数学二模试卷
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，5}，B＝{2，5}，则（ ）
A．A⊂B B．∁UB＝{1，3，4} C．A∪B＝{2，5} D．A∩B＝{3}
2．若（x﹣i）i＝y+2i，x，y∈R，则复数 x+yi 的虚部为（ ）
A．2 B．1 C．i D．﹣1
3．已知函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 x+2y﹣2＝0，则 f（1）+f′（1）＝
（ ）
A．3
2 B．1 C．1
2 D．0
4．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜휋
2）的图象如图所示，则 f（휋
3）的值为
（ ）
A．1
2 B．1 C． 2 D． 3
5．下列命题错误的是（ ）
A．“x＝2”是“x2﹣4x+4＝0”的充要 条件
B．命题“若 m ≥ - 1
4，则方程 x2+x﹣m＝0 有实根”的逆命题为真命题
C．在△ABC 中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”
D．若等比数列{an}公比为 q，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的充要条件
6．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘
图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河
图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九
同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一
数，则其差的绝对值为 5 的概率为（ ）A．1
5 B． 6
25 C． 7
25 D． 8
25
7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前 300 年左
右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”
程序框图．当输入 m＝2020，n＝303 时，则输出的 m 是（ ）
A．2 B．6 C．101 D．202
8．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，其一条渐近线被圆（x﹣m）2+y2＝
4（m＞0）截得的线段长为 2，则实数 m 的值为（ ）
A． 3 B． 2 C．2 D．1
9．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x） = (1
2)푥 + 2．则使不等式 f
（x﹣1）＜9
4成立的 x 取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3）
C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
10．函数 f（x） = (1 + 푒푥
1 ― 푒푥) ⋅ 푐표푠푥在[﹣5，5]的图形大致是（ ）A． B．
C． D．
11．已知三棱锥 P﹣ABC 中，∠APB = 2휋
3 ，PA＝PB= 3，AC＝5，BC＝4，且平面 PAB⊥平面
ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．28π C．24π D．32π
12．已知函数 f（x） = 푒푥 ―
푥 + 1
푥 ― 1，对于函数 f（x）有下述四个结论：
①函数 f（x）在其定义域上为增函数；
②对于任意的 a＜0，都有 f（a）＞﹣1 成立；
③f（x）有且仅有两个零点；
④若 y＝ex 在点（x0，ex0）（x0≠1）处的切线也是 y＝lnx 的切线，则 x 0 必是 f（x）零
点．
其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置）
13．已知向量
→
a = （﹣4，2），
→
b = （1，﹣1），若
→
b⊥（
→
a + 푘
→
푏），则 k＝ ．
14．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入 16 万元帮助当地贫困户
通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本 3 万元，从第二年起每
年投入运营成本比上一年增加 2 万元，该厂每年可以收入 20 万元，若该厂 n（n∈N*）年
后，年平均盈利额达到最大值，则 n 等于 ．（盈利额＝总收入﹣总成本）
15．在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，则平面 A1EC 截该正
方体所得截面面积为： ．16．过点 P（1， - 1
2）作圆 x2+y2＝1 的切线 l，已知 A，B 分别为切点，直线 AB 恰好经过
椭圆的右焦点和下顶点，则直线 AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 ．（第一
空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60
分
17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B＝2C，3b＝4c．
（1）求 cosC；
（2）若 c＝3，求△ABC 的面积．
18．（12 分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，
质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发
出 A、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产
品的质量指标值，规定指标值小于 85 时为废品，指标值在[85，115）为一等品，大于 115
为特等品．现把测量数据整理如下，其中 B 配方废品有 6 件．
A 配方的频数分布表
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115）[115，125）
频数 8 a 36 24 8
（1）求 a，b 的值；
（2）试确定 A 配方和 B 配方哪一种好？（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区
间的中点值作为代表）19．如图 1，在▱ABCD 中，AD＝4，AB＝2 2，∠DAB＝45°，E 为边 AD 的中点，以 BE
为折痕将△ABE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到图 2 几何体 P﹣EBCD．
（1）证明：PD⊥BE；
（2）当 BC⊥平面 PEB 时，求三棱锥 C﹣PBD 的体积．
20．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）与直线 l：x+y+1＝0 相切于点 A，点 B 与 A 关于 x 轴对
称．
（1）求抛物线 C 的方程，及点 B 的坐标；
（2）设 M、N 是 x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN＝∠BNM，直线 BM、BN 与抛
物线 C 的另一个交点分别为 P、Q，试判断直线 PQ 与直线 l 的位置关系，并说明理由．如
果相交，求出的交点的坐标．
21．设函数 f（x）＝（x2+m）ex．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若 g（x）＝2ex﹣nx﹣1﹣f（x），当 m＝1，且 x≥0 时，g（x）≤0，求 n 的取值范
围．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4-4：坐
标系与参数方程]22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C：{x = 2cosθ
푦 = 3푠푖푛휃，（θ 为参数），以原点 O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程ρcos(θ - 휋
4) = 푎，点 M（ 2，
휋
4）．在直线 l 上，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；
（2）求△OAB 的面积．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）若 f（x）≤1，求 x 的取值范围；
（2）若 f（x）最大值为 M，且 a+b+c＝M，求证：a2+b2+c2≥3．一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，5}，B＝{2，5}，则（ ）
A．A⊂B B．∁UB＝{1，3，4} C．A∪B＝{2，5} D．A∩B＝{3}
进行交集、并集和补集的运算即可．
∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，5}，B＝{2，5}，
∴B⊂A，∁UB＝{1，3，4}，A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{2，5}．
故选：B．
本题考查了列举法的定义，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．若（x﹣i）i＝y+2i，x，y∈R，则复数 x+yi 的虚部为（ ）
A．2 B．1 C．i D．﹣1
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 x，y，则答案可求．
∵（x﹣i）i＝1+xi＝y+2i，
∴x＝2，y＝1，
∴x+yi 的虚部是 1，
故选：B．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．已知函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 x+2y﹣2＝0，则 f（1）+f′（1）＝
（ ）
A．3
2 B．1 C．1
2 D．0
将切点横坐标代入切线方程，可求得 f（1），切线的斜率即为切点处的导数值，即 f′
（1）．
因为切点（1，f（1））在切线 x+2y﹣2＝0 上，
∴1+2f（1）﹣2＝0，得 f（1） = 1
2，
又切线斜率为 - 1
2，∴f'(1) = - 1
2．
∴f(1) + f'(1) = 1
2 ―
1
2 = 0．
故选：D．本题考查导数的几何意义，以及利用导数求切线方程的基本思路．属于基础题．
4．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜휋
2）的图象如图所示，则 f（휋
3）的值为
（ ）
A．1
2 B．1 C． 2 D． 3
根据函数 f（x）的图象求得 A、T、ω 和 φ 的值，写出 f（x）的解析式，再计算 f（휋
3）的
值．
根据函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象可得 A＝2，푇
2 =
2휋
3 ―
휋
6 =
휋
2，解得 T＝π，
根据 T = 2휋
|휔|，且 ω＞0，得 ω = 2휋
휋 = 2，∴y＝f（x）＝2sin（2x+φ），
又 f（x）的图象过点（휋
6，2），∴2＝2sin（2 × 휋
6 + φ），
即 2 × 휋
6 + φ = 휋
2 + 2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ + 휋
6，k∈Z，又因|φ|＜휋
2，∴φ = 휋
6，
∴f（x）＝2sin（2x + 휋
6），
计算 f（휋
3）＝2sin（2 × 휋
3 +
휋
6）＝2sin
5휋
6 = 1．
故选：B．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
5．下列命题错误的是（ ）
A．“x＝2”是“x2﹣4x+4＝0”的充要条件
B．命题“若 m ≥ - 1
4，则方程 x2+x﹣m＝0 有实根”的逆命题为真命题
C．在△ABC 中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”
D．若等比数列{an}公比为 q，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的充要条件
A，用配方法解一元二次方程即可作出判断；B，先写出原命题的逆命题，再根据判别式△≥0，解得 m 的取值范围，即可作出判断；
C，先根据大角对大边，再结合正弦定理即可得解；
D，列举特殊数列：例如﹣1，﹣2，﹣4，……和﹣4，﹣2，﹣1，……，可以说明“q＞
1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
由 x2﹣4x+4＝0⇔（x﹣2）2＝0⇔x﹣2＝0⇔x＝2，∴A 正确；
命题“若m ≥ - 1
4，则方程 x2+x﹣m＝0 有实根”的逆命题为命题“若方程 x2+x﹣m＝0
有实根，则m ≥ - 1
4”，
∵方程 x2+x﹣m＝0 有实根⇒△＝1+4m≥0⇒m ≥ - 1
4，∴B 正确；
在△ABC 中，若 A＞B⇒a＞b⇒sinA＞sinB（根据正弦定理），∴C 正确；
例如数列﹣1，﹣2，﹣4，……是 q＞1 的等比数列，但该数列单调递减；又如数列﹣4，﹣
2，﹣1，……是单调递增数列，但 q＜1，
因此对于公比为 q 的等比数列{an}，“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要
条件，∴D 错误．
故选：D．
本题考查命题的真假，涉及原命题与逆命题的关系、充要条件等知识点，考查学生灵活
运用知识的能力和推理论证能力，属于基础题．
6．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘
图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河
图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九
同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一
数，则其差的绝对值为 5 的概率为（ ）
A．1
5 B． 6
25 C． 7
25 D． 8
25
阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数的所有组
合共有：5×5＝25 个，利用列举法求出满足差的绝对值为 5 的有 5 个，由此能求出其差的绝对值为 5 的概率．
因为阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，
所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：5×5＝25 个，
满足差的绝对值为 5 的有：（1，6），（3，8），（5，10），（7，2），（9，4）共 5 个，
则 p = 5
25 =
1
5．
故选：A．
本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属
于基础题．
7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前 300 年左
右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”
程序框图．当输入 m＝2020，n＝303 时，则输出的 m 是（ ）
A．2 B．6 C．101 D．202
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值，模拟
程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
输入 m＝2020，n＝303，又 r＝1．
①r＝1＞0，2020÷303＝6…202，
r＝202，m＝303，n＝202；
②r＝202＞0，303÷202＝1…101
r＝101，m＝202，n＝101；
③r＝101＞0，202÷101＝2…0．
r＝0，m＝101，n＝0；④r＝0，则 r＞0 否，输出 m＝101．
故选：C．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的
结论，是基础题．
8．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，其一条渐近线被圆（x﹣m）2+y2＝
4（m＞0）截得的线段长为 2，则实数 m 的值为（ ）
A． 3 B． 2 C．2 D．1
利用双曲线的离心率，求出 a，b 关系，得到双曲线的渐近线方程，利用垂经定理，转化
求解即可．
依题意：푐
푎 =
푐2
푎2 = 1 + 푏2
푎2 = 2，可得푏
푎 = 3，
∴双曲线渐近线方程为：y = ± 3푥．
不妨取渐近线 l1： 3푥 ― y＝0，则圆心（m，0）（m＞0）到 l 1 的距离 d = | 3푚|
2 =
3푚
2 ．
由勾股定理得（
3푚
2 ）2+（2
2）2＝22，解得 m＝±2，∵m＞0，∴m＝2，
故选：C．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．
9．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x） = (1
2)푥 + 2．则使不等式 f
（x﹣1）＜9
4成立的 x 取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3）
C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
根据题意，由函数的解析式可得 f（2） = 9
4且 f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数
的奇偶性可得 f（x﹣1）＜9
4⇒f（|x﹣1|）＜f（2）⇒|x﹣1|＞2，解可得 x 的取值范围，即
可得答案．
根据题意，当 x≥0 时，f（x） = (1
2)푥 + 2，则有 f（2） = 1
4 + 2 = 9
4，
且 f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由 f（x）为偶函数，则 f（x﹣1）＜9
4⇒f（|x﹣1|）＜f（2）⇒|x﹣1|＞2，
解可得：x＜﹣1 或 x＞3，
即 x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；
故选：A．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．
10．函数 f（x） = (1 + 푒푥
1 ― 푒푥) ⋅ 푐표푠푥在[﹣5，5]的图形大致是（ ）
A． B．
C． D．
先计算 f（﹣x），与 f（x）进行比较，可判断函数的奇偶性，优先排除选项 D，再当0＜x
＜휋
2时，判断函数每一部分的正负性可排除选项 B，最后计算 x→0+时，可得 y→﹣∞，从
而确定正确的选项．
f（﹣x） = 1 + 푒―푥
1 ― 푒―푥 ⋅ 푐표푠( ― 푥) = ―
1 + 푒푥
1 ― 푒푥 ⋅ 푐표푠푥 = ― f（x），∴函数 f（x）是奇函数，图象
关于原点对称，排除选项 D；
f（x）在 y 轴右侧第一个零点为x = 휋
2．
当0＜x＜휋
2时，1+ex＞0，1﹣ex＜0，cosx＞0，∴f（x）＜0，排除选项 B；
当 x→0+时，1+ex→2，1﹣ex→0，cosx→1，且 1﹣ex＜0，∴y→﹣∞．
故选：A．
本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面
着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．
11．已知三棱锥 P﹣ABC 中，∠APB = 2휋
3 ，PA＝PB= 3，AC＝5，BC＝4，且平面 PAB⊥平面
ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．28π C．24π D．32π
先求出 AB，得到△ABC 为直角三角形，所以 CB⊥平面 PAB，所以几何体的外接球的球心到平面 PAB 的距离为1
2퐵퐶 = 2，再利用正弦定理求出△PAB 的外接圆半径为 r，利用
勾股定理即可求出几何体的外接球半径为 R，从而得到外接球的表面积．
在△PAB 中，由余弦定理得 AB＝3，又 AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC 为直角三角形，CB⊥AB，又平面 PAB⊥平面 ABC 且交于 AB，
∴CB⊥平面 PAB，
设△PAB 的外接圆的圆心为 M，半径为 r，则 2r = 3
푠푖푛2휋
3
= 2 3，∴r = 3，
且三棱锥 P﹣ABC 的外接球的球心在过点 M 的平面 PAB 的垂线上，如图所示：
，
因为 CB⊥平面 PAB，
所以几何体的外接球的球心到平面 PAB 的距离为1
2퐵퐶 = 2，即 OM＝2，
设几何体的外接球半径为 R，
在 Rt△OBM 中，则R2 = 22 +( 3)2 = 7，
所求外接球的表面积 S＝4πR2＝28π，
故选：B．
本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．
12．已知函数 f（x） = 푒푥 ―
푥 + 1
푥 ― 1，对于函数 f（x）有下述四个结论：
①函数 f（x）在其定义域上为增函数；
②对于任意的 a＜0，都有 f（a）＞﹣1 成立；
③f（x）有且仅有两个零点；
④若 y＝ex 在点（x0，ex0）（x0≠1）处的切线也是 y＝lnx 的切线，则 x 0 必是 f（x）零
点．其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
①对函数求导得f'(x) = 푒푥 +
2
(푥 ― 1)2＞0，只能说明 f（x）在区间（﹣∞，1）和（1，+
∞）上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域内是增函数；
②直接计算 f（a）的值，分离常数后，在 a＜0 的条件下，与﹣1 比较大小即可作出判断；
③由①可知，f（x）在区间（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数，分别在两个区间上
使用零点存在定理进行判断，其中找区间端点值是关键步骤；
④先写出 y＝ex 在点（x0，ex0）（x0≠1）处的切线方程 l，再设直线 l 与 y＝lnx 相切于点 A
（x1，lnx1），利用导数求出斜率以及把点 A 坐标代入切线 l 的方程，化简整理后可得e푥0 ―
푥0 + 1
푥0 ― 1 = 0（x0≠1），故而即可作出判断．
①依题意，f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f'(x) = 푒푥 +
2
(푥 ― 1)2＞0，
∴f（x）在区间（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域
内是增函数，即①错误；
②当 a＜0 时，有e푎 ―
2
푎 ― 1＞0，
∴f(a) = 푒푎 ―
푎 + 1
푎 ― 1 = ―1 + 푒푎 ―
2
푎 ― 1＞ ― 1成立，即②正确；
③∵f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，且f( - 2) = 푒―2 ―
1
3 =
1
푒2 ―
1
3＜0，f（0）＝
2＞0．
∴f（﹣2）•f（0）＜0，即 f（x）在区间（﹣∞，1）上有且仅有 1 个零点．
∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，且f(5
4) = 푒
5
4 ― 9＜3
5
4 ― 32＜0，f（2）＝e2﹣3＞
0，
∴f(5
4) ⋅ 푓(2)＜0，（也可以利用当 x→1+时，f（x）→﹣∞，f（2）＝e2﹣3＞0），即 f（x）
在区间（1，+∞）上有且仅有 1 个零点．
因此，f（x）有且仅有两个零点，即③正确；
④∵y＝ex 在点（x0，ex0）（x0≠1）处的切线方程 l 为y - 푒푥0 = 푒푥0(푥 ― 푥0)．
又 l 也是 y＝lnx 的切线，设其切点为 A（x1，lnx1），则 l 的斜率k = 1
푥1
，
从而直线 l 的斜率k = 1
푥1
= e푥0，∴x1 = 푒―푥0，即切点为A(푒―푥0， ― 푥0)，又点 A 在 l 上，∴ - 푥0 ― 푒푥0 = 푒푥0(푒―푥0 ― 푥0)，∴e푥0 ―
푥0 + 1
푥0 ― 1 = 0（x0≠1），∴x0 必是 f
（x）零点，即④正确．
综上，正确的有②③④，
故选：C．
本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，考查学
生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置）
13．已知向量
→
a = （﹣4，2），
→
b = （1，﹣1），若
→
b⊥（
→
a + 푘
→
푏），则 k＝ 3 ．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得 k 的值．
∵向量
→
a = （﹣4，2），
→
b = （1，﹣1），若
→
b⊥（
→
a + 푘
→
푏），
则
→
b•（
→
a + 푘
→
푏） =
→
푎 ⋅
→
푏 + k
→
b
2
= ― 4﹣2+（k•2）＝2k﹣6＝0，
∴k＝3，
故答案为：3．
本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．
14．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入 16 万元帮助当地贫困户
通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本 3 万元，从第二年起每
年投入运营成本比上一年增加 2 万元，该厂 每年可以收入 20 万元，若该厂 n（n∈N*）
年后，年平均盈利额达到最大值，则 n 等于 4 ．（盈利额＝总收入﹣总成本）
设每年的营运成本为数列{an}，依题意该数列为等差数列，且 a1＝3，d＝2．所以 n 年后
总营运成本 Sn＝n2+2n，因此，年平均盈利额为：20푛 ― (푛2 + 2푛) ― 16
푛 ，利用基本不等式
的性质即可得出．
设每年的营运成本为数列{an}，依题意该数列为等差数列，且 a1＝3，d＝2．
所以 n 年后总营运成本 Sn＝n2+2n，
因此，年平均盈利额为：20푛 ― (푛2 + 2푛) ― 16
푛 = ― n - 16
푛 + 18≤﹣2 n × 16
푛 + 18＝10，
当且仅当 n＝4 时等号成立．
故答案为：4．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．15．在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，则平面 A1EC 截该正
方体所得截面面积为： 2 6 ．
作出截面截面 A1ECF，F 为 B1B 的中点，则可得截面 A1ECF 是边长为 5的菱形，求出其
面积即可
【解答】解：如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，
∵平面 A1D1DA∥平面 B1C1CB，
∴平面 A1EC 与平面 B1C1CB 的交线必过 C 且平行于 A1E，
故平面 A1EC 经过 B1B 的中点 F，连接 A1F，得截面 A1ECF，
易知截面 A1ECF 是边长为 5的菱形，其对角线 EF＝BD＝2 2，
A1C＝2 3，截面面积 S = 1
2A1C×EF = 1
2 × 2 2 × 2 3 = 2 6．
故答案为：2 6．
本题考查平面截正方体所得截面的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
16．过点 P（1， - 1
2）作圆 x2+y2＝1 的切线 l，已知 A，B 分别为切点，直线 AB 恰好经过
椭圆的右焦点和下顶点，则直线 AB 方程为 2x﹣y﹣2＝0 ；椭圆的标准方程是 푥2
5 +
푦2
4
= 1 ．（第一空 2 分，第二空 3 分）
①当过点（1， - 1
2）的直线 l 斜率不存在时，直线方程为：x＝1，切点的坐标 A（1，
0）；②当直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k（x﹣1） - 1
2，利用直线与圆相切，求出 k =
3
4，得到 l：y = 3
4푥 ―
5
4．然后求解 B（3
5， - 4
5）；得到直线 AB 方程为 2x﹣y﹣2＝0，然
后利用椭圆的性质，转化求解 a，b，得到椭圆方程．
①当过点（1， - 1
2）的直线 l 斜率不存在时，直线方程为：x＝1，切点的坐标 A（1，
0）；
②当直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k（x﹣1） - 1
2，根据直线与圆相切，圆心（0，
0）到切线的距离等于半径 1，可以得到切线斜率 k = 3
4，即 l：y = 3
4푥 ―
5
4．直线 l 方程
与圆方程的联立可以得切点的坐标 B（3
5， - 4
5）；
根据 A、B 两点坐标可以得到直线 AB 方程为 2x﹣y﹣2＝0，（或利用过圆 x2+y2＝r2 外一
点（x0，y0）作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为 x0x+y0y＝r2）
依题意，AB 与 x 轴的交点（1，0）即为椭圆右焦点，得 c＝1，与 y 轴的交点（0，﹣2）
即为椭圆下顶点坐标，所以 b＝2，根据公式得 a2＝b2+c2＝5，因此，椭圆方程为：푥2
5 +
푦2
4
= 1．
故答案为：2x﹣y﹣2＝0；푥2
5 +
푦2
4 = 1．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算
能力，是中档题．
三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60
分
17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B＝2C，3b＝4c．
（1）求 cosC；
（2）若 c＝3，求△ABC 的面积．
（1）依题意由正弦定理得：3sinB＝4sinC，利用二倍角公式结合 C∈（0，π），sinC≠0，
即可求解 cosC = 2
3．
（2）由题意得：c＝3，b＝4，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值，利用二倍
角公式可求 sinB，cosB 的值，进而利用两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值，利用三角
形的面积公式即可求解．（1）依题意，由正弦定理得：3sinB＝4sinC，
∵B＝2C，
∴3sin2C＝4sinC，
∴3sinCcosC＝2sinC，
∴C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosC = 2
3．
（2）由题意得：c＝3，b＝4，
∵C∈（0，π），
∴sinC = 1 ― 푐표푠2퐶 =
5
3 ，
∴sinB＝sin2C＝2sinCcosC = 4 5
9 ，cosB＝cos2C＝cos2C﹣sin2C = - 1
9，
∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC = 4 5
9 ×
2
3 ―
1
9 ×
5
3 =
7 5
27 ，
∴S△ABC = 1
2bcsinA = 1
2 × 4 × 3 ×
7 5
27 =
14 5
9 ．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数
公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标
越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出 A、B 两
种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量
指标值，规定指标值小于 85 时为废品，指标值在[85，115）为一等品，大于 115 为特等
品．现把测量数据整理如下，其中 B 配方废品有 6 件．
A 配方的频数分布表
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115）[115，125）
频数 8 a 36 24 8
（1）求 a，b 的值；
（2）试确定 A 配方和 B 配方哪一种好？（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区
间的中点值作为代表）（1）A、B 配方样本容量相同，设为 n，B 配方废品有 6 件．由 B 配方的频频率分布直方
图，能求出 n＝100，从而求出 a 和 b．
（2）由 A 配方的频数分布表能求出 A 配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本
方差；由 B 配方的频频率分布直方图能求出 B 配方质量指标值的样本平均数和质量指标
值的样本方差，由两种配方质量指标值的样本平均数相等，但 A 配方质量指标值不够稳
定，得到选择 B 配方比较好．
（1）依题意，A、B 配方样本容量相同，设为 n，又 B 配方废品有 6 件．
由 B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为6
푛 = 0.006 × 10，
解得 n＝100，∴a＝100﹣（8+36+24+8）＝24，
由（0.006+b+0.038+0.022+0.008）×10＝1，
解得 b＝0.026．∴a，b 的值分别为 24，0.026．
（2）由（1）及 A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为：
x퐴 =
80 × 8 + 90 × 24 + 100 × 36 + 110 × 24 + 120 × 8
100 =
200 × 8 + 200 × 24 + 100 × 36
100
= 100，
质量指标值的样本方差为S퐴
2 =
1
100[（﹣20）2×8+（﹣10）2×24+0×36+102×24+202×8]
＝112，
由 B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为
x퐵 = 80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100，
质量指标值的样本方差为：
S퐵
2 =
5
i=1
(푥푖 ― 푥)2푝푖 = （﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08
＝104，
综上，x퐴 = 푥퐵，S퐴
2＞S퐵
2，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但 A 配方质量指标值不够稳定，
所以选择 B 配方比较好．
本题考查频数和频率的求法，考查平均数、方差的求法及应用，考查频率分布直方图的
性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．如图 1，在▱ABCD 中，AD＝4，AB＝2 2，∠DAB＝45°，E 为边 AD 的中点，以 BE
为折痕将△ABE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到图 2 几何体 P﹣EBCD．
（1）证明：PD⊥BE；
（2）当 BC⊥平面 PEB 时，求三棱锥 C﹣PBD 的体积．
（1）由余弦定理得 EB2＝AB2+AE2﹣2AB•AEcos45°＝4，从而 AB2＝AE2+EB2，进而 EB
⊥AD，以 BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，EB⊥PE，EB⊥ED．又 ED∩PE＝
E，从而 BE⊥平面 PED，由此能证明 PD⊥BE．
（2）推导出 BC⊥PE，EB⊥PE，从而 PE⊥平面 BCE，PE 就是三棱锥 P﹣CBD 的高，
由 VC﹣PBD＝VP﹣CBD = 1
3S△BCD×PE，能求出三棱锥 C﹣PBD 的体积．
（1）证明：依题意，在△ABE 中，AE＝2，AB＝2 2，∠EAB＝45°，
由余弦定理得：
EB2＝AB2+AE2﹣2AB•AEcos45°＝8+4﹣2×2 2 × 2 ×
2
2 = 4，
∴AB2＝AE2+EB2，即在▱ABCD 中，EB⊥AD，
以 BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体 P﹣EBCD 中，
EB⊥PE，EB⊥ED．又 ED∩PE＝E，∴BE⊥平面 PED，
又 BE⊂平面 PEB，∴PD⊥BE．
（2）解：∵BC⊥平面 PEB，PE⊂平面 PEB，∴BC⊥PE，
由（1）得 EB⊥PE，同理可得 PE⊥平面 BCE，
即 PE⊥平面 BCD，PE 就是三棱锥 P﹣CBD 的高，
又∠DCB＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝4，CD＝AB＝2 2，PE＝AE＝2，∴S△CBD = 1
2 × BC×CD×sin45° = 1
2 × 4×2 2 ×
2
2 = 4，
VC﹣PBD＝VP﹣CBD = 1
3S△BCD×PE = 1
3 × 4×2 = 8
3．
因此，三棱锥 C﹣PBD 的体积为8
3．
本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间
的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）与直线 l：x+y+1＝0 相切于点 A，点 B 与 A 关于 x 轴对
称．
（1）求抛物线 C 的方程，及点 B 的坐标；
（2）设 M、N 是 x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN＝∠BNM，直线 BM、BN 与抛
物线 C 的另一个交点分别为 P、Q，试判断直线 PQ 与直线 l 的位置关系，并说明理由．如
果相交，求出的交点的坐标．
（1）联立{y2 = 2푝푥
푥 + 푦 + 1 = 0，消去 x 得 y2+2py+2p＝0，通过直线与抛物线相切，解得 p＝2，
得到抛物线 C 的方程，然后求解即可．
（2）直线 PQ∥l，证明直线 BM 的斜率不为 0，设 M（t，0）（t≠1），直线 BM 的方程为
x＝my+t，求出直线 BM 的方程，代入 y2＝4x．求出 N（2﹣t，0），Q（（t﹣2） 2，2t﹣
4），然后求解即可．[来源:Z。xx。k.Com]
（1）联立{y2 = 2푝푥
푥 + 푦 + 1 = 0，消去 x 得 y2+2py+2p＝0，
∵直线与抛物线相切，∴△＝4p2﹣8p＝0，
又 p＞0，解得 p＝2，∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x，
由 y2+4y+4＝0，得 y＝﹣2，∴切点为 A（1，﹣2），
∵点 B 与 A 关于 x 轴对称，点 B 的坐标 B（1，2）．
（2）直线 PQ∥l，
理由如下：依题意直线 BM 的斜率不为 0，设 M（t，0）（t≠1），直线 BM 的方程为 x＝my+t，
由（1）B（1，2），1＝2m+t，∴直线 BM 的方程为 x = 1 ― 푡
2 y+t，
代入 y2＝4x．解得 y＝2（舍）或 y＝﹣2t，∴P（t 2，﹣2t），
∵∠BMN＝∠BNM，∴M、N 关于 AB 对称，得 N（2﹣t，0），
同理得 BN 的方程为 x = 푡 ― 1
2 y+2﹣t，代入 y2＝4x．得 Q（（t﹣2）2，2t﹣4），
k푃푄 =
4푡 ― 4
(푡 ― 2)2 ― 푡2 =
4푡 ― 4
4 ― 4푡 = ― 1，
直线 l 的斜率为﹣1，因此 PQ∥l．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查分析问
题解决问题的能力，属于难题．
21．设函数 f（x）＝（x2+m）ex．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若 g（x）＝2ex﹣nx﹣1﹣f（x），当 m＝1，且 x≥0 时，g（x）≤0，求 n 的取值范
围．
（1）对 f（x）求导后，再令 h（x）＝x2+2x+m，△＝4﹣4m，接下来分△≤0 及△＞0 两
种情况讨论得出结论；
（2）利用导数求出函数 g（x）的最大值，只需其最大值小于等于 0 即可，进而求得 n 的
取值范围．
（1）依题得，f（x）定义域为 R，f′（x）＝（x2+2x+m）ex，ex＞0，…（1 分）
令 h（x）＝x2+2x+m，△＝4﹣4m，
①若△≤0，即 m≥1，则 h（x）≥0 恒成立，
从而 f′（x）≥0 恒成立，当且仅当 m＝1，x＝﹣1 时，f′（x）＝0，
所以 f（x）在 R 上单调递增…（2 分）
②若△＞0，即 m＜1，令 h（x）＝0，得x = - 1 - 1 ― 푚或x = - 1 + 1 ― 푚，
当x ∈ ( - 1 - 1 ― 푚， ― 1 + 1 ― 푚)时，f′（x）＜0，…
当x ∈ ( -∞， - 1 - 1 ― 푚) ∪ ( ― 1 + 1 ― 푚， +∞)时，f′（x）＞0，…
综合上述：当 m≥1 时，f（x）在 R 上单调递增；
当 m＜1 时，f（x）在区间( - 1 - 1 ― 푚， ― 1 + 1 ― 푚)上单调递减，
f（x）在区间( -∞， - 1 - 1 ― 푚)，( ― 1 + 1 ― 푚， +∞)上单调递增…
（2）依题意可知：g（x）＝2ex﹣nx﹣1﹣f（x）＝ex﹣x2ex﹣nx﹣1…（6 分）令 x＝0，可得 g（0）＝0，…（7 分），
g′（x）＝（1﹣x2﹣2x）ex﹣n，
设 h（x）＝（1﹣x2﹣2x）ex﹣n，则 h′（x）＝﹣（x2+4x+1）ex，…
当 x≥0 时，h′（x）＜0，g′（x）单调递减，…（9 分）
故 g′（x）≤g′（0）＝1﹣n，…
要使 g（x）≤0 在 x≥0 时恒成立，需要 g（x）在[0，+∞）上单调递减，[来源:Z§xx§k.Com]
所以需要 g′（x）≤1﹣n≤0，…（11 分）
即 n≥1，此时 g（x）≤g（0）＝0，故 n≥1，
综上所述，n 的取值范围是[1，+∞）．…
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论
思想，逻辑推理能力，属于中档题．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4-4：坐
标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C：{x = 2cosθ
푦 = 3푠푖푛휃，（θ 为参数），以原点 O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程ρcos(θ - 휋
4) = 푎，点 M（ 2，
휋
4）．在直线 l 上，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；
（2）求△OAB 的面积．
（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和点到直线的距离公式的应用及三角形面
积公式的应用求出结果．
（1）将曲线 C：{x = 2cosθ
푦 = 3푠푖푛휃，（θ 为参数），消去参数得，曲线 C 的普通方程为：푥2
4 +
푦2
3
= 1．
∵点 M（ 2，
휋
4）在直线ρcos(θ - 휋
4) = 푎上，∴a = 2푐표푠(
휋
4 ―
휋
4) = 2．
∴ρcos(θ - 휋
4) = 2，展开得
2
2 （ρcosθ+ρsinθ） = 2，又 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣2＝0，显然 l 过点（1，1），倾斜角为3휋
4 ．
∴直线 l 的参数方程为{x = 1 -
2
2 푡
푦 = 1 +
2
2 푡
（t 为参数）．
（2）由（1），将直线 l 的参数方程{x = 1 -
2
2 푡
푦 = 1 +
2
2 푡
代入曲线 C 的普通方程푥2
4 +
푦2
3 = 1，
整理得：7푡2 +2 2푡 ― 10 = 0，
设 A，B 对应的参数为 t1，t2，则由韦达定理得t1 + 푡2 = ―
2 2
7 ，t1푡2 = ―
10
7
由参数 t 的几何意义得|AB|＝|t1﹣t2| = (푡1 + 푡2)2 ― 4푡1푡2 =
12 2
7 ，
又原点 O 到直线 l 的距离为 d = |0 + 0 ― 2|
2 = 2．
因此，△OAB 的面积为 S = 1
2 × |퐴퐵| ⋅ 푑 =
1
2 ×
12 2
7 × 2 =
12
7 ．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方
程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础
题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）若 f（x）≤1，求 x 的取值范围；
（2）若 f（x）最大值为 M，且 a+b+c＝M，求证：a2+b2+c2≥3．
（1）分类讨论解不等式，再把每种情况的解集取并集即可；
（2）由（1）知，a+b+c＝3，再利用基本不等式即可得 证．
（1）解：由已知f(x) = {3，푥 ≥ 2
2푥 ― 1， ― 1 ≤ 푥＜2
―3，푥＜ ― 1
⋯（1 分）
当 x≥2 时，f（x）＝3，不符合；…（2 分）
当﹣1≤x＜2 时，f（x）＝2x﹣1，由 f（x）≤1，即 2x﹣1≤1，解得 x≤1，∴﹣1≤x≤1…
当 x＜﹣1 时，f（x）＝﹣3，f（x）≤1 恒成立…
综上，x 的取值范围是 x≤1…
（2）证明：由（1）知 f（x）≤3，当且仅当 x≥2 时，f（x）＝3，…（6 分）
∴M＝f（x）Max＝3．即 a+b+c＝3，…（7 分）•∵a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb，…
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+cb）
∴3（a2+b2+c2）≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb＝（a+b+c）2＝9，…（9 分）
因此（a2+b2+c2）≥3…
本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想，运算求解能
力以及推理论证能力，属于基础题．
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