2020年6月高考文科数学大数据精选模拟卷04（新课标Ⅰ卷满分冲刺篇解析版）

1 2020 年 6 月高考数学大数据精选模拟卷 04 新课标Ⅰ卷-满分冲刺篇（文科数学） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ,解得 ,所以 , 因此 , 2．已知复数 （ ，i 是虚数单位）满足 ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解析】由题意得, ,所以 ,解得 或 , { }2A x x= > { }ln 1B x x= < A B = { }2x x > { }x x e< { }2x x e< < ∅ ln 1 lnx e< = 0 x e< < { }0B x x e= < < { }2A B x x e∩ = < < z a bi= + ,a b∈R 2z i= 2 2,2 2  −    2 2,2 2       2 2,2 2  −    2 2,2 2  −    2 2,2 2  −    2 2 2 2z a b abi i= − + = 2 2 0 2 1 a b ab  − =  = 2 2 2 2 a b  =  = 2 2 2 2 a b  = −  = −2 故 或 ,则共轭复数 或 , 其在复平面内对应的点的坐标为 或 , 3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 等价于 ，即 ； 的解为 ，解集相等，所以“ ”是“ ”的充分必要条件. 4．已知向量 与 的夹角为 120°，且 ， ，若 ，且 ，则 实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ， 可得 ， 若 且 ， 则 ，解得 ． 5．已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 均小于 1，a， ， 成等差数列， 则 的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】由题意得, , 2 2 2 2z i= + 2 2 2 2z i= − − 2 2 2 2z i= − 2 2 2 2z i= − + 2 2,2 2  −    2 2,2 2  −    x∈R | 2 | 1x − > 2 4 3 0x x− + > | 2 | 1x − > 2 1 2 1x x− > − < −或 3 1x x> 3 1x x> 2 4 3 0x x− + > AB AC 3AB = 2AC = AP AB ACλ= +   AP BC⊥  λ 7 12 5 12 1 6 3 4 AB AC 120° | | 3AB = | | 2AC = 3 2 cos120 3AB AC °⋅ = × × = −  AP AB ACλ= +   AP BC⊥  2 2 ( ) ( ) ( 1)AP BC AB AC AC AB AC AB AB ACλ λ λ⋅ = + ⋅ − = − + − ⋅          4 9 3( 1) 0λ λ= − − − = 7 12 λ = ABC 3 2 c 2b ABC 2 2 2 3 2a b a b c c+ < + = 5 A． B． C．3 D．2 【答案】B 【解析】在棱长为 1 的正方体中， 根据三视图还原该几何体的直观图，为图中所示的三棱锥 ， 取 的中点 ，连接 ，易知 ， 在 中， 边上的高 ， ∴ 的面积 ， 易知 平面 ， ∴ ． 故选：B． 10．2019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5 项成果 均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏 920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机 芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端 AI 芯片、“思元 270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现 有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响， 则至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知,1 名学生从 15 项中任选 1 项,其选择“芯片领域”的概率为 , 故其没有选择“芯片领域”的概率为 , 1 2 1 6 A BCD− BD E ,AE EC 1, 1BD AC= = AEC AC 1h = AEC 1 1 11 12 2 2AECS AC h= ⋅ = × × =  BD ⊥ AEC 1 1 1 113 3 2 6A BCD D AEC B AEC AECV V V S BD− − −= + = ⋅ = × × =  89 91 2 91 98 125 19 27 5 1 15 3 = 2 36 则 3 名学生均没有选择“芯片领域”的概率为 , 因此至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为 , 11．已知椭圆 的下顶点为 A，且 ，直线 AB 与椭圆 C 交于另一点 M，若 （其中 O 为坐标原点）， 的面积为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知, ,所以直线 AB 的方程为 , 与椭圆 C 的方程联立,即 ,消去 y 可得 , 设 ,则 , 又 ,所以 M 为线段 AB 的中点,所以 ,则 , 因为 M 为线段 AB 的中点,所以 ,即 ,所以 , 所以椭圆 C 的离心率 , 12．已知函数 ，若 在区间 内有两个不同的极值点 ， ， 则 ， 满足（ ） A．两个都小于 1 B．只有个小于 1 C．两个都不小于 1 D．至少有一个小于 1 【答案】D 【解析】由题意可知, , 因为 在区间 内有两个不同的极值点 , , 所以令 ,则 , 为方程 的两个不同的根, 2 2 2 8 3 3 3 27 × × = 8 191 27 27 − = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2,0)B 2OB OA OM+ =   OBM 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 (0, )A b− ( 2)2 by x= − 2 2 2 2 1 ( 2)2 x y a b by x  + =  = − ( )2 2 24 4 0a x a x+ − = ( )0 0,M x y 2 0 2 4 4 ax a = + 2OB OA OM+ =   2 0 2 4 0 2 4 2 ax a += =+ 2 4 3a = 2 1OAB OBMS S= =△ △ 1 2 12 b× × = 1b = 2 2 2 1 2 −= = =ce a a a b 3 21 1( ) 3 2f x x bx cx d= + + + ( )f x (0,2) 1x ( )2 1 2x x x< (0)f ′ ( )2f ′ 2( )f x x bx c′ = + + ( )f x (0,2) 1x ( )2 1 2x x x< 2( )( ) f xx bg x x c′ = + += 1x 2x ( ) 0g x =7 且 ,所以 , 所以 . 当且仅当 时取等号,但由 知,取不到等号,所以 , 所以 , 中至少有一个小于 1. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．设函数 ， 且 ，若 ，则 __________. 【答案】 【解析】由题， ，又 ，故 . 将 代入函数 ，可得 则 14．已知 ，则 的值为______ 【答案】 【解析】 ，解得： 15．已知圆 ，直线 与圆 交于 两点， ，若 ，则弦 的长 度的最大值为___________. 1 20 2x x< < < ( )( )1 2( ) ( )g x f x x x x x′= = − − ( )( ) ( )( )1 2 1 2(0) (2) 0 0 2 2f f x x x x′ ′⋅ = − − ⋅ − − ( )( ) ( )( )1 1 2 20 2 0 2x x x x= − − ⋅ − −       ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 20 2 0 2 2 2 1x x x x− + − − + −   ⋅        = 1 1 2 2 0 2 0 2 x x x x − = −  − = − 1 2x x< (0) (2) 1f f′ ′⋅ < (0)f ′ ( )2f ′ 2 2 , 0( ) log ( ), 0 x a a xf x x a x  ≥=  + 1a ≠ (2) 9f = ( 2)f − = 3log 13 29 (2)f a= = 0a > 3a = 3a = ( )f x 2 3 3 , 0( ) log ( 9), 0 x xf x x x  ≥=  + 2 2 2 5cos 2 6 b c aA bc + −= = 3sin2 sin 2 3sin cos sin 2 3 cos 6cos 2 1sin sin 3 A B A A B a A b A C C c − − − −= = = = 1 1 1ABC A B C− 90BAC∠ = ° 1AB AC AA= = 1AB 1CC11 （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求三棱锥 的体积 【解析】（1）如图所示： 连接 ， ，在直三棱柱 中， 侧面 是平行四边形，” ∵平行四边形对角线互相平分，D 是 中点， ∴D 是 中点， 又 F 是 BC 中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （2） 为等腰直角三角形， ， ， ∵F 是 BC 中点，∴ ， 直三棱柱 中， 平面 ABC， 平面 ABC， ∴ ，∵ ， / /DF 1 1ACC A 2AB = E ADF− 1A B 1AC 1 1 1ABC A B C− 1ABB A 1AB 1A B 1/ /DF AC DF ⊄ 1 1ACC A 1AC ⊂ 1 1ACC A / /DF 1 1ACC A ABC 90BAC∠ = ° AB AC= AF BC⊥ 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ AF ⊂ 1BB AF⊥ 1BC BB B=12 ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ． 又∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ 平面 ． ∴ 平面 ADF． ∴ ， 又 ， ， ∴ ． 19．（本小题满分 12 分） 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 （百千克）与某种液体肥料每亩使用量 （千克）之间的 对应数据的散点图，如图所示. （1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求 关于 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为 千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ AF ⊥ 1 1BCC B EF ⊂ 1 1BCC B AF EF⊥ 2 2 1 1 6B F BB BF= + = 2 2 3EF EC CF= + = 2 2 1 1 1 1 3B E B C C E= + = 2 2 2 1 1B EFF B E+ = 1B F EF⊥ 1AF B F F= EF ⊥ 1B AF EF ⊥ 1 3E ADF ADFV EF S− = ⋅ ⋅  3EF= 1 1 1 3 2 4 2ADF AB FS S AF BF= = ⋅ ⋅ =   1 3 133 2 2E ADFV − = ⋅ ⋅ = y x y x r 0.75r > y x 1213 附：相关系数公式 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， . 【解析】（1）因为 ， ． ， ， ． ． ∴可用线性回归模型拟合 与 的关系； （2） ， ． ∴ ． 当 时， ． ∴预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 9.9 百千克． 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 ： （ ），圆 ： （ ），抛物线 上的点到其准线的距 离的最小值为 . ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 22 2 1 1 1 1 n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i x x y y x y nxy r x x y y x nx y ny = = = = = = − − − = = − − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y bx a= +   ( )( ) ( ) 1 1 1 2 22 1 1 1 ˆ n n i i i i i n n i i i x x y y x y nxy b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ a y bx= −  2 4 5 6 8 55x + + + += = 3 4 5 6 7 55y + + + += = ( )( )5 1 ( 3) ( 2) ( 1) ( 1) 0 0 1 1 3 2 14i i ix x y y = − − = − × − + − × − + × + × + × =∑ ( )5 2 2 2 2 2 2 1 ( 3) ( 1) 0 1 3 20 i ix x = − = − + − + + + =∑ ( )5 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 1) 0 1 2 10i i y y = − = − + − + + + =∑ ( )( ) ( ) ( ) 5 1 5 52 2 1 1 14 7 2 0.751020 10 i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = > ×− − ∑ ∑ ∑ y x ( )( ) ( ) 5 1 5 2 1 14ˆ 0.720 i i i i ix x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑ ˆˆ 5 0.7 5 1.5a y bx= − = − × = ˆ 0.7 1.5y x= + 12x = ˆ 0.7 12 1.5 9.9y = × + = 1C 2 2y px= 0p > 2C 2 2 2( 1)x y r− + = 0r > 1C 1 414 （1）求抛物线 的方程及其准线方程； （2）如图，点 是抛物线 在第一象限内一点，过点 P 作圆 的两条切线分别交抛物线 于点 A，B（A，B 异于点 P），问是否存在圆 使 AB 恰为其切线？若存在，求出 r 的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意得 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ，准线方程为 . （2）由（1）知， . 假设存在圆 使得 AB 恰为其切线，设 ， ， 则直线 PA 的的方程为 ，即 . 由点 到 PA 的距离为 r，得 ， 化简，得 ， 同理，得 . 所以 ， 是方程的 两个不等实根， 故 ， . 易得直线 AB 的方程为 ， 由点 到直线 AB 的距离为 r，得 ， 1C 0(2, )P y 1C 2C 1C 2C 1 2 4 p = 1 2p = 1C 2y x= 1 4x = − (2, 2)P 2C ( )2 1 1,A y y ( )2 2 2,B y y 1 2 1 22 ( 2)2 yy xy −− = ⋅ −− ( )1 12 2 0x y y y− + + = 2 (1,0)C ( ) 1 2 1 1 2 1 2 y r y + = + + ( ) ( )2 2 2 2 1 12 2 2 1 1 3 0r y r y r− + − + − = ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 1 1 3 0r y r y r− + − + − = 1y 2y ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 1 3 0r y r y r− + − + − = ( )2 1 2 2 2 2 1 2 r y y r − + = − − 2 1 2 2 1 3 2 ry y r −= − ( )1 2 1 2 0x y y y y y− + + = 2 (1,0)C ( ) 1 2 2 1 2 1 1 y y r y y + = + +15 所以 ， 于是， ， 化简，得 ，即 . 经分析知， ，因此 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ，且 ，证明： . 【解析】（1）解:当 时, , 所以 , 设 ,则 ,所以 在 上单调递增, 即 在 上单调递增, 因为 , 所以当 时, ；当 时, , 因此 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 . （2）证明: ,则 ,所以 在 上单调递增,因为 , 所以当 时, ；当 时, , 因此, 在 上单调递减,在 上单调递增, 由 ,不妨设 ,则 , , ( ) 22 22 2 2 2 2 2 2 11 31 2 2 rr r rr r  − −  + = + − − −     ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 23 4 2 8 1r r r r r− = − + − 6 4 24 4 1 0r r r− + − = ( )( )2 4 21 3 1 0r r r− − + = 0 1r< < 5 1 2r −= ( ) ln 2 ( )2 k xf x x x k k Re  = + − − ∈   0k = ( )f x 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2ln ln 2x x k+ < 0k = l( 2) n 2 xf x x x = + −   ( ) ln 1f x x x′ = + − ( ) ( )g x f x′= ( ) 1 1 0g x x ′ = + > ( )g x (0, )+∞ ( )f x′ (0, )+∞ ( ) 01f ′ = (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1) (1, )+∞ min 3( ) (1) 2f x f= = − ( ) ln 1k xf x x ke ′ = + − − ( ) 1 1 0kf x x e ′′ = + > ( )f x′ (0, )+∞ ( ) 0kf e′ = ( )0, kx e∈ ( ) 0f x′ < ( ),kx e∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ke ( ),ke +∞ ( ) ( )1 2f x f x= 1 20 x x< < ( )1 0, kx e∈ ( )2 ,kx e∈ +∞16 令 , 则 ， 当 时， ， 故 ,所以 在 上单调递增； 所以当 时， 即 时, ， 因此 , 又 ,所以 , 因为 , , 在 上单调递增, 所以 ,即 ,故 . 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目 计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 2 2 2 2 ( ) ( ) ln 2 ln 22 2 k k k k k k e e x e e xh x f x f x x k kx e x x e       = − = + − − − + − − =            2 ln 2 ln 22 2 k k k x e ex x k x ke x x   + − − + − − +      2 2 2 2 1( ) ln 1 ln 22 2 k k k k k x e e e eh x x k x ke x x x x x    ′ = + − − − − − + + +       2 2ln 1 ln 1 k k k x e ex k x ke x x  = + − − − − − +   2 3 2 2 3 21 (ln ) 1 k k k k e x e ex kx e x x    = − − + − + −       ( ) ( )( )2 2 3 3 2 3 (ln )k k k k x e x k x e x e x x e − − − − = + ( )0, kx e∈ 2 3 2 32 30, 0,ln 0 0, 0, 0,k k k kx e x k x e x ee x x− − < − −< < < > > ( ) 0h x′ > ( )h x ( )0, ke ( )0, kx e∈ ( )( ) 0kh x h e< = ( )0, kx e∈ 2 ( ) kef x f x  <    ( ) 2 1 1 kef x f x  <     ( ) ( )1 2f x f x= ( ) 2 2 1 kef x f x  <     2x ( )2 1 , k ke ex ∈ +∞ ( )f x ( ),ke +∞ 2 2 1 kex x < 2 1 2 kx x e< 1 2ln ln 2x x k+ − 11 2x− < ≤ 1 2x > 1 2 1 3( ) x xxf x= + + − = 3 3x < 1x < 1 12 x< < ( ) 3f x < { | 1 1}A x x= − < < 3 , 1 1( ) 1 2 1 2 , 1 2 13 , 2 x x f x x x x x x x  − < − = + + − = − − ≤ ≤   > min 3( ) 2f x = 3 2m∴ = 1 1 1 12 3a b c + + = a b c 1 1 12 3 ( 2 3 ) 2 3a b c a b c a b c  + + = + + + +   2 2 3 33 2 3 3 2 a a b b c c b c a c a b = + + + + + + 2 3 2 33 3 2 2 2 92 3 3 2 a b a c b c b a c a c b      = + + + + + + ≥ + + + =           2 3a b c= = 3a = 3 2b = 1c = 2 3 19 9 9 b cα + + ≥ 2 19 9 3 a b c+ + ≥19