圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的 数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是 高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方 程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思 想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想． 模块 1 整理方法 提升能力 曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找 条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下 种： 1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法． 2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这 些条件简单明确，易于表达成含未知数 、 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接 法． 3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借 助中间变量（参数），使 、 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的 轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了 个未知数与参数，要得到未知数 与 之间的关系，需要找 个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、 平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况． 例 1 已知点 ，圆 ： ，过点 的动直线 与圆 交于 、 两点，线 段 的中点为 ， 为坐标原点． （1）求 的轨迹方程； （2）当 时，求 的方程及△ 的面积． 【解析】（1）法 1（定义法）：圆心 ，由垂径定理可知 ，于是点 在 以 为直径的圆上，所以 的轨迹方程为 ，即 ． 3 x y x y N x y 1N − ( )2,2P C 2 2 8 0x y y+ − = P l C A B AB M O M OP OM= l POM ( )0,4C CM PM⊥ M CP M ( ) ( )( )2 4 2 0x x y y− + − − = ( ) ( )2 21 3 2x y− + − =专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 法 2（直接法）：设 的坐标为 ，由 可得 ． ， ，于是 ，即 ． 法 3（参数法）：当 的斜率不存在时，其直线方程为 ，于是 ，所以 点 的坐标为 ． 当 的斜率存在时，设直线方程为 ， ．联立 消去 可得 ，于是 ，将 代入， 消去参数 ，可得 ，整理可得 （ ）． 综上所述， 的轨迹方程为 ． （2）法 1：由 可知点 在以原点为圆心， 为半径的圆上．联立 ，解得 ，于是点 的坐标为 ，于是直线 的方程为 ，即 ．△ 的面积为 ． 法 2：由 可知点 在 的垂直平分线上，而 的垂直平分线过圆心 ，所以直线 的斜率为 ，直线方程为 ，即 ．因为 ，点 到直线 的距离为 ，所以 ，于是△ 的面积为 ． 【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下 4 种：点在圆上，向量数量积为 0，斜 率乘积为 ，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向 量数量积为 0”的角度能避开分类讨论． M ( ),x y CM PM⊥ 0CM PM⋅ =  ( ), 4CM x y= − ( )2, 2PM x y= − − ( ) ( )( )2 4 2 0x x y y− + − − = ( ) ( )2 21 3 2x y− + − = l 2x = 2 8 4 0y y− + = M ( )2,4 l ( )2 2y k x− = − ( ),M x y ( ) 2 2 2 2 8 0 y k x x y y  − = − + − = y ( ) ( ) ( )2 2 2 21 4 4 8 12 0k x k k x k k+ − + + + − = ( )2 2 2 1 k k x k + = + 2 2 yk x −= − k 2 2 2 22 2 2 2 12 y y x x x y x  − −   +    − −     = −  + −  ( ) ( )2 21 3 2x y− + − = 2x ≠ M ( ) ( )2 21 3 2x y− + − = OP OM= M OP ( ) ( )2 2 2 2 1 3 2 8 x y x y  − + − = + = 2 5 14 5 x y  = −  = M 2 14,5 5  −   l ( )12 23y x− = − − 3 8 0x y+ − = POM 2 2 2 2 1 2 14 8 162 22 5 5 51 3    × + + − × =       + OP OM= O PM PM ( )1,3 l 1 3 − ( )12 23y x− = − − 3 8 0x y+ − = 2 2OP = O l 4 10 5d = 2 2 4 102 5PM OP d= − = POM 1 4 10 4 10 16 2 5 5 5 × × = 1−专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得 到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问 题． 例 2 在直角坐标系 中，曲线 上的点均在圆 ： 外，且对 上任意一 点 ， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值． （1）求曲线 的方程； （2）设 （ ）为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 、 和 、 ．证明：当 在直线 上运动时，四点 、 、 、 的纵坐 标之积为定值． 【解析】（1）法 1：由题设知，曲线 上任意一点 到圆 的圆心 的距离等于它 到直线 的距离，因此，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，所以方 程为 ． 法 2：设 的坐标为 ，由已知得 ，且点 位于直线 的右侧，于是 ，所以 ，化简得曲线 的方程为 ． 【证明】（2）当点 在直线 上运动时，设 的坐标为 ，又 ，则过 且与圆 相切的直线的斜率 存在且不为 ，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 ，即 ．于是 ，整理得 …①．设过 所作的两条切线 、 的斜率分别为 、 ，则 、 是方程①的两个实根，所以 …②． 由 可得 …③．设四点 、 、 、 的纵 坐标分别为 、 、 、 ，则 、 是方程③的两个实根，所以 ， xOy 1C 2C ( )2 25 9x y− + = 1C M M 2x = − 2C 1C ( )0 0,P x y 0 3y ≠ ± 2C P 2C 1C A B C D P 4x = − A B C D 1C M 2C ( )5,0 5x = − 1C ( )5,0 5x = − 2 20y x= M ( ),x y ( )2 22 5 3x x y+ = − + − M 2x = − 2 0x + > ( )2 25 5x y x− + = + 1C 2 20y x= P 4x = − P ( )04, y− 0 3y ≠ ± P 2C k 0 ( )0 4y y k x− = + 0 4 0kx y y k− + + = 0 2 5 4 3 1 k y k k + + = + 2 2 0 072 18 9 0k y k y+ + − = P PA PC 1k 2k 1k 2k 0 0 1 2 18 72 4 y yk k+ = − = − 1 0 1 2 4 0 20 k x y y k y x − + + = = 21 0 14 020 k y y y k− + + = A B C D 1y 2y 3y 4y 1y 2y ( )0 1 1 2 1 20 4y ky y k +⋅ =专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 同理可得 ．于是 ．所以当 在直线 上运 动时，四点 、 、 、 的纵坐标之积为定值 ． 【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几 何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定 义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明 显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第 （2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直 线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数： 、 、 、 、 、 ，其 准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的 重要思想方法． 例 3 已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 、 分别交 于 、 两 点，交 的准线于 、 两点． （1）若 在线段 上， 是 的中点，证明： ∥ ； （2）若△ 的面积是△ 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程． 【证明】（1）焦点坐标为 ．不妨设直线 ： ，直线 ： ，则 ， ， ， ，于是 ． 当线段 垂直于 轴时，不妨设 ，则有 ， ， ，于是 ， ，所以 ∥ ． 当线段 不垂直于 轴时，直线 的斜率为 ，方程为 ( )0 2 3 4 2 20 4y ky y k +⋅ = ( )( )0 1 0 2 1 2 3 4 1 2 400 4 4y k y ky y y y k k + += = ( ) ( )2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 1 2 1 2 400 4 16 400 16 6400 y k k y k k y y k k k k k k  + + + − +  = = P 4x = − A B C D 6400 1k 2k 1y 2y 3y 4y C 2 2y x= F x 1l 2l C A B C P Q F AB R PQ AR FQ PQF ABF AB 1 ,02F      1l y a= 2l y b= 2 ,2 aA a       2 ,2 bB b       1 ,2P a −   1 ,2Q b −   1 ,2 2 a bR + −   AB x a b> 1 ,12A     1 ,02R −   1 , 12Q − −   1FQk = 1ARk = AR FQ AB x AB 2 2 2 2 2 a bk a b a b −= = +−专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 ，即 ，因为 在线段 上，所以 ．于是 ， ，所以 ∥ ． 【解析】（2）△ 的面积为 ．直线 与 轴的交点为 ，所以△ 的面积为 ．由 ，可得 ，于是 （舍去） 或 …①． 设 中点为 ，则 …②， …③．③式平方，可得 ，将①②代入，可得 ． 【点评】本题采用了参数法求 中点的轨迹方程，其实质是引进了 2 个未知数 、 与 2 个参数 、 ，此时我们需要找 3 个方程： ， ， ，通过这 3 个 方程消去 2 个参数，从而得到 与 之间的关系．一般来说，引进了 个未知数与参数，要 得到未知数 与 之间的关系，一般需要找 个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、 平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参．这是参数法的关键所在． 抛物线焦点弦有两个常用结论：设 是过抛物线 （ ）焦点 的弦，若 ， ，则有（1） ， ；（2）以弦 为直径的圆与准线 相切． 模块 2 练习巩固 整合提升 练习 1：已知圆 ： ，圆 ： ，动圆 与圆 外切并与 圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2） 是与圆 、圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 、 两点，当圆 的半径 最长时，求 ． 【解析】（1）设动圆 的半径为 ，则 ， ，两式相加，可得 22 2 ay a xa b  − = − +   ( )2 0x a b y ab− + + = F AB 1ab = − 1 1 2 2 FQ bk b= = − − − 2 22 1 2 1 1 1 12 2 AR a b ba a b bk ba a b + − −− −= = = = −+  + − +   AR FQ PQF 2 a b− AB x ,02 ab −   ABF 1 1 2 2 2 ab a b× + − 1 2 2 2 a b ab a b − = + − 1 1ab + = 0ab = 2ab = − AB ( ),M x y 2 2 4 a bx += 2 a by += 2 2 2 2 4 a b aby + += 2 1y x= − AB x y a b 2 2 4 a bx += 2 a by += 2ab = − x y N x y 1N − AB 2 2y px= 0p > F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 4 px x = 2 1 2y y p= − AB M ( )2 21 1x y+ + = N ( )2 21 9x y− + = P M N P C C l P M l C A B P AB P r 1PM r= + 3PN r= −专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 ，所以圆心 是以 、 为焦点， 的椭圆（左顶点除外）． ， ， ，所以 的方程为 （ ）． （2）由（1）可知 ， ，所以 ，于是 ，当且仅当点 为 时，等号成立，所以当圆 的半径最长时，圆 的方程为 ． ①当 的斜率不存在的时候，此时显然 就是 轴， ． ②当 的斜率存在的时候，显然 的斜率不为 ，设 与 轴交于点 ，则有 ， 即 ，由此解得 ，且 ，于是直线方程为 ．联立 ，消去 ，可得 ．由弦长公式，有 ． 练习 2：已知椭圆 ： ， 为椭圆 外一点，过点 作椭圆 的两条 切线 、 ，其中 、 为切点． （1）当点 为定点时，求直线 的方程； （2）若 、 相互垂直，求点 的轨迹方程． 【解析】（1）设 、 ，则切线 方程为 ，点 在切线 上，所以 …①．同理，切线 方程为 ，点 在切线 上，所以 …②．由①②可得直线 的方程为 ，即 ． （2）①若直线 、 的斜率都存在，不妨设其斜率分别为 、 ，则 ．设 过点 的直线方程为 ．由 消去 可得 4PM PN+ = P M N 2 4a = 2a = 1c = 3b = C 2 2 14 3 x y+ = 2x ≠ − 1PM r= + 3PN r= − 2 2PM PN r MN− = − ≤ 2r ≤ P ( )2,0 P P ( )2 22 4x y− + = l l y 2 3AB = l l 0 l x Q 1 2 QM QP = 1 1 2 2 Q Q x x − − =− 4Qx = − 2 2 1 2 41 k QM = ± = ± − ( )2 44y x= ± + ( ) 2 2 2 44 14 3 y x x y  = ± +  + = y 27 8 8 0x x+ − = ( )2 2 2 8 4 7 82 181 1 4 7 7AB k a − × × − ∆= + ⋅ = + ± ⋅ =    C 2 2 14 2 x y+ = ( )0 0,P x y C P C PA PB A B ( )0 0,P x y AB PA PB P ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA 1 1 14 2 x x y y+ = P PA 1 0 1 0 14 2 x x y y+ = PB 2 2 14 2 x x y y+ = P PB 2 0 2 0 14 2 x x y y+ = AB 0 0 14 2 x x y y+ = 0 02 4 0x x y y+ − = PA PB 1k 2k 1 2 1k k = − ( )0 0,P x y ( )0 0y y k x x− = − ( )0 0 2 2 14 2 y y k x x x y  − = −  + = y专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 ．因为直线与椭圆相切，所以 ，即 ．由 、 与椭圆相切可知 、 是该方程的两个实数根，所以 ，即 ． ②若直线 、 中有一条斜率不存在，则另一条斜率为 ，此时点 的坐标为 ，满足 ． 综上所述，点 的轨迹方程为 ． 【点评】给定圆锥曲线 和点 ，用 、 、 、 分别替换 、 、 、 ，得到直线 ，我们称点 和直线 为圆锥曲线 的一对极点和极线．其结论如下： 当 在圆锥曲线 上的时候，其极线 是曲线 在点 处的切线；当 在圆锥曲线 外的时 候，其极线 是曲线 从点 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当 在圆锥曲线 内的时候，其极线 是曲线 过点 的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地： 椭圆 （ ），与点 对应的极线方程为 ． 双曲线 （ ， ），与点 对应的极线方程为 ． 抛物线 （ ），与点 对应的极线方程为 ． 在椭圆 （ ）中，点 对应的极线方程为 ，这就是椭圆的 右准线． 本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进 、 、 ，共 2 个未知数 、 和 4 个参数： 、 、 、 ，利用 以下 5 个方程进行消参： 、 、 ， 、 ． 练习 3：如图，抛物线 ： 和 ： （ ）． 点 在抛物线 上，过 作 的切线，切点分别为 、 ( ) ( ) ( )22 2 0 0 0 02 1 4 2 2 0k x k kx y x kx y+ − − + − − = ( ) ( ) ( )2 22 2 0 0 0 016 4 2 1 2 2 0k kx y k kx y ∆ = − − + − − =  ( )2 2 2 0 0 0 04 2 2 0x k x y k y− + − + = PA PB 1k 2k 2 0 1 2 2 0 2 14 yk k x −= = −− 2 2 0 0 6x y+ = PA PB 0 P ( )2, 2± ± 2 2 0 0 6x y+ = P 2 2 6x y+ = C ( )0 0,P x y 0x x 0y y 0 2 x x+ 0 2 y y+ 2x 2y x y l P l C P C l C P P C l C P P C l C P 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ( )0 0,P x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( )0 0,P x y 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2y px= 0p > ( )0 0,P x y ( )0 0y y p x x= + 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ( ),0P c 2ax c = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,P x y x y 1x 1y 2x 2y 1 0 1 0 14 2 x x y y+ = 2 0 2 0 14 2 x x y y+ = 2 2 1 1 14 2 x y+ = 2 2 2 2 14 2 x y+ = 1 2 1 2 14 x x y y = − 1C 2 4x y= 2C 2 2x py= − 0p > ( )0 0,M x y 2C M 1C A B专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 （ 为原点 时， 、 重合于 ）．当 时，切线 的 斜率为 ． （1）求 的值； （2）当 在 上运动时，求线段 中点 的轨迹方程（ 、 重合于 时，中点为 ）． 【解析】（1）因为抛物线 ： 上任意一点 的切线的斜率为 ，且切线 的斜率为 ，所以点 的坐标为 ，故切线 的方程为 ．因为 点 在切线 及抛物线 上，所以有 和 ，由此可得 ． （2）设 ， ， ． 当 时，因为 是线段 的中点，所以有 …①， …②．切线 的方程为 ，即 ，同理 的方程为 ．解此方 程组，得 、 的交点 的坐标为 ， ，由此及点 在抛物 线 上，得 ，即 …③．由①②③可得 ， ． 当 时， ， 重合于原点 ，此时线段 的中点 为原点 ，坐标也满足上述 方程．因此，线段 的中点 的轨迹方程为 ． M O A B O 0 1 2x = − MA 1 2 − p M 2C AB N A B O O 1C 2 4x y= ( ),x y 2 xy′ = MA 1 2 − A 11, 4  −   MA ( )1 112 4y x= − + + ( )01 2,M y− MA 2C ( )0 1 1 2 2 32 22 4 4y −= − − + = ( )2 01 2 2py− = − 2p = ( ),N x y 2 1 1, 4 xA x       2 2 2 , 4 xB x       1 2x x≠ N AB 1 2 2 x xx += 2 2 1 2 8 x xy += MA ( ) 2 1 1 12 4 x xy x x= − + 2 1 1 2 4 x x xy = − MB 2 2 2 2 4 x x xy = − MA MB ( )0 0,M x y 1 2 0 2 x xx += 1 2 0 4 x xy = M 2C 2 0 04x y= − 2 2 1 2 1 2 6 x xx x += − 2 4 3x y= 0x ≠ 1 2x x= A B O AB N O AB N 2 4 3x y=