2020 届高三下学期 5 月模拟考试
理科数学
全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
1.集合 ， ,则
A. B. C.
D.
2.若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
A. B. C. 1
D. 2
3.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下
列判断错误的是
A. 乙班的理科综合成绩强于甲班 B. 甲班的文科综合成绩强于乙班
C. 两班的英语平均分分差最大 D. 两班的语文平均分分差最小
4.已知各项均不相等的等比数列 成等差数列，设 为数列 的前 n项和，则 等于
A. B. C. 3
D. 1
5.执行如图所示的程序框图，令 ，若 ，则实数 a 的取值范围是
A. B.
C. D.
6.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为 1，则该几何体的
外接球的表面积是
A. B. C.
D.
7.设 、 、 、 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 ，
， ，用 、 、 分别表示 、 、 的面
积，则 的最大值是
A B C D 0AB AC⋅ =
0AC AD⋅ = 0AD AB⋅ =
1S 2S 3S ABC∆ ACD∆ ABD∆
1 2 3S S S+ +A. B. 2 C.
4 D. 8
8.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，以
为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与
轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为
A. B. C.
D.
9.已知函数 的最大值为 ，其图象相邻两条对
称轴之间的距离为 ，且 的图象关于点 对称，则下列判断正确的是
A. 要得到函数 的图象只将 的图象向右平移 个单位
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 当 时，函数 的最小值为
D. 函数 在 上单调递增
10.已知函数 ，则 的大致图象为
A. B.
C. D.
11. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 （ 函 数 f(x) 的 导 函 数 为 ） 满 足
1
2
( )f x ( )f x′，e3f(2018) ＝1 ，若 ，则关于 x 的不等式
的解集为
A. B. C.
D.
12. 已 知 函 数 ， 若 函 数
在区间 上恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围
A. B. C.
D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.代数式 的展开式的常数项是________（用数字作答）
14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数
字常被人们称之为神奇数．具体数列为 1，1，2，3，5，8 ，即从该数列的第三
项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列 为“斐波那契”数
列， 为数列 的前 项和，若 则 __________．(用 M 表示)
15.已知点 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，
点 在双曲线 的右支上，且满足 ， ，则双曲线 的
离心率的取值范围为__________．
16.若变量 满足约束 条件 ，且 的最 小值为 ，则
( )1 1 02f x f x − + + =
( ) ( )f x f x> ′ −
( ) 12 exf x + >
( ),3−∞ ( )3,+∞ ( ),0−∞
( )0,+∞
( ) ( ) ( )23
2 21, 2 log 2log 4x xf x x g x t= + = − + −
( ) ( )( ) 1F x f g x= − 1,2 2 t
5 ,42
5 9,2 2
94, 2
94, 2
1 2,F F ( )2
2
2: 1 0yC x bb
− = > O
P C 1 2 2F F OP= 2 1tan 4PF F∠ ≥ C
,x y { 6
y x
x y
y k
≤
+ ≤
≥
3z x y= + 8− k =__________．
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
17. （本小题满分 12 分）
已知函数 ．
(I)求函数 的最小正周期和最小值；
(II)在 中，A，B，C 的对边分别为 ，已知 ，求 a，
b 的值．
18. （本小题满分 12 分）
我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居
民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月
用水量标准 （吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，
为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月用
水量（单位：吨），将数据按照 分成 9 组，制成了如图所示的
频率分布直方图.
（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万，试估计全市有多少
居民？并说明理由；
（Ⅱ）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 和 之间选取7 户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这 7 户家庭中按抽签方式
选出 4 户颁发“低碳环保家庭”奖，设 为用水量吨数在 中的获奖的家庭数，
为用水量吨数在 中的获奖家庭数，记随机变量 ，求 的分布列和数
学期望．
19. （本小题满分 12 分）
如图 ，四边形 为等腰梯形 沿 折起，使得平
面 平面 为 的中点，连接 （如图 2）.
图 1 图 2
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值.
20. （本小题满分 12 分）
已 知 点 是 拋 物 线 的 焦 点 , 若 点 在 上 , 且
．
（1）求 的值；
（2）若直线 经过点 且与 交于 （异于 ）两点, 证明: 直线 与
直线 的斜率之积为常数．
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
21. （本小题满分 12 分）
已知 ，函数 ， ．
F 2: 2 ( 0)C y px p= > ( )0 ,1M x C
05
4
xMF =
p
l ( )3, 1Q − C ,A B M AM
BM求证： ；
讨论函数 零点的个数．
22.选修 4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (其中 为参数）.
以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲
线 的极坐标方程为 .
（1）把曲线 的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线 ， 相交于 两点， 的中点为 ，过点 做曲线 的垂
线交曲线 于 两点，求 .
23.选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证： ．
xOy 1C
24{
4
x t
y t
=
= t
O x
2C 2cos 4 2
πρ θ + =
1C 2C
1C 2C ,A B AB P P 2C
1C ,E F PE PF⋅
( ) 1f x x= −
( ) ( )4 8f x f x+ + ≥
1, 1a b< < 0a ≠ ( ) bf ab a f a
> 参考答案
1.B
【解析】根据题意得到集合 M 的解集，再由集合的补集的概念得到
，最后由交集的概念得到结果.
， = ，
，则 .故答案为：B.
2.C
【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： ，
则 .本题选择 C 选项.
3.D
【解析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.
由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：
乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项 正确，
甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项 正确，
两班的英语平均分分差最大，即选项 正确，
两班地理平均分分差最小，即选项 错误，故选 D.
4.A
【解析】设等比数列{an}的公比为 q，由 3a2，2a3，a4 成等差数列，可得
2×2a3=3a2+a4，4a2q=3 ,解得 q．利用通项公式与求和公式即可得出．
设等比数列{an}的公比为 q，∵3a2，2a3，a4 成等差数列，
∴2×2a3=3a2+a4，∴4a2q=3 ，化为 q2﹣4q+3=0，
解得 q=1 或 3．
q=1 时， ,
q=2 时， .故选：A．
5.D
【解析】该程序的功能是计算并输出分段函数 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解.
综上， ，则实数 a 的取值范围是 .故选 D.
6.C
【解析】详解： 根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高 ，
且侧面 底面
∴ ， 的外接圆的圆心为斜
边 的中点 ，设该几何体的外接球的球心为 底面 ，
设 外接球的半径为 则
解得
，∴外接球的表面积 ．故选 C．
7.B
【解析】设 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即
∵ 、 、 分别表示 、 、 的面积
∴ ，当且仅当 时取等号
∴ 的最大值是 。故选 B
8.D
【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为 ，
以 为直径的圆 的方程为 ．
由 ，解得 ，故点 P 的坐标为 ；
由 ，解得 ，故点 Q 的坐标为 ．
AB a= AC b= AD c=
0AB AC⋅ = 0AC AD⋅ = 0AD AB⋅ =
AB AC AD
2 2 2 24 4a b c R+ + = =
1S 2S 3S ABC∆ ACD∆ ABD∆
( ) ( )2 2 2
1 2 3
1 1 22 2S S S ab ac bc a b c+ + = + + ≤ + + = a b c= =
1 2 3S S S+ + 2∵ ，
∴ ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，故得 ，解得 ．选 D．
9.A
【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出 A 是正确的.
因为 的最大值为 ，故 ，又图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，故
即 ，所以 ，
令 ，则 即 ，
因 ，故 ， .
，故向右平移 个单位后可以得到
，故 A 正确；
，故函数图像的对称中心为 ，故 B 错；
当 时， ，故 ，故 C 错；
当 时， ， 在 为减函数，故 D 错.综上，
选 A.
10.A
【解析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项 ；利用 ，可排除选项
，从而可得结果.
因为 ，
所以函数 是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项 ；
又因为 ，可排除选项 .故选 A.11.B
【解析】 是偶函数， ， ，
， ， 即 ， 设
，则 ， 在 上递增，
由 ，得 ，相减可得
， 的 周 期 为 ， ，
， ， 结 合 的 周 期 为 可 化 为
， ， 不 等 式 解 集 为
，故选 B.
12.C
【解析】设 ，则 ，即 ，则 ，所以问题
转 化 为 在 区 间 上 恰 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 即
在区间 上恰有两个不同的零点，设 ，
则 ，则问题转化为 在区间 上有两个不同的零点，
结合二次函数图像可知，应满足 ，解得 ，故选择 C.
13.3
【解析】 的通项公式为 .
令 ，得 ；令 ，得 .
∴常数项为 。故答案为 .
14.
( )f x ( ) ( )f x f x∴ = − ( ) ( ) ( )' ' 'f x f x f x = − = − −
( ) ( )'f x f x∴ − = − ( ) ( ) ( )' 'f x f x f x> − = − ( ) ( )' 0f x f x+ >
( ) ( )xg x e f x= ( ) ( ) ( )' ' 0x xe f x e f x f x = + > ( )g x ( ),−∞ +∞
( )1 1 02f x f x − + + =
( ) ( )3 30, 3 02 2f t f t f t f t + + = + + + =
( ) ( )3f t f t= + ( )f x 3 ( ) ( )3 32018 2 1e f e f∴ = =
( ) ( )2 12 2g e f e
= = ( ) 12 xf x e
+ > ( )f x 3
( ) ( )1 211 2xe f x e fe
− − > = ( ) ( )1 2 , 1 2, 3g x g x x− > − > > ∴
( )3,+∞
( )u g x= ( ) ( ) 1 0F x f u= − = ( ) 1 0f u − = 1u =
( ) 1g x = 1,2 2
( )2
2 22 log 2log 4 1x x t− + − = 1,2 2 2logv x=
30, 2v ∈
22 2 4 0v v t− + − = 30, 2
( )4 8 4 0
{ 4 0
9 32 2 4 04 2
t
t
t
∆ = − − >
− ≥
× − × + − ≥
94 2t≤
171 3e< ≤ C 171, 3
171, 3
2−∴y=﹣3x+z，要使目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣1，
则平面区域位于直线 y=﹣3x+z 的右上方，即 3x+y=﹣8，
作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形，
则目标函数经过点 A 时，目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8，
代入得到 故答案为：-2.
17.(Ⅰ) 的最小正周期 ,最小值为-4; (Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ)
，
所以 的最小正周期 ,最小值为 .
(Ⅱ)因为 所以 .
又 所以 ，得 .因为 ，由
正弦定理得 ，由余弦定理得， ，
又 c= a，所以 .
18.（Ⅰ）30 万；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）由图，不低于 3 吨人数所占百分比为
所以假设全市的人数为 （万人），则有 ，解得
所以估计全市人数为 30 万.
（Ⅱ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1，因为频率 ，
所以 ，得 ，
用水量在 之间的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数
为 户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取 7 户居民，所以用水
( ),k k
8 4 , 2.k k− = = −量在 之间应抽取的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为
户．
据题意可知随机变量 的取值为 0,2,4．
，
，
，
其分布列为：
0 2 4
期望为： ．
19. （Ⅰ） , 则, ，又因为平面 平面
且平面 平面 ，所以 平面 ，从而 ．
（Ⅱ）取 AC 中点 F，连接 EF、EC. ，设 E 点到平面 BCD 的距离
为 ， ， ,
DE 与平面 BCD 所成角为 ，则 .
20. 解析：（1）由抛物线定义知 ,则 ,解得 ,又点0 2
pMF x= + 0 0
5
2 4
px x+ = 0 2x p=在 上, 代入 ,得 ,解得 ．
（2）由（1）得 ,当直线 经过点 且垂直于 轴时, 此时
,
则 直 线 的 斜 率 , 直 线 的 斜 率 , 所 以
．当直线 不垂直于 轴时, 设 ,
则 直 线 的 斜 率 , 同 理 直 线 的 斜 率
,设直线 的斜率为 ,
且经过 ,则 直线 的方程为 ．联立方程 ,消
得, ,
所以 ,故
,
综上, 直线 与直线 的斜率之积为 ．
21.
证明： 设 ，则 ，
，且 ，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
， ，
，
( )0 ,1M x C 2: 2C y px= 02 1px = 0
11, 2x p= =
( ) 21,1 , :M C y x= l ( )3, 1Q − x
( ) ( )3, 3 , 3, 3A B −
AM 3 1
2AMk
−= BM 3 1
2BMk
− −=
3 1 3 1 1· 2 2 2AM BMk k
− += − × = − l x ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
AM
1
1 1
2
1 1
1 1 1
1 1 1AM
y yk x y y
− −= = =− − + BM
2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1, · ·1 1 1 1BM AM BMk k ky y y y y y y
= ∴ = =+ + + + + + l ( )0k k ≠
( )3, 1Q − l ( )1 3y k x+ = − ( )
2
1 3{y k x
y x
+ = −
= x
2 3 1 0ky y k− − − =
1 2 1 2
1 3 1 1, 3ky y y yk k k
++ = = − = − −
1 2 1 2
1 1 1· 1 11 23 1
AM BMk k y y y y
k k
= = = −+ + + − − + +
AM BM 1
2
−．
解： ， ，
， ，
， 方程 有两个不相等的实根，分别为 ，
，且 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，
， ，
，即 ，
．
设 ，则 ， 是减函数，
当 ，即 时， ，
函数 只有一个零点，
当 ，即 时， ，
函数 没有零点，
当 ，即 时， ，且 ，
由 知 ， ，
若 ，则有 ，
，
函数 有且只有一个大于 的零点，
又 ，即函数 在区间 有且只有一个零点，
综上，当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 只有一个零点，当 时，函数 没有零点．
22.（1） ， （2）16
解析：（1）曲线 的参数方程为 （其中 为参数），消去参数可得
.
曲线 的极坐标方程为 ，展开为 ，化
为 ..
（2）设 ，且中点为 ，
联立 ，
解得 ，
∴ .
∴ .
线段 的中垂线的参数方程为
（ 为参数），
代入 ，可得 ，
∴ ，
∴ .
23.解析：（1）
当 时，则 ，解得 ；
2 4y x= 1 0x y− − =
1C
24{
4
x t
y t
=
= t
2 4y x=
2C 2cos 4 2
πρ θ + =
( )2 2cos sin2 2
ρ θ ρ θ− =
1 0x y− − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )0 0,P x y
2 4{
1 0
y x
x y
=
− − =
2 6 1 0x x− + =
1 2 1 26, 1x x x x+ = =
1 2
0 03, 22
x xx y
+= = =
AB
23 2{
22 2
x t
y t
= −
= +
t
2 4y x= 2 8 2 16 0t t+ − =
1 2 16t t = −
1 2 16PE PF t t⋅ = =
( ) ( )
2 2, 3,
4 1 3 { 4, 3 1,
2 2, 1.
x x
f x f x x x x
x x
− − < −
+ + = − + + = − ≤ ≤
+ >
3x < − 2 2 8x− − ≥ 5x ≤ −当 时，则 不成立；
当 时，由 ，解得 .
所以原不等式的解集为 .
（2） 即 .
因为 , ,
所以 ,
所以 .故所证不等式成立.
3 1x− ≤ ≤ ( ) 8f x ≥
1x > 2 2 8x + ≥ 3x ≥
{ | 5 3}x x x≤ − ≥或
( ) bf ab a f a
> 1ab a b− > −
1a < 1b <
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 0ab a b a b ab a ab b a b− − − = − + − − + = − − >
1ab a b− > −
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