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高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏【2020 版】
回扣 1： 集合与常用逻辑用语
一．知识汇总*经典提炼
概念 一组对象的全体. 。 元素特点：互异性、无序性、确定性。
子集 。
真子集关系
相等
；
个元素集合子集数 。
交集
并集
集
合
运算
补集
概念 能够判断真假的语句。
原命题：若 ，则
逆命题：若 ，则
否命题：若 ，则
命题 四种
命题
逆否命题：若 ，则
原命题与逆命题，否命题与逆否命题互
逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命
题互否；原命题与逆否命题、否命题与
逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。
充分条件 ， 是 的充分条件
必要条件 ， 是 的必要条件充要
条件
充要条件 ， 互为充要条件
若命题 对应集合 ，命题 对应集合
，则 等价于 ，
等价于 。
或命题 ， 有一为真即为真， 均为假时才为假。 类比集合的并
且命题 ， 均为真时才为真， 有一为假即为假。 类比集合的交
逻辑
连接词
非命题 和 为一真一假两个互为对立的命题。 类比集合的补
全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
常
用
逻
辑
用
语
量词
存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
二．核心解读*方法重温
[回扣问题 1] 描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝
,x A x A∈ ∉
x A x B A B∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊆
0 0, ,x A x B x B x A A B∈ ⇒ ∈ ∃ ∈ ∉ ⇔ ⊂
,A B B A A B⊆ ⊆ ⇔ =
A∅ ⊆
,A B B C A C⊆ ⊆ ⇒ ⊆
n 2n
{ }| ,x xB x BA A∈ ∈= 且
{ }| ,x xB x BA A∈ ∈= 或
{ }|U x x UC A x A∈= ∉且
( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B=
( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B=
( )U UC C A A=
p q
q p
p¬ q¬
q¬ p¬
p q⇒ p q
p q⇒ q p
p q⇔ ,p q
p A q
B p q⇒ A B⊆ p q⇔
A B=
p q∨ ,p q ,p q
p q∧ ,p q ,p q
p¬ p
∀
∃
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lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.
例 1 已知集合 M＝{x|x2
16＋y2
9＝1}，N＝{y|x
4＋y
3＝1}，则 M∩N＝( )
A. B.{(4，0)，(3，0)}
C.[－3，3] D.[－4，4]
解析 由曲线方程，知 M＝{x|x2
16 ≤ 1}＝[－4，4]，
又 N＝{y|x
4＋y
3＝1}＝R，∴M∩N＝[－4，4].
答案 D
[回扣问题 2]遇到 A∩B＝ 时，需注意到“极端”情况：A＝ 或 B＝ ；同样在应用条件 A∪B＝B 或 A∩B
＝A 或 A B 时，不要忽略 A＝ 的情况.
例 2 设 集 合 A ＝ {x|x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0} ， B ＝ {x|mx － 1 ＝ 0} ， 若 A∩B ＝ B ， 则 实 数 m 组 成 的 集 合 是
____________.
解析 由题意知集合 A＝{2，3}，由 A∩B＝B 知 B A.
①当 B＝ 时，即方程 mx－1＝0 无解，此时 m＝0 符合已知条件；
②当 B≠ 时，即方程 mx－1＝0 的解为 2 或 3，代入得 m＝1
2或1
3.
综上，满足条件的 m 组成的集合为{0，1
2，1
3}.
答案 {0，1
2，1
3}
[回扣问题 3]注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，
求解时要特别注意端点值.
例 3 若集合 A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则 a 的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.(－∞，4
3]
C.[4
3，＋∞) D.(－∞，2]
解析 易知 A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|x≥a 或 x≤a－1}，
由 A∪B＝R，得 3－2a≤a－1，解得 a≥4
3.
答案 C
[回扣问题 4]复合命题真假的判定，利用真值表.注意“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论；而
φ φ φ
⊆ φ
⊆
φ
φ
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非 p，只是否定命题 p 的结论.
例 4 已知命题 p：x＞0，ln(x＋1)＞0；命题 q：若 a＞b，则 a2＞b2.有下列命题①p∧q；②p∧( q)；③(
p)∧q；④( p)∧( q).其中为真命题的是________(填序号).
解析 由于 x>0，ln(x＋1)>0，则 p 为真命题.
又 a>b a2>b2(如 a＝1，b＝－2)，知 q 为假命题.
∴ q 为真，所以 p∧( q)为真.
答案 ②
[回扣问题 5]含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在
量词变为全称量词.
例 5 命题 p：“ x∈R，x－ln x>0”的否定 p 是________.
解析 “ ”变为“ ”，并否定结论，
∴ p： x0∈R，x0－ln x0≤0.
答案 x0∈R，x0－ln x0≤0
[回扣问题 6]对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A 的充分不必要条件是 B”说明“B
是条件”且 B 推出 A，但 A 不能推出 B，而“A 是 B 的充分不必要条件”表明“A 是条件”，A 能推出 B，但 B
不能推出 A.
例 6 设 x∈R，则“|x－1
2 | 1x > 0y < logay x= 1a > (0, )+∞ 0 1x< < 0y < 1x > 0y > (1,0)
0α > (0, )+∞
y xα= 0α < (0, )+∞ (1,1) ( )y f x= 0x x= 0 0 0 0 ( ) ( )'( ) lim x f x x f xf x x∆ → + ∆ −= ∆ 0'( )f x ( )y f x= 0 0( , ( )x f x 0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x− = − 0C′ = C 1( ) ( )n nx nx n− ∗′ = ∈N (sin ) cos (cos ) sinx x x x′ ′= = −， ( ) ( ) lnx x x xe e a a a′ ′= =， 0a > 1a ≠
2
1 1'x x
= −
1(ln )'x x
=
q x∃ ∈R 2 2 2 0x ax a+ + − =
( )24 4 2 0a a∆ = − − ≥ 2a ≤ − 1a ≥
p q∧ 2a ≤ − 1a =
2a ≤ − 1a =
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（ ， 且
）．
运算
法则
；
， ；
， ．
复合函数求导法则 。
单调性 的各个区间为单调递增区间； 的区间为单调递减区间。
极值 且 在 附近左负（正）右正（负）的 为极小（大）值点。
研究
函数
性质 最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极
大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。
概念
在区间 上是连续的，用分点 将
区 间 等 分 成 个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 上 任 取 一 点
（ ）， 。
基本
定理
如 果 是 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 有 ， 则
．
性质
（ 为常数）；
；
．
定积
分
简单
应用
区间 上的连续的曲线 ，和直线 所围成的曲
边梯形的面积 。
二．核心解读*方法重温
1 1(ln ) (log ) loga ax x ex x
′ ′= =， 0a >
1a ≠
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′± = ±
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ ′ ′= + [ ( )] ( )Cf x Cf x′ ′=
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)( ) ( )
f x f x g x g x f x g xg x g x
′ ′ ′ −= ≠ 2
1 ( )
( ) ( )
g x
g x g x
′ ′ = −
[ ]( ( )) ' '( ( )) '( )y f g x f g x g x= =
'( ) 0f x > '( ) 0f x < 0'( ) 0f x = '( )f x 0x 0x [ ],a b ( )f x [ ],a b 0 1 1i i na x x x x x b−= < < < < < < = [ ],a b n [ ]1,i ix x− i ξ 1,2, ,i n= ( ) ( ) 1 lim nb ia n i b af x dx fn ξ →∞ = −= ∑∫ ( )f x [ ],a b ( ) ( )F x f x′ = ( ) ( ) ( )b a f x dx F b F a= −∫ ( ) ( )b b a a kf x dx k f x dx=∫ ∫ k ( ) ( ) ( ) ( )b b b xa a a f x g x dx f x d g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )b c d a a c f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ [ ],a b ( )y f x= . ( ), 0x a x b a b y= = ≠ = ( )b a S f x dx= ∫
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1.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，
被开方数一定是非负数；分式中分母不为 0；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，
不应遗漏.
[回扣问题 1] 函数 f(x)＝lg(1－x)＋ 3x＋1 的定义域是________.
解析 由题意，得{1－x > 0，
3x＋1 ≥ 0，∴－1
3≤x0，解得 x4，结合二次函数、对数函数的单调性和复合函
数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞).
答案 (4，＋∞)
3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义
域是否关于原点对称.函数 y＝f(x)为奇函数，但不一定有 f(0)＝0 成立.
[回扣问题 3] 函数 f(x)＝lg（1－x2）
|x－2|－2 的奇偶性是________.
解析 由 1－x 2>0 且|x－2|－2≠0，知 f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，则 f(x)＝
lg（1－x2）
－x ，
又 f(－x)＝lg（1－x2）
x ＝－f(x)，
∴函数 f(x)为奇函数.
答案 奇函数
4.记准函数周期性的几个结论：
由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得：
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(1)函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(x)，则 f(x)是周期 T＝2a 的周期函数；
(2)若 f(x＋a)＝ 1
f（x）(a≠0)成立，则 T＝2a；
(3)若 f(x＋a)＝－ 1
f（x）(a≠0)成立，则 T＝2a；
(4)若 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则 T＝2a.
[回扣问题 4] 对于定义在 R 上的函数 f(x)，若x∈R，f(x＋2)＝－f(x)，当 x∈[－1，0]时，f(x)＝x 2－x，
则 f(2 019)＝________.
解析 x∈R，f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，知 f(x)的周期 T＝4，
所以 f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)，
又 x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－x，
知 f(－1)＝(－1)2＋1＝2.
∴f(2 019)＝f(－1)＝2.
答案 2
5.理清函数奇偶性的性质.
(1)f(x)是偶函数f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)f(x)是奇函数f(－x)＝－f(x)；
(3)定义域含 0 的奇函数满足 f(0)＝0.
[回扣问题 5] 已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝{－x2
4 ，0 < x ≤ 4， 4－2x，x > 4，
若 h(t)>h(2)，则实数 t 的
取值范围为________.
解析 因为当 x>0 时，h(x)＝{－x2
4 ，0 < x ≤ 4， 4－2x，x > 4.
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所以函数 h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且 h(t)>h(2)，
所以 h(|t|)>h(2)，所以 00)，
设 g(x)＝ln x＋1
x ，则 g′(x)＝
－ln x
x2 ，
由 g′(x)＝0，得 x＝1.
当 x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，那么 f(x)在该区间内为增
函数；如果 f′(x)0 得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令 t= ，则 y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= 为减函数；
x∈(4,+∞)时,t= 为增函数；
y=lnt 为增函数，
故函数 f(x)=ln( )的单调递增区间是(4,+∞)，故选 D.
2．（2020·高三三模）函数 是（ ）
A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 为奇函数.
故选：A.
2( ) ln( 2 8)f x x x= − −
( , 2)−∞ − ( ,1)−∞
(1, )+∞ (4, )+∞
2 2 8x x− −
2 2 8x x− −
2 2 8x x− −
2 2 8x x− −
2 2 8x x− −
( )
2
2020 2020 2019
2020
x xf x
x
− − −=
−
22020 0x− > 2020 2020x− < < 2020 0x − < ( ) ( ) 2 2 2020 2020 2019 2020 2020 2020 x x x x x f x − − − −= = − − − ( )f x
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3．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模）已知偶函数 满足 ，且当
时， ，关于 的不等式 在区间 上有且只有 300 个整数解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为偶函数 满足 ,
所以 ,
所以 的周期为 且 的图象关于直线 对称,
由于 上含有 50 个周期,且 在每个周期内都是轴对称图形,
所以关于 的不等式 在 上有 3 个整数解,
当 时, ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
因为 , ,
所以当 时, ,
( )f x ( ) ( )4 4f x f x+ = − ( ]0,4x∈
( ) ( )ln 2xf x x
= x ( ) ( )2 0f x af x+ > [ ]200,200−
a
1ln 2, ln 63
− −
1ln 2, ln 63
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− −
( )f x ( 4) (4 )f x f x+ = −
( 4) (4 ) ( 4)f x f x f x+ = − = −
( )f x 8 ( )f x 4x =
[ 200,200]− ( )f x
x 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > (0,4]
(0,4]x∈
2
1 ln 2'( ) xf x x
−=
'( ) 0f x > 0 2
ex< < '( ) 0f x < 42 e x< < ( )f x (0, )2 e ( ,4)2 e (1) ln 2f = ln8 3(2) (3) (4) ln 2 04 4f f f> > = = >
( 1,2,3,4)x k k= = ( ) 0f x >
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所以当 时, 在 上有 4 个整数解,不符合题意,
所以 ,
由 可得 或 ,
显然 在 上无整数解,
故而 在 上有 3 个整数解,分别为 ,
所以 , , ,
所以 .故选:D
4．（2020·四川省高三二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
0a ≥ 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > (0,4]
0a < 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > ( ) 0f x < ( )f x a> −
( ) 0f x < (0,4] ( )f x a> − (0,4] 1,2,3
3(4) ln 24a f− ≥ = ln 6(3) 3a f− < = (1) ln 2a f− < = ln 6 3 ln 23 4a− < ≤ − ( ) 2 1lnf x x x x = − +
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【答案】C
【解析】由题意，当 时， ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减，
根据选项，可知只有 C 项符合题意.故选：C.
5．（2020·河北省沧州市一中高三三模）已知函数 ， 则方程
恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数 的图象,见下图.
若 与 相切,求导得 ,设切点为 ,则 ,切线斜率为 ,即切线方程
为: ,该切线过原点,则 ,解得 ,此时 ,显然
与 的图象只有一个交点,即方程 只有一个实根;
若 ,直线 与 的图象在 时无交点,在 时有 2 个交点,符合题意;
若 ,直线 与 的图象在 时有 1 个交点,在 时有 2 个交点,不符合题意;
0x > ( ) 2 1lnf x x x x
= − + ( ) 2
2 2
1 1 ( 1)(2 2 1)2 x x xf x x x x x
− + +′ = − − =
1x > ( ) 0f x′ > ( )f x
0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x ( ) ln , 1 1 1, 14 x x f x x x >= + ≤
( )g x ax= ( ) ( )g x f x=
a
10, e
1 1,4 e
10, 4
1 ,e4
( )f x
( )g x ( )ln 1y x x= > 1y x
′ = ( )0 0,x y 0 0lny x=
0
1
x
( )0 0
0
1lny x x xx
− = − ( )0 0
0
10 ln 0x xx
− = −
0 ex = 1
ea = ( ) 1
eg x x=
( )f x ( ) ( )g x f x=
1 1
4 ea≤ < ( )g x ( )f x 1x ≤ 1x >
10 4a< < ( )g x ( )f x 1x ≤ 1x >
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若 ,直线 与 的图象在 时有 1 个交点,在 时无交点,不符合题意;
若 ,,直线 与 的图象至多有一个交点,不符合题意.
所以只有 符合题意.故选:B.
6．（2020·甘肃省高三三模）若 是函数 的极值点，则 的极小值
为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得 ，
因为 ，所以 ， ，故 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极小值为 ，故选 A．
7．（2020·武威第六中学高三三模）已知函数 ，当 时，
0a ≤ ( )g x ( )f x 1x ≤ 1x >
1
e
>a ( )g x ( )f x
1 1
4 ea≤ < 2x = − 2 1( ) ( 1)exf x x ax −= + − ( )f x 1− 32e−− 35e− 1 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 12 1 2 1x x xf x x a e x ax e x a x a e− − − = + + + − = + + + − ′ ( )2 0f ′ − = 1a = − ( ) ( )2 11 xf x x x e −= − − ( ) ( )2 12 xf x x x e −−′ = + ( ) 0f x′ > 2x < − 1x >
( )f x ( ) ( ), 2 , 1,−∞ − +∞ ( )2,1−
( )f x ( ) ( ) 1 11 1 1 1 1f e −= − − = −
( )( 2) 3,( ln 2)( )
3 2 ,( ln 2)
xx x e xf x
x x
− − + ≥=
− ln2 1x< < ( )' 0f x < 1x >
( )f x ( )ln2,1 ( )1,+∞
( )f x 1x = ( )1 2f e= +
ln2x ≥ ( )f x ( ], 2e−∞ +
ln2 m 1≤ ≤
ln2x < ( ) 3 2 2f x x e= − ≤ + 1 2 ex −≥ 1 x ln22 e− ≤ < 1 e 22 m ln − ≤ < m 1 ,12 e− ( )2( ) 25 4 ln 1xf x x e= − + − 5(0, ]2 ( )2( ) 25 4 ln 1xf x x e= − + −
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所以 ，解得
所以 ，即 的定义域为 ．故答案为： .
高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏【2020 版】
回扣 3： 三角函数与平面向量
一．知识汇总*经典提炼
定义 任意角 的终边与单位圆交于点 时， ．
同角三角
函数关系
。
基
本
问
题
诱导公式 ， ， ， “奇变偶不变，符号看象限”．
值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴
（ ）
增
减
奇函数
（ ）
增
减
偶函数
三
角
函
数
的
图
象
与
性
质
三
角
函
数
的
性
质
与
图
象
( )
增 奇函数 无
α ( , )P x y sin ,cos ,tan yy x x
α α α= = =
2 2 sinsin cos 1, tancos
αα α αα+ = =
360 ,180α α°± °± α− 90 ,270α α°± °±
siny x=
x∈R
[ ]1,1−
2kπ
2 , 22 2k k
π ππ π − + +
32 , 22 2k k
π ππ π + +
( ,0)kπ
2
x
k
ππ
=
+
cosy x=
x∈R [ ]1,1− 2kπ
[ ]2 ,2k kπ π π− +
[ ]2 ,2k kπ π π+
( ,0)2k
ππ + x kπ=
tany x=
2x k
ππ≠ + R kπ ,2 2k k
π ππ π − + + ,02
kπ
225 4 0,
1 0,x
x
e
− ≥
− >
5 5 ,2 2
0,
x
x
− ≤ ≤
>
50 2x< ≤ ( )f x 5(0, ]2 5(0, ]2
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上下平移 图象平移 得 图象， 向上， 向下。
平移变换
左右平移 图象平移 得 图象， 向左， 向右。
轴方向 图象各点把横坐标变为原来 倍得 的图象。
伸缩变换
轴方向 图象各点纵坐标变为原来的 倍得 的图象。
中心对称 图象关于点 对称图象的解析式是
图
象
变
换
对称变换
轴对称 图象关于直线 对称图象的解析式是 。
和差角公式 倍角公式
正弦
余弦
变换
公式
正切
定理 。
变形
（ 外 接 圆 半
径）。
正弦
定理
类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。
射影定理：
定理 。
变形 等。
三
角
恒
等
变
换
与
解
三
余弦
定理
类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。
( )y f x= k ( )y f x k= + 0k > 0k < ( )y f x= ϕ ( )y f x ϕ= + 0ϕ > 0ϕ < x ( )y f x= ω 1( )y f xω= y ( )y f x= A ( )y Af x= ( )y f x= ( , )a b 2 (2 )y b f a x= − − ( )y f x= x a= (2 )y f a x= − sin( ) sin cos cos sin α β α β α β ± = ± sin 2 2sin cosα α α= cos( ) cos cos sin sin α β α β α β ± = 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin α α α α α = − = − = − tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± = 2 2tantan 2 1 tan αα α= − 2 2tansin 2 1 tan αα α= + 2 2 1 tancos2 1 tan αα α −= + 2 1 cos2sin 2 αα −= 2 1 cos2cos 2 αα += sin sin sin a b c A B C = = 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = = R cos cosa b C c B= + cos cosb a C c A= + cos cosc a B b A= + 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos , 2 cosa b c bc A b a c ac B c a b ab C= + − = + − = + − 2 2 2 2 2( )cos 12 2 b c a b c aA bc bc + − + −= = −
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基本
公式
。
面积
公式 导出
公式
（ 外接圆半径）； （ 内切圆半径）。
基本思想
把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要
根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。
仰
角
视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
俯
角
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
方
向
角
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方
向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西 30°）。
角
形
实际
应用
常用术语
方
位
角
某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
向量 长度为 ，方向任意的向量。【 与任一非零向量共线】
平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是 。 的夹角记为 。
重
要
概
念
投影 ， 叫做 在 方向上的投影。【注意：投影是数量】
基本定理
不共线，存在唯一的实数对 ，使 。若 为 轴
上的单位正交向量， 就是向量 的坐标。
一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理解）
平
面
向
量
重
要
法
则
定 共线条件 （ 共线 存在唯一实数 ，
1 1 1 1 1 1sin sin sin2 2 2 2 2 2a b cS a h b h c h ab C bc A ac B= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
4
abcS R
= R 1 ( )2S a b c r= + + r
0 0 0
[ ]0,π ,a b ,a b< >
,a b θ< >= cosb θ b a
1 2,e e ( , )λ µ 1 2a e eλ µ= +
1 2,e e ,x y
( , )λ µ a
,a b 0b ≠ ⇔ λ 1 1 2 2 1 2 2 1( , ) ( , )x y x y x y x yλ= ⇔ =
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理
垂直条件 。 。
法则 的平行四边形法则、三角形法则。 。加法
运算 算律 ， 与加法运算有同样的坐标表示。
法则 的三角形法则。减法
运算 分解 。 。
概念
为向量， 与 方向相同，
与 方向相反， 。
。
数乘
运算
算律
， ，
与数乘运算有同样的坐标表示。
概念 。
主要
性质
， 。
，
各
种
运
算
数量
积运
算
算律
， ，
。
与上面的数量积、数乘等具有同样
的坐标表示方法。
二．核心解读*方法重温
1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置
决定.
[回扣问题 1] 已知角 α 的终边为射线 y＝2x(x≥0)，则 cos 2α＋cos α＝________.
解析 ∵α 的终边为射线 y＝2x(x≥0)，
不妨在射线上取点 P(1，2)，则 cos α＝ 1
5
，
∴cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×( 1
5 )2
－1＋ 1
5
＝ 5－3
5 .
a bλ=
0a b a b⊥ ⇔ =
1 1 2 2 0x y x y+ =
a b+
1 2 1 2( , )a b x x y y+ = + +
a b b a+ = + ( ) ( )a b c a b c+ + = + +
a b−
1 2 1 2( , )a b x x y y− = − −
MN ON OM= − ( , )N M N MMN x x y y= − −
aλ ⋅ 0λ > a
0λ < a a aλ λ= ( , )a x yλ λ λ= aa )()( λµµλ = aaa µλµλ +=+ )( baba λλλ +=+ )( cos ,a b a b a b= ⋅ < >
1 2 1 2a b x x y y= +
2
a a a=
a b a b≤ ⋅
2 2a x y= +
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2x x y y x y x y+ ≤ + ⋅ +
a b b a=
( )a b c a c b c+ = +
( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ= =
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答案 5－3
5
2.求函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 A 与 ω 的符号，当 ω 2( )2
a bab
+≤ ,a b∈R ba
ab
+
2 ab
2
ba +
2
22 ba + , 0a b > 2 2 2a b ab+ ≥
0Ax By C+ + > 0Ax By C+ + =
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的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知Sn
Tn＝ n＋1
2n＋3，求an
bn时，无法正确赋值求解.
[回扣问题 2] 等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且Sn
Tn＝3n－1
2n＋3，则a8
b8＝________.
解析 a8
b8＝2a8
2b8＝a1＋a15
b1＋b15＝S15
T15＝3 × 15－1
2 × 15＋3＝4
3.
答案 4
3
3.运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分 q＝1 和 q≠1 两种情况进行讨论.
[回扣问题 3] 等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3＝7
4，S6＝63
4 ，则 a8＝________.
解析 设数列{an}的公比为 q，若 q＝1，
则 S6＝2S3 与题设矛盾，∴q≠1.
则{S3＝a1（1－q3）
1－q ＝7
4，
S6＝a1（1－q6）
1－q ＝63
4 ，
解得{a1＝1
4，
q＝2，
所以 a8＝a1q7＝1
4×27＝32.
答案 32
4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视 an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中，
bn
bn－1＝q(常数且 q≠0)，忽视 n≥2，n∈N*的条件限制.
[回扣问题 4] 已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋1
2(n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于________.
解析 由 a2＝1，an＋1＝an＋1
2(n≥2)，
∴数列{an}从第 2 项起是公差为1
2的等差数列，
∴S9＝a1＋a2＋a3＋…＋a9
＝1＋8a2＋8（8－1）
2 ×1
2＝23.
答案 23
5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩余的前、后项数要相等.
[回扣问题 5] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝6，S4＝20.
(1)求数列{an}的通项公式；
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(2)求数列{ 1
Sn }的前 n 项和 Tn.
解 (1)设数列{an}的公差为 d，
由 a3＝6，S4＝20，
得{a1＋2d＝6，
2a1＋3d＝10，解得{a1＝2，
d＝2，
因此 an＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)知 Sn＝
（2＋2n）n
2 ＝n(n＋1)，
从而 1
Sn＝ 1
n（n＋1）＝1
n－ 1
n＋1
∴Tn＝(1－1
2 )＋(1
2－1
3 )＋…＋(1
n－ 1
n＋1)＝1－ 1
n＋1＝ n
n＋1.
6.对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求 Sn 时，切莫忘记讨论 n 为奇数、偶数；遇到已知 an＋1－an－1
＝d 或an＋1
an－1＝q(n≥2)，求{an}的通项公式时，要注意对 n 的讨论.
[回扣问题 6] 若 an＝2n－1，bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前 n 项和 Tn＝________.
解析 bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1).
当 n 为偶数时，Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(－2)×n
2＝－n.
当 n 为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋an＝n.
故 Tn＝{－n，n 为偶数，
n，n 为奇数.
答案 {－n，n 为偶数，
n，n 为奇数
7.解形如 ax2＋bx＋c>0 的一元二次不等式时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a>0，a0 的解集是实数集 R；命题乙：00 恒成立，
当 a≠0 时，需满足{a > 0，
Δ＝（2a）2－4a < 0， 解得 00，b>0)，
∴2a＋b＝(2a＋b)(1
a＋2
b )＝4＋b
a＋4a
b ≥8，
当且仅当b
a＝4a
b ，即 a＝2，b＝4 时，取等号.
故 2a＋b 的最小值为 8.
答案 8
9.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2
x＋2是指已知区域内的点(x，y)与
点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2 是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.
[回扣问题 9] 若变量 x，y 满足{x＋y ≤ 2，
2x－3y ≤ 9，
x ≥ 0，
则 x2＋y2 的最大值是( )
A.4 B.9
C.10 D.12
解析 满足条件{x＋y ≤ 2，
2x－3y ≤ 9，
x ≥ 0
的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x2＋y2 是可行域上的动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，
当 x＝3，y＝－1 时，x2＋y2 取得最大值，最大值为 10.
答案 C
10.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表
示形式受到二次项系数符号的影响.
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[回扣问题 10] 已知关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c －1
2}，则 ax2－bx＋c>0 的解
集为________.
解析 ∵ax2＋bx＋c －1
2}，
∴a0 化为 ax2－5
2ax＋a>0，
由于 a
x 2
0
4 0
k
k k
>
= − > ( 1,2)− 2 1
a b
+
1
2 2 2
l ( )1,2− 2 2 0a b− − + = 2 12
a b+ =
2 1 2 1 2 1 4 1 4( ) (4 ) (4 2 ) 42 2 2
a b b a b a
a b a b a b a b
++ = + = + + ≥ + × =
4b a
a b
= 2a b=
2a
b
=
{ }na { }nb { }nc 1 1a =
1
1 2 1
n n
na a+
= + − 1
n
n
b na
= +
11n
n n
c a b
= −
{ }nb { }na { }nb
{ }nc nS
1
2n na n
= − 2n
nb = 22 2n n
nS
+= −
41 / 42
【解析】(1)因为 ,故 ,即 ,
故 是以 为首项,2 为公比的等比数列.故 .
所以 .
故 , .
(2)由(1) .
所以
相减可得
故 , .
化简得
8．（2020·山东省高三二模）已知数列 的前 项和为 ，数列 满足
，
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ； （2）
【解析】（1） ，
1
1 2 1
n n
na a+
= + −
1
1 2 11 2 2
n n n
n n na a a+
+ + = + = +
1 2n nb b+ =
{ }nb
1
1 1 2a
+ = 2n
nb =
1 12 2
n
n n
n
n aa n
+ = ⇒ = −
1
2n na n
= − 2n
nb =
1 21 12 2 2
2
n
n n n n
n
n nc
n
−= − = − =
−
1 2 3
1 2 3 ...2 2 2 2n nS n= + + + +
2 3 4 1
1 2 3 1...2 2 22 2
1
2n nn
n nS +
−= + + + + +
1 2 3 4 1
1 1 1 111 1...2 2 2 22 2 2nn n
nS +
−
= + + + + + −
1
1 112 21
112 2
2
n
n n
nS +
− = −
− 1
11 2
1
22 n nnS n
+= − −
22 2n n
nS
+= −
{ }na n 0 1 2 1n
n n n n nS C C C C −= + + + + { }nb
2logn nb a=
{ }na { }nb
( ) 12 2 2 2 2
1 2 3 4 1 n
n nT b b b b b+= − + − + + −
12n
na -= 1nb n= −
2
2
,2
,2
n
n n n
T
n n n
−
= −
为偶数
为奇数
0 1 2 1 2 1n n
n n n n nS C C C C −= + + + + = −
42 / 42
当 时， ，
当 时， 也满足 ，所以 ，
又数列 满足 ，所以 .
（2）当 ， 时，
；
当 ， 时，
.
所以 ， ，即 .
2n ≥ 1
1 2n
n n na S S −
−= − =
1n = 1 1a = 12n
na -= 12n
na -=
{ }nb 2logn nb a= 1nb n= −
2n k= *k N∈ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 2 1 2n k kT b b b b b b−= − + − + + −
( )1 2 2kb b b= − + + + ( )( )1 2 2 1k = − + + + − 22k k= − +
2 1n k= − *k N∈ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 2 3 2 2 2 1n k k kT b b b b b b b− − −= − + − + + − +
( )( ) ( )21 2 2 3 4 1k k = − + + + − + − 22 3 1k k= − +
( )
( )
2
2
2 , 2
2 3 1, 2 1n
k k n kT k k n k
− + == − + = −
*k N∈
2
2
,2
,2
n
n n n
T
n n n
−
= −
为偶数
为奇数
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