．
又因为 是 的中点， ，
所以 且 ，
所以 为平行四边形
所以 ．
又因为 平面 ， ．
平面 ，
所以 平面 ．
（2）连结 ，
因为 是等边三角形， 是 的中点，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ．
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
1 1 1(0 1)A E A Bλ λ= ≤ ≤
1 0DE BC⋅ = 2λ =
1 1AC P CP EP，
1 1 1A B C∆ E P、 1 1 1 1A B AC、
1 1/ /EP B C 1 1
1
2EP B C=
D BC 1
2CD BC=
/ /EP BC EP CD=
CDEP
/ /CP DE
DE ⊄ 1 1ACC A
CP ⊂ 1 1ACC A
/ /DE 1 1ACC A
1C D AD、
ABC∆ D BC
AD BC⊥
1 1BC AA CC= = 1 60BCC∠ =
1C D BC⊥
ABC ⊥ 1 1BCC B
ABC 1 1BCC B BC=平面 ，
所以 平面 ，
所以 两两垂直．
如图，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
即 ，
令 ，则 ， ，
所以 ．
平面 ABC 的法向量为 ，
．
又因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3） ， ，
1C D ⊂ 1 1BCC B
1C D ⊥ ABC
1DC DA DB， ，
D xyz−
( 3 0 0)A ， ， (0 1 0)C −， ， 1(0 0 3)C ， ，
1 (0 1 3)CC = ，， ( 3 1 0)CA = ， ，
1ACC ( )n x y z= ， ，
1 0
0
CC n
CA n
⋅ = ⋅ =
3 0
3 0
y z
x y
+ =
+ =
1x = 3y = − 1z =
(1 3 1)n = −， ，
1 (0 0 3 )DC = ， ，
1
1
1
5cos 5| | | |
DC nDC n
DC n
⋅< >= =
⋅，
1 1C CA B− −
1 1C CA B− − 5
5
1( 3 1 3)A ，， 1 1 ( 3 1 0)A B = − ，，设 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 ，
假设 ，
则 ，解得 ，
这与已知 矛盾． 不存在点 E.
【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂
直，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
19.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，一条直线 与椭圆 C
交于 ， 两点，以 为直径的圆经过坐标原点 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）求证： 为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）因为椭圆经过点 ，所以 ，再根据离心率，即可求得椭圆的方程；
（2）①若直线 的斜率存在时， ， ， ，与椭圆方程联立，由
可得 ，从而得到 的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结
论；②若直线 的斜率不存在，则有 ，可证结论也成立.
【详解】（1）因为椭圆经过点 ，所以 ，
又因为 ，则 ，由 ，得 ，
1 1 1(0 1)A E A Bλ λ= ≤ ≤
1 ( 3 0)A E λ λ= − ， ，
( 3 3 1 3)E λ λ− +， ， ( 3 3 1 3)DE λ λ= − +， ，
1 (0 1 3)BC = −， ，
1DE BC⊥
1 0DE BC⋅ = 2λ =
0 1λ≤ ≤ ∴
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
(2,0) l
P Q PQ O
2 2
1 1
| | | |OP OQ
+
2 2
14 3
x y+ =
(2,0) 2a =
l 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y :l y kx m= +
OP OQ⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ = ,k m
l 1OPk = ±
(2,0) 2a =
1
2
c
a
= 1c = 2 2 2b a c= − 2 3b =所以椭圆的标准方程为 ．
（2）①若直线 的斜率存在时，设 ，与椭圆方程联立得：
，有 ，
由题意， ，设 ， ，
所以 ， ．
因为以 为直径的圆过原点 ，
由 ，得 ，
即 ，整理得，
，
而
设 h 为 到 的距离，则
所以 ，
而 ，
所以 ．
②若直线 的斜率不存在，则有 ，
不妨设 ，设 ，有 ，
代入椭圆方程 得， ，
，
2 2
14 3
x y+ =
l :l y kx m= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
> 0∆ 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y
1 2 2
8
4 3
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
4 3
mx x k
−= +
PQ O
OP OQ⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ =
1 2 1 2( ) 0( )x x kx m kx m+ + + =
2 212(1 ) 7k m+ =
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
OP OQ PQ
OP OQ OP OQ OP OQ
++ = =
O l
| | | | | |OP OQ PQ h⋅ = ⋅
2 2 2
1 1 1
| | | |OP OQ h
+ =
2
| |
1
mh
k
=
+
2 2
1 1
| | | |OP OQ
+ = 2
2
1 7
12
k
m
+ =
l 1OPk = ±
1OPk = 1 1( , )P x y 1 1x y=
2 2
14 3
x y+ = 2
1
12
7x =
2 2 24| | | | 7OP OQ= =即 ，
综上 ．
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题，考查函数与方
程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对斜率进行讨论.
20.已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证：函数 有且只有一个零点．
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；
（2）函数的定义域为 ，要使函数 有且只有一个零点，只需方程
有且只有一个根，即只需关于 x 的方程 在 上有且只有一个解，利用
导数可得函数 在 单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案；
【详解】（1）当 时，函数 ， ， ，
， ，
所以函数 在点 处的切线方程是 ．
（2）函数的定义域为 ，
要使函数 有且只有一个零点，只需方程 有且只有一个根，
即只需关于 x 的方程 在 上有且只有一个解．
设函数 ，
则 ，
令 ，
2 2
1 1 7 72| | | | 24 12OP OQ
+ = × =
2 2
1 1 7
| | | | 12OP OQ
+ =
( ) ln 1
axf x x x
= − +
1a = ( )y f x= (1 (1))f，
( )f x
3 4 5 0x y− − =
(0, )+∞ ( )f x ( 1)ln 0x x ax+ − =
( 1)ln 0x x ax
+ − = (0 )+ ∞，
( 1)ln( ) x xg x ax
+= − (0 )+ ∞，
1a = ( ) ln 1
xf x x x
= − + 0x > 1(1) 2f = −
2
2 2
1 1 1( ) ( 1) ( 1)
x xf x x x x x
+ +′ = − =+ +
3(1) 4k f ′= =
( )y f x= (1 (1))f， 3 4 5 0x y− − =
(0, )+∞
( )f x ( 1)ln 0x x ax+ − =
( 1)ln 0x x ax
+ − = (0 )+ ∞，
( 1)ln( ) x xg x ax
+= −
2
1 ln( ) x xg x x
+ −′ =
( ) 1 lnh x x x= + −则 ，
由 ，得 ．
x
单调递减 极小值 单调递增
由于 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
①当 时， ，函数 在 有且只有一个零点，
②当 时，由于 ，所以存在唯一零点．
综上所述，对任意的 函数 有且只有一个零点．
【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、
转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进
行二次求导的运用.
21.已知数列 满足：对任意的 ，若 ，则 ，
且 ，设集合 ，集合 中元素最
小值记为 ，集合 中元素最大值记为 ．
（1）对于数列： ，写出集合 及 ；
（2）求证： 不可能为 18；
（3）求 的最大值以及 的最小值．
1 1( ) 1 xh x x x
−′ = − =
( ) 0h x′ = 1x =
(0 1)， 1 (1 )+ ∞，
( )h x′ − 0 +
( )h x
min( ) (1) 2 0h x h= = >
( ) 0g x′ >
( 1)ln( ) x xg x ax
+= − (0, )+∞
(1)g a= − (e ) e
a
a
ag =
0a = (1) 0g = ( )g x (0, )+∞
0a ≠ 2
(1) (e ) 0e
a
a
ag g = − <
a∈R ( )y f x=
1 2 10a a a， ， ， {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j ∈， i j≠ i ja a≠
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}ia ∈ 1 2{ | 1,2,3,4,5,6,7,8}i i iA a a a i+ += + + = A
( )m A A ( )n A
10 6 1 2 7 8 3 9 5 4， ，， ， ，，，，， A ( ) ( )m A n A，
( )m A
( )m A ( )n A【答案】（1） ， ， ；（2）详见解析；（3） 的最
大值为 17， 的最小值为 16．
【解析】
【分析】
（1）由题意易得 ， ， ．
（2）利用反证法，假设 ，可推出 ， 这一集合元素互异性的矛盾；
（3）首先求 ，由（2）知 ，而 是可能的；再证明： 的最小值为
16．
【详解】（1）由题意易得 ， ， .
（2）证明：假设 ，
设 ，
则 = ，
即 ，因为 ，所以 ，
同理，设 ，可以推出 ，
中有两个元素为 1，与题设矛盾，故假设不成立，
不可能为 18．
（3） 的最大值为 17， 的最小值为 16．
①首先求 ，由（2）知 ，而 是可能的．
当 时，
设
则 =
即 ，
又
得 ，即 ．
同理可得： ．
对于数列：
{17,9,10,18,20}A = ( ) 9m A = ( ) 20n A = ( )m A
( )n A
{17,9,10,18,20}A = ( ) 9m A = ( ) 20n A =
( ) 18m A ≥ 1 1a = 10 1a =
( )m A ( ) 18m A < ( ) 17m A = ( )n A
{17,9,10,18,20}A = ( ) 9m A = ( ) 20n A =
( ) 18m A ≥
S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( ) ( ) ( ) 55a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + =
1055 3 ( )S m A a= +≥ 103 18 a× +
10 1a ≤ 1 ( 1,2,3, ,10)ia i = ≥ 10 1a =
S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( ) ( ) ( ) 55a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + = 1 1a =
ia ( 1,2, ,10)i =
( )m A
( )m A ( )n A
( )m A ( ) 18m A < ( ) 17m A =
( ) 17m A =
S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( ) ( ) ( ) 55a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + =
1055 3 ( )S m A a= +≥ 103 17 a× +
10 4a ≤
S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( ) ( ) ( ) 55a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + =
7 755 3 ( ) 51S m A a a= + = +≥ 7 4a ≤
4 ( 1,4,7,10)ia i =≤
1,6,10,2,7,8,3,9,5,4此时 ， ，满足题意．
所以 的最大值为 17；
②现证明： 的最小值为 16．
先证明 为不可能的，假设 ．
设 ，
可得 ，即 ，元素最大值为 10，所以 ．
又 ，
同理可以推出 ，矛盾，假设不成立，所以 ．
数列为： 时，
， ， 中元素的最大值为 16．
所以 的最小值为 16．
【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用，考查反证法的证明，考查逻辑推理能力、
运算求解能力，属于难题.
{17,18,19,20}A = ( ) 17 ( ) 20m A n A= =，
( )m A
( )n A
( ) 15n A ≤ ( ) 15n A ≤
S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( ) ( ) ( ) 55a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + =
1 155 3 ( ) 3 15n A a a+ × +≤ ≤ 1 10a ≥ 1 10a =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( ) ( ) ( ) 55a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + = 4 43 ( ) 3 15n A a a+ × +≤ ≤
4 10a = ( ) 16n A ≥
7,6,2,8,3,4,9,1,5,10
{13,14,15,16}A = ( ) 13 ( ) 16m A n A= =， A
( )n A
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