1
2020 年高考临考押题卷（一）
数学（天津卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，则
2．命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
且 ， ，
故 ： ， .
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为
{ }1,0,1,2,3U = − { }0,1,2A = { }1,0,1B = − U A B =
{ }1− { }0,1
{ }1,2,3− { }1,0,1,3−
={ 1,3}UC A − ( ) { 1}UC A B = −
: (0, )p x∀ ∈ +∞ 211 2
xe x x> + + p¬
(0, )x∀ ∈ +∞ 211 2
xe x x+ + 0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 2
0 0
11 2
xe x x< + +
(0, )x∀ ∈ +∞ 211 2
xe x x< + + 0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 2
0 0
11 2
xe x x+ +
: (0, )p x∀ ∈ +∞ 211 2
xe x x> + +
p¬
0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 2
0 0
11 2
xe x x+ +2
若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据频率分布直方可知成绩低于 60 分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01，每组数据的组距为 20，
则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3.
又因为低于 60 分的人数是 15 人，
所以该班的学生人数是 15÷0.3=50.
4．已知 中 ，则 等于（ ）
A．60°或 120° B．30° C．60° D．30°或 150°
【答案】A
【解析】由正弦定理 得
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】A
【解析】 ，故选 A.
6．已知抛物线 的焦点为 ， 的准线与对称轴交于点 ，直线 与 交
[ ) [ ) [ )20,40 , 40,60 , 60,80 ,[80,100].
45 50 55
ABC∆ 4, 4 3, 30a b A= = = B
sin sin
a b
A B
= 4 4 3 3sinsin30 sin 2BB
= ∴ =
60 ,120B∴ =
tan 212
πα + = − tan 3
πα + =
1
3
− 1
3
3 12 4tan tan
π π πα α + = + +
112 4
31 12 4
tan tan
tan tan
π πα
π πα
+ + = = − − +
2: 2 ( 0)C x py p= > F C H 3 2
py x= − C3
于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】连接 ，如图，过 作准线的垂线，垂足为 ，易知点 ．易知直
线 过点 ， ，则 又 ，
所以 ，由抛物线的定义可得 .
7．已知实数 满足 ，则下列关系式中恒成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，实数 x，y 满足（ ）xy，依次分析选项：对于 A，y=tanx 在其定义域
上不是单调函数，故 tanx>tany 不一定成立，不符合题意；对于 B，若 0>x>y，则 x2+2>y2+2 不成立，故 ln
（x2+2）>ln（y2+2）不一定成立，不符合题意；对于 C，当 x>y>0 时， < ，不符合题意；对于 D，函数
y=x3 在 R 上为增函数，若 x>y，必有 x3>y3，符合题意．
8．已知函数 ，则下列结论中正确的是
A B 4 3| | 3AH = | |AF =
8
3
AF A M 0, , 0,2 2
p pF H −
3 2
py x= − H tan 3, 3AHM AHM
π∠ = ∠ = | | 3 ,| | 2
AM
AH
= 4 3| | 3AH =
| | 2AM = | |AF = | | 2AM =
,x y 1 1
2 2
x y ( ) ( )2 2ln 2 ln 1x y+ > +
1 1
x y
> 3 3x y>
1
2
1
2
1
x
1
y
( ) sin 2 4f x x
π = + 4
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于点 对称
C．由函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】C
【解析】对于函数 ，它的最小正周期为 =π，故排除 A；
令 x= ，求得 f（x）= ，故函数 f（x）的图象不关于点 对称；故排除 B；
把函数 的图象向右平移 个单位长度，
可以得到函数 y=sin2（x﹣ ）+ ]=sin2x 的图象，故 C 满足条件；
在区间 上， ∈（ ， ），函数 f（x）单调递减，故排除 D，
9．已知函数 ，则满足方程 的实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，则 ．
当 时，由 ，解得 ；
当 时， ， ．
( )f x 2π
( )f x ,04
π
( )f x
8
π
sin 2y x=
( )f x 5,8 8
π π
( ) sin 2 4f x x
π = +
2
2
π
4
π 2
2
,04
π
( ) sin 2 4f x x
π = + 8
π
8
π
4
π
5,8 8
π π
2 4x
π+
2
π 3
2
π
1 lnln 1, 0
( ) 12 , 02
x
xx xxf x
x
+ + − >=
− ≤
( ) 12 ( ( )) 1 2 f mf f m ++ = m
( , 1] (0,1]−∞ − ∪ ( ,1]−∞ 1, e
∞ − −
1( , 1] ,1e
−∞ − ∪
( ) 12 ( ( )) 1 2 f mf f m ++ = ( ) 1( ( )) 2 2
f mf f m = − ( ) 0f m ≤
0m ≤ 1( ) 2 02
mf m = − ≤ 1m ≤ −
0m > 1 ln( ) ln 1mf m m m
+= + −
2
ln( ) m mf m m
−′ =5
令 ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，则 的最小值为 ．
故 单调递增，
又 ，
故当 时， ．
综上可知，当 时， ，满足 ，
二、填空题
10．复数 （ 为虚数单位），则 ________.
【答案】
【解析】 .
11． 的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】二项展开式通项公式为 ，其中系数奇数项为正，偶数项为负，
又 中， 最大，因此二项式系数最大的项为第 4 项，系数为 ．
12．已知四棱锥 的底面 为矩形， ．当四棱锥 的体积最大
时，其外接球的表面积为_______．
【答案】 ．
【解析】设 ，则 ，
故 （当且仅当 时等号成立），
矩形 的面积最大为 8．
当侧棱 面 时，四棱锥 的体积最大，
( ) lng m m m= − 1 1( ) 1 mg m m m
−′ = − =
0 1m< < ( ) 0g m′ < ( )g m
1m > ( ) 0g m′ > ( )g m ( )g m (1) 1g =
2
ln( ) 0, ( )m mf m f mm
−′ = >
(1) 0f =
0 1m< ≤ ( ) 0f m ≤
( , 1] (0,1]m∈ −∞ − ∪ ( ) 0f m ≤ ( ) 12 ( ( )) 1 2 f mf f m ++ =
1
1 iz = + i | |z =
2
2
1 1 2| | |1 | 22
z i
= = =+
61x
x
−
20−
366 2
1 6 6
1( ) ( 1)
r
r r r r r
rT C x C x
x
−−
+ = − = −
6 ( 0,1, ,6)rC r =
3
6C 3
6 20C− = −
P ABCD− ABCD 4, 2 3AC PA= = P ABCD−
28π
,AB x AD y= = 2 2 16 2 , 8x y xy xy+ =
8ABCDS xy=矩形 2 2x y= =
ABCD
PA ⊥ ABCD P ABCD−6
把体积最大的四棱锥补充为一个长方体，该长方体的高为 ，
底面 为正方形，对角线 ，
长方体的外接球半径 ，
故外接球的表面积 ．
13．已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，点 在双曲线 上，若
，则双曲线 的焦距为_________．
【答案】
【解析】由 ，
则 ．
设 ，则 ．
∵点 在双曲线 上，
， ，
，
即 ，
则焦距为 ，
14．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为________， 的最小值为________．
【答案】 ．
【解析】由题可知，对正实数 ， 有 （当且仅当
时取等号），所以 xy 的最大值为 ；
2 3
ABCD 4AC =
2 21 4 (2 3) 72R = + =
2 24 4 ( 7) 28= = =球S Rπ π π
2 2
2: 1( 0)4
x yC bb
− = > A B P C
2PBA PAB
π∠ = ∠ + C
4 2
2PBA PAB
π= ∠ +
1PA PBk k⋅ =
( )0 0,P x y
2
0 0
2
0 0 0
12 2 4
y y y
x x x
⋅ = =+ − −
P C
2 2
0 0
2 14
x y
b
∴ − =
2 2
0
2
0 4 4
y b
x
=−
2
14
b∴ =
2b =
2 4 4 4 2+ =
x y 2 3x y+ = xy
2 3x y
xy
+
9
8 2 2 1+
x y ( )2 92 2 2 8 2 8x y xy xy x y xy+ ≥ ⇒ ≤ + ⇒ ≤
32 2x y= = 9
87
因为 （当且仅当 时
取等号），所以 的最小值为 ．
15．在锐角 中，点 、 、 分别在边 、 、 上，若 ， ，且
， ，则实数 的值为_______．
【答案】
【解析】如下图所示：
， ， ， ，
，
是锐角三角形，则 与 不垂直，即 ，
， ，
则
，
即 ，
， ，因此， .
( )22 2 223 2 2 1 2 2 1x x y yx y x xy y x y
xy xy xy y x
+ ++ + += = = + + ≥ + 2 6 3 2x y= = −
2 3x y
xy
+
2 2 1+
ABC D E F AB BC CA 3AB AD= AC AFλ=
2 6BC ED EF ED⋅ = ⋅ = 1ED = λ
3
3AB AD=
AC AFλ= 1
3AD AB∴ = 1AF ACλ=
( )1 1 1 1 1
3 3 3EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλ λ
∴ = − + = − + = + − + −
1 1 1
3 3ED BC ACλ
= + + −
ABC ED AC 0ED AC⋅ ≠
1ED =
6ED BC⋅ =
21 1 1 1 1 1
3 3 3 3ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλ λ
⋅ = ⋅ + + − = + ⋅ + − ⋅
1 13 33 ED ACλ
= + − ⋅ =
1 1 03 ED ACλ
− ⋅ =
0ED AC⋅ ≠
1 1 03λ∴ − = 3λ =8
三、解答题
16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注
情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占 80%.现从参与调查的关注生态文明建设
的人员中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄（单位：岁）分组：第 1 组[15，25），第 2 组[25，35），第
3 组[35，45），第 4 组[45，55），第 5 组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求这 200 人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）；
（Ⅱ）现在要从年龄在第 1，2 组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人进行问
卷调查，求抽取的 3 人中恰有 2 人的年龄在第 2 组中的概率；
（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出 3 人，设这 3 人中关注生态文明建设的人数为 X，求
随机变量 X 的分布列与数学期望．
【解析】（Ⅰ）由 ，得 ，
平均年龄为 （岁）．
设中位数为 x 岁，则 ，解得 ，
故这 200 人年龄的中位数为 42.1 岁
（Ⅱ）易知从第 1，2 组中抽取的人数分别为 2，3，
设“抽取的 3 人中恰有 2 人的年龄在第 2 组中”为事件 A，
则
（Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出 1 人，则其关注生态文明建设的概率为 .
由题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
10 (0.010 0.015 0.030 0.010) 1a× =＋ ＋ ＋ ＋ 0.035a =
20 0.1 30 0.15 40 0.35 50 0.3 60 0.1 41.5× × × × × =＋ ＋ ＋ ＋
( )10 0.010 10 0.015 35 0.035 0.5x× × − × =＋ ＋ 42.1x ≈
( ) 1 2
2 3
3
5
3
5
C CP A C
= =
4
5
( ) 3
0
3
4 10 1 5 125P X C = = − =
( ) 1 2
1
3
4 4 121 15 5 125P X C = = − =
( ) 2 1
2
3
4 1 482 15 5 125P X C = = − =
( ) 3
3
3
4 643 5 125P X C = = = 9
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为 ，所以
17．如图，在四棱锥 中， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 是 的中点， ， ，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）因为 ,所以 ,同理可得 .
因为 ,所以 平面 .
（2）因为 ,所以 、 、 两两垂直,以 为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为 ,所以 , , , ,
因为 是 的中点,所以 ,
因为 , ,所以 ,
所以 , .
1
125
12
125
48
125
64
125
43, 5X B
( ) 4 123 5 5E X = × =
M ABCD− AB AD⊥ 2AB AM AD= = = 2 2MB MD= =
AM ⊥ ABCD
E BM / /CD AB 2CD AB= E CD M− −
2 2 28AB AM BM+ = = AB AM⊥ AD AM⊥
AD AB A∩ = AM ⊥ ABCD
AB AD⊥ AD AM AB A
2AB AM AD= = = (0,0,0)A (2,0,0)D (0,2,0)M (0,0,2)B
E BM (0,1,1)E
/ /CD AB 2CD AB= (2,0,1)C
( 2,1,0)CE = − (0,0,1)DC =10
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,得 ,
取 ,得 .
取 的中点 ,连接 ,易证 平面 ,
则平面 的一个法向量为 .设二面角 的平面角为 ,
由图知 ,所以 ,
所以二面角 的余弦值为 .
18．设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
【解析】(1)由题意可得： ，解得： ，
则数列 的通项公式为 .
其前 n 项和 .
则 成等比数列，即：
，
据此有：
，
CED ( )1 1 1, ,m x y z=
( )
( )1 1 1
1 1 1
, , (0,0,1) 0
, , ( 2,1,0) 0
m DC x y z
m CE x y z
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − =
1
1 1
0
2 0
z
x y
=
− + =
1 1x = (1,2,0)m =r
DM H AH AH ⊥ CDM
CDM (1,1,0)n AH= =uuurr E CD M− − θ
0, 2
πθ ∈ 2 2 2 2
| | (1,2,0) (1,1,0) 3 10cos | | | | 101 2 1 1
m n
m n
θ ⋅ ⋅= = =⋅ + × +
r r
r r
E CD M− − 3 10
10
{ }na n nS 3 4a = 4 3a S= { }nb
1 2, , ,n n n n n nn S b S b S b∗
+ +∈ + + +N
{ },{ }n na b
, ,2
n
n
n
aC nb
∗= ∈N 1 2 + 2 , .nC C C n n ∗+ + < ∈N
1
1 1
2 4
3 23 3 2
a d
a d a d
+ = ×+ = +
1 0
2
a
d
=
=
{ }na 2 2na n= −
( ) ( )0 2 2 12n
n nS n n
+ − ×= = −
( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 2n n nn n b n n b n n b− + + + + + +
( ) ( ) ( )( )21 1 1 2n n nn n b n n b n n b+ + = − + × + + +
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )22 2 21 2 1 1 1 2 1 2 1n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b+ + + + = − + + + + + + − +11
故 .
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则 .
19．已知抛物线 ，过 的直线 与抛物线 C 交于 两点，点 A 在第一象限，抛
物线 C 在 两点处的切线相互垂直.
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）若点 P 为抛物线 C 上异于 的点，直线 均不与 轴平行，且直线 AP 和 BP 交抛物线 C 的
准线分别于 两点， .
（i）求直线 的斜率；
（ⅱ）求 的最小值.
【解析】（1）设 .
抛物线 C 的方程可化为 .
抛物线 C 在 两点处的切线的斜率分别为 .
由题可知直线 l 的斜率存在，故可设直线 1 的方程为 ，
联立 ，消去 y 可得 ，
.
，解得 .
∴抛物线 C 的标准方程为 ；
（2）（i）由（1）可得
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2
11 2 1 2 1
( 1) ( 1)( 1)( 2)
n
n n n n nb n nn n n
n
n n n
+ − − + += = ++ + + − − +
( ) ( )1 1 2 2 2 12 1 1
n
n
n
a nC n nb n n n n n n n
−= = < = < = − −+ + + −
( ) ( ) ( )1 2 2 1 0 2 2 1 2 1 2nC C C n n n+ + + < − + − + + − − =
2: 2 ( 0)C x py p= > (0,1)Q l ,A B
,A B
,A B ,AP BP x
,M N 4AQ QB=
AB
| |MN
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2
,2
x xy yp p
′= =
,A B 21 2 1 2
1 2 1 2 1 22, , 1,x x x xk k k k x x pp p p
= = ∴ = = − = −
1y kx= +
2
1
2
y kx
x py
= +
=
2 2 2 0x pkx p− − =
1 2 2x x p∴ = −
2
1 2 2x x p p∴ = − = − 2p =
2 4x y=
1 2 1 24 , 4x x k x x+ = = −12
由 ，可得 ，
又点 A 在第一象限，解得 .
∴直线 AB 的斜率为 ；
（ii）由（i）易知 .
设 ，则 .
由题可知 ，故 且 .
∴直线 AP 的斜率 ，同理可得 .
∴直线 ，当 时， .
直线 ，当 时， .
.
令 ，
当且仅当 ，即 ，也即 或 时， 取得最小值 4.
20．已知函数 .
（Ⅰ）求证：函数 有唯一零点；
（Ⅱ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（I） ，
易知 在 上为正，因此 在区间 上为增函数，又 ，
4AQ QB=
1 24x x= −
1 2
34, 1, 4x x k= = − =
3
4
1(4,4), 1, 4A B −
( ) ( ) ( )0 0, , , , ,M M N NP x y M x y N x y
2
0
0 4
xy =
0, 0AP BPk k≠ ≠ 0 4x ≠ − 0 1x ≠
2
0
0
0
4 44
4 4AP
x
xk x
− += =−
0 1
4BP
xk
−=
0 4: 4 ( 4)4
xAP y x
+− = − 1y = − 0
0
4 4
4M
xx x
−= +
0 11: ( 1)4 4
xBP y x
−− = + 1y = − 0
0 0
451 1 1N
xx x x
+= − + =− −
0 0
0 0
4 4 4| | 4 1M N
x xMN x x x x
− +∴ = − = ++ −
0
0
4 4 4 4, | | | | 2 | | 41 | | | |
xm MN m m mx m m m
+= ∴ = + = + ⋅ =−
| | 2m = 0
0
4 21
x
x
+ =− 0 6x = 0
2
3x = − | |MN
ln( ) x xf x xe x
= +
( )f x
(0, )x∈ +∞ ln 1xxe x kx− ≥ + k
( ) ( ) 2
1 ln' 1 x xf x x e x
−= + +
( )'f x ( )0 e， ( )f x ( )01，
1
21 0
ee ef e e
− = （ ）13
因此 ，即 在区间 上恰有一个零点，
由题可知 在 上恒成立，即在 上无零点，
则 在 上存在唯一零点．
（II）设 的零点为 ，即 ．原不等式可化为 ，
令 ，则 ，由（I）可知 在 上单调递减，
在 上单调递增，故只求 ，，设 ，
下面分析 ，设 ，则 ，
可得 ，即
若 ，等式左负右正不相等，若 ，等式左正右负不相等，只能 ．
因此 ，即 求所求．
1 0f f Ie
( )1 + ∞， ( )1 + ∞，
( )f x ( )0 + ∞，
( )f x 0x 0 0
0
0
ln 0x xx e x
+ = ln 1xxe x kx
− − ≥
( ) ln 1xxe xg x x
− −= ( )
ln
'
x xxe xg x x
+
= ( )g x ( )00 x，
( )0x ，+ ∞ ( )0g x 0
0
xx e t=
0 0
0
0
ln 0x xx e x
+ = 0
0
xx e t= 0
0
lnx tx
= −
0 0
0 0
lnx tx
lnx x lnt
= −
+ =
( )0 1 lnx t t− =
1t > 1t < 1t =
( ) 0
0 0 0
0
0 0
ln 1 ln 1
xx e x xg x x x
− −= = − = 1k
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