2020年6月高考数学大数据精选模拟卷04（新课标Ⅰ卷满分冲刺篇解析版）

1 2020 年 6 月高考数学大数据精选模拟卷 04 新课标Ⅰ卷-满分冲刺篇（理科数学） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ,解得 ,所以 , 因此 , 2．已知复数 （ ，i 是虚数单位）满足 ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解析】由题意得, ,所以 ,解得 或 , { }2A x x= > { }ln 1B x x= < A B = { }2x x > { }x x e< { }2x x e< < ∅ ln 1 lnx e< = 0 x e< < { }0B x x e= < < { }2A B x x e∩ = < < z a bi= + ,a b∈R 2z i= 2 2,2 2  −    2 2,2 2       2 2,2 2  −    2 2,2 2  −    2 2,2 2  −    2 2 2 2z a b abi i= − + = 2 2 0 2 1 a b ab  − =  = 2 2 2 2 a b  =  = 2 2 2 2 a b  = −  = −2 故 或 ,则共轭复数 或 , 其在复平面内对应的点的坐标为 或 , 3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 等价于 ，即 ； 的解为 ，解集相等，所以“ ”是“ ”的充分必要条件. 4．已知向量 与 的夹角为 120°，且 ， ，若 ，且 ，则 实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ， 可得 ， 若 且 ， 则 ，解得 ． 5．已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 均小于 1，a， ， 成等差数列， 则 的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】由题意得, , 2 2 2 2z i= + 2 2 2 2z i= − − 2 2 2 2z i= − 2 2 2 2z i= − + 2 2,2 2  −    2 2,2 2  −    x∈R | 2 | 1x − > 2 4 3 0x x− + > | 2 | 1x − > 2 1 2 1x x− > − < −或 3 1x x> 3 1x x> 2 4 3 0x x− + > AB AC 3AB = 2AC = AP AB ACλ= +   AP BC⊥  λ 7 12 5 12 1 6 3 4 AB AC 120° | | 3AB = | | 2AC = 3 2 cos120 3AB AC °⋅ = × × = −  AP AB ACλ= +   AP BC⊥  2 2 ( ) ( ) ( 1)AP BC AB AC AC AB AC AB AB ACλ λ λ⋅ = + ⋅ − = − + − ⋅          4 9 3( 1) 0λ λ= − − − = 7 12 λ = ABC 3 2 c 2b ABC 2 2 2 3 2a b a b c c+ < + = 1 2 1 65 【答案】B 【解析】在棱长为 1 的正方体中， 根据三视图还原该几何体的直观图，为图中所示的三棱锥 ， 取 的中点 ，连接 ，易知 ， 在 中， 边上的高 ， ∴ 的面积 ， 易知 平面 ， ∴ ． 故选：B． 10．2019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5 项成果 均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏 920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机 芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端 AI 芯片、“思元 270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现 有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响， 则至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知,1 名学生从 15 项中任选 1 项,其选择“芯片领域”的概率为 , 故其没有选择“芯片领域”的概率为 , 则 3 名学生均没有选择“芯片领域”的概率为 , A BCD− BD E ,AE EC 1, 1BD AC= = AEC AC 1h = AEC 1 1 11 12 2 2AECS AC h= ⋅ = × × =  BD ⊥ AEC 1 1 1 113 3 2 6A BCD D AEC B AEC AECV V V S BD− − −= + = ⋅ = × × =  89 91 2 91 98 125 19 27 5 1 15 3 = 2 3 2 2 2 8 3 3 3 27 × × =6 因此至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为 , 11．已知椭圆 的下顶点为 A，且 ，直线 AB 与椭圆 C 交于另一点 M，若 （其中 O 为坐标原点）， 的面积为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知, ,所以直线 AB 的方程为 , 与椭圆 C 的方程联立,即 ,消去 y 可得 , 设 ,则 , 又 ,所以 M 为线段 AB 的中点,所以 ,则 , 因为 M 为线段 AB 的中点,所以 ,即 ,所以 , 所以椭圆 C 的离心率 , 12．已知函数 ，若 在区间 内有两个不同的极值点 ， ， 则 ， 满足（ ） A．两个都小于 1 B．只有个小于 1 C．两个都不小于 1 D．至少有一个小于 1 【答案】D 【解析】由题意可知, , 因为 在区间 内有两个不同的极值点 , , 所以令 ,则 , 为方程 的两个不同的根, 且 ,所以 , 8 191 27 27 − = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2,0)B 2OB OA OM+ =   OBM 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 (0, )A b− ( 2)2 by x= − 2 2 2 2 1 ( 2)2 x y a b by x  + =  = − ( )2 2 24 4 0a x a x+ − = ( )0 0,M x y 2 0 2 4 4 ax a = + 2OB OA OM+ =   2 0 2 4 0 2 4 2 ax a += =+ 2 4 3a = 2 1OAB OBMS S= =△ △ 1 2 12 b× × = 1b = 2 2 2 1 2 −= = =ce a a a b 3 21 1( ) 3 2f x x bx cx d= + + + ( )f x (0,2) 1x ( )2 1 2x x x< (0)f ′ ( )2f ′ 2( )f x x bx c′ = + + ( )f x (0,2) 1x ( )2 1 2x x x< 2( )( ) f xx bg x x c′ = + += 1x 2x ( ) 0g x = 1 20 2x x< < < ( )( )1 2( ) ( )g x f x x x x x′= = − −7 所以 . 当且仅当 时取等号,但由 知,取不到等号,所以 , 所以 , 中至少有一个小于 1. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．设函数 ， 且 ，若 ，则 __________. 【答案】 【解析】由题， ，又 ，故 . 将 代入函数 ，可得 ,则 14．已知 ，则 的值为______ 【答案】 【解析】 ，解得： 15．已知圆 ，直线 与圆 交于 两点， ，若 ，则弦 的长 度的最大值为___________. 【答案】 【解析】设 为 的中点， ，即 ， 即 ， ， . ( )( ) ( )( )1 2 1 2(0) (2) 0 0 2 2f f x x x x′ ′⋅ = − − ⋅ − − ( )( ) ( )( )1 1 2 20 2 0 2x x x x= − − ⋅ − −       ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 20 2 0 2 2 2 1x x x x− + − − + −   ⋅        = 1 1 2 2 0 2 0 2 x x x x − = −  − = − 1 2x x< (0) (2) 1f f′ ′⋅ < (0)f ′ ( )2f ′ 2 2 , 0( ) log ( ), 0 x a a xf x x a x  ≥=  + 1a ≠ (2) 9f = ( 2)f − = 3log 13 29 (2)f a= = 0a > 3a = 3a = ( )f x 2 3 3 , 0( ) log ( 9), 0 x xf x x x  ≥=  + 2 2 2 5cos 2 6 b c aA bc + −= = 3sin2 sin 2 3sin cos sin 2 3 cos 6cos 2 1sin sin 3 A B A A B a A b A C C c − − − −= = = = P ABCD− 45BAD∠ = ° 2PA PB PD AD= = = = 2AB = PA PD= PE AD⊥ 1AE = 2AB = 45BAE∠ = ° 2 2 2 2 cos45 1BE AE AB AE AB= + − ⋅ ° = 1BE = 2 2 2BE AE AB+ = BE AD⊥ PE BE E∩ = PE BE ⊂ AD ⊥ PB ⊂ AD PB⊥11 又 ,所以 , 因为 ,所以 . （2）过点 A 作平面 PBC 的垂线,垂足为 H,连接 PH,则 即 AP 与平面 PBC 所成的角, 过 E 作 PB 的垂线交 PB 于点 F,因为 , 平面 PBE, 所以 平面 PBE,所以 , 又 , ,PB, 平面 PBC, 所以 平面 PBC, 因为 ,所以 平面 PBC,所以 , 在 中, , , ,所以 ,所以 , 因此 ,所以 . 19．（本小题满分 12 分） 为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的 100 个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分 100 分），将每个产品所得的综合评分 制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为 80 分及以上的产品为一等品. / /AD BC BC PB⊥ 2PB BC= = 2 2=PC APH∠ / /BC AD AD ⊥ BC ⊥ BC EF⊥ EF PB⊥ PB BC B∩ = BC ⊂ EF ⊥ / /AD BC / /AD AH EF= PEB△ 3PE = 1EB = 2PB = 2 2 2PE EB PB+ = 90PEB∠ = ° 3 2EF = 3 32sin 2 4 AH EFAPH AP AP ∠ = = = =12 （1）求图中 的值，并求综合评分的中位数； （2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取 3 个产品，求所抽取的产品中一等品数 的分布列和数学期望. 【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得 ， 解得 . 令中位数为 x，则 ， 解得 ，所以综合评分的中位数为 82.5. （2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为 ， 即概率为 0.6， 设所抽取的产品为一等品的个数为 X，则 ， 所以 ， ， ， . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所抽取的产品为一等品的数学期望 . 20．（本小题满分 12 分） a ( )0.005 0.010 0.025 0.020 10 1a+ + + + × = 0.040a = ( ) ( )0.005 0.010 0.025 10 0.040 80 0.5x+ + × + × − = 82.5x = ( )0.040 0.020 10 0.6+ × = 33, 5X B     ( ) 3 0 3 2 80 C 5 125P X  = = =   ( ) 2 1 3 3 2 361 C 5 5 125P X  = = × × =   ( ) 2 2 3 3 2 542 C 5 5 125P X  = = × × =   ( ) 3 3 3 3 273 C 5 125P X  = = =   8 125 36 125 54 125 27 125 ( ) 3 93 5 5E X = × =13 已知抛物线 ： （ ），圆 ： （ ），抛物线 上的点到其准线的距 离的最小值为 . （1）求抛物线 的方程及其准线方程； （2）如图，点 是抛物线 在第一象限内一点，过点 P 作圆 的两条切线分别交抛物线 于点 A，B（A，B 异于点 P），问是否存在圆 使 AB 恰为其切线？若存在，求出 r 的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意得 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ，准线方程为 . （2）由（1）知， . 假设存在圆 使得 AB 恰为其切线，设 ， ， 则直线 PA 的的方程为 ，即 . 由点 到 PA 的距离为 r，得 ， 化简，得 ， 同理，得 . 所以 ， 是方程的 两个不等实根， 故 ， . 易得直线 AB 的方程为 ， 1C 2 2y px= 0p > 2C 2 2 2( 1)x y r− + = 0r > 1C 1 4 1C 0(2, )P y 1C 2C 1C 2C 1 2 4 p = 1 2p = 1C 2y x= 1 4x = − (2, 2)P 2C ( )2 1 1,A y y ( )2 2 2,B y y 1 2 1 22 ( 2)2 yy xy −− = ⋅ −− ( )1 12 2 0x y y y− + + = 2 (1,0)C ( ) 1 2 1 1 2 1 2 y r y + = + + ( ) ( )2 2 2 2 1 12 2 2 1 1 3 0r y r y r− + − + − = ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 1 1 3 0r y r y r− + − + − = 1y 2y ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 1 3 0r y r y r− + − + − = ( )2 1 2 2 2 2 1 2 r y y r − + = − − 2 1 2 2 1 3 2 ry y r −= − ( )1 2 1 2 0x y y y y y− + + =14 由点 到直线 AB 的距离为 r，得 ， 所以 ， 于是， ， 化简，得 ，即 . 经分析知， ，因此 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ，且 ，证明： . 【解析】（1）解:当 时, , 所以 , 设 ,则 ,所以 在 上单调递增, 即 在 上单调递增, 因为 ,所以当 时, ；当 时, , 因此 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 . （2）证明: ,则 ,所以 在 上单调递增, 因为 ,所以当 时, ；当 时, , 因此, 在 上单调递减,在 上单调递增, 由 ,不妨设 ,则 , , 2 (1,0)C ( ) 1 2 2 1 2 1 1 y y r y y + = + + ( ) 22 22 2 2 2 2 2 2 11 31 2 2 rr r rr r  − −  + = + − − −     ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 23 4 2 8 1r r r r r− = − + − 6 4 24 4 1 0r r r− + − = ( )( )2 4 21 3 1 0r r r− − + = 0 1r< < 5 1 2r −= ( ) ln 2 ( )2 k xf x x x k k Re  = + − − ∈   0k = ( )f x 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2ln ln 2x x k+ < 0k = l( 2) n 2 xf x x x = + −   ( ) ln 1f x x x′ = + − ( ) ( )g x f x′= ( ) 1 1 0g x x ′ = + > ( )g x (0, )+∞ ( )f x′ (0, )+∞ ( ) 01f ′ = (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1) (1, )+∞ min 3( ) (1) 2f x f= = − ( ) ln 1k xf x x ke ′ = + − − ( ) 1 1 0kf x x e ′′ = + > ( )f x′ (0, )+∞ ( ) 0kf e′ = ( )0, kx e∈ ( ) 0f x′ < ( ),kx e∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ke ( ),ke +∞ ( ) ( )1 2f x f x= 1 20 x x< < ( )1 0, kx e∈ ( )2 ,kx e∈ +∞15 令 , 则 ， 当 时， ， 故 ,所以 在 上单调递增； 所以当 时， 即 时, ， 因此 , 又 ,所以 , 因为 , , 在 上单调递增, 所以 ,即 ,故 . 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目 计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 .( 为参数)以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ， 2 2 2 2 ( ) ( ) ln 2 ln 22 2 k k k k k k e e x e e xh x f x f x x k kx e x x e       = − = + − − − + − − =            2 ln 2 ln 22 2 k k k x e ex x k x ke x x   + − − + − − +      2 2 2 2 1( ) ln 1 ln 22 2 k k k k k x e e e eh x x k x ke x x x x x    ′ = + − − − − − + + +       2 2ln 1 ln 1 k k k x e ex k x ke x x  = + − − − − − +   2 3 2 2 3 21 (ln ) 1 k k k k e x e ex kx e x x    = − − + − + −       ( ) ( )( )2 2 3 3 2 3 (ln )k k k k x e x k x e x e x x e − − − − = + ( )0, kx e∈ 2 3 2 32 30, 0,ln 0 0, 0, 0,k k k kx e x k x e x ee x x− − < − −< < < > > ( ) 0h x′ > ( )h x ( )0, ke ( )0, kx e∈ ( )( ) 0kh x h e< = ( )0, kx e∈ 2 ( ) kef x f x  <    ( ) 2 1 1 kef x f x  <     ( ) ( )1 2f x f x= ( ) 2 2 1 kef x f x  <     2x ( )2 1 , k ke ex ∈ +∞ ( )f x ( ),ke +∞ 2 2 1 kex x < 2 1 2 kx x e< 1 2ln ln 2x x k+ < xOy 1C cos , sin x y α α =  = α O x A 1, 2 π    16 直线 的极坐标方程为 . （1）求 的直角坐标和 l 的直角坐标方程； （2）把曲线 上各点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标伸长为原来的 倍，得到曲线 ， 为 上 动点，求 中点 到直线 距离的最小值. 【解析】（1）因为点 的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 ， 由 ， 得点 的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 . （2）设 ，则由条件知点 在曲线 上，所以 ，即 ， 又因为 为 中点，所以 ， 则点 到直线 距离为 ， 当 时， 取得最小值 ， 故 中点 到直线 距离的最小值为 . 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ，A 为不等式 的解集． （1）求集合 A； （2）已知 ，若 、 、 为正实数，且 ，求证： ． 【解析】（1） 当 时， ， 由 ，解得 ，∴ ； 当 时， ， l cos 2 sin 8 0ρ θ ρ θ+ − = A 1C 2 3 2C B 2C AB P l A 1, 2 π     l cos 2 sin 8 0ρ θ ρ θ+ − = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = A ( )0,1 l 2 8 0x y+ − = ( , )B x y ( , )2 3 x y 1C cos2 sin 3 x y θ θ  =  = 2cos 3sin x y θ θ = = P AB 3sin 1cos , 2 θθ +    P P l 7 2sincos 3sin 7 6 5 5 πθθ θ  − + + −  = sin 16 πθ + =   7 2sin 6 πθ − +   5 AB P l 5 ( ) | 1| | 2 1|f x x x= + + − ( ) 3f x < min( )f x m= a b c 1 1 1 2 2 3 3 ma b c + + = 2 19 9 3 a b c+ + ≥ ( ) | 1| | 2 1| 3f x x x= + + − < 1x < − ( ) 1 2 1 3f x x x x= − − − + = − 3 3x− < 1x > − x φ∈ 11 2x≤ ≤− ( ) 1 2 1 2f x x x x= + − + = −17 由 ，解得 ，∴ ； 当 时， ， 由 ，解得 ，∴ ． 综上， 的解集 ． （2）由（1）知： ，所以 ， ，故 ，又 、 、 为正实数， 故 ， 当且仅当 ，即 ， ， 等号成立， ∴ ，即 ． 2 3x− < 1x > − 11 2x− < ≤ 1 2x > 1 2 1 3( ) x xxf x= + + − = 3 3x < 1x < 1 12 x< < ( ) 3f x < { | 1 1}A x x= − < < 3 , 1 1( ) 1 2 1 2 , 1 2 13 , 2 x x f x x x x x x x  − < − = + + − = − − ≤ ≤   > min 3( ) 2f x = 3 2m∴ = 1 1 1 12 3a b c + + = a b c 1 1 12 3 ( 2 3 ) 2 3a b c a b c a b c  + + = + + + +   2 2 3 33 2 3 3 2 a a b b c c b c a c a b = + + + + + + 2 3 2 33 3 2 2 2 92 3 3 2 a b a c b c b a c a c b      = + + + + + + ≥ + + + =           2 3a b c= = 3a = 3 2b = 1c = 2 3 19 9 9 b cα + + ≥ 2 19 9 3 a b c+ + ≥