安康市 2019~2020 学年度高三年级教学质量
第四次联考文科数学
一、选择题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，复数 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．2020 年 1 月，某公司以问卷的形式调查影响员工积极性的六项关键指标：绩效奖励、排班制度、激励措
施、工作环境、人际关系、晋升渠道，在确定各项指标权重结果后，进而得到指标重要性分析象限图（如
图）.若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．若“ ”为真命题，则“ ”为真命题
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
D．“ ”是“ ”的必要不充分条件
6．已知函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象， 为函数
( )( ){ }1 2 0A x x x= + − ≤ { }1B x x= ≤ A B =
[ ]1,1− ( )1,1− ( ],2−∞ [ )2,+∞
i 5
1 2 ii
+ =+
1 i− − 1 i− + 1 i− 1 i+
( )2,a m= − ( )1,2b = a b a b+ = − m
1− 1
2
− 1
2 1
1
5
2
5
3
5
3
4
p q∨ p q∧
0x∀ > 1 0xe x− − > 0 0x∃ ≤ 0
0 1 0xe x− − ≤
1x ≥ 10 1x
< ≤
1x = − 2 5 6 0x x− − =
( ) sin 2 6f x x
π = +
( )0ϕ ϕ > ( )g x 3x
π=
的一个零点，则 的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在 上的函数 ，正实数 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．已知 为等腰直角三角形 的直角顶点，以 为旋转轴旋转一周得到几何体 ， 是底面圆
上的弦， 为等边三角形，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆 ，抛物线 的焦点 ，其准线 经过 的圆心，设
是 与 的交点， 是线段 与 的一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
10．函数 在 处的切线 也是函数 图象的一条切线，则 （ ）
A． B． C． D．
11．若 ，则下列结论中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A． B． C． D．
12．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 分别与双曲线 左右
两支交于 两点，以 为直径的圆过 ，且 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．2020 年 2 月 17 开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上 20:05-20:50 时间段通过班级群直播的形
式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在 19:00 至 20:30 之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间
( )g x ϕ
17
12
π
12
π 5
12
π 11
12
π
R ( ) sinf x x x= − , ,a b c c a bf f fa b b c c a
< F l 1C P
l 1C Q PF 2C FQ =
20 8 5− 20 8 3− 2 2 5
( ) 2 sinf x k x= + ( )0,2 l 3 2 3 1y x x x= − − − k =
1 1− 2 2−
1 cos2tan , 0,4sin 2 2
β πα α ββ
+ = ∈
tan tan 1α β = tan tan 1α β+ ≥ ( ) 4tan 3
α β+ ≥ 1 1 4tan tanα β+ ≥
1 2 3 4
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 1 2,F F 1F l C
,M N MN 2F 2
2
1
2MF MN MN⋅ = l
2
4
2
2
3
3
3
2
不超过 分钟的概率是______.
14．已知函数 ，则 的解集是______.
15．已知 的内角 的对边分别为 ，周长为 ， ，则 ______，
若 ，则 的面积为______.
16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以好多瓷器都做成
六棱形和八棱形.数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，如图，底面边长为 ，高为 （底部及筒
壁厚度忽略不计）.一根长度为 的圆铁棒 （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部， 的一端置于正六
棱柱某一侧棱的底端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁
棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为______ .
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列 ， ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．已知 ， ， 分别为 的中点， ，将 沿 折起，
得到四棱锥 ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）当正视图方向与向量 的方向相同时，此时 的正视图的面积为 ，求四棱锥
的体积.
30
( )
2 , 1
, 1
x x
f x
x x
≥= > ( )2,0M − 1
2
C
C F 1 l C ,A B ,MA MBk k ,MA MB
1MA MBk k+ = −
( ) lnf x kx x x= − ( )0,+∞ 1
( )f x
（2）讨论 的零点的个数.
22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程： （ 为参数），以坐标原点为极
点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程；
（2）过曲线 上一点 作直线 与曲线 交于 两点，中点为 ， ，求 的最小值.
23．已知函数 .
（1）求 的最小值 ；
（2）若正实数 满足 ，求证： .
2020 届普通高中教育教学质量监测考试
文科数学参考答案
1．A【解析】∵ ，则 .
2．C【解析】∵ .
3．D【解析】因为向量 满足 ，所以 ，∴ .
4．A【解析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系三项，设为 ，其
余三项设为 ，则从中任选两项的结果为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共 种结果，这两项来自影
响稍弱区的结果为 ， ， 共 种，故概率 .
5．C【解析】若“ ”为真，则命题 有可能一真一假，则“ ”为假，故选项 A 说法不正确；
命题“ ”的否定应该是“ ”，故选 B 说法不正确；因命题“若
， 则 ” 为 真 命 题 ， 则 其 逆 否 命 题 为 真 命 题 ， 故 选 项 C 说 法 正 确 ； 因
，但 或 ，所以“ ”是“ ”
( ) ( ) cosF x f x x= −
xOy 1C ( )
2
2
2
41 1
2 1
1
kx k
k
y k
= − + + − = +
k
x 2C sin 2 24
πρ θ + =
1C
2C P l 1C ,A B D 2 3AB = PD
( ) ( )3 4 5f x x x= + + −
( )f x M
, ,a b c ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1a b c M+ + + + + = 12a b c+ + ≤
( ){ } { }9 1 2 0 1 2A x x x x x= + − ≤ = − ≤ ≤ [ ]1,1A B = −
( ) ( )5 1 25 1 1 2 11 2 5
ii i i ii
−+ = + = + − = −+
,a b a b a b+ = − ( ) ( )2, 1,2 2 2 0a b m m⋅ = − ⋅ = − + = 1m =
, ,A B C
, ,a b c ( ),A B ( ),A C ( ),A a ( ),A b ( ),A c ( ),B C
( ),B a ( ),B b ( ),B c ( ),C a ( ),C b ( ),C c ( ),a b ( ),a c ( ),b c 15
( ),A B ( ),A C ( ),B C 3 3 1
15 5P = =
p q∧ ,p q p q∧
0, 1 0xx e x∀ > − − > 0
0 00, 1 0xx e x∃ > − − ≤
1x ≥ 10 1x
< ≤
21 5 6 0x x x= − ⇒ − − = 2 5 6 0 1x x x− − = ⇒ = − 6x = 1x = − 2 5 6 0x x− − =
的充分不必要条件，选项 D 说法不正确.
6．B【解析】函数 向右平移 个单位长度得到 的图象，由
题意， 关于点 对称，则 ，则 ， ，当 ，
； ， ； ， ，故 B 不可能.
7．C【解析】因为 ，所以函数 在 上单调递增，所以 ，
可 得 ， 即 ， 又 ， 所 以
.由 可得 ；由 可得 ，于是有 .
8 ． B 【 解 析 】 设 ， 过 点 作 的 平 行 线 交 与 平 行 的 半 径 于 点 ， 则
， ，所以 （或其补角）为异面直线 与 所成的
角，在三角形 中， ， ，所以 .
9．A【解析】由题意， ，抛物线 ，过 作 直线 于 ，由抛物线定义知
，∵ ，∴ ，∴ .
10．C【解析】∵ ，∴ ，所以切线 的方程为直线 ，过 ，
，设切点为 ，故切线方程为 ，将 代入切线
方程，解得 ， ，代入 ，解得 .
11 ． C 【 解 析 】 ， ∴ ， ① 错 误 ；
， ② 正 确 ； ， ③ 正 确 ；
，④正确.
12．B【解析】由 为直径的圆过 ，由 知， ，且 ，设
， 则 ， 由 ， ， 两 式 相 加 可 得
( ) sin 2 6f x x
π = +
ϕ ( ) sin 2 2 6g x x
πϕ = − +
( )g x ,03
π
2 2 ,3 6 k k
π πϕ π− + = ∈Z 5
12 2
kπ πϕ = − k ∈Z 0k =
5
12
πϕ = 1k = − 11
12
πϕ = 2k = − 17
12
πϕ =
( ) 1 cos 0f x x′ = − ≥ ( )f x R c a b
a b b c c a
< + a b b c+ > + a c> b c c a+ > + b a> c a b< <
OP r= D OC CD E
OE OC CD OD r= = = = 2PC PD r= = PDE∠ OC PD
PDE 2PE PD r= = DE r= 22cos 42
r
PDE
r
∠ = =
( )1 2,0C − 2
2 : 8C y x= Q QM ⊥ l M
QF QM= 1C F MQ
PF PQ
= 4
2 5 2 5
MQ
MQ
=
− 20 8 5MQ = −
( ) cosf x k x′ = ( )0f k′ = l 2y kx= + ( )0,2
23 2 3y x x′ = − − ( )0 0,x y ( )( )2
0 0 0 03 2 3y y x x x x− = − − − ( )0,2
0 1x = − 0 0y = 2y kx= + 2k =
21 cos2 2cos 1tan 4sin 2 4 2sin cos 4tan
β βα β β β β
+= = =×
1tan tan 4
α β =
tan tan 2 tan tan 1α β α β+ ≥ ⋅ = ( ) ( )4 4tan tan tan3 3
α β α β+ = + ≥
( )1 1 tan tan 4 tan tan 4tan tan tan tan
α β α βα β α β
++ = = + ≥
MN 2F 2
2
1
2MF MN MN⋅ =
2 2MF NF= 2 2MF NF⊥
2 2MF NF m= = 2MN m= 2 1 2MF MF a− = 1 2 2NF NF a− =
， 即 有 ， 设 为 的 中 点 ， 在 直 角 三 角 形 中 可 得
， 化 为 ， 即 ， 大 国 为 ， 所 以
，所以直线 的斜率为 .
13． 【解析】由题意可知，该学生在 19:00 至 20:30 之间的加入群聊，其时间长度为 分钟.该学生等待
直播的时间不超过 分钟，则应该在 19:35 至 20:30 分之间的任意时刻加入，区间长度为 .由测度比为长
度比，可知他等待直播的时间不超过 分钟的概率是 .
14 ． 【 解 析 】 当 ， ∴ 或 ； 当 ， ∴ ， 综 上 可 得
.
15 ． ； 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 可 得 ， 得
， 所 以 ， 因 为
， ，所以 .因为 ，所以 .又 ，
， 所 以 ， ∴ ， ∴ ， ∴
.
16． 【解析】六棱柱笔筒的边长为 ，高 ，铁棒与底面六边形的最长对角线、对棱的部分
长 构成直角三角形，所以 ，∴ ，所以容器内水面的高度为 .设球的半径为
， 则 球 被 六 棱 柱 体 上 面 截 得 圆 的 半 径 为 ， 球 心 到 截 面 圆 的 距 离 为 ， 则
，解得 ，∴球的表面积为 .
17．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，∴ ，
， ，
因 成等比数列，所以 ，
化简得 ，则 （舍）或 ，
1 1 4NF MF MN a− = = 2 2m a= H MN 1 2HF F
( )22 24 4 2 2 2 2c a a a a= + + − 2 23c a= 3ce a
= = 2
1 22HF MN a= =
2 2 2 2
1 1 2 2 2HF F F HF c a= − = − l 2
2 2
1
2 2
22
HF a
HF c a
= =
−
11
18 90
30 55
30 55 11
90 18
=
( )2,2−
2
1
4
x
x
≥
( )f x ( )10, ke − ( )1,ke − +∞
( )f x 1kx e −= ( )1 1k kf e e− −= ( )f x
1 1ke − = 1k = ( ) lnf x x x x= −
( ) cos lnF x x x x x= − − ( ) sin lnF x x x′ = − ( ) sin lnh x x x= −
( ),x e∈ +∞ ( ) ( ) 0h x F x′= < ( )F x ( ) cos 0F e e= − >
3 3 31 ln 02 2 2F π π π = − 0 ,2x e
π ∈
( )0 0F x′ = 0,2 x
π
( ) 0F x′ > ( ]0 ,x e ( ) 0F x′ < ( )0F x ( )F x ,2 e
π
( ) cos 0F e e= − >
1 ln 02 2 2F
π π π = − >
( )F x ,2 e
π
( )0,1x∈ ( ) 1cos 0h x x x
′ = − < ( )F x′ ( )0,1
1, 2x
π ∈
( ) 1 cos 1cos x xh x x x x
−′ = − = ( ) cos 1t x x x= −
( ) cos sin cos sin 0t x x x x x x′ = − ≤ − <
( )t x 1, 2
π
( ) ( )1 cos1 1 0t x t< = − < ( ) 0h x′ <
( )F x′ 0, 2
π
1 ln 02 2F
π π ′ = − >
( )F x 0, 2
π
1 ln 02 2 2F
π π π = − >
1 2 1 2 2 3 4 3cos cos 06 2 2
eF e e e e e e
π − = − < − = − =
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