福建省厦门市2020届高三毕业班5月质量检查文科数学试题 word版含答案

厦门市 2020 届高中毕业班 5 月质量检查 数学（文科）试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无 效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．若复数 ， 在复平面内对应点的坐标分别为 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知集合 ， ，则 A．R B． C． D． 3．某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是 A．8 月份的利润最 B．7 至 9 月份的平均收入为 50 万元 C．2 至 5 月份的利润连续下降 D．1 至 2 月份支出的变化率与 10 至 11 月份支出的变化率相同 4．某程序框图如图所示，则该程序的功能是 A．输出 的值 B．输出 的值 C．输出 的值 D．输出 的值 1z 2z ( )2,1 ( )0, 1− 1 2z z⋅ = 2 i+ 1 2i− 1 2i− − i− { }2| 0A x x= > { }| 1B y y= > A B∪ = (0, )+∞ [0, )+∞ ,0 0 ),( ) (∞ ∪ +∞- 1 3 5 2019+ + + + 1 3 5 2021+ + + + 1 2 3 2019+ + + + 1 2 3 2020+ + + +5．射线测厚技术原理公式为 ，其中 ，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的 底数，t 是被测物厚度， 是被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用铅 低能 射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为 0．8cm，钢的密度为 ，则这种射线的吸收系数为 （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度， ，结果精确到 0．001） A．0.110 B．0.112 C．0.114 D．0.116 6．在 中，点 D 满足 ，则 A． B． C． D． 7．已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是 A． B． C． D． 0 e dI I ρµ−= ⋅ 0I ρ µ 241241( )Am γ 37.6g/cm ln2 0.6931≈ ABC 1 2BD CD=  AD = 2AB AC−  2AB AC− +  1 1 2 2AB AC+  2 1 3 3AB AC+  ( )sin 0y ax b a= + > x by a +=8．双曲线 的右焦点为 F，点 P 在第一象限的渐近线上，O 为坐标原点，且 ，则 外接圆的面积是 A．π B． C．2π D． 9．已知 ， ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．函数 的图象向左平移 个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则 正实数 的最小值是 A．1 B．2 C．4 D．6 11．如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E 为边 AB 的中点，过 E 作 于 D．把 沿 DE 翻折至 的位置，连结 ．翻折过程中，有下列三个结论： ① ； ②存在某个位置，使 ； ③若 ，则 BF 的长是定值． 其中所有正确结论的编号是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．若函数 的最大值为 ，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．函数 的图象在 处的切线方程为______________． 2 2: 13 yC x − = OP OF= OPF 4 3 π 16 3 π 0a > 0b > 4a b+ ≥ 4ab ≥ 2( ) 2sin sin2 1f x x xω ω= + − 4 π ω ED AC⊥ ADE 1A DE 1AC 1DE A C⊥ 1A E BE⊥ 12CF FA=  ln( 1) 2, 0 ( ) 1 , 0 x ax x f x x a xx + − − >=  + + ( 2 , 2 )x s x s− + x 15s ≈ [ )30,60 AB ⊥ EF ⊥ 2AB CD= = / /AB CD 2AD AE= = E DC A− − 60°20．（12 分） 设O为坐标原点，动点M在圆 上，过M作x轴的垂线，垂足为D，点E满足 ． （I）求点 E 的轨迹 的方程； （2）直线 上的点 P 满足 ．过点 M 作直线 l 垂直于线段 OP 交 C 于点 N． （i）证明：l 恒过定点； （ⅱ）设线段 OP 交 于点 Q，求四边形 OMQN 的面积． 21．（12 分） 已知函数 （1）讨论 的单调性 （2）当 时，证明： ． （二）考题：共 10 分请考生在第 223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 44，坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，直线 的方程为 ，直线 的参数方程为 （t 为 参数）．设 与 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C． （1）求 C 的普通方程； （2）过 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，求 的取值范围． 23．[选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 （1）解不等式 ； 2 2: 4C x y+ = 3 2ED MD=  Γ 4x = OM MP⊥ Γ ( ) 1 ( )ln af Rx axx= − + ∈ ( )f x *n∈N 2 2 21 1ln (1 1) ln (1 ) ln (1 )2 2 4 n n n + + + + + + > + xOy 1l ( 3)y k x= − 2l 3 , 1 x t y tk  = − + = − 1l 2l ( )0,2Q 1 1 | | | |QA QB + 3( ) | | | 3|2f x x x= − − − 1( ) 2f x ≥（2）若 ，求证 ． 厦门市 2020 届高中毕业班 5 月质量检查 数学（文科）参考答案 一、选择题． BDCAC ADBBB BC 二、填空题． 13． 4． 15． 6． ； ． 三、解答题． 17．本题考在数列递推关系、通项公式．求和等基础知识：考查推理论证、运算求解等能力；考真函数与 方程、化归与转化等思想．满分 12 分． （1）证明：∵ ， ∴当 时， ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ 又 ， ∴ 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列． （2）由（1）知 ，∴ ∴ ∵ ， ， 为递增数列， ∴使得 的最小正整数 n 的值为 10． (1 4 2 , 0)m nm n + = > ( )f x m n≤ + (ln3) 1y x= − 3 4 0x y+ − = 20 6π + 2− 2 4 1 2n n nb b a+ = + 1n = 2 1 12b b a= + 14 4 a= + 1 0a = 0 0 ( 1) ( 1) 1a n n= + − ⋅ − = − + 1 2 1n nb b n+ = − + ( )1 2( 1) 2 1 ( 1) 2n n n n n n b nb n b n n b n b n b n − −− + − + − += = =− − − 1 1 2 1 1b − = − = { }nb n− 12 2 2n n nb n −− = ⋅ = 2nb n= + 2(1 2 ) (2 2 2 )n n nS = + + + + + + +  2 1(1 ) 2 2 2 2 22 1 2 2 n nn n n n ++ − ⋅ += + = + −− 1067 2020uS = < 2101 2020nS = > { }nS 2020nS >18．本题考什输数分布直方图，分层抽样等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率 思想．满分 12 分． 解：（1）记各组的频率为 ．依题意得 ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ， ， 而 ，故该零件不合格． （2）记前三组抽取的零件个数分别为 ， ， ∴ ，∴ ， ， ∴抽取出的 6 个零件中尺寸小于 50cm 的有 3 个． 记这 6 个零件编号为：a，b，c，A，B，C（其中 a，b，c 为尺寸小于 50cm 的） 记事件 D 为：“选出的 2 个宝件中恰有 1 个尺寸小于 50cm ∴从这 6 个零件中随机抽取 2 个的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 15 个． 则事件 D 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， 共 9 个， ∴ ∴这 2 个零件中恰有 1 个尺寸小于 50cm 的概率为 ． 19．本题考古直线与平面的位置关系；考查空间想象，排理论证、运算求解等能力，考查数形结合，化归 与转化等思想．满分 12 分． 证明：（1）∵ 而 ADE， 而 ADE，∴ 又 而 CDEF． 而 CDEF，∴ 而 CDEF 又 面 ABCD，而 而 ， ∴ ． 1 1.2,( ),7p i =  1 0.05p = 2 0.1p = 3 0.15p = 4 0.3p = 5 0.2p = 6 0.15p = 7 0.05P = 35 0.05 45 0.1 55 0.15 65 0.3 75 0.2 85 0.15 95 0.05 66.5x = × + × + × + × + × + × + × = 2 66.5 30 36.5x s− = − = 2 66.5 30 96.5x s+ = + = 100 96.5> x y z 6 0.05 0.1 0.15 0.3 x y z= = = 1x = 2y = 3z = { },a b { },a c { },a A { },a B { },a C { },b c { },b A { },b B { },b C { },c A { },c B { },c C { },A B { },A C { },B C { },a A { },a B { },a C { },b A { },b B { },b C { },c A { },c B { },c C 9 3( ) 15 5P D = = 3 5 AB ⊥ EF ⊥ / /AB EF EF ⊂ AB ≠ / /AB AB ⊂ ABCD ∩ CDEF CD= / /AB CD（2）取 AD 中点 O，连接 OE ∵ 面 ADE， 而 ADE， ∴ ， ． ∵ ，∴ ， ． 又 而 ABCD， 面 CDEF， 且面 面 ． ∴二面角 的平面角 ， 又 中， ， ∴ 是边长为 2 的正三角形 ∴ ， ， ∵ 而 ADE，∴ 又 ，∴ 面 ABCD 即 E 到而 ABCD 的距离 ． ∵ ， 面 ABCD， 面 ABCD， ∴ 面 ABCD． ∴F 到面 ABCD 的距离即为 E 到面 ABCD 的距离 在四边形 ABCD 中， ， ， ， ∴矩形 ABCD 的面积 ∴ ． 20．本也考直向线与方程，直线与圆锥曲线的关系等的基础知识：考直数形结合，化归与转化思想；考查 学生逻辑推理，数学运算等核心素养．满分 12 分． 解：（1）设 ， ，则 AB ⊥ ,DA DE ⊂ AB DA⊥ AB DE⊥ / /AB CD CD DA⊥ CD DE⊥ DA ⊂ DE ⊂ ABCD ∩ CDEF CD= A DC E− − 60ADE∠ = ° ADE 2AD AE= = ADE 3 32EO AE= = EO AD⊥ AB ⊥ AB EO⊥ AD AB A∩ = EO ⊥ 3EO = / /EF AB EF ⊄ AB ⊂ / /EF / /AB CD AB CD= AB DA⊥ 2 2 4S = × = 1 4 3 3 3F ABCDV S EO− ×= × = ( ),E x y ( ),M a b ( ),0D a∵ ，又 ， ∴ 又 ，∴ ， 化简得点 E 的轨迹 方程为 ． （2）（i）设 ， ． ∵ ， ∴ 又 ，∴ ① 又直线 过点 M 且垂直于线段 OP， 故设直线 l 方程 化简得 ， 又由①式可得 ． 所以 恒过定点 （ii）法一：直线 为 ，交圆 C 于 M，N 两点， 则圆心到直线的距离为 ， ∴弦长 ． 又直线 OP 为 ． 3 2ED MD=  ( , )ED a x y= − − (0, )MD b= − , 3 2 x a y b = = 2 2 4a b+ = 2 2 4 43 yx + = Γ 2 2 14 3 x x+ = ( )4,P p ( ),M a b OM MP⊥ 2 24 0OM MP a a pb b⋅ = − + − =  2 2 4a b+ = 4 4a pb+ = l 4 ( )y b x ap − = − − 4 4 0x py bp a+ − − = 4 4x py+ = l ( )1,0 l 4 4x py+ = 2 4 16 d p = + 2 2 2 16| | 2 2 4 16MN r d p = − = − + 2 2 2 2 48 4 122 416 16 p p p p + += =+ + 4 py x=由 得 故 ∴ ． 即四边形 OMQN 的面积 ． 法二：由（i）可知直线 l 恒过定点 ， 故设直线 交同 C 于 M，N 两点 圆心到直线的别离为 ∴弦长 ． 又直线 由 得 故 ∴ ， 即四边形 OMQN 的面积 ． 21．本题考直函数与导数等基础知识：考直排理论证．运算求解等能力：考查两数与方程、化归与转化， 分类与整合等思想，满分 12 分． 解：（1） 的定义域为 ①当 时， ，则 在 上单调递增； ②当 时，由 得 ， 2 2 4 3 4 12 py x x y  =  + = 2 2 48 12Qx p = + 2 22 0 2 2 16 164 3| | 1 316 4 12 12 p ppOQ x p p + += + ⋅ = ⋅ = ⋅ + + 1 | | | | 2 32OMQN OQ MNS = ⋅ = 2 3 ( )1,0 : 1l x ty= + 2 1 1 d t = + 2 2 2 2 2 1 3 42 2 4 21 1 tMN r d t t += − = − =+ + 1:OP x yt = − 2 2 1 3 4, 12 x yt x y  =  + = 2 2 0 2 12 3 4 ty t = + 2 2 02 2 2 1 1 2 3 | | 1| | 1 | | 2 3| | 3 4 3 4 t t tOQ yt t t t + += + ⋅ = ⋅ = ⋅ + + 1 | | | | 2 32cupVS OQ MN= ⋅ ⋅ = 2 3 )(f x (0, )+∞ 2 2 1( ) a x af x x x x −′ = − = 0a ≤ 2( ) 0x af x x −′ = ≥ ( )f x ( )0,+∞ 0a > 2( ) 0x af x x −′ = > x a>故 在 上单调递增； 由 得 ，故 在 上单调递 减； （2）令 ，由（1）得： 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ，即 令 ，则 ， ∴ ∴ ． ∴命题得证． 22．本题考查曲线的普通方程，，参数方程，极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合，函数 与方程思想．满分 10 分． 解析：（1）直线 消去参数 得 ① 因为直线 的方程 ，② 所以由①×②得，C 的普通方程 ． （2）直线 的参数方程为 （t 为参数）． 将 代入 得 ， 所以 ， )(f x ( ),a +∞ 2( ) 0x af x x −′ = < x a< ( )f x ( )0,a 1a = ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 1ln 1 0x x − + ≥ 1ln 1x x ≥ − 11x n = + 1 1 1ln 1 1 1 11n n n  + ≥ − =  +  + 2 2 1 1ln 1 ( 1)n n  + ≥  +  2 1 1 1 1 ( 1) ( 1)( 2) 1 2n n n n n > = −+ + + + + 2 22 2 2 2 1 1 1 1 1ln (1 1) ln 1 ln 12 2 3 ( 1)n n    + + + + + + > + + +    +     1 1 1 2 3 3 4 ( 1) ( 2)n n > + +…+× × + × + 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 ( 1) 2 2 4 n n n n = − + − + + − =+ + + 3 : 1 x t l y tk  = − = t 1 ( 3)y xk = − + l 1 3)(y k= − 2 2 3( 3)x y x+ = ≠ ± l 2 cos sin x t y a t a =  = + 2 cos sin x t y a t a =  = + 2 2 3x y+ = 2 4 sin 1 0t t α+ + = 1 2 1 24sin , 1t t a t t− ⋅+ = =由 得 且 ． 所以 ． 23．本题考查绝对值不等式的性质，解法．基本不等式等知识；考查推理认证能力，运算求解能力，考查 化归转化，分类与整合思想．满分 10 分． 解：原不等式可化为： ， 当 时，不等式 ，无解； 当 时，不等式 ， 解得 ，故 ， 当 时，不等式 ， 解得 ，故 ． 综上，不等式的解集为 ． （2）证明：因为 ， 所以 ． 当且仅当 ，且 时，取得等号． 又 ． 所以 ， 当且仅当 ，取得等号， 故 ，所以 成立． 216sin 4 0α∆ = − > 1|sin | 2 α > 2 7sin 7 α ≠ ± 1 2 1 2 1 1 8 7 8 7| 4sin | (2, ) ( ,4)| | | | 7 7 t t Q QB t t α++ = = − ∈ ∪⋅ 3 1| | | 3|2 2x x+ − − ≥ 3 2x ≤ − 3 132 2x x− − + − ≥ 3 32 x− < < 3 132 2x x+ + − ≥ 1x ≥ 1 3x≤ < 3x ≥ 3 132 2x x+ − + ≥ x ∈R 3x ≥ | |1x x ≥ 3( ) | | | 3|2f x x x= + − − 3 3 9| | | 3| | 3|2 2 2x x xx+ − − ≤ + − ⋅ = ( )3 3 02x x + − ≥   3| | | 3|2x x+ ≥ − 1 4 2( , 0)m nm n + = > 1 1 4 1 4 1 4 9( )( ) 1 4 (1 2 4)2 2 2 2 n m n mm n m nm n m n m n  + = + + = + + + ≥ + ⋅ + =   92 2m n= = 9 2m n+ ≥ )(f x m n≤ +