海南省2020届高三高考调研测试数学试题（解析版）

数学模拟试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A＝{x|2＜1﹣x＜4}，B＝{x|x2﹣4x﹣12≥0}，则 A∪（∁RB）＝（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣3，6） C．（﹣3，6] D．（﹣6，2） 2．已知复数 z＝1﹣i，z为 z 的共轭复数，则1 + 푧 푧 = （　　） A．3 + 푖 2 B．1 + 푖 2 C．1 ― 3푖 2 D．1 + 3푖 2 3．已知向量 → a = （0，2）， → b = （2 3，x），且 → a与 → b的夹角为휋 3，则 x＝（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 4．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若双曲线 mx2+ny2＝1（m＞0）的离心率为 5，则푚 푛 = （　　） A．1 4 B． - 1 4 C．4 D．﹣4 6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于 八分之五．已知三棱锥 A﹣BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上．AB⊥底面 BCD，BC⊥ CD，且 AB＝CD = 3，BC＝2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（　　） A．30 B．10 10 C．33 D．12 10 7．已知 f（x） = 푒푥 ― 1 푒푥 + 푎 是定义在 R 上的奇函数，则不等式 f（x﹣3）＜f（9﹣x2）的解集为 （　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4） 8．已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 푆푛 푇푛 = 푛 + 5 2푛 ― 1，则 푎7 푏6 = （　　） A．6 7 B．12 11 C．18 25 D．16 21 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单 位：kg）情况如柱形图 1 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图 2 所示． 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（　　） A．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数增加了 2 个 B．他们健身后，体重在区间[100，110）内的人数没有改变 C．因为体重在[100，110）内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影 响 D．他们健身后，原来体重在区间[110，120）内的肥胖者体重都有减少 10．将函数f(x) = sin3x - 3푐표푠3푥 +1的图象向左平移휋 6个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，给出下列关于 g（x）的结论：①它的图象关于直线x = 5휋 9 对称；②它的最小正周 期为2휋 3 ；③它的图象关于点(11휋 18 ，1)对称；④它在[5휋 3 ， 19휋 9 ]上单调递增．其中正确的 结论的编号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 11．若 10a＝4，10b＝25，则（　　） A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞81g22 D．b﹣a＞lg6 12．已知函数 f（x）＝x+sinx﹣xcosx 的定义域为[﹣2π，2π），则（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）在[0，π）上单调递增 C．f（x）恰有 4 个极大值点 D．f（x）有且仅有 4 个极值点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 f（x） = {( 1 3)푥 ― 2푥，푥 ≤ 0 ―4 + 푙표푔2푥，푥＞0 ，则 f（f（8））＝　 　． 14．某工厂质检部要对即将出厂的 1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为 X，则随机变量 X的方差 DX＝　 　． 15．已知 a＞b＞0，且 a+b＝2，则5 푎 + 1 5푏的最小值是　 　． 16．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 上一点，且 CE＝2DE，F 为棱 AA1 的中点， 且平面 BEF 与 DD1 交于点 G，与 AC1 交于点 H，则 퐷퐺 퐷퐷1 = 　 　， 퐴퐻 퐻퐶1 = 　 　． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在①cos2B - 3sinB+2＝0②2bcosC＝2a﹣c③ 푏 푎 = 푐표푠퐵 + 1 3푠푖푛퐴 三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并加以解答， 已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若　 　，且 a，b，c 成等差数 列，则△ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．设等差数列{an﹣bn}的公差为 2，等比数列{an+bn}的公比为 2，且 a1＝2，b1＝1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{2an+2n}的前 n 项和 Sn． 19．在四棱锥 P﹣ABCD 中，△PAB 是边长为 2 的等边三角形，底面 ABCD 为直角梯形，AB ∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝l，PD = 2． （l）证明：AB⊥PD． （2）求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值． 20．某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择， 生产线①：有 A，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是 0.02， 0.03．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 15 万元；若 A 工序出现故障，则生产 成本增加 2 万元；若 B 工序出现故障，则生产成本增加 3 万元；若 A，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加 5 万元．生产线②：有 a，b 两道独立运行的生产工序，且两道 工序出现故障的概率依次是 0.04，0.01．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 14 万元；若 a 工序出现故障，则生产成本增加 8 万元；若 b 工序出现故障，则生产成本增 加 5 万元；若 a，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加 13 万元． （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为 18 万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由． 21．已知 O 为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），直线 AG，BG 相交于点 G，且它们的斜 率之积为 - 3 4．记点 G 的轨迹为曲线 C． （1）若射线 x = 2（y≥0）与曲线 C 交于点 D，且 E 为曲线 C 的最高点，证明：OD∥ AE． （2）直线 l：y＝kx（k≠0）与曲线 C 交于 M，N 两点，直线 AM，AN 与 y 轴分别交于 P，Q 两点．试问在 x 轴上是否存在定点 T，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 T？若存在， 求出 T 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知函数 f（x）＝ax2+ax+1﹣e2x． （1）若函数 g（x）＝f'（x），试讨论 g（x）的单调性； （2）若∀x∈（0，+∞），f（x）＜0，求 a 的取值范围．一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A＝{x|2＜1﹣x＜4}，B＝{x|x2﹣4x﹣12≥0}，则 A∪（∁RB）＝（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣3，6） C．（﹣3，6] D．（﹣6，2） 根据题意求出集合 A、B，由补集的运算求出∁RB，由并集的运算得到结果．[ 因为 A＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，B＝{x|x≤﹣2 或 x≥6}，即∁RB＝{x|﹣2＜x＜6}，所以 A∪∁RB ＝（﹣3，6）， 故选：B． 本题考查了并、补集的混合运算，属于基础题． 2．已知复数 z＝1﹣i，z为 z 的共轭复数，则1 + 푧 푧 = （　　） A．3 + 푖 2 B．1 + 푖 2 C．1 ― 3푖 2 D．1 + 3푖 2 把 z＝1﹣i 代入1 + 푧 푧 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． ∵z＝1﹣i， ∴1 + 푧 푧 = 2 ― 푖 1 + 푖 = (2 ― 푖)(1 ― 푖) (1 + 푖)(1 ― 푖) = 1 ― 3푖 2 ， 故选：C． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．已知向量 → a = （0，2）， → b = （2 3，x），且 → a与 → b的夹角为휋 3，则 x＝（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出 x 的值． ∵向量 → a = （0，2）， → b = （2 3，x），且 → a与 → b的夹角为휋 3， ∴ → a ⋅ → 푏 = 0+2x＝2• 12 +푥2•cos 휋 3，即 2x = 12 +푥2，求得 x＝2， 故选：B． 本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题． 4．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件判断条件和结论，互推关系即可 lnm＜lnn，则 0＜m＜n，故 m2＜n2， 反之，m2＜n2，得|m|＜|n|， 故前者是后者的充分不必要条件， 故选：A． 本题考查四个条件的关系，考查了不等式的解法，基础题． 5．若双曲线 mx2+ny2＝1（m＞0）的离心率为 5，则푚 푛 = （　　） A．1 4 B． - 1 4 C．4 D．﹣4 先将双曲线的方程化为标准方程，由定义可得离心率的表达式再由题意可得所求的值． 由题意双曲线化为标准方程：푥2 1 푚 ― 푦2 ―1 푛 = 1（m＞0），所以离心率 e = 1 + 푏2 푎2 = 5， 则푏2 푎2 = ― 1 푛 1 푚 = 4，即푚 푛 = ― 4， 故选：D． 本题考查双曲线的性质，属于基础题． 6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于 八分之五．已知三棱锥 A﹣BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上．AB⊥底面 BCD，BC⊥ CD，且 AB＝CD = 3，BC＝2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（　　） A．30 B．10 10 C．33 D．12 10 由题意将此三棱锥放在长方体中求出长方体的对角线，再由外接球的直径等于长方体的 对角线可得球的半径，进而求出球的表面积，圆周率的平方除以十六等于八分之五，求 出 π 的值进而求出面积． 解由题意将此三棱锥放在长方体中，由题意可知长方体的长宽高分别为， 3，2， 3， 设外接球的半径为 R，则（2R）2＝3+4+3＝10， 所以外接球的表面积为 S＝4πR2＝10π， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即휋2 16 = 5 8， 所以π = 10，所以 S＝10 10， 故选：B．考查三棱锥的棱长与外接球半径的关系及球的表面积公式，属于中档题． 7．已知 f（x） = 푒푥 ― 1 푒푥 + 푎 是定义在 R 上的奇函数，则不等式 f（x﹣3）＜f（9﹣x2）的解集为 （　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4） 根据题意，由奇函数的性质可得 f（1）+f（﹣1）＝0，即푒 ― 1 푒 + 푎 + 1 푒 ― 1 1 푒 + 푎 = 0，解可得 a 的 值，即可得 f（x）的解析式，分析可得 f（x）在 R 上为增函数，据此可得原不等式等价 于 x﹣3＜9﹣x2，解可得不等式的解集，即可得答案． 根据题意，因为f(x) = 푒푥 ― 1 푒푥 + 푎 是定义在 R 上的奇函数，所以 f（1）+f（﹣1）＝0，即푒 ― 1 푒 + 푎 + 1 푒 ― 1 1 푒 + 푎 = 0，解得 a＝1， 则f(x) = 푒푥 ― 1 푒푥 + 1 = 1 ― 2 푒푥 + 1 ，易知 f（x）在 R 上为增函数． 又 f（x﹣3）＜f（9﹣x2），必有 x﹣3＜9﹣x2，解得﹣4＜x＜3，即不等式的解集为（﹣4， 3）； 故选：C． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 8．已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 푆푛 푇푛 = 푛 + 5 2푛 ― 1，则 푎7 푏6 = （　　） A．6 7 B．12 11 C．18 25 D．16 21 因为等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 푆푛 푇푛 = 푛 + 5 2푛 ― 1，可设 Sn＝kn（n+5）， Tn＝kn（2n﹣1），k≠0，可得：a7＝S7﹣S6，b6＝T6﹣T5，即可得出． 因为等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 푆푛 푇푛 = 푛 + 5 2푛 ― 1，所以可设 Sn＝kn（n+5），Tn＝kn（2n﹣1），k≠0． 所以 a7＝S7﹣S6＝18k，b6＝T6﹣T5＝21k， 所以 푎7 푏6 = 6 7． 故选：A． 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单 位：kg）情况如柱形图 1 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图 2 所 示． 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（　　） A．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数增加了 2 个 B．他们健身后，体重在区间[100，110）内的人数没有改变 C．因为体重在[100，110）内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影 响 D．他们健身后，原来体重在区间[110，120）内的肥胖者体重都有减少 由所给的柱形图进行分析数据的变化，减肥前[90，100）有 6 人，[100，110）有 10 人， [110，120）有 4 人，减肥后[80，90） 有 2 人，[90，100）有 8 人，[100，110）有 10 人； 从而得到正确的答案． 体重在区间[90，100）内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人数增加了 2 个，A 正确；他们健身后，体重在区间[100，110）内的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确；他们健身后，已经出现了体重在[80，90）内的人，健身之前是没有这部分体重的， C 错误；因为图 2 中没有体重在区间[110，120）内的比例，所以原来体重在区间[110， 120）内的肥胖者体重都有减少，D 正确．故选：ABD． 本题主要考查利用频率分布直方图分析数据的变化，属于基础题． 10．将函数f(x) = sin3x - 3푐표푠3푥 +1的图象向左平移휋 6个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，给出下列关于 g（x）的结论：①它的图象关于直线x = 5휋 9 对称；②它的最小正 周期为2휋 3 ；③它的图象关于点(11휋 18 ，1)对称；④它在[5휋 3 ， 19휋 9 ]上单调递增．其中正确 的结论的编号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 利用辅助角公式变形，再由图象平移得到 g（x）的解析式，然后逐一核对四个命题得答 案． ∵f(x) = sin3x - 3푐표푠3푥 +1 = 2푠푖푛(3푥 ― 휋 3) + 1， ∴g(x) = 2sin[3(푥 + 휋 6) ― 휋 3] + 1 = 2푠푖푛(3푥 + 휋 6) + 1， 令3x + 휋 6 = 푘휋 + 휋 2，得x = 푘휋 3 + 휋 9(푘 ∈ 푍)，∴x = 5휋 9 不是 g（x）的对称轴，①错误， 函数 g（x）的周期为2휋 3 ，故②正确； 令3x + 휋 6 = 푘휋，得x = 푘휋 3 ― 휋 18(푘 ∈ 푍)，取 k＝2，得x = 11휋 18 ，故 g（x）关于点(11휋 18 ，1) 对称，③正确： 令2kπ - 휋 2 ≤ 3푥 + 휋 6 ≤ 2푘휋 + 휋 2，푘 ∈ 푍，得2푘휋 3 ― 2휋 9 ≤ 푥 ≤ 2푘휋 3 + 휋 9， 取 k＝2，得10휋 9 ≤ 푥 ≤ 13휋 9 ，取 k＝3，得16휋 9 ≤ 푥 ≤ 19휋 9 ，故④错误． 故选：BC． 本题考查命题的真假判断与应用，考查 y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档 题． 11．若 10a＝4，10b＝25，则（　　） A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞81g22 D．b﹣a＞lg6 由 10a＝4，10b＝25，得 a＝lg4，b＝lg25，利用对数指数运算性质即可判断出结论． 由 10a＝4，10b＝25，得 a＝lg4，b＝lg25， 则 a+b＝lg100＝2，b - a = lg25 4 ＞푙푔6，ab＝4lg2lg5＞4lg2lg4＝8lg22， 故选：ACD．本题考查了指数式化为对数式、对数指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题． 12．已知函数 f（x）＝x+sinx﹣xcosx 的定义域为[﹣2π，2π），则（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）在[0，π）上单调递增 C．f（x）恰有 4 个极大值点 D．f（x）有且仅有 4 个极值点 先求出函数定义域，判断函数的定义域关于原点不对称，故可判断 A；对函数求导，然 后结合导数与单调性，极值的关系可对选项 BCD 进行判断． 因为 f（x）的定义域为[﹣2π，2π）， 所以 f（x）是非奇非偶函数， 又 f'（x）＝1+cosx﹣（cosx﹣xsinx）＝1+xsinx， 当 x∈[0，π）时，f'（x）＞0，则 f（x）在[0，π）上单调递增． 显然 f'（0）≠0，令 f'（x）＝0，得sinx = - 1 푥， 分别作出 y＝sinx，y = - 1 푥在区间[﹣2π，2π）上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间[﹣2π，2π）上共有 4 个公共点，且两图象在这些公 共点上都不相切， 故 f（x）在区间[﹣2π，2π）上的极值点的个数为 4，且 f（x）只有 2 个极大值点． 故选：BD． 本题主要考查了函数奇偶性的判断及利用导数研究函数的单调性及极值存在情况，属于 中档试题．三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 f（x） = {( 1 3)푥 ― 2푥，푥 ≤ 0 ―4 + 푙표푔2푥，푥＞0 ，则 f（f（8））＝　5　． 推导出 f（8）＝﹣4+log28＝﹣4+3＝﹣1，从而 f（f（8））＝f（﹣1）由此能求出结果． 因为 f（8）＝﹣4+log28＝﹣4+3＝﹣1， 所以f(f(8)) = f( - 1) = ( 1 3)―1 +2 = 5． 故答 案为：5． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．某工厂质检部要对即将出厂的 1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为 X，则随机变量 X 的方差 DX＝　47.5　． 判断事件满足独立重复实验，然后求解方差即可． 由题意可知，X～B（1000，0.95），DX＝1000×0.95×（1﹣0.95）＝47.5． 故答案为：47.5． 本题考查独立重复实验的方差的求法，是基本知识的考查． 15．已知 a＞b＞0，且 a+b＝2，则5 푎 + 1 5푏的最小值是　18 5 　． 因为 a+b＝2，所以5 푎 + 1 5푏 = 1 2(푎 + 푏)( 5 푎 + 1 5푏) = 1 2( 5푏 푎 + 푎 5푏 + 26 5 )，再利用基本不等式求出 即可． 因为 a+b＝2，所以5 푎 + 1 5푏 = 1 2(푎 + 푏)( 5 푎 + 1 5푏) = 1 2( 5푏 푎 + 푎 5푏 + 26 5 )， 因为 a＞b＞0，所以5푏 푎 + 푎 5푏 ≥ 2（当且仅当a = 5 3，b = 1 3时，等号成立）， 所以5 푎 + 1 5푏 ≥ 1 2 × (2 + 26 5 ) = 18 5 ， 故答案为：18 5 ． 考查基本不等式的应用，本题的关键是对式子的灵活变形，中档题． 16．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 上一点，且 CE＝2DE，F 为棱 AA1 的中点， 且平面 BEF 与 DD1 交于点 G，与 AC1 交于点 H，则 퐷퐺 퐷퐷1 = 　1 6　， 퐴퐻 퐻퐶1 = 　3 8　．推导出 BF∥平面 CDD1C1，则 BF∥CE，则퐴퐹 퐴퐵 = 퐷퐺 퐷퐸，由此能求出 퐷퐺 퐷퐷1 = 1 6．连接 AC 交 BE 于 M，过 M 作 MN∥CC1，MN 与 AC1 交于 N，连接 FM，则 H 为 FM 与 AC1 的交点．由 AB∥CE，得 퐴푁 푁퐶1 = 퐴푀 푀퐶 = 3 2．从而푀푁 퐶퐶1 = 3 5，由此能求出 퐴퐻 퐻퐶1 ． 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，平面 ABA1B1∥平面 CDC1D1， ∵BF⊂平面 ABA1B1，∴BF∥平面 CDD1C1，则 BF∥CE， 则퐴퐹 퐴퐵 = 퐷퐺 퐷퐸，即퐷퐺 퐷퐸 = 1 2，又 CE＝2DE，则 퐷퐺 퐷퐷1 = 1 6． 连接 AC 交 BE 于 M，过 M 作 MN∥CC1，MN 与 AC1 交于 N，连接 FM， 则 H 为 FM 与 AC1 的交点．因为 AB∥CE，所以퐴푀 푀퐶 = 퐴퐵 퐶퐸 = 3 2，则 퐴푁 푁퐶1 = 퐴푀 푀퐶 = 3 2． 所以푀푁 퐶퐶1 = 3 5，所以푀푁 퐹퐴 = 6 5 = 퐻푁 퐴퐻，故 퐴퐻 퐻퐶1 = 3 8． 故答案为：1 6；3 8． 本题考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在①cos2B - 3sinB+2＝0②2bcosC＝2a﹣c③ 푏 푎 = 푐표푠퐵 + 1 3푠푖푛퐴 三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并加以解答， 已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若　①　，且 a，b，c 成等差数 列，则△ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 选择①cos2B - 3sinB+2＝0，利用倍角公式可得：1﹣2sin2B - 3sinB+2＝0，化简解 得：sinB = 3 2 ，又 a，b，c 成等差数列，可得 2b＝a+c，B 为锐角．结合余弦定理即可 得出． 选择②由正弦定理可得 2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，整理得 2cosBsinC﹣sinC＝0，由于 0＜ B＜π，可得 B = 휋 3，根据 a，b，c 成等差数列，可得 2b＝a+c，结合余弦定理即可得 出． 选择③由正弦定理得푠푖푛퐵 푠푖푛퐴 = 푐표푠퐵 + 1 3푠푖푛퐴 ，整理得sin(퐵 ― 휋 6) = 1 2，根据 B 的大小可得B = 휋 3， 最后结合余弦定理即可得出． 选① ∵cos2B＝1﹣2sin2B， ∴2푠푖푛2퐵 + 3푠푖푛퐵 ― 3 = 0， 即(2sinB - 3)(푠푖푛퐵 + 3) = 0，解得sinB = - 3（舍去）或sinB = 3 2 ． ∵0＜B＜π，∴B = 휋 3或2휋 3 ， 又∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a+c，∴b 不是三角形中最大的边， 即B = 휋 3， 由 b2＝a2+c2﹣2accosB，得 a2+c2﹣2ac＝0，即 a＝c， 故△ABC 是等边三角形． 选② 由正弦定理可得 2sinBcosC＝2sinA﹣sinC， 故 2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC， 整理得 2cosBsinC﹣sinC＝0． ∵0＜C＜π，∴sinC＞0，即cosB = 1 2． ∵0＜B＜π，∴B = 휋 3， 又∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a+c， 由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 a2+c2﹣2ac＝0，即 a＝c， 故△ABC 是等边三角形．选③ 由正弦定理得푠푖푛퐵 푠푖푛퐴 = 푐표푠퐵 + 1 3푠푖푛퐴 ， ∵sinA≠0，∴ 3푠푖푛퐵 ― 푐표푠퐵 = 1， 即sin(퐵 ― 휋 6) = 1 2， ∵0＜B＜π，∴ - 휋 6＜퐵 ― 휋 6＜ 5휋 6 ， 即B - 휋 6 = 휋 6，可得B = 휋 3， 由余弦定理即 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 a2+c2﹣2ac＝0，可得 a＝c， 故△ABC 是等边三角形． 故答案为：①． 本题考查了解三角形、余弦定理、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题． 18．设等差数列{an﹣bn}的公差为 2，等比数列{an+bn}的公比为 2，且 a1＝2，b1＝1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{2an+2n}的前 n 项和 Sn． （1）a1﹣b1＝1，a1+b1＝3，可得 an﹣bn＝2n﹣1，an+bn＝3×2n﹣1．联立解得 an． （2）2an+2n＝2n﹣1+5×2n﹣1．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． （1）a1﹣b1＝1，a1+b1＝3， ∴an﹣bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，an+bn＝3×2n﹣1． 联立解得 an = 1 2（2n﹣1）+3×2n﹣2． （2）2an+2n＝2n﹣1+3×2n﹣1+2n＝2n﹣1+5×2n﹣1． ∴数列{2an+2n}的前 n 项和 Sn = 푛(2푛 ― 1 + 1) 2 + 5 × 1 ― 2푛 1 ― 2 = n2+5×2n﹣5． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题． 19．在四棱锥 P﹣ABCD 中，△PAB 是边长为 2 的等边三角形，底面 ABCD 为直角梯形，AB ∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝l，PD = 2． （l）证明：AB⊥PD． （2）求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值．（1）连结 BD，推导出 AD⊥PD，BD⊥PD，从而 PD⊥平面 ABCD，由此能证明 AB⊥ PD． （2）由 AD2+BD2＝AB2，得 AD⊥BD，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值． （1）证明：连结 BD， ∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，△PAB 是边长为 2 的等边三角形， 底面 ABCD 为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝l，PD = 2． ∴BD＝AD = 1 + 1 = 2， ∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2， ∴AD⊥PD，BD⊥PD， ∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面 ABCD， ∵AD⊂平面 ABCD，∴AB⊥PD． （2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 2，0，0），B（0， 2，0），C（ - 2 2 2 2 ，0），P（0，0， 2）， → PA = （ 2，0， ― 2）， → PB = （0， 2， - 2）， → PC = （ - 2 2 ， 2 2 ， - 2）， 设平面 ABP 的法向量 → n = （x，y，z）， 则{→ n ⋅ → 푃퐴 = 2푥 ― 2푧 = 0 → 푛 ⋅ → 푃퐵 = 2푦 ― 2푧 = 0 ，取 x＝1，得 → n = （1，1，1）， 设平面 PBC 的法向量 → m = （x，y，z）， 则{→ m ⋅ → 푃퐵 = 2푦 ― 2푧 = 0 → 푚 ⋅ → 푃퐶 = ― 2 2 푥 + 2 2 푦 ― 2푧 = 0 ，取 z＝1，得 → m = （﹣1，1，1）， 设二面角 A﹣PB﹣C 的平面角为 θ， 则二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值为：cosθ = | → 푚 ⋅ → 푛| | → 푚| ⋅ | → 푛| = 1 3． 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择， 生产线①：有 A，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是 0.02， 0.03．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 15 万元；若 A 工序出现故障，则生产 成本增加 2 万元；若 B 工序出现故障，则生产成本增加 3 万元；若 A，B 两道工序都出 现故障，则生产成本增加 5 万元．生产线②：有 a，b 两道独立运行的生产工序，且两道 工序出现故障的概率依次是 0.04，0.01．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 14 万元；若 a 工序出现故障，则生产成本增加 8 万元；若 b 工序出现故障，则生产成本增 加 5 万元；若 a，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加 13 万元． （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为 18 万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由． （1）若选择生产线①，生产成本恰好为 18 万元，即 A 工序不出现故障 B 工序出现故障， 利用相互独立事件概率乘法公式能求出生产成本恰好为 18 万元的概率． （2）若选择生产线①，设增加的生产成本为 ξ（万元），则 ξ 的可能取值为 0，2，3，5．分 别求出相应的概率，求出 Eξ＝0.13 万元，从而选生产线①的生产成本期望值为 15.13 万 元．若选生产线②，设增加的生产成本为 η，则 η 的可能取值为 0.8，5，13．分别求出 相应的概率，求出 Eη＝0.37 万元，从而选生产线②的生产成本期望值为 14.37 万元，由此求出应选生产线②． （1）若选择生产线①，生产成本恰好为 18 万元， 即 A 工序不出现故障 B 工序出现故障， 故生产成本恰好为 1 8 万元的概率为（1﹣0.02）×0.03＝0.0294． （2）若选择生产线①，设增加的生产成本为 ξ（万元），则 ξ 的可能取值为 0，2，3， 5． P（ξ＝0）＝（1﹣0.02）×（1﹣0.03）＝0.9506， P（ξ＝2）＝0.02×（1﹣0.03）＝0.0194， P（ξ＝3）＝（1﹣0.02）×0.03＝0.0294， P（ξ＝5）＝0.02×0.03＝0.0006． 所以 Eξ＝0×0.9506+2×0.0194+3×0.0294+5×0.0006＝0.13（万元）， 故选生产线①的生产成本期望值为 15+0.13＝15.13（万元）． 若选生产线②，设增加的生产成本为 η，则 η 的可能取值为 0.8，5，13． P（η＝0）＝（1﹣0.04）×（1﹣0.01）＝0.9504， P（η＝8）＝0.04×（1﹣0.01）＝0.0396， P（η＝5）＝（1﹣0.04）×0.01＝0.0096， P（η ＝13）＝0.04×0.01＝0.0004． 所以 Eη＝0×0.9504+8×0.0396+5×0.0096+13×0.0004＝0.37（万元）， 选生产线②的生产成本期望值为 14+0.37＝14.37（万元）， 故应选生产线②． 本题考查概率的求法，考查生产线的选择，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．已知 O 为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），直线 AG，BG 相交于点 G，且它们的斜 率之积为 - 3 4．记点 G 的轨迹为曲线 C． （1）若射线 x = 2（y≥0）与曲线 C 交于点 D，且 E 为曲线 C 的最高点，证明：OD∥ AE． （2）直线 l：y＝kx（k≠0）与曲线 C 交 于 M，N 两点，直线 AM，AN 与 y 轴分别交于 P，Q 两点．试问在 x 轴上是否存在定点 T，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 T？若存在， 求出 T 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）设 G（x，y），k퐴퐺 ⋅ 푘퐵퐺 = 푦 푥 + 2 ⋅ 푦 푥 ― 2 = 푦2 푥2 ― 4 = ― 3 4，进而可得曲线 C 的方程，求 出 D，E 坐标，得k푂퐷 = 푘퐴퐸 = 3 2 ，可得结论； （2）（方法一）设 M（x1，y1），N（x2，y2），联立 y＝kx 与푥2 4 + 푦2 3 = 1，得关于 x 的一元 二次方程，由韦达定理得 x1+x2＝0，x1푥2 = ―12 3 + 4푘2．写出直线 AM 的方程，令 x＝0 得P( 0， 2푦1 푥1 + 2)，同理可得Q(0， 2푦2 푥2 + 2)．以 PQ 为直径的圆的方程为x2 +(푦 ― 푦푃 + 푦푄 2 )2 = ( 푦푃 ― 푦푄 2 )2，令 y＝0，得x2 = ― 푦푃푦푄 = ―4푦1푦2 (푥1 + 2)(푥2 + 2)．化简计算得 x = ± 3．进而得 出结论； （方法二）设 M（x1，y1），则 N（﹣x1，﹣y1），写出直线 AM 方程，令 x＝0 得P(0， 2푦1 푥1 + 2 )，同理可得Q(0， 2푦1 푥1 ― 2)．假设存在 T（x0，0）符合题设，则 → PT ⋅ → 푄푇 = 0，x20 + 4푦2 1 푥2 1 ― 4 = 0，又因 푥2 1 4 + 푦2 1 3 = 1⇒ 4푦2 1 푥2 1 ― 4 = ―3，代入化简得 x0 = ± 3，进而得出结论． （1）证明：设 G（x，y）， k퐴퐺 ⋅ 푘퐵퐺 = 푦 푥 + 2 ⋅ 푦 푥 ― 2 = 푦2 푥2 ― 4 = ― 3 4， 即푥2 4 + 푦2 3 = 1(푦 ≠ 0)． 将x = 2(푦 ≥ 0)代入푥2 4 + 푦2 3 = 1，得 D 的坐标为( 2， 6 2 )， 又E(0， 3)， 则k푂퐷 = 푘퐴퐸 = 3 2 ，故 OD∥AE． （2）（方法一）设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立 y＝kx 与푥2 4 + 푦2 3 = 1，得（3+4k2）x2﹣12＝0， ∴x1+x2＝0，x1푥2 = ―12 3 + 4푘2． 易知 A 的坐标为（﹣2，0），则直线 AM 的方程为y = 푦1 푥1 + 2(푥 +2)，则P(0， 2푦1 푥1 + 2)， 同理可得Q(0， 2푦2 푥2 + 2)． 故以 PQ 为直径的圆的方程为x2 +(푦 ― 푦푃 + 푦푄 2 )2 = ( 푦푃 ― 푦푄 2 )2，令 y＝0，得x2 = ― 푦푃푦푄 = ―4푦1푦2 (푥1 + 2)(푥2 + 2)． ∵ ―4푦1푦2 (푥1 + 2)(푥2 + 2) = ―4푘2푥1푥2 푥1푥2 + 2(푥1 + 푥2) + 4 = ―4푘2푥1푥2 푥1푥2 + 4 = ―4푘2 1 + 4 푥1푥2 = ―4푘2 1 ― 3 + 4푘2 3 = 3， ∴以 PQ 为直径的圆恒过定点T( ± 3，0)． （方法二）设 M（x1，y1），则 N（﹣x1，﹣y1）， 则直线 AM 的方程为y = 푦1 푥1 + 2(푥 +2)， 则P(0， 2푦1 푥1 + 2)， 同理可得Q(0， 2푦1 푥1 ― 2)． 假设存在 T（x0，0）符合题设，则 → PT ⋅ → 푄푇 = 0， ∴x20 + 4푦2 1 푥2 1 ― 4 = 0， ∵M（x1，y1）在曲线 C 上， ∴ 푥2 1 4 + 푦2 1 3 = 1⇒ 4푦2 1 푥2 1 ― 4 = ―3， ∴x20 ― 3 = 0⇒푥0 =± 3． 故存在T( ± 3，0)符合题设． 本题考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 22．已知函数 f（x）＝ax2+ax+1﹣e2x． （1）若函数 g（x）＝f'（x），试讨论 g（x）的单调性； （2）若∀x∈（0，+∞），f（x）＜0，求 a 的取值范围． （1）根据导数和函数单调性，分类讨论即可判断函数的 g（x）的单调性； （2）根据导数和函数最值的关系，分离参数，即可求出 a 的取值范围． （1）因为 g（x）＝f'（x）＝2ax+a﹣2e2x， 所以 g'（x）＝2a﹣4e2x＝﹣2（2e2x﹣a）， ①当 a≤0 时，g'（x）＜0，g（x）在 R 上单调递减． ②当 a＞0 时，令 g'（x）＞0，则x＜1 2푙푛 푎 2：令 g'（x）＜0，则x＞1 2푙푛 푎 2， 所以 g（x）在( ―∞， 1 2푙푛 푎 2)上单调递增，在[1 2푙푛 푎 2， +∞)上单调递减．综上所述，当 a≤0 时，g（x）在 R 上单调递减； 当 a＞0 时，g（x）在( ―∞， 1 2푙푛 푎 2)上单调递增，在[1 2푙푛 푎 2， +∞)上单调递减． （2）f'(x) = 2ax + a - 2푒2푥 = 푎(2푥 +1) ― 2푒2푥 = (2푥 +1)(푎 ― 2푒2푥 2푥 + 1)，푓(0) = 0． 令 f'（x）＝0，得a = 2푒2푥 2푥 + 1． 设h(x) = 2푒2푥 2푥 + 1，则h'(x) = 8푥푒2푥 (2푥 + 1)2． 当 x＞0 时，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以 h（x）在（0，+∞）上的值域是（2，+∞），即 2푒2푥 2푥 + 1＞2． 当 a≤2 时，f'（x）＝0 没有实根，且 f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f （x）＜f（0）＝0，符合题意． 当 a＞2 时，h（0）＝2＜a， 所以h(x) = 2푒2푥 2푥 + 1 = 푎有唯一实根 x0，[ 当 x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）＞f（0）＝0，不 符合题意． 综上，a≤2，即 a 的取值范围为（﹣∞，2]． 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、 极值，并考查数学证明．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最 值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．