函数与导数-高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏（2020版）（解析版）

高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏【2020 版】 回扣 2：　函数与导数 一．知识汇总*经典提炼 单调递减， 时 ， 时指数函数 单调递增， 时 ， 时 函数图象过 定点 在 单调递减， 时 ， 时对数函数 在 单调递增， 时 ， 时 函 数 图 象 过 定点 在在 单调递增，图象过坐标原点 基本 初等 函数 Ⅰ 幂函数 在在 单调递减 函 数 图 象 过 定点 概念 函数 在点 处的导数 。概念 与几 何意 义 几何 意义 为 曲 线 在 点 处 的 切 线 斜 率 ， 切 线 方 程 是 。 基本 公式 （ 为常数）； ； ； （ ，且 ）； （ ， 且 ）． ； 。 导 数 及 其 应 用 运算 运算 法则 ； ， ； ， ． 复合函数求导法则 。 0 1a< < ( , )−∞ +∞ 0x < 1y < 0x > 0 1y< < xy a= 1a > ( , )−∞ +∞ 0x < 0 1y< < 0x > 1y > (0,1) 0 1a< < (0, )+∞ 0 1x< < 0y > 1x > 0y < logay x= 1a > (0, )+∞ 0 1x< < 0y < 1x > 0y > (1,0) 0α > (0, )+∞ y xα= 0α < (0, )+∞ (1,1) ( )y f x= 0x x= 0 0 0 0 ( ) ( )'( ) lim x f x x f xf x x∆ → + ∆ −= ∆ 0'( )f x ( )y f x= 0 0( , ( )x f x 0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x− = − 0C′ = C 1( ) ( )n nx nx n− ∗′ = ∈N (sin ) cos (cos ) sinx x x x′ ′= = −， ( ) ( ) lnx x x xe e a a a′ ′= =， 0a > 1a ≠ 1 1(ln ) (log ) loga ax x ex x ′ ′= =， 0a > 1a ≠ 2 1 1'x x   = −   1(ln )'x x = [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′± = ± [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ ′ ′= +   [ ( )] ( )Cf x Cf x′ ′= 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)( ) ( ) f x f x g x g x f x g xg x g x ′ ′ ′  −= ≠   2 1 ( ) ( ) ( ) g x g x g x ′ ′  = −   [ ]( ( )) ' '( ( )) '( )y f g x f g x g x= = 单调性 的各个区间为单调递增区间； 的区间为单调递减区间。 极值 且 在 附近左负（正）右正（负）的 为极小（大）值点。 研究 函数 性质 最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极 大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 概念 在区间 上是连续的，用分点 将 区 间 等 分 成 个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 上 任 取 一 点 （ ）， 。 基本 定理 如 果 是 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 有 ， 则 ． 性质 （ 为常数）； ； ． 定积 分 简单 应用 区间 上的连续的曲线 ，和直线 所围成的曲 边梯形的面积 。 二．核心解读*方法重温 1.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根， 被开方数一定是非负数；分式中分母不为 0；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式， 不应遗漏. [回扣问题 1]　函数 f(x)＝lg(1－x)＋ 3x＋1 的定义域是________. 解析　由题意，得{1－x > 0， 3x＋1 ≥ 0，∴－1 3≤x0，解得 x4，结合二次函数、对数函数的单调性和复合函 数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞). 答案　(4，＋∞) 3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义 域是否关于原点对称.函数 y＝f(x)为奇函数，但不一定有 f(0)＝0 成立. [回扣问题 3]　函数 f(x)＝lg（1－x2） |x－2|－2 的奇偶性是________. 解析　由 1－x 2>0 且|x－2|－2≠0，知 f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，则 f(x)＝ lg（1－x2） －x ， 又 f(－x)＝lg（1－x2） x ＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数. 答案　奇函数 4.记准函数周期性的几个结论： 由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得： (1)函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(x)，则 f(x)是周期 T＝2a 的周期函数； (2)若 f(x＋a)＝ 1 f（x）(a≠0)成立，则 T＝2a； (3)若 f(x＋a)＝－ 1 f（x）(a≠0)成立，则 T＝2a； (4)若 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则 T＝2a. [回扣问题 4]　对于定义在 R 上的函数 f(x)，若x∈R，f(x＋2)＝－f(x)，当 x∈[－1，0]时，f(x)＝x 2－x， 则 f(2 019)＝________. 解析　x∈R，f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，知 f(x)的周期 T＝4， 所以 f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)， 又 x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－x， 知 f(－1)＝(－1)2＋1＝2. ∴f(2 019)＝f(－1)＝2. 答案　2 5.理清函数奇偶性的性质. (1)f(x)是偶函数f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； (2)f(x)是奇函数f(－x)＝－f(x)； (3)定义域含 0 的奇函数满足 f(0)＝0. [回扣问题 5]　已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝{－x2 4 ，0 < x ≤ 4， 4－2x，x > 4， 若 h(t)>h(2)，则实数 t 的 取值范围为________. 解析　因为当 x>0 时，h(x)＝{－x2 4 ，0 < x ≤ 4， 4－2x，x > 4. 所以函数 h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且 h(t)>h(2)， 所以 h(|t|)>h(2)，所以 00)， 设 g(x)＝ln x＋1 x ，则 g′(x)＝ －ln x x2 ， 由 g′(x)＝0，得 x＝1. 当 x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，那么 f(x)在该区间内为增 函数；如果 f′(x)0 得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， ( )dxxf∫1 0 ( )dxex x∫ +2 0 2 ( )dxex x∫ +2 0 2 ( )dxxx∫ −2 0 34 2( ) ln( 2 8)f x x x= − − ( , 2)−∞ − ( ,1)−∞ (1, )+∞ (4, )+∞ 2 2 8x x− − 令 t= ，则 y=lnt， ∵x∈(−∞,−2)时,t= 为减函数； x∈(4,+∞)时,t= 为增函数； y=lnt 为增函数， 故函数 f(x)=ln( )的单调递增区间是(4,+∞)，故选 D. 2．（2020·高三三模）函数 是（ ） A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 为奇函数. 故选：A. 3．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模）已知偶函数 满足 ，且当 时， ，关于 的不等式 在区间 上有且只有 300 个整数解， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2 2 8x x− − 2 2 8x x− − 2 2 8x x− − 2 2 8x x− − ( ) 2 2020 2020 2019 2020 x xf x x − − −= − 22020 0x− > 2020 2020x− < < 2020 0x − < ( ) ( ) 2 2 2020 2020 2019 2020 2020 2020 x x x x x f x − − − −= = − − − ( )f x ( )f x ( ) ( )4 4f x f x+ = − ( ]0,4x∈ ( ) ( )ln 2xf x x = x ( ) ( )2 0f x af x+ > [ ]200,200− a 1ln 2, ln 63  − −   1ln 2, ln 63  − −   1 3ln 6, ln 23 4  − −   1 3ln 6, ln 23 4  − −   【答案】D 【解析】因为偶函数 满足 , 所以 , 所以 的周期为 且 的图象关于直线 对称, 由于 上含有 50 个周期,且 在每个周期内都是轴对称图形, 所以关于 的不等式 在 上有 3 个整数解, 当 时, , 由 ,得 ,由 ,得 , 所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 因为 , , 所以当 时, , 所以当 时, 在 上有 4 个整数解,不符合题意, 所以 , 由 可得 或 , 显然 在 上无整数解, 故而 在 上有 3 个整数解,分别为 , 所以 , , , 所以 .故选:D ( )f x ( 4) (4 )f x f x+ = − ( 4) (4 ) ( 4)f x f x f x+ = − = − ( )f x 8 ( )f x 4x = [ 200,200]− ( )f x x 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > (0,4] (0,4]x∈ 2 1 ln 2'( ) xf x x −= '( ) 0f x > 0 2 ex< < '( ) 0f x < 42 e x< < ( )f x (0, )2 e ( ,4)2 e (1) ln 2f = ln8 3(2) (3) (4) ln 2 04 4f f f> > = = > ( 1,2,3,4)x k k= = ( ) 0f x > 0a ≥ 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > (0,4] 0a < 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > ( ) 0f x < ( )f x a> − ( ) 0f x < (0,4] ( )f x a> − (0,4] 1,2,3 3(4) ln 24a f− ≥ = ln 6(3) 3a f− < = (1) ln 2a f− < = ln 6 3 ln 23 4a− < ≤ − 4．（2020·四川省高三二模）函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当 时， ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减， 根据选项，可知只有 C 项符合题意.故选：C. 5．（2020·河北省沧州市一中高三三模）已知函数 ， 则方程 恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是（ ）． ( ) 2 1lnf x x x x = − + 0x > ( ) 2 1lnf x x x x = − + ( ) 2 2 2 1 1 ( 1)(2 2 1)2 x x xf x x x x x − + +′ = − − = 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x 0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x ( ) ln , 1 1 1, 14 x x f x x x >=  + ≤ ( )g x ax= ( ) ( )g x f x= a A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数 的图象,见下图. 若 与 相切,求导得 ,设切点为 ,则 ,切线斜率为 ,即切线方程 为: ,该切线过原点,则 ,解得 ,此时 ,显然 与 的图象只有一个交点,即方程 只有一个实根; 若 ,直线 与 的图象在 时无交点,在 时有 2 个交点,符合题意; 若 ,直线 与 的图象在 时有 1 个交点,在 时有 2 个交点,不符合题意; 若 ,直线 与 的图象在 时有 1 个交点,在 时无交点,不符合题意; 若 ,,直线 与 的图象至多有一个交点,不符合题意. 所以只有 符合题意.故选:B. 6．（2020·甘肃省高三三模）若 是函数 的极值点，则 的极小值 为（ ）． 10, e      1 1,4 e     10, 4     1 ,e4      ( )f x ( )g x ( )ln 1y x x= > 1y x ′ = ( )0 0,x y 0 0lny x= 0 1 x ( )0 0 0 1lny x x xx − = − ( )0 0 0 10 ln 0x xx − = − 0 ex = 1 ea = ( ) 1 eg x x= ( )f x ( ) ( )g x f x= 1 1 4 ea≤ < ( )g x ( )f x 1x ≤ 1x > 10 4a< < ( )g x ( )f x 1x ≤ 1x > 0a ≤ ( )g x ( )f x 1x ≤ 1x > 1 e >a ( )g x ( )f x 1 1 4 ea≤ < 2x = − 2 1( ) ( 1)exf x x ax −= + − ( )f x A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得 ， 因为 ，所以 ， ，故 ， 令 ，解得 或 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 的极小值为 ，故选 A． 7．（2020·武威第六中学高三三模）已知函数 ，当 时， 的取值范围为 ，则实数 m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， ， 令 ，则 ； ，则 ， ∴函数 在 单调递增，在 单调递减. ∴函数 在 处取得极大值为 ， ∴ 时， 的取值范围为 ， ∴ 1− 32e−− 35e− 1 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 12 1 2 1x x xf x x a e x ax e x a x a e− − − = + + + − = + + + − ′ ( )2 0f ′ − = 1a = − ( ) ( )2 11 xf x x x e −= − − ( ) ( )2 12 xf x x x e −−′ = + ( ) 0f x′ > 2x < − 1x > ( )f x ( ) ( ), 2 , 1,−∞ − +∞ ( )2,1− ( )f x ( ) ( ) 1 11 1 1 1 1f e −= − − = − ( )( 2) 3,( ln 2)( ) 3 2 ,( ln 2) xx x e xf x x x  − − + ≥=  − ln2 1x< < ( )' 0f x < 1x > ( )f x ( )ln2,1 ( )1,+∞ ( )f x 1x = ( )1 2f e= + ln2x ≥ ( )f x ( ], 2e−∞ + ln2 m 1≤ ≤ 又当 时，令 ，则 ，即 ， ∴ 综上所述， 的取值范围为 .故选 C. 8．（2020·湖南省高三三模）函数 的定义域为________． 【答案】 【解析】因为函数 有意义， 所以 ，解得 所以 ，即 的定义域为 ．故答案为： . ln2x < ( ) 3 2 2f x x e= − ≤ + 1 2 ex −≥ 1 x ln22 e− ≤ < 1 e 22 m ln − ≤ < m 1 ,12 e−     ( )2( ) 25 4 ln 1xf x x e= − + − 5(0, ]2 ( )2( ) 25 4 ln 1xf x x e= − + − 225 4 0, 1 0,x x e  − ≥  − > 5 5 ,2 2 0, x x − ≤ ≤  > 50 2x< ≤ ( )f x 5(0, ]2 5(0, ]2