1
江苏省苏北七市 2020 届高三第三次调研考试
数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则 A B＝ ．
2．设复数 z 满足(3﹣i)z＝ ，其中 i 为虚数单位，则 z 的模是 ．
3．右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 ．
4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的
掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了 20 名
学生，则 n 的值是 ．
5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没．“三药”
分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿
败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的
概率是 ．
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝4x 的准线是双曲线 (a＞0)的左准
线，则实数 a 的值是 ．
7．已知 ， ， ， 均为锐角，则 的值是 ．
8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的
四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V 1，正方体的体积为V 2，则 的值是 ．
9．已知 x＞1，y＞1，xy＝10，则 的最小值是 ．
10．已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，且 ，
则 的值是 ．
10
2 2
2 12
x y
a
− =
5cos( ) 13
α β+ = 3sin 5
β = α β sinα
1
2
V
V
1 4
lg lgx y
+
{ }na nS 24S 4S 32S− 2 3 2a a+ =
6a2
11．海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海
伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的
公式 S△ABC＝ ，其中 ，若 a＝5，b＝6，c＝7，
则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径 r 的值是 ．
12．如图，△ABC 为等边三角形，分别延长 BA，CB，AC 到点 D，E，F，使得 AD＝BE＝
CF．若 ，且 DE＝ ，则 的值是 ．
13．已知函数 ，若函数 有且仅有四个不同的
零点，则实数 k 的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(2，﹣6)作直线交圆 O：x2＋y2＝16 于 A，B 两点，
C( ， )为弦 AB 的中点，则 的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分 14 分）
△ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ． 若
．
（1）求 cosC 的值；
（2）若 A＝C，求 sinB 的值．
16．（本题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC⏊BC，D，E 分别是 A1B1，BC 的中点．求证：
（1）平面 ACD⊥平面 BCC1B1；
（2）B1E∥平面 ACD．
( )( )( )p p a p b p c− − −
2
a b cp
+ +=
BA 2AD= 13 AF CE⋅
2
2(1 ), 0( )
2 , 0
k xf x x
x k x
−
20 (4 4 3) 554
× + + =8
概率是 ．
答案：
考点：随机事件的概率
解析：P＝
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝4x 的准线是双曲线 (a＞0)的左准
线，则实数 a 的值是 ．
答案：
考点：抛物线与双曲线的简单性质
解析： ，解得 a＝ ．
7．已知 ， ， ， 均为锐角，则 的值是 ．
答案：
考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正弦公式
解析：∵ ， 均为锐角，∴ (0， )，从而 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
．
8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的
四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V 1，正方体的体积为V 2，则 的值是 ．
3
5
1 1
3 3
2
6
3
5
C C
C
=
2 2
2 12
x y
a
− =
2
2
2
1
2
a
a
− = −
+ 2
5cos( ) 13
α β+ = 3sin 5
β = α β sinα
33
65
α β α β+ ∈ π sin( ) 0α β+ > cos 0β >
5cos( ) 13
α β+ = 3sin 5
β =
12sin( ) 13
α β+ = 4cos 5
β =
sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sinα α β β α β β α β β= + − = + − +
12 4 5 3 33
13 5 13 5 65
= × − × =
1
2
V
V9
答案：
考点：空间几何体的体积
解析：设正方体的棱长为 2a，
则 V2＝8a3，
V1＝V2﹣ ，
故 ．
9．已知 x＞1，y＞1，xy＝10，则 的最小值是 ．
答案：9
考点：基本不等式
解析：∵xy＝10，∴ ，
，当且仅当 时取“＝”．
10．已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，且 ，
则 的值是 ．
答案：﹣32
考点：等比数列的简单性质，等差中项
解析：∵ ， ， 成等差数列，∴2 ＝ ，∴ ，
又 ，则 ， ．
11．海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海
伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的
公式 S△ABC＝ ，其中 ，若 a＝5，b＝6，c＝7，
则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径 r 的值是 ．
答案：
考点：解三角形
解析： ，S△ABC＝ ，
5
6
2 3 3 31 1 4 208 83 2 3 3a a a a a× × ⋅ = − =
3
1
3
2
20
53
8 6
aV
V a
= =
1 4
lg lgx y
+
lg lg 1x y+ =
1 4 1 4 lg 4lg( )(lg lg ) 5lg lg lg lg lg lg
y xx yx y x y x y
+ = + + = + +
5 2 4 9≥ + =
1
310x =
{ }na nS 24S 4S 32S− 2 3 2a a+ =
6a
24S 4S 32S− 4S 24S 32S− 2q = −
2 3 2a a+ = 2 2a = − 4
6 2 32a a q= = −
( )( )( )p p a p b p c− − −
2
a b cp
+ +=
2 6
3
5 6 7 92 2
a b cp
+ + + += = = 9 (9 5) (9 6) (9 7) 6 6× − × − × − =10
∴ ．
12．如图，△ABC 为等边三角形，分别延长 BA，CB，AC 到点 D，E，F，使得 AD＝BE＝
CF．若 ，且 DE＝ ，则 的值是 ．
答案：
考点：平面向量数量积
解析：易知：△DEF 也为等边三角形，设 AD＝x，则 BD＝3x，
△BDE 中，由余弦定理得： ，解得 x＝1，
故 BD＝3，则 ．
13．已知函数 ，若函数 有且仅有四个不同的
零点，则实数 k 的取值范围是 ．
答案：(27， )
考点：函数与方程
解析： ，
当 k＝0 时，原函数有且只有一个零点，不符题意，故 k≠0，
观察解析式，可知函数 有且仅有四个不同的零点，
可转化为 有且仅有两个不同的零点，
当 k＜0，函数 在(0， )单调递增，最多一个零点，不符题意，舍；
当 k＞0， ，
2 2 6 6 2 6
5 6 7 3
Sr a b c
×= = =+ + + +
BA 2AD= 13 AF CE⋅
9
2
−
2 213 10 3x x= +
9AF CE 3 3 cos120 2
⋅ = × × ° = −
2
2(1 ), 0( )
2 , 0
k xf x x
x k x
−
= − =
− − <
( )g x
2 2( ) , 0kg x x k xx
= + − >
( )g x +∞
3
2
2( )( ) , 0x kg x xx
−′ = >11
x (0， ) ( ， )
﹣ 0 ﹢
单调递减 单调递增
要使 在(0， )有且仅有两个不同的零点，
则 ，解得 k＞27，
综上所述，实数 k 的取值范围是(27， )．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(2，﹣6)作直线交圆 O：x2＋y2＝16 于 A，B 两点，
C( ， )为弦 AB 的中点，则 的取值范围是 ．
答案：[ ， )
考点：直线与圆综合
解析：C 在以 OP 为直径的圆： 上，且 C 在圆 O 内，
或
，
数形结合知，所求取值范围是[ ， )．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分 14 分）
△ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ． 若
．
（1）求 cosC 的值；
（2）若 A＝C，求 sinB 的值．
解：（1）由正弦定理： ，得 ，
整理得：5(a2＋b2﹣c2)＝8ab，故由余弦定理： ；
1
3k
1
3k
1
3k +∞
( )g x′
( )g x
( )g x +∞
1 2
3 3
min 1
3
2( ) ( ) 0kg x g k k k
k
= = + − <
+∞
0x 0y 2 2
0 0( 1) ( 3)x y+ + −
10 42
2 2( 1) ( 3) 10x y− + + =
2 2
2 2
4 6 6
( 1) ( 3) 10 5
16 12 2 6
5
xx y
x y y
−= − + + = ⇒ + = − − =
4 6 6
5
12 2 6
5
x
y
+=
− + =
2 24 6 6 12 2 6( 1) ( 3) 425 5
+ − ++ + − =
10 42
5(sin C sin B) 5sin A 8sin B
a b c
− −= +
sin sin sin
a b c
A B C
= = 5( ) 5 8c b a b
a b c
− −= +
2 2 2 4cos 2 5
a b cC ab
+ −= =12
（2）由（1） ，又 C 为△ABC 内角，故 sinC＝ ，
A＝C，则 ．
16．（本题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC⏊BC，D，E 分别是 A1B1，BC 的中点．求证：
（1）平面 ACD⊥平面 BCC1B1；
（2）B1E∥平面 ACD．
证明：（1）直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，CC1⊥底面 ABC，又 AC 底面 ABC
故 AC⊥CC1，又因为 AC⊥BC，CC1∩BC＝C
CC1 平面 BCC1B1，BC 平面 BCC1B1
所以，AC⊥平面 BCC1B1，又因为 AC 平面 ACD
所以，平面 ACD⊥平面 BCC1B1；
（2）取 AC 中点 F，连结 EF，DF
因为 E，F 分别为 BC，AC 中点
所以，EF∥AB，EF＝ AB
三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB// A1B1，AB＝A1B1
又因为 D 为 A1B1 中点，所以 B1D∥AB，B1D＝ AB
所以，EF∥B1D，EF＝B1D
因此，四边形 B1DFE 为平行四边形
所以 B1E//DF，又因为 DF 平面 ACD，B1E 平面 ACD
所以，B1E∥平面 ACD．
17．（本题满分 14 分）
某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为 1cm，2cm 的两个同心圆的圆
心，等腰△ABC 的顶点 A 在外圆上，底边 BC 的两个端点都在内圆上，点 O，A 在直线 BC
的同侧．若线段 BC 与劣弧 所围成的弓形面积为 S1，△OAB 与△OAC 的面积之和为
S2， 设∠BOC＝2 ．
（1）当 时，求 S2﹣S1 的值；
（2）经研究发现当 S2﹣S1 的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos 的
4cos 5C = 2 31 cos 5C− =
24sin sin( ) sin( ) sin 2 2sin cos 25B A C A C C C Cπ= − − = + = = =
⊂
⊂ ⊂
⊂
1
2
1
2
⊂ ⊄
BC
θ
3
πθ =
θ13
值．（求导参考公式：(sin2x)'＝2cos2x，(cos2x)'＝﹣2sin2x）
解：由题意知：∠BOC＝ ，故
（1） 时， ， ，故 ，
答：当 时，求 S2﹣S1 的值为 (cm2)；
（2） ，
令 ，
令 ，得 （舍负）：
记 ，
故 ，即 时， 最大，即 S2﹣S1 的值最大，
答：纪念章最美观时，cos 的值为 ．
(0， ) ( ， )
＋ 0 －
单调递增 极大值 单调递减
2 (0, )θ π∈ (0, )2
πθ ∈
1
1 12 1 1 sin 2 sin cos2 2S OB OCθ θ θ θ θ= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = −
2
1 1(2 cos ) 2 sin (2 cos ) 2sin sin cos2 2S BC OB OB OBθ θ θ θ θ θ= + = ⋅ + = +
3
πθ = 1
3
3 4S
π= − 2
5 3
4S = 2 1
3 3
2 3S S
π− = −
3
πθ = 3 3
2 3
π−
2 1 2sin sin 2S S θ θ θ− = + − (0, )2
πθ ∈
( ) 2sin sin 2f θ θ θ θ= + − (0, )2
πθ ∈
2( ) 4cos 2cos 3f θ θ θ′ = + −
( ) 0f θ′ = 1 13cos 4
θ − ±=
0
1 13cos 4
θ − += 0 (0, )2
πθ ∈
0=θ θ 1 13cos 4
θ − += ( )f θ
θ 1 13
4
− +
θ 0
θ 0
θ 0
θ
2
π
( )f θ′
( )f θ14
18．（本题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为
F1，F2，过点 F2 的直线交椭圆于 M，N 两点．已知椭圆的短轴长为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线 MN 的斜率为 时，求 F1M＋F1N 的值；
（3）若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交的右交点为 P(t，0)，求实数 t 的取值范围．
解：（1）设焦距 2c， ， ，
故椭圆的标准方程为： ；
（2）由（1）知，c＝2，则 F2(2，0)
或
即 ，或 ，
因此， ；
（3）MN 斜率不存在时，MN：x＝2，MN＝ ，
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2 6
3
5
2 2 2 2
2 2 2
6
6
3
b
b a c a
c
a
= = − ⇒ =
=
2b =
2 2
16 2
x y+ =
2 2
9
5( 2) 4
53 6
4
xy x
x y y
= = − ⇒ + = =
3
2
5
2
x
y
=
= −
9 5 3 5( , ), ( , )4 4 2 2M N − 9 5 3 5( , ), ( , )4 4 2 2N M −
2 2 2 2
1 1
9 5 3 5 13 6( 2 ) (0 ) ( 2 ) (0 )4 4 2 2 4F M F N+ = − − + − + − − + + =
2 2
315
以 MN 为直径的圆方程为：
其与 x 轴相交的右焦点为( ，0)，即 ；
MN 的斜率存在时，设 MN： ，M( ， )，N( ， )
，
故 ， ，
则
P 在以 MN 为直径的圆上，则 ，
∵P 是右交点，故 t＞2，因此 ，
解得： ．
19．（本题满分 16 分）
已知 是各项均为正数的无穷数列，数列 满足 (n )，其中常数
k 为正整数．
（1）设数列 前 n 项的积 ，当 k＝2 时，求数列 的通项公式；
2 2 2( 2) 3x y− + =
62 3
+ 62 3t = +
( 2)y k x= − 1x 1y 2x 2y
2 2 2 2
2 2
( 2) (3 1) 12 12 6 0
3 6
y k x k x k x k
x y
= − ⇒ + − + − = + =
224( 1)k∆ = +
2
1,2 2
6
3 1
kx k
± ∆= +
2
1 2 2
12
3 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
12 6
3 1
kx x k
−= +
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2( 2) ( 2) [ 2( ) 4] 3 1
ky y k x k x k x x x x k
= − − = − + + = − +
0PM PN⋅ =
1 2 1 2( )( ) 0x t x t y y− − + =
2
1 2 1 2 1 2( ) 0x x t x x t y y− + + + =
2 2 2
2
2 2 2
12 6 12 2 03 1 3 1 3 1
k k kt tk k k
− − + − =+ + +
2 2 2(3 12 10) 6t t k t− + = −
2 2
2
(6 )(3 12 10) 0
t
t t t
>
− − + ≥
6[ 6,2 ]3t ∈ +
{ }na { }nb n n n kb a a += ⋅ N∗∈
{ }na
( 1)
22
n n
nT
−
= { }nb16
（2）若 是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列，且 ＝4，求数列 的前
2020 项的和；
（3）若 是等比数列，且对任意的 n ， ，其中 k≥2，试问：
是等比数列吗？请证明你的结论．
解：（1）因为 ，所以 ，
两式相除，可得 ，
当 n＝1 时， ，符合上式，所以 ，
当 k＝2 时， ；
（2）因为 ，且 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 d，k 均为正整数，所以 d≥1，所以 ，
所以 ，解得 d≤1，所以 d＝1，即
所以 ，即 ，解得 k＝1，
所以 ，则 ，
记 的前 n 项和为 ，
则 ，
所以 ；
（3）因为 成等比数列，设公比为 q2，则对任意 n ， ，
因为 ，且 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
{ }na 2 1b b− 1
nb
{ }nb N∗∈ 2
2n n k n ka a a+ +⋅ = { }na
( 1)
22
n n
nT
−
=
( 2)( 1)
22 ( 2)
n n
nT n
− −
= ≥
( 1) ( 1)( 2)
122 2 ( 2)
n n n n
n
na n
− − − −
−= = ≥
1 1
1 1 1 2a T −= = = 12 ( )n
na n N− ∗= ∈
1 1
2 2 2 4n n n
n n nb a a − +
+= ⋅ = ⋅ =
n n n kb a a += ⋅ 1 1a =
1 1 1 1k kb a a a+ += = 2 2 2 1( 1)( )k kb a a d a d+ += = + +
2
2 1 1( 1) 4kb b d d a +− = + + =
1 2 1 2ka a d+ ≥ = + ≥
2 2
1( 1) 4 3kd d a d d++ + = ≥ + na n=
2
1 1( 1) 4 2k kd d a a+ ++ + = = + 1 2ka + =
1 ( 1)n n nb a a n n+= = + 1 1 1
1nb n n
= − +
nb nS
1 1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) 12 2 3 3 4 1 1nS n n n
= − + − + − + + − = −+ +
2020
1 20201 2021 2021S = − =
{ }nb N∗∈ 22 kn k n k n k
n n n k
b a a qb a a
+ + +
+
= =
0na > 2
2n n k n ka a a+ +⋅ = 2n k n k
n n k
a a
a a
+ +
+
= kn k
n
a qa
+ =
2
2 21 1 1 1 1
2 ( )
k
n n n k n n
k
n n n k n n
b a a a q a qb a a a q a
+ + + + + +
+
= = = = 1n
n
a qa
+ =17
所以数列 是等比数列．
20．（本题满分 16 分）
已知函数 ， ，其中 e 是自然对数的底数．
（1）若函数 的极大值为 ，求实数 a 的值；
（2）当 a＝e 时，若曲线 与 在 处的切线互相垂直，求 的值；
（3）设函数 ，若 ＞0 对任意的 x (0，1)恒成立，求实数 a 的
取值范围．
解：（1）因为 ，则 ，
因为 ，所以 a＞0，
则当 x (0，e)时， ， 单调递增，
当 x (e， )时， ， 单调递减，
所以当 x＝e 时， 的极大值 ，解得 a＝1；
（2）当 a＝e 时， ， ，
则 ， ，
由题意知， ，
整理得 ，
设 ，则 ，所以 单调递增，
因为 ，所以 ；
（3）由题意可知， 对任意 x (0，1)恒成立，
整理得 对任意 x (0，1)恒成立，
设 ，由（1）可知， 在(0，1)上单调递增，
且当 x (1， )时， ，当 x (0，1)时， ，
{ }na
ln( ) a xf x x
= ln( ) ex
x ag x
+=
( )f x 1
e
( )y f x= ( )y g x= 0x x= 0x
( ) ( ) ( )h x g x f x= − ( )h x ∈
ln( ) a xf x x
= 2
(1 ln )( ) a xf x x
−′ =
ln( ) ex
x ag x
+=
∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )f x 1(e) e e
af = =
eln( ) xf x x
= 1( ) ex
xg x
+=
2
e(1 ln )( ) xf x x
−′ = ( ) ex
xg x
−′ =
0
0 0
0 0 2
0
e(1 ln )( ) ( ) 1ex
x xf x g x x
− −′ ′⋅ = ⋅ = −
0
0 0e eln exx x+ =
( ) e elnxx x xϕ = + e( ) ( 1)e 0xx x x
ϕ′ = + + > ( )xϕ
(1) eϕ = 0 1x =
ln ln( ) 0ex
x a a xh x x
+= − > ∈
ln( e ) ln
e
x
x
a x
a x
> ∈
ln( ) xH x x
= ( )H x
∈ +∞ ( ) 0H x > ∈ ( ) 0H x ( e ) 0 ( )xH a H x≥ >
0 e 1xa< < ( e ) ( )xH a H x> ( )H x
exa x>
exa x> ∈
ex
xa >
( ) ex
xG x = ∈ 1( ) 0ex
xG x
−′ = > ( )G x
1( ) (1) eG x G a< = ≤ 1
e
+∞19
数学附加题
21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知 m R， 是矩阵 M＝ 的一个特征向量，求 M 的逆矩阵 ．
解：设 是属于特征值 n 的一个特征向量，则 M ＝n ，
因 为 ， ， 所 以 ， 解 得
，
所以矩阵 M＝ ，设矩阵 M 的逆矩阵 ，
则 M
所以 ，解得 ， ．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆 C 的方程为 (r＞0)．以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正
半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)．若直线 l 与圆 C 恒
有公共点，求 r 的取值范围．
解：因为圆 C 的极坐标方程为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，整理得 ，
即圆 C 是圆心为(0，r)，半径为 r 的圆，
∈ 1
1
α =
1
2 1
m
1M−
1
1
α =
α α
1 1 1
2 1 1 3
m mMα + = =
1
1
nn n n
α = = 1 3m n+ = =
2m =
1 2
2 1
1M a b
c d
− =
1 1 2 2 2 1 0M 2 1 2 2 0 1
a b a c b d
c d a c b d
− + + = = = + +
2 1
2 0
2 0
2 1
a c
b d
a c
b d
+ =
+ = + =
+ =
1
3
2
3
2
3
1
3
a
b
c
d
= −
=
=
= −
1M− =
1 2
3 3
2 1
3 3
−
−
2 sinrρ θ=
3
1 3
x t
y t
= +
= +
2 sinrρ θ= 2 2 sinrρ ρ θ=
2 2 2x yρ = + sin yρ θ = 2 2 2x y ry+ = 2 2 2( )x y r r+ − =20
因为直线 l 的参数方程为 ，消去 t，
整理可得直线 l 的普通方程为 ，
因为直线 l 和圆 C 有公共点，所以圆心 C 到直线 l 的距离 ，
解得 r≥2．
C．选修 4—5：不等式选讲
已知 x＞1，y＞1，且 x＋y＝4，求证： ．
证 明 ： 设 ， ， 因 为 ， ， 所 以 ， ， 且
，
当且仅当 ，即 时，上述等号成立，原命题得证．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量
获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的 6 把钥
匙（其中有且只有 1 把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放
回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇
门；直至 5 扇门都进行了试开，活动结束．
（1）设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)；
（2）求恰好成功打开 4 扇门的概率．
解：（1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值为 1，2，3，4，
则 ， ，
， ，
所以随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3 4
P
所以随机变量的数学期望 E(X)＝ ；
3
1 3
x t
y t
= +
= +
3 2 0x y− − =
2
3 1
rd r
− −= ≤
+
2 2
81 1
y x
x y
+ ≥− −
1x m− = 1y n− = x 1y > m 0n >
2 2m n x y+ = + − =
1m n= = 2x y= =
1( 1) 6P X = = 5 1 1( 2) 6 5 6P X = = × =
5 4 1 1( 3) 6 5 4 6P X = = × × = 5 4 3 1 5 4 3 2 1( 4) 6 5 4 3 6 5 4 3 2P X = = × × × + × × × =
1
6
1
6
1
6
1
2
1 1 1 11 2 3 4 36 6 6 2
× + × + × + × =21
（2）由（1）可知，每扇门被打开的概率 P＝ ，
设恰好成功打开四扇门为时间 A，则 ．
23．（本小题满分 10 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线与 x 轴的
交点为 E．过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，EA，EB 分别与 y 轴相交于 M，N 两
点，当 AB⊥x 轴时，EA＝2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设△EAB 的面积为 S1，△EMN 面积为 S2，求 的取值范围．
解：（1）当 AB⊥x 轴时，AF＝p，EF＝p，
所以 EA＝ ＝2，即 ，所以抛物线的方程为 y2＝2 x；
（2）设直线 AB 的方程为 ，由 ，
得 ，
设 A( ， )，B( ， )，所以 ，
直线 AE 方程为 ，
令 x＝0，得 ，同理 ，
5 4 3 2 21 6 5 4 3 3
− × × × =
4 4
5
2 1 80( ) ( )3 3 243P A C= ⋅ =
1
2
S
S
2p 2p = 2
2
2x my= +
2 2 2
2
2
y x
x my
=
= +
2 2 2 2 0y my− − =
1x 1y 2x 2y 1 2 2 2y y m+ = 1 2 2y y+ = −
1
1
2( )22
2
yy x
x
= +
+
1 1
1
1
2 2
2 2
2 2
2
M
y y
y
myx
= =
++
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
M
y y
y
myx
= =
++22
所以
其中 ，
则 ，因此 的取值范围为[4， )．
1 2
1 2
1 2 1 2
2 2
2( )2 22 2
2 22 2 ( 2)( 2)M N
y y y yy y
my my my my
−− = − =
+ + + +
2 2 2 2
1 2 1 22 ( ) 2 2 4 2 2 2m y y m y y m m m+ + + = − + + = +
1 2 21
2
1
2 4 4 41
2 M N
EF y yS mS EO y y
−
= = + ≥
−
1
2
S
S
+∞
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