专题五 利用导数证明函数不等式（二）
专题五 利用导数证明函数不等式（二）
本专题总结了利用导数证明含有两个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后
有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．
模块 1 整理方法 提升能力
对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见
的证明方法有以下 4 种：
方法 1：利用换元法，化归为一个未知数
方法 2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数
方法 3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明
方法 4：利用主元法，构造函数证明
对数平均值不等式链
我们将两个正数 和 的对数平均值定义为： ，对数平均值不
等式链为： ．
对数平均值不等式链的指数形式为： ，其中
．
例 1
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
【解析】（1）定义域为 ， ．
①若 ，则 ， 在 上递减．
a b ( ) ,, ln ln
,
a b a bL a b a b
a a b
− ≠= −
=
( ) 2 22 ,1 1 2 2
a b a bab L a b
a b
+ +≤ ≤ ≤ ≤
+
2 2
22 e e e e e ee1 1 2 2
e e
a b a b a b a b
a b
a b
+ − + +≤ ≤ ≤ ≤−+
a b≠
( ) 1 lnf x x a xx
= − +
( )f x
( )f x 1x 2x
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−
( )0,+∞ ( ) 2
2 2
1 11 a x axf x x x x
− +′ = − − + = −
0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,+∞专题五 利用导数证明函数不等式（二）
②若 ，即 时， ， 在 上递减．
③若 ，即 时，由 ，可得 ，由
，可得 或 ，所以 在 ，
上递减，在 上递增．
综上所述，当 时， 在 上递减；当 时， 在 ，
上递减，在 上递增．
【证明】（2）法 1：由（1）知， 存在两个极值点，则 ．因为 ， 是
的两个极值点，所以 ， 满足 ，所以 ， ，不妨设
．
，于是
．构造函数 ， ，由（1）知， 在 上递
减，所以 ，不等式获证．
法 2：由（1）知， 存在两个极值点，则 ．因为 ， 是 的两个极值点，
所以 ， 满足 ，不妨设 ，则 ， ．
2 4 0a∆ = − ≤ 0 2a< ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( )0,+∞
2 4 0a∆ = − > 2a > ( ) 0f x′ >
2 24 4
2 2
a a a ax
− − + −< <
( ) 0f x′ <
2 40 2
a ax
− −< <
2 4
2
a ax
+ −> ( )f x
2 40, 2
a a − −
2 4 ,2
a a + − +∞
2 24 4,2 2
a a a a − − + −
2a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 2a > ( )f x
2 40, 2
a a − −
2 4 ,2
a a + − +∞
2 24 4,2 2
a a a a − − + −
( )f x 2a > 1x 2x ( )f x
1x 2x 2 1 0x ax− + = 1 2x x a+ = 1 2 1x x =
1 20 1x x< < <
( ) ( ) 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1ln lnx a x x a xf x f x x x
x x x x
− + − − + − = =− −
( ) ( ) ( ) ( )2 1
1 2 1 2
1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
ln ln ln ln ln ln1 1 2
x x x x a x x a x x a x xx x
x x x x x x x x
− − − + − − −= − − + = − +− − −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
ln ln ln ln 2ln2 2 2 1 11
f x f x a x x x x xa ax x x x x x xx
− − − −< − ⇔ − + < − ⇔ < ⇔ < ⇔− − − −
2 2
2
12ln 0x xx
+ − < ( ) 12lng x x xx
= + − 1x > ( )g x ( )1,+∞
( ) ( )1 0g x g< =
( )f x 2a > 1x 2x ( )f x
1x 2x 2 1 0x ax− + = 1 20 1x x< < < 2
2 1 4x x a− = − 1 2 1x x =专题五 利用导数证明函数不等式（二）
，于是
．
设 ，则 ，构造函数 ， ，则
，所以 在 上递增，于是 ，
命题获证．
法 3：仿照法 1，可得 ，因为 ，所以
，令
，构造函数 ，由（1）知， 在 上递减，所以
，不等式获证．
【点评】 、 和 之间的关系为 ， ，我们可以利用其关系式对不等
式进行消元，化归为只含有一个未知数的不等式．法 1 消去 和 留下 ，法 2 消去 和
留下 ，由于所证的不等式等价于 ，该不等式不含 ，因此法 1 比法 2 简单．
由等价的不等式 ，容易联想到对数平均值不等式 ，将
不等式进一步改造后，通过换元化归为只含一个未知数的不等式．
( ) ( ) 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1ln lnx a x x a xf x f x x x
x x x x
− + − − + − = =− −
( ) 2
2 1 1 1
1 2 2
1 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2
4lnln ln1 41 2
4
a ax x x x ax x a ax x x x a a
x x x x x x a
− −− − − +
+ −= − − + = − −− − −
( ) ( )
2
221 2 2
2 2
1 2
4ln
442 2 2 ln 4
4 4
a aaf x f x a aa aa a ax x a a a
− −
− + −+ −< − ⇔ − − < − ⇔ < −− − − −
2
2 2 2
24 4 4ln 4 ln2 2 2
a a a a aa
+ − + − −⇔ < − ⇔
( ) 2
2 2
21
12 11 1 0
1 1
t
tt
t t t
ϕ
+
+′ = − = − >
+ + +
( )tϕ ( )0,+∞ ( ) ( )0 0tϕ ϕ> =
( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2
ln ln2 1f x f x x xax x x x
− −< − ⇔ ⇔ > −− −
( )1
2
0,1xt x
= ∈ ( ) 12lnh t t tt
= + − ( )h t ( )0,1
( ) ( )1 0h t h> =
1x 2x a 1 2x x a+ = 1 2 1x x =
1x a 2x 1x 2x
a 1 2
1 2
ln ln 1x x
x x
−
a b< ( ) ( )
2
f a f b+ ( ) ( )f b f a
b a
−
−
exy = 2y mx= 2
ex
y x
= y m=
( ) 2
ex
h x x
= ( ) ( )
3
e 2x xh x x
−′ = ( ) 0h x′ < 0 2x< < ( ) 0h x′ > 2x >
( )h x ( )0,2 ( )2,+∞ ( )h x ( )0,+∞ ( ) 2e2 4h =
0x +→ ( )h x → +∞ x → +∞ ( )h x → +∞
2e0 4m< < 2
ex
y x
= y m= exy = 2y mx=
2e
4m =
2
ex
y x
= y m= exy = 2y mx=
2e
4m > 2
ex
y x
=
y m= exy = 2y mx=
( ) ( ) ( ) ( )
2
f a f b f b f a
b a
+ −> −
( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e
2 2 2 e e
a b b a b a
b a
f a f b f b f a b a
b a b a
+ − + − − −> ⇔ > ⇔ >− − +
e 1
2 e 1
b a
b a
b a −
−
− −⇔ > + x b a= − 0x > e 1
2 e 1
x
x
x −> + ( ) e 1
2 e 1
x
x
xxϕ −= − +
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
e 11 2e 02 e 1 2 e 1
xx
x x
xϕ
−′ − = >
+ +
= ( )xϕ ( )0,+∞ ( ) ( )0 0xϕ ϕ> =
( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e
2 2 2 e e
a b b a b a
b a
f a f b f b f a b a
b a b a
+ − + − − −> ⇔ > ⇔ >− − +
e 1
2 e 1
b a
b a
b a −
−
− −⇔ > + x b a= − 0x > e 1
2 e 1
x
x
x −> +
( )2 2 exx x+ > −
( ) ( )2 2 exh x x x= + + − ( ) ( )1 1 exh x x′ = + − ( ) ( )g x h x′=专题五 利用导数证明函数不等式（二）
，于是 在 上递增，所以 ，即 ，所以
在 上递增，于是 ．命题获证．
法 3： ．令 ， ，则 ，
且不等式 ，令 ， ，
则不等式 ，这是与 有关的常用不等式，命题获证．
【点评】第（2）小问的不等式含有两个未知数 、 ，其解题思路主要是利用换元法将
两个未知数 、 化归为一个未知数，常见的换元手法有 ， ， ，
．所证不等式为 ，这是对数平均值不等式的指数形式，法 3 通过换元
将其转化为对数平均值不等式再进行证明．
例 3
已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，如果对任意 ， ，求 的取值范
围．
【解析】（1） 的定义域为 ． ．
当 时， ，所以 在 上递增；当 时， ，所以
在 上递减；当 时，由 可得 ，由 可得
，所以 在 上递增，在 上递减．
（2）不妨设 ，因为 ，所以由（1）可知 在 上递减，于是
，于是对任意 ， 等价于对任意
， ．
法 1：（分离未知数后构造函数） ．
( ) e 0xg x x′ = > ( )g x ( )0,+∞ ( ) ( )0 0g x g> = ( ) 0h x′ > ( )h x
( )0,+∞ ( ) ( )0 0h x h> =
( ) ( ) ( ) ( ) e e e e
2 2
a b b af a f b f b f a
b a b a
+ − + −> ⇔ >− − ea m= eb n= m n<
1
ln ln 2 ln 22 ln ln 1
n
n m n m n m n mn m nn m n m m
m
− + − − ⇔ > ⇔ − > ⇔ > − + +
nt m
= 1t >
( )2 1ln 1
tt t
−⇔ > + ln x
a b
a b x a b= + x a b= − x ab=
ax b
= e e e e
2
a b b a
b a
+ −> −
( ) ( ) 21 ln 1f x a x ax= + + +
( )f x
1a < − ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 24f x f x x x− ≥ − a
( )f x ( )0,+∞ ( ) 21 2 12a ax af x axx x
+ + +′ = + =
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 1a ≤ − ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0,+∞ 1 0a− < < ( ) 0f x′ > 10 2
ax a
+< < − ( ) 0f x′ <
1
2
ax a
+> − ( )f x 10, 2
a
a
+−
1,2
a
a
+− +∞
1 2x x≥ 1a < − ( )f x ( )0,+∞
( ) ( )1 2f x f x≤ ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 24f x f x x x− ≥ −
( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( ) ( )2 1 1 24f x f x x x− ≥ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 2 1 14 4 4f x f x x x f x x f x x− ≥ − ⇔ + ≥ +专题五 利用导数证明函数不等式（二）
构造函数 ，则只需证明 在 上是减函数．
，要使 在 上是减函数，则 在 上
恒成立，所以 ．令 ，则
，由 可得 ，由 可
得 ．所以 在 上递减，在 上递增，所以当 时， 有最小
值 ，于是 的取值范围是 ．
法 2：（主元法）由 可得
，以 为主元构造函数
（ ），则
．令 ，则 是开口方向向下，对称轴为
的抛物线，其 ．
①若 ，则 ，此时 ，即 ，所以 在 上递减，于是
，即 ．
②若 ，则 ，此时 有两个根，不妨设为 、 ，且 ．由
可得 ，由 可得 或 ．因为 是任意的，不妨设
，于是 在 上递减，在 上递增，于是在 上，有
，即 不成立．
综上所述， 的取值范围是 ．
【点评】得到二元不等式 后，有三种方法解决，一是分离未知
数后构造函数，进而利用函数的单调性进行证明，二是利用换元法，把二元化归为一元，三
是把其中一个元看成主元，进而再求导，法 1 是分离未知数后构造函数法，法 2 是主元法．
( ) ( ) 4g x f x x= + ( )g x ( )0,+∞
( ) 22 1 4ax ag x x
+ +′ = + ( )g x ( )0,+∞
22 1 4 0ax a
x
+ + + ≤ ( )0,+∞
2
4 1
2 1
xa x
+≤ − + ( ) 2
4 1
2 1
xh x x
+= − +
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
2
2 22 2
4 2 1 4 1 4 4 2 1 1
2 1 2 1
x x x x xh x
x x
+ − + ⋅ − +′ = − =
+ +
( ) 0h x′ > 1
2x > ( ) 0h x′ <
10 2x< < ( )h x 10, 2
1 ,2
+∞
1
2x = ( )h x
2− a ( ], 2−∞ −
( ) ( ) ( )2 1 1 24f x f x x x− ≥ −
( ) ( ) ( )2 2
2 2 1 1 1 21 ln 1 ln 4a x ax a x ax x x+ + − + − ≥ − 2x
( ) ( ) ( )2 2
1 1 11 ln 4 1 ln 4F x a x ax x a x ax x= + + + − + − − 10 x x< ≤ ( ) 1 2 4aF x axx
+′ = + +
( )22 4 1ax x a
x
+ + += ( ) ( )22 4 1G x ax x a= + + + ( )G x
1x a
= − ( )( )8 1 2a a∆ = − − +
2a ≤ − 0∆ ≤ ( ) 0G x ≤ ( ) 0F x′ ≤ ( )F x ( ]10, x
( ) ( )1 0F x F x≥ = ( ) ( ) ( )2 1 1 24f x f x x x− ≥ −
2 1a− < < − 0∆ > ( ) 0G x = m n m n<
( ) 0F x′ > m x n< < ( ) 0F x′ < 0 x m< < x n> 2x
2m x n< < ( )F x ( )0,m ( )2,m x ( )2,m x
( ) ( )1 0F x F x< = ( ) ( ) ( )2 1 1 24f x f x x x− ≥ −
a ( ], 2−∞ −
( ) ( ) ( )2 1 1 24f x f x x x− ≥ −专题五 利用导数证明函数不等式（二）
例 4
已知函数 有两个零点．
（1）求 的取值范围；
（2）设 、 是 的两个零点，证明： ．
【解析】（1）法 1： ，于是 有两个零点等价于 与
有两个交点．因为 ，由 可得 ，由
可得 ，于是 在 上递增，在 上递减．当 时，
；当 时， ；当 时， ；当 时，
．于是当 时， 与 有两个交点，所以 的取值范围是 ．
法 2： ．
①当 时， ，只有 个零点．
②当 时， ，由 可得 ，由 可得 ，所以
在 上递减，在 上递增． ， ，当 时，
， ，所以 ，所以 有两个零点．
③当 时，由 可得 或 ．
（i）当 时， ，由 可得 或 ，由 可
得 ，所以 在 、 上递增，在 上递减．因
为 ，所以 没有两个零点．
（ii）当 时， ，所以 恒成立，即 在 上递增，所以
没有两个零点．
( ) ( ) ( )22 e 1xf x x a x= − + −
a
1x 2x ( )f x 1 2 2x x+ <
( ) ( )
( )2
2 e0
1
xxf x a
x
−= ⇔ = −
−
( )f x y a=
( ) ( )
( )2
2 e
1
xxg x
x
−= −
−
( ) ( )
( )
2
3
e 4 5
1
x x x
g x
x
− +′ = −
−
( ) 0g x′ > 1x <
( ) 0g x′ < 1x > ( )g x ( ),1−∞ ( )1,+∞ x → −∞
( ) 0g x +→ 1x −→ ( )g x → +∞ 1x +→ ( )g x → +∞ x → +∞
( )g x → −∞ 0a > y a= ( )g x a ( )0,+∞
( ) ( ) ( ) ( )( )1 e 2 1 1 e 2x xf x x a x x a′ = − + − = − +
0a = ( ) ( )2 exf x x= − 1
0a > e 2 0x a+ ≥ ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ < 1x < ( )f x
( ),1−∞ ( )1,+∞ ( )1 e 0f = − < ( )2 0f a= > x → −∞
( )21a x − → +∞ ( )2 e 0xx −− → ( )f x → +∞ ( )f x
0a < ( ) 0f x′ = 1x = ( )ln 2x a= −
e
2a < − ( )ln 2 1a− > ( ) 0f x′ > 1x < ( )ln 2x a> − ( ) 0f x′ <
( )1 ln 2x a< < − ( )f x ( ),1−∞ ( )( )ln 2 ,a− +∞ ( )( )1,ln 2a−
( )1 e 0f = − < ( )f x
e
2a = − ( )ln 2 1a− = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x R ( )f x专题五 利用导数证明函数不等式（二）
（iii）当 时， ，由 可得 或 ，由
可得 ，所以 在 、 上递增，在 上递减．当
时， ，所以 没有两个零点．
综上所述， 的取值范围是 ．
【证明】（2）法 1：（极值点偏移）构造函数
（ ），令 ，则 ，因为
，所以 ， ， ，所以 ，于是 在 上递增，
于是 ，于是 ，即 ．
不妨设 ，由（1）可知 ， ，于是 ，而
，所以 ．因为 ，且 在 上递减，所
以 ，即 ．
法 2：（极值点偏移）构造函数 （ ），则
，因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
于是 在 上递增，于是 ，于是 ．
不妨设 ，由（1）可知 ， ，于是 ，而
，所以 ．因为 ，且 在 上递增，所
以 ，即 ．
【点评】对于函数 在区间 内只有一个极值点 ，方程 的解分别为
、 ，即 ，且 ，很多极值函数由于极值点左右的“增减速度”
不同，函数图象不具有对称性，常常有极值点 的情况，出现了“极值点偏移”．对
于极值点偏移问题，解题可沿循着如下处理策略：
e
2a > − ( )ln 2 1a− < ( ) 0f x′ > ( )ln 2x a< − 1x > ( ) 0f x′ <
( )ln 2 1a x− < < ( )f x ( )( ),ln 2a−∞ − ( )1,+∞ ( )( )ln 2 ,1a−
1x ≤ ( ) 0f x < ( )f x
a ( )0,+∞
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2 e e2
1 1
x xx xG x g x g x
x x
−−= − − = − − =
− −
( )
( )
2
2
2 e e
1
x xx x
x
−− +−
− 1x < ( ) ( ) 22 e ex xx x xϕ −= − + ( ) ( )( )21 e ex xx xϕ −′ = − −
1x < 1 0x − < 2x x< − 2e e 0x x−− < ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ ( ),1−∞
( ) ( )1 0xϕ ϕ< = ( ) ( ) ( )2 0G x g x g x= − − > ( ) ( )2g x g x> −
1 2x x< ( )1 ,1x ∈ −∞ ( )2 1,2x ∈ ( ) ( )1 12g x g x> −
( ) ( )1 2g x g x= ( ) ( )2 12g x g x> − ( )12 1,x− ∈ +∞ ( )g x ( )1,+∞
2 12x x< − 1 2 2x x+ <
( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 e ex xF x f x f x x x −= − − = − + 1x <
( ) ( )( )21 e ex xF x x −′ = − − 1x < 1 0x − < 2x x< − 2e e 0x x−− < ( ) 0F x′ >
( )F x ( ),1−∞ ( ) ( )1 0F x F< = ( ) ( )2f x f x< −
1 2x x< ( )1 ,1x ∈ −∞ ( )2 1,2x ∈ ( ) ( )1 12f x f x< −
( ) ( )1 2f x f x= ( ) ( )2 12f x f x< − ( )12 1,x− ∈ +∞ ( )f x ( )1,+∞
2 12x x< − 1 2 2x x+ <
( )y f x= ( ),a b 0x ( ) 0f x =
1x 2x ( ) ( )1 2f x f x= 1 2a x x b< < <
1 2
0 2
x xx
+≠专题五 利用导数证明函数不等式（二）
①构造一元差函数 ；
②对差函数 求导，判断函数符号，确定 的单调性；
③结合 ，判断 的符号，从而确定 、 的大小关系；
④由 （或 ） ，结合 的单调性得到 （或 ）
，从而 （或 ） ．
模块 2 练习巩固 整合提升
练习 1：已知函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线斜
率为 ．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值；
（3）当 时，证明： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，所以 ，即
，所以 ．
（2）由（1）知， ，所以 对任意 恒成立，即
对任意 恒成立．
当 时，有 ，猜想 的最大值为 ，下面进行证明．
，令
，则 ，由 可得 ，由 可得
，所以 在 上递减，在 上递增，所以 ，
命题获证，整数 的最大值是 ．
【证明】（3）
．
法 1：（分离未知数后构造函数）
．
( ) ( ) ( )02F x f x f x x= − −
( )F x ( )F x
( )0 0F x = ( )F x ( )f x ( )02f x x−
( ) ( )1 2f x f x= > < ( )0 22f x x− ( )f x 1x > <
0 22x x− 1 2
2
x x+ > < 0x
( ) lnf x ax x x= + ex = e
3
a
k ∈Z
( )
1
f xk x
< − 1x > k
4n m> ≥ ( ) ( )m nn mmn nm>
( ) lnf x ax x x= + ( ) ln 1f x a x′ = + + ( )e 3f ′ =
lne 1 3a + + = 1a =
( ) lnf x x x x= + ( )
1
f xk x
< − 1x > ln
1
x x xk x
+< −
1x >
2x = 2 2ln 2 3.382 1k
+< ≈− k 3
( )ln 33 3 1 ln 2 3 ln ln 2 01
x x x x x x x x x x xx x
+< ⇔ − < + ⇔ − < ⇔ + − >−
( ) 3ln 2g x x x
= + − ( ) 2 2
1 3 3xg x x x x
−′ = − = ( ) 0g x′ > 3x > ( ) 0g x′ <
1 3x< < ( )g x ( )1,3 ( )3,+∞ ( ) ( )
min 3 ln3 1 0g x g = = − >
k 3
( ) ( ) ( ) ( )ln ln ln ln ln lnm nn m mn m mn n mn m mn nmn nm n m m n n m m n> ⇔ > ⇔ + > +
ln ln ln lnmn n m m mn m n n⇔ + > +
ln ln ln lnmn n m m mn m n n+ > + ⇔
( ) ( ) ln ln1 ln 1 ln 1 1
n n m mn m n m n m n m
− > − ⇔ >− −专题五 利用导数证明函数不等式（二）
构造函数 ， ，则 ，令
，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立，即
在 上递增，而 ，于是 在 上恒成立，所以 在
上递增．而 ，所以 ，不等式获证．
法 2：（主元法）以 为主元构造函数 ，则
．因为 ，所以
，所以函数 在 上递增．因为
，所以 ，所以
，即 ，不等式获证．
练习 2：已知函数 ， ．
（1）求函数 的最大值；
（2）设 ，证明： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ． ，由 可得
，由 可得 ，于是 在 上递增，在 上递减，于是当
时， 有最大值，且最大值为 ．
【证明】（2）以 为主元构造函数．
设 ，其中 ，则
．因为 ，所以 ，因此 在
上为增函数．而 ，所以 ，即 ．
设 ，其中 ，则
．当 时， ，因此 在
( ) ln
1
x xk x x
= − 4x ≥ ( ) ( )( )
( ) ( )2 2
1 ln 1 ln 1 ln
1 1
x x x x x xk x
x x
+ − − − −′ = =
− −
( )1 1 lnk x x x= − − ( )1
11k x x
′ = − 4x ≥ ( )1 0k x′ > [ )4,+∞ ( )1k x
[ )4,+∞ ( )1 4 3 ln 4 0k = − > ( ) 0k x′ > [ )4,+∞ ( )k x
[ )4,+∞ 4n m> ≥ ln ln
1 1
n n m m
n m
>− −
n ( ) ln ln ln lnf x mx x m m mx m x x= + − −
( ) ( )1 ln 1 lnf x m x m m m′ = − + − − 4x m> ≥
( ) ( )1 ln 1 ln 1 ln 0f x m m m m m m m′ > − + − − = − − > ( )f x [ ),m +∞
n m> ( ) ( )f n f m> ln ln ln lnmn n m m mn m n n+ − − >
2 2ln ln ln ln 0m m m m m m m m+ − − = ln ln ln lnmn n m m mn m n n+ > +
( ) ( )ln 1f x x x= + − ( ) lng x x x=
( )f x
0 a b< < ( ) ( ) ( )0 2 ln 22
a bg a g b g b a
+ < + − < −
( )f x ( )1,− +∞ ( ) 1 11f x x
′ = −+ ( ) 0f x′ >
1 0x− < < ( ) 0f x′ < 0x > ( )f x ( )1,0− ( )0,+∞
0x = ( )f x ( )0 0f =
b
( ) ( )( ) 2 2
a xF x g a g x g
+ = + −
( ),x a∈ +∞
( ) ( ) 2 ln ln2 2
a x a xF x g x g x
′ + + ′ ′= − = − x a> ( ) 0F x′ > ( )F x
( ),a +∞ b a> ( ) ( ) 0F b F a> = ( )( ) 2 02
a bg a g b g
+ + − >
( ) ( ) ( )ln 2G x F x x a= − − ( ),x a∈ +∞
( ) ( )ln ln ln 2 ln ln2
a xG x x x a x
+′ = − − = − + x a> ( ) 0G x′ < ( )G x ( ),a +∞专题五 利用导数证明函数不等式（二）
上为减函数，而 ，所以 ，即 ．
综上所述， ．
练习 3：设 ，函数 有两个零点 、 ，且 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
【解析】（1） ，所以 有两个零点 与 有
两个交点． ，由 可得 ，由 可得 ，所以 在
上递增，在 上递减．又因为当 时， ；当 时，
； ，所以实数 的取值范围为 ．
【证明】（2）法 1：（化二元为一元）依题意，有 ， ，于是
， ，所以
．
，令 ，则上式等价于 ，这是与 有关的常用
不等式，证明如下：构造 ， ，则 ，
于是 在 上递增，于是 ，命题获证．
法 2：（化二元为一元）依题意，有 ，即 ，设
，则 ，于是 ，因此
b a> ( ) ( ) 0G b G a< = ( ) ( ) ( )2 ln 22
a bg a g b g b a
+ + − < −
( ) ( ) ( )0 2 ln 22
a bg a g b g b a
+ < + − < −
a∈R ( ) lnf x x ax= − 1x 2x 1 20 x x< <
a
2
1 2 ex x⋅ >
( ) ln0 xf x a x
= ⇔ = ( ) 0f x = ⇔ y a= ( ) ln xg x x
=
( ) 2
1 ln xg x x
−′ = ( ) 0g x′ > 0 ex< < ( ) 0g x′ < ex > ( )g x
( )0,e ( )e,+∞ 0x +→ ( )g x → −∞ x → +∞
( ) 0g x +→ ( ) 1e eg = a 10, e
1 1ln 0x ax− = 2 2ln 0x ax− =
( )1 2 1 2ln lnx x a x x+ = + ( )1 2 1 2ln lnx x a x x− = −
( )( )1 2 1 2
1 2
1 2
ln lnln ln x x x xx x x x
− ++ = −
( )( ) ( )1 2 1 2 1 22
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
ln ln 2e ln ln 2 2 ln lnx x x x x xx x x x x xx x x x
− + −⋅ > ⇔ + > ⇔ > ⇔ −
+ +
( )h t ( )0,1 ( ) ( )1 0h t h< =
1 2
1 2
ln lnx x
x x
= 1 1
2 2
ln
ln
x x
x x
=
( )1 1
2 2
ln 0,1ln
x x tx x
= = ∈ ( )1 2 2 2ln ln ln ln lnx tx t x t x= = + = 2
lnln 1
tx t
= −专题五 利用导数证明函数不等式（二）
，下同法 1．
法 3：（极值点偏移） ，令 ， ，则 、 是
函数 的两个零点，且 ，该问题不是极值点偏移问题，因为 的极值
点不是 ，需要把 改为 ，问题才转化为极值点偏移问题．
，由 可得 ，由 可得 ，所以 在 上递增，
在 上递减，于是 ．
构造函数 （ ），则
，于是 在 上递增，于是 ，即
，于是 ，而 ，所以 ．因为 ，
，且 在 上递减，所以 ，即 ，命题获证．
2
1 2 1 2e ln ln 2x x x x⋅ > ⇔ + > ⇔
( ) ( )
2 2
1 ln 2 1ln ln 2 2 ln1 1
t t tt x x tt t
+ −+ > ⇔ > ⇔ ⇔ + > 1 1lnt x= 2 2lnt x= 1t 2t
( ) etg t t a= − 1 20 t t< < ( )g t
1 ( ) etg t t a= − ( )
et
tk t a= −
( ) 1
et
tk t
−′ = ( ) 0k t′ > 1t < ( ) 0k t′ < 1t > ( )k t ( ),1−∞
( )1,+∞ 1 20 1t t< < <
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
e 2 e22 e e e
t t
t t
t tt tK t k t k t
−
−
+ −−= − − = − = 0 1t< <
( ) ( )( )2
2
1 e e
0e
t tt
K t
−− −′ = ≥ ( )K t ( )0,1 ( ) ( )1 0K t K< =
( ) ( )2k t k t< − ( ) ( )1 12k t k t< − ( ) ( )1 2k t k t= ( ) ( )2 12k t k t< − 2 1t >
12 1t− > ( )k t ( )1,+∞ 2 12t t> − 1 2 2t t+ >
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