高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏【2020 版】：集合与常用逻辑用语（解析版）

1 / 7 高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏【2020 版】 回扣 1： 集合与常用逻辑用语 一．知识汇总*经典提炼 概念 一组对象的全体. 。 元素特点：互异性、无序性、确定性。 子集 。 真子集关系 相等 ； 个元素集合子集数 。 交集 并集 集 合 运算 补集 概念 能够判断真假的语句。 原命题：若 ，则 逆命题：若 ，则 否命题：若 ，则 命题 四种 命题 逆否命题：若 ，则 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命 题互否；原命题与逆否命题、否命题与 逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。 充分条件 ， 是 的充分条件 必要条件 ， 是 的必要条件充要 条件 充要条件 ， 互为充要条件 若命题 对应集合 ，命题 对应集合 ，则 等价于 ， 等价于 。 或命题 ， 有一为真即为真， 均为假时才为假。 类比集合的并 且命题 ， 均为真时才为真， 有一为假即为假。 类比集合的交 逻辑 连接词 非命题 和 为一真一假两个互为对立的命题。 类比集合的补 全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 常 用 逻 辑 用 语 量词 存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 二．核心解读*方法重温 [回扣问题 1]　描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝ ,x A x A∈ ∉ x A x B A B∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊆ 0 0, ,x A x B x B x A A B∈ ⇒ ∈ ∃ ∈ ∉ ⇔ ⊂ ,A B B A A B⊆ ⊆ ⇔ = A∅ ⊆ ,A B B C A C⊆ ⊆ ⇒ ⊆ n 2n { }| ,x xB x BA A∈ ∈= 且 { }| ,x xB x BA A∈ ∈= 或 { }|U x x UC A x A∈= ∉且 ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B=  ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B=  ( )U UC C A A= p q q p p¬ q¬ q¬ p¬ p q⇒ p q p q⇒ q p p q⇔ ,p q p A q B p q⇒ A B⊆ p q⇔ A B= p q∨ ,p q ,p q p q∧ ,p q ,p q p¬ p ∀ ∃ 2 / 7 lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集. 例 1 已知集合 M＝{x|x2 16＋y2 9＝1}，N＝{y|x 4＋y 3＝1}，则 M∩N＝(　　) A. B.{(4，0)，(3，0)} C.[－3，3] D.[－4，4] 解析　由曲线方程，知 M＝{x|x2 16 ≤ 1}＝[－4，4]， 又 N＝{y|x 4＋y 3＝1}＝R，∴M∩N＝[－4，4]. 答案　D [回扣问题 2]遇到 A∩B＝ 时，需注意到“极端”情况：A＝ 或 B＝ ；同样在应用条件 A∪B＝B 或 A∩B ＝A 或 A B 时，不要忽略 A＝ 的情况. 例 2 设 集 合 A ＝ {x|x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0} ， B ＝ {x|mx － 1 ＝ 0} ， 若 A∩B ＝ B ， 则 实 数 m 组 成 的 集 合 是 ____________. 解析　由题意知集合 A＝{2，3}，由 A∩B＝B 知 B A. ①当 B＝ 时，即方程 mx－1＝0 无解，此时 m＝0 符合已知条件； ②当 B≠ 时，即方程 mx－1＝0 的解为 2 或 3，代入得 m＝1 2或1 3. 综上，满足条件的 m 组成的集合为{0，1 2，1 3}. 答案　{0，1 2，1 3} [回扣问题 3]注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算， 求解时要特别注意端点值. 例 3　若集合 A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则 a 的取值范围是(　　) A.[2，＋∞) B.(－∞，4 3] C.[4 3，＋∞) D.(－∞，2] 解析　易知 A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|x≥a 或 x≤a－1}， 由 A∪B＝R，得 3－2a≤a－1，解得 a≥4 3. 答案　C [回扣问题 4]复合命题真假的判定，利用真值表.注意“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论；而 φ φ φ ⊆ φ ⊆ φ φ 3 / 7 非 p，只是否定命题 p 的结论. 例 4　已知命题 p：x＞0，ln(x＋1)＞0；命题 q：若 a＞b，则 a2＞b2.有下列命题①p∧q；②p∧( q)；③( p)∧q；④( p)∧( q).其中为真命题的是________(填序号). 解析　由于 x>0，ln(x＋1)>0，则 p 为真命题. 又 a>b a2>b2(如 a＝1，b＝－2)，知 q 为假命题. ∴ q 为真，所以 p∧( q)为真. 答案　② [回扣问题 5]含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在 量词变为全称量词. 例 5　命题 p：“ x∈R，x－ln x>0”的否定 p 是________. 解析　“ ”变为“ ”，并否定结论， ∴ p： x0∈R，x0－ln x0≤0. 答案　 x0∈R，x0－ln x0≤0 [回扣问题 6]对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A 的充分不必要条件是 B”说明“B 是条件”且 B 推出 A，但 A 不能推出 B，而“A 是 B 的充分不必要条件”表明“A 是条件”，A 能推出 B，但 B 不能推出 A. 例 6　设 x∈R，则“|x－1 2 |