密云区 2019-2020 学年第二学期高三第二次阶段性测试
数学试卷 2020.6
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 ， ，则在下列集合中符合条件的集合 可能是
A. {0,1} B. C. D.
2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为
A. B. C. D.
3. 已知 ，则下列各不等式中一定成立的是
A． B． C． D．
4.已知函数 满足 ，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D． 2
5.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率为
A. B. C. D.
6.已知平面向量 ，则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知圆 ，若点 P 在圆 上，并且点 P 到直线 的距离为 ，则满足条
件的点 P 的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设函数 ， ，其中 ， ．若 ， ，且
的最小正周期大于 ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
{ | 0}M x x= ∈R ≥ N M⊆ N
2{ | 1}x x = 2{ | 0}x x > R
siny x= cosy x= | |y x x= ln | |y x=
x y>
2 2x y> 1 1
x y
> 1 1( ) ( )3 3
x y> 3 3 2x y−+ >
( )y f x= ( 1) 2 ( )f x f x+ = (5) 3 (3) 4f f= + (4)f =
2
2 1( 0)x y aa
− = > 2 0x y+ =
5
2
17
4
3
2
15
4
和a b | | | |= −b a b 1( ) 02
− =b a a
2 2: ( 1) 2C x y+ − = C y x= 2
2
1( ) sin( )2f x xω ϕ= + x∈R 0ω > | |ϕ < π 5 1( )8 2f π = ( ) 08f 11π = ( )f x 2π 1 3 ω = 24 ϕ 11π= − 2 3 ω = 12 ϕ π= 1 3 ω = 24 ϕ 7π= 2 3 ω = 12 ϕ 11π= −
9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为
A．
B．2
C．
D．
10. 已知函数 的定义域为 ，且满足下列三个条件：
①对任意的 ，且 ，都有 ；
② ；
③ 是偶函数；
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11．抛物线 过点 ，则抛物线的焦点坐标为_______.
12．在 的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．
13. 已知 是数列{ }的前n项和，且 ，则 =_________， 的最小值为
_______．
14. 在 中，三边长分别为 ， ， ，则 的最大内角的余弦值为_________，
的面积为_______．
15. 已知集合 ．给出如下四个结论：
① ，且 ；
②如果 ，那么 ；
③如果 ，那么对于 ，则有 ；
④如果 ， ，那么 ．
其中，正确结论的序号是__________．
2
2 2
2 3
( )f x
(2020)c f=
a b c< < 2 ( )y mx m= 为常数 ( 1,1)− 61( )x x + nS na 2 11 ( *)nS n n n= − ∈N 1a nS ABC 4a = 5b = 6c = ABC ABC 2 2{ , ,A a a x y x y= = − ∈ ∈Z Z} 2 A∉ 3 A∈ { | 2 1, }B b b m m= = − ∈N* B A⊆ { | 2 2, }C c c n n= = + ∈N* c C∀ ∈ c A∈ 1a A∈ 2a A∈ 1 2a a A∈ 第 9 题图 3 1 11 左视图主视图 1 俯视图 2
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
16.（本小题满分 14 分）
如图，直三棱柱 中， ，
是
棱 的中点， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
17.（本小题满分 15 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当 时，关于 的不等式 _______，求实数 的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．
18.（本小题满分 14 分）
某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
（Ⅰ）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽
取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；
（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为 2000 元、2700 元和 3200
元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在 、
、 内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡
会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．
该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖
励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励 500 元、600 元和
元．
方案 2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有
颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为 2，则可
获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖
励．如果每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金
卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．
以方案 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．
1 1 1ABC A B C− 1
1
2AC BC AA= = D
1AA 1DC BD⊥
1DC BC⊥
1 1A BD C− −
π[0, ]2x∈ x ( )f x m≥
(0,1600]
(1600,3200] (3200,4800]
C1
A
BC
A1
B1
第 16 题图
D
(800,1600]
40
30
20
10
0
[0,800] (1600,2400] (2400,3200] (4000,4800](3200,4000]
8
20
25
35
8 4
消费金额/元
人数
19.（本小题满分 14 分）
已知椭圆 ： 过点 ，设它的左、右焦点分别为 ， ，左顶
点为 ，上顶点为 ，且满足 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程和离心率；
（Ⅱ）过点 作不与 轴垂直的直线交椭圆 于 ， （异于点 ）两点，试判断
的大小是否为定值，并说明理由．
20.（本小题满分 14 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）设函数 ，试判断函数 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若
不存在，请说明理由．
（Ⅲ）当 时，写出 与 的大小关系．
21.（本小题满分 14 分）
设 n 为正整数，集合 A= ．对于集合 A 中的任意元素
和 ，记
．
（Ⅰ）当 n=3 时，若 ， ，求 和 的值；
（Ⅱ）当 时，对于 中的任意两个不同的元素 ，
证明： ．
（Ⅲ）给定不小于 2 的正整数 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同元素 ，
．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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数学试卷参考答案 2020.6
3(1, )2P
C
6( ,0)5Q −
( ) ln ,f x x a x a= − ∈R
1a = ( )f x 1x =
1( ) ( ) ah x f x x
+= + ( )h x
0x > lnx x 2x x−
1 2{ | ( , , , ), {0,1}, 1,2, , }n kt t t t k nα α = ∈ =
1 2( , , , )nx x xα = 1 2( , , , )ny y yβ =
1 1 1 1 2 2 2 2
1( , ) [( | |) ( | |) ( | |)]2 n n n nM x y x y x y x y x y x yα β = + − + + − + + + −+ + +
(0,1,1)α = (0,0,1)β = ( , )M α α ( , )M α β
4n = A ,α β
( , ) ( , ) ( , )M M Mα β α α β β+≤
α,β
( , ) ( , ) ( , )M M Mα β α α β β= +
一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B A C C B D D
二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11． 12．20 13． ；
14． ； 15. ①②④．
备注：
（1）若小题有两问，第一问 3 分，第二问 2 分；
（2）第 15 题答案为①②④之一，3 分；为①②④之二，4 分；为①②④，5 分；其它答案 0
分．
三、解答题：共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：在直三棱柱 中，侧面 为矩形．
因为 ， 是棱 的中点，
所以 和 均为等腰直角三角形．
所以 ．
因此 ，即 ．
因为 ， ，
所以 平面 BCD．
因为 平面 BCD，
所以 ．
（Ⅱ）解：因为 平面 ， 平面 ， 平面
，
所以 ， ．
又因为 ， ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以
以 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设 ，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ．
1( ,0)4
− 10− 30−
1
8
15 74
1 1 1ABC A B C− 1 1ACC A
1
1
2AC BC AA= = D 1AA
ADC∆ 1 1A DC∆
o
1 1 45ADC A DC∠ = ∠ =
o
1 90C DC∠ = 1C D DC⊥
1DC BD⊥ BD DC D=
1DC ⊥
BC ⊂
1DC BC⊥
1CC ⊥ ABC AC ⊂ ABC BC ⊂
ABC
1CC AC⊥ 1CC BC⊥
1DC BC⊥ 1 1 1CC DC C=
BC ⊥ 1 1ACC A
AC ⊂ 1 1ACC A BC AC⊥
C
1AC =
(0,0,0)C (1,0,0)A (01 0)B ，， (1 01)D ，， 1(1 0 2)A ，， 1(0,0,2)C
1 (0,0, 1)A D = −
1 ( 1,1, 2)A B = − −
1 (1,0, 1)C D = −
1 (0,1, 2)C B = −
C1
A
BC
A1
B1
第 16 题图
D
D
C1
A
B
C
A1
B1
第 16 题图
z
x
y
设平面 的法向量 ，
由 得
令 ，则 ．
设平面 的法向量 ，
由 得
令 ，则 ．
则有
因为二面角 为锐角，
所以二面角 的大小为 ．
17. （本小题满分 15 分）
（Ⅰ）解：因为
=
= ．
所以函数 的最小正周期 ．
因为函数 的的单调增区间为 ，
所以 ，
解得 ．
所以函数数 的的单调增区间为 ，
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式 有解，即 ．
因为 ，所以 ．
故当 ，即 时，
取得最大值，且最大值为 ．
所以 ．
若选择②
1A BD ( )x y z= ， ，m
1
1
0
0.
A D
A B
⋅ = ⋅ =
，m
m
0
2 0.
z
x y z
− =
− + − =
，
1x = (1,1,0)=m
1C BD ( )x y z= ， ，n
1
1
0
0.
C D
C B
⋅ = ⋅ =
，n
n
0
2 0.
x z
y z
− =
− =
，
1x = (1,2,1)=n
1 1 1 2 0 1 3cos , .| | | | 22 6
⋅ × + × + ×< >= = =⋅ ×
m nm n m n
1A BD C− −
1A BD C− − π
6
2 2( )=2 3sin cos cos sinf x x x x x+ −
3sin 2 cos2x x+
π2sin(2 )6x +
( )f x πT =
siny x= π π[ 2 π, 2 π],2 2k k k− + + ∈Z
π π π2 π 2 2 π,2 6 2k x k k− + + + ∈Z≤ ≤
π ππ π,3 6k x k k− + + ∈Z≤ ≤
( )f x π π[ π, π],3 6k k k− + + ∈Z
( )f x m≥ max( )m f x≤
π[0, ]2x∈ π π 7π26 6 6x +≤ ≤
π π2 6 2x + = π
6x =
( )f x π( ) 26f =
2m≤
由题意可知，不等式 恒成立，即 ．
因为 ，所以 ．
故当 ，即 时，
取得最小值，且最小值为 ．
所以 ．
18．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：记“在抽取的 2 人中至少有 1 位消费者在去年的消费超过 4000 元”为事件 A.
由图可知，去年消费金额在 内的有 8 人，在 内的有 4 人，
消费金额超过 3200 元的“健身达人”共有 8+4=12（人），
从这 12 人中抽取 2 人，共有 种不同方法，
其中抽取的 2 人中至少含有 1 位消费者在去年的消费超过 4000 元，共有 种不
同方法．
所以， ．
（Ⅱ）解：方案 1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”，
则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为
， ， ，
按照方案 1 奖励的总金额为
（元）．
方案 2 设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则 的可能取值为 0，200，300．
由题意，每摸球 1 次，摸到红球的概率为 ，
所以 ，
，
．
所以 的分布列为：
( )f x m≥ min( )m f x≤
π[0, ]2x∈ π π 7π26 6 6x +≤ ≤
π 7π2 6 6x + = π
2x =
( )f x π( ) 12f = −
1m −≤
(3200,4000] (4000,4800]
2
12C
1 1 2
8 4 4C C C+
( )P A =
1 1 2
8 4 4
2
12
19= 33
C C C
C
+
8 20 25 7100
+ × = 25 35 25 15100
+ × = 12 25 3100
× =
1 7 500 15 600 3 800 14900ξ = × + × + × =
η
η
1
2
1
5
2
5
CP C
= =
0 3 0 1 2 1
3 3
3 2 3 2 81( 0) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 125P C Cη = = + =
2 1 2
3
3 2 36( 200) ( ) ( )5 5 125P Cη = = =
3 0 3
3
3 2 8( 300) ( ) ( )5 5 125P Cη = = =
η
数学期望为 （元），
按照方案 2 奖励的总金额为
（元），
因为由 ，所以施行方案 2 投资较少．
19．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：根据题意得
解得
所以椭圆 的方程为 ，离心率 ．
（Ⅱ）解：方法一
因为直线不与 轴垂直，所以直线的斜率不为 ．
设直线的方程为： ，
联立方程 化简得 ．
显然点 在椭圆 的内部，所以 ．
设 ， ，
则 ， ．
又因为 ，所以 ， ．
所以
81 36 80 200 300 76.8125 125 125Eη = × + × + × =
2 (28 60 2 12 3) 76.8 14131.2ξ = + × + × × =
1 2
ξ ξ>
2 2
2 2
2 2 2
1 3 1,4
15 2 ,6
.
a b
a b c
a b c
+ =
+ = ×
= +
2,
1,
3.
a
b
c
=
=
=
C
2
2 14
x y+ = 3е 2
=
6
5x ty= −
2
2
6 ,5
1.4
x ty
x y
= −
+ =
2 2 12 64( 4) 05 25t y ty+ − − =
6( ,0)5Q − C 0∆ >
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
1 2 2
12
5( 4)
ty y t
+ = + 1 2 2
64
25( 4)y y t
= − +
( 2,0)A − 1 1( 2, )AM x y= +
2 2( 2, )AN x y= +
1 2 1 2( 2)( 2)AM AN x x y y= + + +
B
A
M
N
Q
x
y
=0
所以 ，即 是定值．
方法二
（1）当直线垂直于 轴时
解得 与 的坐标为 ．
由点 ，易证 ．
（2）当直线斜率存在时
设直线的方程为： ，
联立方程 化简得 ．
显然点 在椭圆 的内部，所以 ．
设 ， ，
则 ， ．
又因为 ，所以 ， ．
所以
=0
所以 ，即 是定值．
20.（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：当 时， ，
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
2 2
6 6( 2)( 2)5 5
4 16( 1) ( )5 25
64 4 12 16( 1) ( )25( 4) 5 5( 4) 25
ty tx y y
t y y t y y
tt tt t
= − + − + +
= + + + +
= + × − + × ++ +
AM AN⊥ o90MAN∠ =
x
M N 6 4( , )5 5
− ±
( 2,0)A − o90MAN∠ =
6( ), 0.5y k x k= + ≠
2
2
6( ),5
1.4
y k x
x y
= +
+ =
2
2 2 248 4(36 25)(1 4 ) 05 25
kk x k x
−+ + + =
6( ,0)5Q − C 0∆ >
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
2
1 2 2
48
5(1 4 )
kx x k
+ = − +
2
1 2 2
4(36 25)
25(1 4 )
kx x k
−= +
( 2,0)A − 1 1( 2, )AM x y= +
2 2( 2, )AN x y= +
1 2 1 2( 2)( 2)AM AN x x y y= + + +
1 2 1 2
2
2 2
1 2 1 2
2 2 2
2 2
2 2
6 6( 2)( 2) ( ) ( )5 5
6 36( 1) (2 )( ) 45 25
4(36 25) 6 48 36( 1) (2 ) 425(1 4 ) 5 5(1 4 ) 25
x x k x k x
kk x x k x x
k k kk kk k
= + + + + +
= + + + + + +
− −= + × + + × + ++ +
AM AN⊥ o90MAN∠ =
1a = ( ) ln , 0f x x x x= − >
所以 ，因此 ．
又因为 ，所以切点为 ．
所以切线方程为 ．
（Ⅱ）解： ．
所以 ．
因为 ，所以 ．
（1）当 ，即 时
因为 ，所以 ，故 ．
此时函数 在 上单调递增．
所以函数 不存在最小值．
（2）当 ，即 时
令 ，因为 ，所以 ．
与 在 上的变化情况如下：
− 0 +
↘ 极小值 ↗
所以当 时， 有极小值，也是最小值，
并且 ．
综上所述，
当 时，函数 不存在最小值；
当 时，函数 有最小值 ．
（Ⅲ）解：当 时， ．
21．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：因为 ， ，
所以 ，
．
（Ⅱ）证明：当 时，对于 中的任意两个不同的元素 ，
设 ，有
．
对于任意的 ， ，
1'( ) 1 , 0f x xx
= − > '(1) 0k f= =
(1) 1f = (1,1)
1y =
1( ) ln 0ah x x a x x ax
+= − + > ∈R， ，
2 2
1 ( 1)( 1)'( ) 1 0a a x x ah x xx x x
+ + − −= − − >= ，
0x > 1 0x + >
1 0a + ≤ a ≤- 1
0x > ( 1) 0x a− + > '( ) 0h x >
( )h x (0, )+∞
( )h x
1 0a + > a >- 1
'( ) 0h x = 0x > 1x a= +
( )h x '( )h x (0, )+∞
x (0, 1)a + 1a + ( 1, )a + +∞
'( )h x
( )h x
1x a= + ( )h x
min( ) ( 1) 2 ln( 1)h x h a a a a= + = + − +
a ≤- 1 ( )h x
1a > − ( )h x 2 ln( 1)a a a+ − +
0x > 2lnx x x x−≤
(0,1,1)α = (0,0,1)β =
1( , ) [(0 0 | 0 0 |) (1 1 |1 1|) (1 1 |1 1|)] 22M α α = + + − + + + − + + + − =
1( , ) [(0 0 | 0 0 |) (1 0 |1 0 |) (1 1 |1 1|)] 22M α β = + + − + + + − + + + − =
4n = A ,α β
1 2 3 4 1 2 3 4( , , , ) ( , , , )x x x x y y y yα β= =，
1 2 3 4 1 2 3 4( , ) ( , )M x x x x M y y y yα α β β= + + + = + + +，
,i ix y 1,2,3,4i =
当 时，有 ，
当 时，有 ．
即 ．
所以，有 ．
又因为 ，
所以 ， ，当且仅当 时等号成立．
所以，
，
即 ，当且仅当 （ ）时等号成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的 ，
若 ，则 ， 成立．
所以，考虑设
，
，
对于任意的 ，
．
所以 ．
假设满足条件的集合 B 中元素个数不少于 ，
则至少存在两个元素在某个集合 （ ）中，
不妨设为 ，则 ．
与假设矛盾，所以满足条件的集合 B 中元素个数不多于 ．
取 ；
对于 ，取 ，且 ； ．
令 ，
则集合 满足条件，且元素个数为 ．
故 是一个满足条件且元素个数最多的集合．
i ix y≥ 1 1( | |) [ ( )]2 2i i i i i i i i ix y x y x y x y x+ + − = + + − =
i ix y≤ 1 1( | |) [ ( )]2 2i i i i i i i i ix y x y x y x y y+ + − = + − − =
1 ( | |) max{ , }2 i i i i i ix y x y x y+ + − =
1 1 2 2 3 3 4 4( , ) max{ , } max{ , } max{ , } max{ , }M x y x y x y x yα β = + + +
, {0,1}i ix y ∈
max{ , }i i i ix y x y≤ + 1,2,3,4i = 0i ix y =
1 1 2 2 3 3 4 4max{ , } max{ , } max{ , } max{ , }x y x y x y x y+ + +
1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y≤ + + + + + + +
1 2 3 4 1 2 3 4( ) ( )x x x x y y y y= + + + + + + +
( , ) ( , ) ( , )M M Mα β α α β β≤ + 0i ix y = 1,2,3,4i =
1 2 3 1 2 3( , , , , ) ( , , , , )n nx x x x y y y yα β= = ，
( , ) ( , ) ( , )M M Mα β α α β β= + 0i ix y = 1,2,3, ,i n=
0 1 2 3 1 2{( , , , , ) |, 0}n nA x x x x x x x= = = = =
1 1 2 3 1{( , , , , ) | 1, {0,1}, 2,3, , }n iA x x x x x x i n= = ∈ =
2,3, ,k n=
1 2 3 1 2 3 1 2 1{( , , , , ) | ( , , , , ) , 0, 1}k n n k kA x x x x x x x x A x x x x−= ∈ = = = = =
0 1 nA A A A=
2n +
kA 1,2, , 1k n= −
1 2 3 1 2 3( , , , , ) ( , , , , )n nx x x x y y y yα β= = ， 1k kx y= =
1n +
0 (0,0, 0)e =
1,2, , 1k n= − 1 2 3( , , , , )k n ke x x x x A= ∈ 1 0k nx x+ = = = n ne A∈
0 1{ , , , }nB e e e=
B 1n +
B
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