安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（文）一模试卷（Word版附答案）

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学（文）试卷 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目的要求的。 1．已知集合U＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛3，4，5，6｝则A∩ CUB＝  A、｛1，2，3，4｝B、｛1，2，7｝C、｛1，2｝D、｛1，2，3｝ 2．下列各式的运算结果虚部为1的是  A、     B、    C、2＋  D、 3、从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中， 任意安排 2 名同学早上到校门口值日， 另外 2 名同学下午到校门口值日， 则甲和丁不在一起值日的概率为 A、   B、   C、   D、 4．若实数x，y满足 的最大值是  A、9   B、12   C.3    D、6 5．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国 到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是 ( 1)i i − 2 1 i+ 2i 2(1 )i i+ − 1 3 1 2 2 3 5 6 ①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 ②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平  A、①②③  B、②③  C、①②  D、③ 6．已知椭圆C： 的长轴长是短轴长的 2 倍， 焦距等于 2 ， 则 椭圆 C的方程为   7．已知函数 的图象与直线y＝a(0 3 | | 2AB = | | 3AD = 2BN NC=  AN MN   1 3 2 3 4 3 3 4 3 4 12．已知函数 y = f (x − 2) 的图象关于点 （2，0）对称， 函数 y = f (x) 对于任意的 x ∈(0,π ) 满 足f ′(x) cos x > f (x)sin x （ 其中 f ′(x) 是函数 f (x) 的导函数）， 则下列不等式成立的是 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13． 已知函数 则 f [ f (−2)] = _____. 14． 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 已知 S1 = 1， S5 = 25 ， 则 S6 = ____. 15． 已知过点 (1,0) 的直线 l 被圆 x2 + y2 − 6x − 7 = 0 截得的弦长为 2 ， 则直线 l 的方程为______. 16．体积为 的三棱锥A-BCD中，BC＝AC=BD=AD=3，CD＝2 ，AB ，则 该三棱锥外接球的表面积为_____ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分. 17．(本小题12分) 设 ∆ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， 已知 b tan A = (2c −b) tan B （ 1） 求角 A 的大小； （ 2） 若 ∆ABC 的面积为 3 ， b + c = 5 ， 求 a 的值 13 2 15 3 5 2 2< 3 2 18.(本小题12分) 在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA＝ AB （1）证明：BC⊥PA （2）若PA＝PC＝ AC＝ ，Q 在线段 PB 上，满足 PQ = 2QB ， 求三棱锥 P-ACQ 的体积。 19.（本小题12分） 从某小区抽取 50 户居民进行月用电量调查， 发现其用电量都在 50 到 350 度之间， 频 率 分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的 x 值并估计这 50 户用户的平均用电量. （2）若将用电量在区间[50，150) 内的用户记为 A 类用户， 标记为低用电家庭， 用电 量 在区间[250，350)内的用户记为 B 类用户， 标记为高用电家庭， 现对这两类用户进行问 卷调查， 让其对供电服务进行打分， 打分情况见茎叶图： 1 2 2 2 2 ①从 B 类用户中任意抽取 1 户， 求其打分超过 85 分的概率； ②若打分超过 85 分视为满意， 没超过 85 分视为不满意， 请填写下面列联表， 并根据 列 联表判断是否有 95%的把握认为“满意度与用电量高低有关” ？ 20． (本小题 12 分) 已知函数 （ 1） 讨论函数 f (x) 的单调性； （ 2） 若 f (x) ≥ a ， 求 a 的取值范围 21． (本小题 12 分) 已知抛物线 C ： ， 过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点， 且 A,B两点在抛物线 C 的准线上的投影分别 P 、 Q . （ 1） 已知 D(−1,0) ， 若 ＝0， 求直线 l 的方程； 21 4y x= ( )OA OB OD OD+ +     （ 2） 设 P、Q 的中点为 M ， 请判断 PF 与 MB 的位置关系并说明理由 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题记分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为： 为参数，已知直 线 ，直线 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立 极坐标系. （1）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程； （2）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线2l与曲线C分别交于O、B两点， 求△AOB的面积. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数 （1）当a＝－2时，求不等式 的解集； （2）若 数学（文科）参考答案 一、选择题:本大題也 2 小題每小题 5 分，满分 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 ■ 8 9 10 11 12 答案 C D C A A A D C A D A A,C 、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13. — ； 14.36 ； 15. 〜— V5" = 0 或 + y — = 0 ; 16. —71、 4 3 17.(本小题 12 分) 解：(1)由正弦定理得，sinB•坐 4 = (2sinC-sing)•竺兰.................... ..1 分 cos A cos 5 因为 sin5^ 0 所以 sinZcosZ = 2sinCcosZ —cos/sinW sin A cos B + cos A sin B = 2 sin Ceos ...........................................................................2 分 sin(M + B) = 2 sin C cos N ............................................................................... .3 分 sinC = 2sinCcos J....................... ... ................................................................. 4 分 因为 C u (0,TT),所以 sinC # 0?所以 cosA = -, 2 勿 因为 ZE(0,勿),所以~ .......................................................6 分 1 r (2)因为 SAABC = — bcsinA~——be = 3A/3 , 2 4 所以阮= 12, .......................................................................:................. ..........................8 分 因为 b + c = 5 也,所以 b1 -^2bc + c2 = 50 , 所以屏+疽=26, .................... ...........................................................................................10 分 根据余弦定理得，a2 = b2 +c2- 2bccos^4 = 26-12 = 14 所以 a = .............................................. ... ................................................................12 分 18.(本小题 12 分) / \C Q 解；(1)证明：不妨设 AB = 2 硏则 AC = CD = D4 = Q D A 由 MCD 是等边三角形得，zL4CD = y \ 乏二 11 B 第 18 题图 7t 由余弦定理得, 即 BC = j3at 所以 BC2 +AC2=AB2t 所以七彼二 9 俨，即 BC1AC................................ ................3 分 又平面 24C 丄平面 ABCD 」 平面 PACH 平面 ABCD = AC 了 BCu 平面 4BCD .\BCV 平面 ........................ ...... ................5 分 -PAcz 平面用 C :.BC1PA ....................................................... ... ................................6 分 (2)依题意得，PA.LPC ^P-ACQ = ^Q-PAC ~ § ^B-PAC ............................................................ 8 分 2 1 =—x — S 昭 AC ' BC....................................................................... .9 分 3 3 * 2 11 -~x-x-xP^-PC-BC ......................................................................... 10 分 3 3 2 = 2X1X1XV2XV2X273 = ^....................................... 12 分 3 3 2 9 19.(本小题 12 分) 1 解:(1)由已知，x = ~(0.006 +■ 0.0036 + 0.0024 x2 + 0.0012) = 0.0044, ..................2 分 由频率分布直方图，估计这 50 户用户的平均用电量为 50 x (75 x 0.0024 +125 x 0.0036 +175x0.006 +225 x 0.0044 + 275 x 0.0024 + 325 x 0.0012) = 186.....................................4 分 (2)①B 类用户共 9 人，打分超过 85 分的有 6 人，由样本估计总体 ...................5 分 设从 3 类用户中任意抽取 1 户，求其打分超过 85 分为事件 A ............. ..................6 分 则 P(A) = - =-.............................................................................................................. 7 分 9 3 ②填写列联表如下; 满意 不满意 合计 | ，类用户 1 6 9 B 类用户 6 3 9 J 合计 1 12 12 24 | 砰= 1.6 V 3.841, ...................................................................................... 12x12x9x15 ….11 分 所以没有 95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”............... ■ 12 分 20.(本小题 12 分) 解：(1) /(x)的定义域为(。,+8)......................................................... ...............1 分 又尸(x)=丄京滂 .................................. ............ X X X ................2 分 ① 当 QV0 时，在(0,+。。)上，/(x)>0, /(x)是增函数……...................... ..............3 分 ②当 U A 0 时，/7(x) = 0 ,得 X = £7 , 在(0,Q)上，ff(x) < 0 ' /(X)是减函数； ....................... 在(a5+a))±, r(x)>0t /(对是增函数 ........ ............. ...... (2)由(1)知 ①当。ln 2 不成立； ........... ................6 分 ②当 R>0 时， /(^) > a , SP > a , .. .. .... ....... ................. ..................7 分 因为々>0,由(1)知：当 x = a 时，/O)取得极小值也是最小值， 所以 /Wmin = bl « + 1 > £7 ........................................ ... ..............................8 分 即 lna + l>a olna-々 + l20 成立 4" h(a) = In a - a + l(a > 0) …: ........................................ .. ...............................9 分 1 i~a T(a) = — — 1 = ― =0,解得 a = l, .................................................. ...............10 分 a a 在(0,1)上，"(a)>0,所以是增函数， 在(l,*o)上，hf(a) < 0 ,万(a)是减函数， 所以，当& = 1 时，/?(>)有最大值力(1) = 0 ................... ..........................11 分 要使得 h(a)>Q 即：a = 1 所以实数々的取值范围是 a = l ............... .. ....................」2 分 21.（本小题 12 分） 解:（1）抛物线 C: y = — x2，化为子=4>>，所以抛物线 C 的焦点^（0,1）..........1 分 4 设&冲弟，硏如乃），所以汤=（冶见），而=（气弟，而=（-1,0）， 羽 + 面+ QD =（X] + x2 -1 必+,，2） ............. ...............................................................2 分 由（OA + OB^OD）-OD = Qt 得而+易=1, ...................................................... ......................3 分 又调=4>\，对=4%，两式相减得：（邑 f 2）（也+工 2）= 4。1 一力）， 所以= ..................: ............ ..... .. .............. ...4 分 x} -x2 4 1 所以直线/的方程为：^ = 7x + l .................................................. ........ .. ............................5 分 4 （2） PFHMB,理由如下： ............. .. ............ ... .....................6 分 依题意可知抛物线 C 的准线方程为：丿=-1， 依题意可设直线/的方程为：,=奴+ 1， ¥ = fcc + l 联立< 1 2 消 > 得疽—4Ax-4 = 0 , 所以 X] +菅 =4k , XyX2 =一 4, .................. ....... .... .............. .... .......................................8 分 又户（气-1）, 0 如 T）；M%*,T）， 所以戸戸=（一而,2）,协=（易_石；改疗 2 +1）=（五°五，无+1）， ....................9 分 因为 2 x %2- X- -（F ）。2 +1） L =工 2 — X] + X]刀 + X1 = R + X 必 -x2 +x1(foc2 +1) =无 + Xc + 奴,X. =4" (-4*) = 0 ..................................................................................................... .11 分 所以 TF//MB,所以 PF//MB....................................................................................................12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第-题记 分。 22」选修 4-4：坐标系与参数方程］（10 分） x = 3 + 3 cos a 解：（1）依题意，由曲线 C 的参数方程｛ （a 为参数）， y = 3sma 消参得 3-3）2 十尸=9,故曲线 C 的普通方程为泌+，2 一 6 工=0 ...................................1 分 由/?2=工 2+寸，X = QCOSQ, y = psind ,得 ....................2 分 曲线 C 的极坐标方程为 Q = 6cos0 .....................................3 分 7T 7T «,匕的极坐标方程为小 0 = ；(peR)，/2：。= ；3 顿).................................................5 分 6 .3 (2)把 8 =巴代入 Q = 6COSQ,得 R=30,所以成 3 占,勻， .......... ..............6 分 6 6 7T TT 把(9 二;代入 p = 6cos0f 得 /?2=3,所以 5(3, y), ...............................................7 分 所以电彼 ~~PiPi sin 匕 408 = —x3>/3 x3xsin(—-—)=史 3 ............................10 分 23」选修 4・5：不等式选讲](10 分) 解：(1)当 a = 时，/(X) = |X-2L 则- 4 3 4 1 0 1 ——< x-2< — 3 . 3 c 1 土 ....... x-2< —— 或 x-2 芻一 4 4 3 .3 x — X 2 — 4 4 则所求不等式的解集为书＜空：或% V ...........; .................5 分 (2)证明：由已知，£>0, f(b-a-2')=\b~2\