陕西省安康市2020年高三年级教学质量第四次联考数学（理科）试题 word版含答案解析

安康市 2019-2020 学年度高三年级教学质量 第四次联考理科数学 一、选择题 1．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知 为虚数单位，复数 的模为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ， ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数 RO.它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时 所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是： 确认病例增长率 系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单 位：天）.根据统计，确认病例的平均增长率为 ，两例连续病例的间隔时间的平均数为 天，根据以上 RO 数据计算，若甲得这种传染病，则 轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A． B． C． D． 5．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 6．2019 年 10 月 07 日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取 个乡村，统计六址岁以 上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分 成 组，则茎叶图的中位数位于（ ） A．第 组 B．第 组 C．第 组 D．第 组 7 ． 把 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 的 图 象 ， ( )( ){ }1 2 0A x x x= + − ≤ { }B x x a= ≤ A B A= a ( ], 1−∞ − ( )2,+∞ ( )1,2− [ )2,+∞ i 5 1 2z ii = ++ 1 2 2 4 ( )2,AB m= − ( )1,2BC = ( ) 3AC AB AC⋅ − =   m 3− 1− 1 2 1RO = + × 40% 5 5 81 243 248 363 2 3log 4a = 4 4log 5b = 8 8log 9c = c b a< < a b c< < c a b< < a c b< < 30 7 3 4 5 6 ( ) sin 2 6f x x π = +   ( )0ϕ ϕ > ( )g x ，则 的值不可能为（ ） A． B． C． D． 8．已知 为等腰直角三角形 的直角顶点，以 为旋转轴旋转一周得到几何体 ， 是底面圆 上的弦， 为等边三角形，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，抛物线 的准线 过点 ， 设 是直线 与椭圆 的交点， 是线段 与抛物线 的一个交点，则 （ ） A． B． C． D． 10 ． 若 ， ， ， 且 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 11．设双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 的直线 分别与双曲线左右两 支交于 两点，以 为直径的圆过 ，且 ，则以下结论正确的个数是（ ） ①双曲线 的离心率为 ；②双曲线 的渐近线方程为 ；③直线 的斜率为 . A． B． C． D． 12．若函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在 的展开式中二项式系数之和为 ，则 项的系数为______. ( )2 3g x g x π − = −   ϕ 17 12 π 12 π 5 12 π 11 12 π O POD OP τ CD O COD△ OC PD 1 4 2 4 3 4 2 2 2 2 1 : 18 4 x yC + = 1 2,F F ( )2 2 : 2 0C y px p= > l 1F P l 1C Q 2PF 2C 2QF = ( )12 3 2 2− ( )12 4 2 2− 2 2 2 [ ]0,α π∈ ,4 4 π πβ  ∈ −   λ ∈R 3 cos 2 0α α λ− − = 3 2 2sin cos 2 02 π β β β λ − − − =   3cos 5 α = tan β = 1 3 1 2 3 3 ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 1 2,F F 1F l ,M N MN 2F 2 2 1 2MF MN MN⋅ =   C 3 C 2y x= ± l 1 0 1 2 3 ( ) 2xef x m x x − = − + m ( )1,4 1 ,14      1 ,4  +∞   ( )4,+∞ 12 n x x  −   256 2x 14．已知函数 的图象过点 ，则 的解集是______. 15．已知 的内角 的对边分别为 ，周长为 ， ，则 ______， 若 ，则 的面积为______. 16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以好多瓷器都做成 六棱形和八棱形.数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，如图，底面边长为 ，高为 （底部及筒 壁厚度忽略不计）.一根长度为 的圆铁棒 （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部， 的一端置于正六 棱柱某一侧棱的底端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁 棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为______ . 三、解答题 17．如图，已知 ， ， 分别为 的中点， ，将 沿 折起，得到四棱锥 ， 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）当正视图方向与向量 的方向相同时， 的正视图为直角三角形，求此时二面角 的余弦值. 18．已知数列 的前 项和 ，数列 满足 . （1）证明： 是等比数列，并求 ； ( ) 2 , 1 , 1 m x x f x x x  + ≥=  ( ) ( )kx b f x nx+ > n ( )2 : 02 ml y mx m= − ≠ 2 2: 1C ax by+ = ,A B AB D l OD 1 4 − x t= l P OD M M 点为直线 上一点. （1）求 的轨迹方程； （2）若 为椭圆 的上顶点，直线 与 轴交点 ，记 表示面积，求 的最大值. 22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程： （ 为参数），以坐标原点为极 点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程； （2）过曲线 上一点 作直线 与曲线 交于 两点，中点为 ， ，求 的最小值. 23．已知函数 . （1）求 的最小值 ； （2）若正实数 满足 ，求证： . 2020 届普通高中教育教学质量监测考试 理科数学参考答案 1．D【解析】∵ ， ，∴ ，∴ . 2．B【解析】∵ ，所以 . 3．A【解析】因为 ，所以 . 4．D【解析】总人数为 人，D 正确. 5 ． B 【 解 析 】 ， ， ∵ ，∴ ，所以 . 6．C【解析】数据的极差为 ，分成 组，组距为 ，第 组的范围是 ，中位 数为 应位于第 组内. 1 4y = − P 10, 2F      C l y G S PFG PDM S S △ △ xOy 1C ( ) 2 2 2 41 1 2 1 1 kx k k y k  = − + + − = + k x 2C sin 2 24 πρ θ + =   1C 2C P l 1C ,A B D 2 3AB = PD ( ) ( )3 4 5f x x x= + + − ( )f x M , ,a b c ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1a b c M+ + + + + = 12a b c+ + ≤ ( )( ){ } { }1 2 0 1 2A x x x x x= − − ≤ = − ≤ ≤ A B A= A B⊆ 2a ≥ ( ) ( )5 1 25 1 1 2 11 2 5 iz i i i ii −= + = + = + − = −+ 2z = ( ) ( )1 2 2 3AC AB AC AC CB m⋅ − = ⋅ = − + =     3m = − 3 9 27 81 243 363+ + + + = 1 2 2 4 2 2 4log4 45log log5 log 4 5b  = = =    1 2 3 8 2 2 3 2 8log8 8 29log log log9 log 8 9 9 c  = = = =   3 9 4 4 16 5 81 < < 1 2 3 3 4 2 4 5 9  < 2x > 0x < ( ) 0g x′ < 0 2x< < ( ) 2 2 xeg x x − = 0m ≤ y m= ( )g x 0m > ( ) 2 2 xeg x x − = 2x = ( ) 12 4g = 1 4m > ( ) 2 2 xeg x x − = y m= ( ) 2xef x m x x − = − + m 1 ,4  +∞   1120 12 n x x  −   0 1 ... 2 256n n n n nC C C+ + + = = 8n = ( ) ( ) 388 8 2 8 8 12 1 2 r r r rr r rC x C x x −− − − = −   4r = 2x ( )4 4 4 81 2 1120C− = ( )2,2− ( ) 2 , 1 , 1 m x x f x x x  + ≥=  1 0x− < < ( ) 0g x < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )1,0− ( )0,+∞ ( )h x ( )0 0h = ( ) 0h x ≥ ( )xe f x≥ ( ) 1 1f x x ′ = + ( )0 1f ′ = 1y x= + ( ) ( ) ( )11 1 ln 1kx b f x nx x nx  + > ⇒ + + + >     ( ) ( )11 1 ln 1F x xx  = + + +     ( ) ( ) 2 1 ln 1x xF x x − − +′ = ( ) ( )1 ln 1G x x x= − − + ( ) 01 xG x x ′ = >+ 因此 在 上单调递增， 因为 ， ， 即 存在唯一的根 ， 且当 时， ， ；当 时， ， ， 因此当 时， 取得最小值 ， 由 ，得 即 ， 于是 ，又由 ，得 ，从而 ，故正整 数 的最大值为 . 21．【解析】（1）设 ， ， ，联立方程 ， 得 ，由 ，且 ， 因此 ，将其代入 得 ， 因为 ，所以 ，∴ ， 所以直线 方程为 ，可得 ，∴ ， 代入 ，得 ，消去 ，可得 点的轨迹方程为 . （2）根据题意， ，所以椭圆 的方程为 . 由（1）知， ， ， 对于直线 ，令 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ( )G x ( )0,+∞ ( )2 1 ln3 0G = − < ( ) ( )3 2 1 ln 2 0G = − > ( ) 0G x = ( )0 2,3x ∈ 00 x x< < ( ) 0G x < ( ) 0F x′ < 0x x> ( ) 0G x > ( ) 0F x′ > 0x x= ( )F x ( ) ( )0 0 0 11 1 ln 1F x xx  = + + +     ( )0 0G x = ( )0 01 ln 1 0x x− − + = ( )0 01 ln 1x x= + + ( ) ( )0 0 0 0 11 1 ln 1 1F x x xx  = + + + = +     ( )0 2,3x ∈ ( ) ( )0 3,4F x ∈ 3n ≤ n 3 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y 2 2 2 2 1 my mx ax by  = −  + = ( ) 4 2 2 3 1 04 bmbm a x m bx+ − + − = 0∆ > 3 1 2 2 m bx x bm a + = + 3 1 2 0 22 2 2 x x m bx bm a += = + 2 2 my mx= − 2 0 22 2 m ay bm a = − + 0 0 y amx b ⋅ = − 1 4 a b − = − 4b a= OD 1 4y xm = − 1 1 4 4 tm − = − t m= 2 2 my mx= − 2 , 2 mP m      m P ( )2 2 0x y x= ≠ 4b = C 2 24 1x y+ = 3 1 2 0 2 2 2 4 1 x x mx m += = + ( ) 2 0 22 4 1 my m = − + l 0x = 2 2 my = − 2 0, 2 mG  −   2 , 2 mP m      10, 2F      ( ) 3 2 2 2 2 ,4 1 2 4 1 m mD m m    − + +  1, 4M m −   所以 ， ， 所以 ，令 ，则 ， 当 ，即 时， 取得最大值 ，此时 ，满足 . 22．【解析】（1）由 ，得 ，即 ， 又 ，两式相除得 ，代入 ，得 ， 整理得 ，即为曲线 的普通方程. （2）设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，∴ . ， 当 最小时， 最小，因为 的最小值为圆心 到直线 的距离， 所以 ， 所以 . 23．【解析】（1）因为 ，所以 . （2）由（1）知， . 因为 ， 所以 ， 故 ， ( )21 1 12 4PFGS GF m m m= = +△ ( ) ( ) 22 0 2 2 11 2 8 4 1PDM m m S PM m x m + = ⋅ − = +△ ( )( ) ( ) 2 2 22 2 4 1 1 2 1 PFG PDM m mS S m + + = + △ △ 22 1n m= + ( )( ) 2 2 2 1 1 1 1 2PFG PDM n nS S n n n − += = − + +△ △ 1 1 2n = 2n = PFG PDM S S △ △ 9 4 2 2m = ± 0>△ ( )2 2 2 1 1 k y k − = + ( )2 21 22 1 y yk = − + ≠ −+ 2 212 1 y k + = + 2 41 1 kx k + = + 1 2 xk y += + 2 41 1 kx k + = + 2 14 2 1 11 2 x y x x y +× + = +  ++  +  ( ) ( )2 21 4 2x y y+ + = ≠ − 1C ( )1 1,0C − l d 22 4 2 3AB d= − = 1d = 2 1 1PD PC= − 1PC PD 1PC 1C 2C 1 min 1 0 4 5 2 22 CP − + −= = min 25 4612 2PD = − = ( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 3 4 5 27f x x x x x= + + − ≥ + − − = 27M = ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 27a b c+ + + + + = ( ) ( ) ( ) 21 1 1b c+ + + + +   ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1a b c a b b c a c= + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 1 81a b c ≤ + + + + + =  ( ) ( ) ( )1 1 1 9 3 9a b c a b c+ + + + + ≤ ⇔ + + + ≤ 3 3 9a b c a b c+ + − ≤ + + + ≤ ∴ .12a b c+ + ≤