江苏省徐州市2020届高三春季联考数学试题含附加题(清晰PDF版 带答案详解及评分参考）

3 2020 届高三春季联考 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.． 1. 设全集U R ，集合 { 1,0,1,2,3}A   ， { | 2}B x x  ，则 BCA U = ▲ ． 2．复数 1 i i 的虚部是 ▲ ． 3. 某校为了解高三同学暑假期间学习情况，抽查了 100 名同学， 统计他们每天平均学习时间,绘成频率分 布直方图（如图），则这 100 名同学中学习时间在 6～8 小时内 的人数为 ▲ ． 4. 如图是一个算法的流程图，若输入的 x 的值为1，则输出的 S 的 值为 ▲ ． 5. 某校有 ,A B 两个学生食堂，若 , ,a b c 三名学生各自随机选择其 中的一个食堂用餐， 则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分。 本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘图、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 0.04 0.05 0.12 0.14 小时 频率/组距 108642 12 x （第 3 题图） （第 4 题图）4 6. 已知正四棱锥的底面边长是 24 ，侧棱长为5 ，则该正四棱锥的体积为 ▲ ． 7. 若将函数 ( ) sin(2 )3f x x   的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 ▲ ． 8. 已知{ }na 为等差数列，其公差为 2，且 7a 是 3a 与 9a 的等比中项， nS 为 { }na 前 n 项和， 则 10S 的值为 ▲ ． 9. 若双曲线 12 2 2 2  b y a x 的一条渐近线与圆 1)1(: 22  yxC 相交于 ,A B 两点且 90ACB   ,则此双曲线的离心率为 ▲ ． 10. 函数 )1ln( 432   x xxy 的定义域为 ▲ ． 11. 已知 ,x y R ，且 1x  ，若 ( 1)( 2) 1x y   ，则 6 6xy x y   的最小值为 ▲ ． 12. 在 ABC 中，若 120 , 2, 3BAC BA BC    ， ,2 1 3 1 BABCBM  则  MCMA ▲ ． 13. 已知圆 O： 2 2 4x y  ，直线 l 与圆 O 交于 P、Q 两点，A(2，2)，若 AP2＋AQ2＝40， 则弦 PQ 的长度的最大值为 ▲ ． 14. 函数 ( )f x 满足 ( ) ( 4)f x f x  ，当 x[﹣2，2)时， 3 22 3 2( ) 1 , 2 x x a x af x x a x           , ， 若函数 ( )f x 在[0，2020)上有 1515 个零点， 则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 (cos ,sin ) , ( 3sin ,sin )m x x n x x   ，函数 ( )f x m n   . （1）求函数 ( )f x 的最小正周期. （2）若 13, ( )2 2 10f   （0， ） ，求sin 的值.5 16．(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 111 CBAABC  中， BCAC  ， M 是棱 CC1 上的一点． （1）求证： AMBC  ； （2）若 NM , 分别是 ABCC ,1 的中点， 求证： .// 1AMBCN 平面 17. (本小题满分 14 分) 如图，某居民区内有一直角梯形区域 ABCD ， AB CD ， AB BC ， 6AB  百米， 4CD  百米.该区 域内原有道路 AC ，现新修一条直道 DP（宽度忽略不计），点 P 在道路 AC 上（异于 ,A C 两点）， 6BAC   ， DPA   . （1）用 表示直道 DP 的长度； （2）计划在 ADP△ 区域内修建健身广场，在 CDP△ 区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平 方百米 4 万元，种植花草的成本为每平方百米 2 万元， 新建道路 DP 的成本为每百米 4 万元，求以上三 项费用总和的最小值（单位：万元）． C BA D P （第 17 题图） A B N M 1CC （第 16 题图） 1A B16 18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     过点  0,1 ，椭圆 C 的离心率为 3 2e  . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）如图，设直线 l 与圆  2 2 2 1 2x y r r    相切与点 A ，与椭圆 C 相切于点 B ，当 r 为何值时，线段 AB 长度最大？并求出最大值. 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 ( ) lnf x x x a  和 函 数 ( ) lng x x ax  . （ 1） 若曲线 ( )f x 在 1x  处 的 切 线 过 点 (2, 2)A  ， 求 实 数 a 的值； （ 2） 求函数 ( ) ( ) 2h x g x x  的单调区间； （ 3） 若不 等 式 ( ) ( ) 0f x g x  对于任意的 1x  恒成立, 求实数 a 的最大值. （第 18 题图）7 20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 na 和等比数列 nb 的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 nS ， nT ，且 1 12 2b a  ， 2 3 54b S  ， 2 2 11a T  ． （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）求 1 1 2 2 3 3n n nM a b a b a b a b     ； （3）是否存在正整数 m，使得 1m m m m S T S T   恰好是数列 na 或 nb 中的项？若存在，求出所有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由．8 2020 届高三春季联考 数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答。 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.【选修 4­2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分） 已知二阶矩阵 1 3 aM b      的特征值 1   所对应的一个特征向量 1 1 3e       ． （1）求矩阵 M ； （2）设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线 C' 的方程为 1xy  ，求曲线 C 的方程． B.【选修 4­4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合．若直线 l 的 极坐标方程 为 sin 3 24        ． （1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知 P 为椭圆 2 2 13 xC y : 上一点，求 P 到直线l 的距离的最小值． 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题）。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。9 C．【选修 4 - 5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知实数 x，y，z 满足 x + y + z = 2，求 222 32 zyx  的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区域内作答．解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分 10 分） 已知 ( , ), ( , )1 1 2 2A x y B x y 是抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  上不同两点． (1) 若抛物线C 的焦点为 F ， ( , )0 0D x y 为 AB 的中点，且 04 2AF BF y   , 求抛物线C 的方程； (2) 若直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点Q ，且 2 1 2 4 py y  ， 是否存在直线 AB ，使得 1 1 3 PA PB PQ   ？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由．10 23.（本小题满分 10 分） 已知数集 },,,{ 21 naaaA  ，其中 naaa  210 ，且 3n ，若对 ji, （ nji 1 ）， ij aa  与 ij aa  两数中至少有一个属于 A ，则称数集 A 具有性质 P ． （1）分别判断数集 }3,1,0{ 与数集 }6,4,2,0{ 是否具有性质 P ，说明理由； （2）已知数集  821 aaaA ,,,  具有性质 P ，判断数列 821 aaa ,,,  是否为等差数 列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．11 2020 届春季联考数学Ⅰ参考答案 一、填空题：       1 3 51. 1,0,1 2. 3. 30 4. 73 5. 6. 32 7.2 4 12 6 38. 110 9. 2 10. 1,0 0,1 11. 25 12. 2 113. 2 2 14. ,02         二、解答题： 15.（1）   2sincossin3 xxxxf  ……………2 分 2 1)62sin(2 cos12sin2 3  xxx ……………4 分  xf 的最小正周期为 …………6 分 （2） 10 13 2 1)6sin(2      f 5 4)6sin(   ……………8 分 20   366   ……………10 分 5 3 5 41)6(sin1)6cos( 2 2       ……………12 分 6sin6cos6cos6sin66sinsin                      10 334 2 1 5 3 2 3 5 4  ……………14 分 16. (1)在直三棱柱 111 CBAABC  中， ABCCC 平面1 , ABCBC 平面 BCCC  1 ……………2 分 又 ACBC  ， CCCAC  1 ， 11AACCAC 平面 ， 111 AACCCC 平面 11AACCBC 平面 ……………4 分 AMBCAACCAM  11平面又  ……………6 分 （2） QMNQQAB ，，连接的中点为取 1 中点、分别为、中，在 11 ABABQNABB 11 2 1// ABNQABNQ  且 ……………8 分 在直三棱柱 111 CBAABC  中，12 的中点为，且 11111 // CCMCCBBCCBB  11 2 1// BBCMBBCM  且 ………………10 分 MCNQMCNQ  且// 为平行四边形四边形NCMQ QMNC // ………………12 分 11, AMBQMAMBNC 平面平面又  1// AMBCN 平面 ……………14 分 17. （1）过点 D 作 DD 垂直于线段 AB ，垂足为 D． 在直角 ABC△ 中，因为 AB⊥BC， π 6BAC ∠ ， 6AB  ，所以 2 3BC  ． 在直角 ADD△ 中，因为 2AD  ， ' 2 3DD  ，所以 4AD  ，则 3sin 2DAD  ， 故 π 3DAD ∠ ， ………………………2 分 又 π 6BAC ∠ ，所以 π 6DAP ∠ ． 在 ADP△ 中，由正弦定理得 sin πsin 6 AD DP  = ， 所以 2 sinDP  ， π 5π 6 6  ．………………………4 分 （2）在 ADP△ 中，由正弦定理得 sin sin AP AD ADP  ， 所以  5π4sin4sin 6 sin sin ADPAP      ． 所以    5π 5π4sin 4sin1 1 26 6sin sin2 2 sin sin sinAPDS AP PD                V ．………6 分 又 1 1 2πsin 4 4sin 4 32 2 3ADCS AD DC ADC       V ． 所以  5π4sin 64 3 sinDPC ADC APDS S S       V V V ．……………………8 分 设三项费用总和为 ( )f  ， 则 5π 5π4sin( ) 4sin( ) 26 6( ) 4 (4 3 ) 2 4sin sin sinf                2 cos12 3 4( )sin     ， π 5π 6 6  ， ………10 分 所以 2 1 cos2( ) 8( )sinf        ， 令 ( ) 0f   ，则 2π 3  ． C BA D P D13 列表： 所以 2π 3  时， min( ) 16 3f   ．………12 分 答：以上三项费用总和的最小值为16 3 万元．………………………14 分 18.解：（1）椭圆方程为 14 2 2  yx ……………4 分 （2）设直线l 的方程为 y kx m  ，因为直线l 与圆 C： 2 2 2x y R  (1 2R  )相切于 A ， 所以 2 | | 1 mR k   ， 即 2 2 2(1 )m R k  ①，……………6 分 因为l 与椭圆 2 2 14 xE y ∶ 相切于点 B ， 由 2 2 14 y kx m x y     得 2 24( ) 4x kx m   ， 即 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m     有两个相等的实数解， 则 2 2 2 2 2 264 16(1 4 )( 1) 16(4 1) 0k m k m k m       ⊿ ， 即 2 24 1 0k m   ， ②…… ………8 分 由①、②可得 2 2 2 2 2 2 3 4 1 4 Rm R Rk R       ， ……………10 分 设 1 1( , )B x y ，由求根公式得 1 2 2 8 4 4 2(1 4 ) km km kx k m m       ， ∴ 2 2 1 1 4 4 1( )k k my kx m k mm m m         ， ∴ 2 2 2 2 21 21 16 1 4| | 5kOB m Rx y      ， ……………12 分 ∴在直角三角形 OAB 中， 2 2 2 2 2 2 2 4 4| | | | | | 5 5 ( )AB OB OA R RR R         ， ……………14 分   π 2π 6 3 ， 2π 3  2π 5π 3 6 ， ( )f  0 ( )f  ] 2 3 Z14 因为 2 2 4 4RR  ≥ ，当且仅当 2 (1,2)R   时取等号，所以 2| | 5 4 1AB  ≤ ， 即当 2 (1,2)R   时，| |AB 取得最大值，最大值为 1． ……………16 分 19.解（1） ' '( ) ln ( ) ( )1 1 1 1f x x f f a     又 曲线 ( )f x 在 1x  处的切线方程为 -1 2 2y a x A   切线过点（ ，） 2 2 1 3a a       ……………3 分  2 2 ' 2 2 2 ( ) ln 0 + 2 1( ) 0 1 0 8 ( ) 8 0 2 2 2 2 h x x ax x x axh x x ax ax a a                      （2） 的定义域为 ， 则 令 当 即 时  '( ) 0 ( ) 0 +h x h x  函数 的单调增区间为： ， ………………5 分 2 2 2 2 1 2 ' 1 2 ( ) 8 0 2 2 2 2 8 82 1 0 ,4 4 2 2 0, 0, ( ) 0 a a a a a a ax ax x x a x x h x                       当 即 或 时， 有两个不等的实数根 当 时， ，  ( ) 0 +h x 函数 单调增区间为 ， ……………7 分 1 22 2 0, 0,a x x  当 时， ' 1 2 ' 1 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 8 8( ) +4 4 h x x x x x h x x x x a a a ax                 令 ，则0 或 令 ，则 h 单调递增区间为（0， ）， ， 2 28 8( ) ,4 4 a a a ah x    单调递减区间为（ ）………9 分 （3）令       aaxxxxxgxfxF  lnln ， 则   axxxF  11ln' 记   axxx  11ln ，则   0111 22 '  x x xxx ，所以  xF ' 在  ，1 上单调递增， 故     aFxF  21'' 当 2a ，   0' xF ，故  xF 在 ，1 上单调递增，15 所以     01  FxF ，符合题意 .…………………11 分 当 2a 时，   011'  aexF ，故     01'' FeF a ，……………………13 分 又  xF ' 在  ，1 上单调递增，所以存在唯一的实数   ,10x ，使得   00 ' xF ， 列表如下： 则当  0,1 xx 时，     01  FxF ，这与   0xF 恒成立矛盾.…………………15 分 综上，实数 a 的最大值为 2.（16 分）……………………16 分 20. 解：（1）设数列 na 的公差为 d ，数列 nb 的公比为 q . 因为 11,54,22 223211  TaSbab ， 所以        ,11221 ,54332 qd dq 即        ,82 ,91 qd dq 解得      2 3 d q 或      5 2 3 d q （舍去），……………2 分 所以 132,12  n nn bna …………… 4 分 （2）   12 332211 321232532321  n nnn nbabababaM      nn n nnM 321232323233213 12   所以       nnn n nnM 34443212333422 12   …………… 6 分 所以   2312  n n nM ……………8 分 (3) 由（1）可得 13,2  n nn TnS 所以 m m mm mm m m TS TS 31 31 2 12 1      ……………10 分 因为 mm mm TS TS   1 是数列 na 或 nb 中的一项，所以     NLLm m m m ,31 31 2 12 所以      mLmL 3311 2  ，因为 03,012  mm 所以 32,,31   LLNLm 或则又 ……………12 分16 当 2L 时，有       ,3 1,13 1,31 22 2 mm m mmfmm  令即 则       1 22 1 2 3 322 3 1 3 111   mmm mmmmmfmf 当         ,012;211  mfmfmffm 时，当时， 即          4321 ffff 由     13 1,3 12,01 2  m mff 知 无整数解. ……………14 分 当 3L 时，有 012 m ，即存在 1m 使得 331 31 2 12    m m m m ，是数列 na 中的第 2 项， 故存在正整数 1m ，使得 mm mm TS TS   1 是数列 na 中的项. ……………16 分17 2020 届春季联考数学Ⅱ（选修）参考答案 【选做题】在 A，B，C 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 21A 解：（1）由     b a 3 1        3- 1-13- 1 得      333 13 b a ，即      0 2 b a ………3 分     03 12M …………5 分 （2）设曲线 C 上一点 ),( yxP 在矩阵 M 的作用下的到点 )','(' yxP ，则点 'P 在曲线 'C 上 。            ' ' 03 12 y x y x 即      xy yxx 3' 2' …………8 分 又 1'' yx 13)2(  xyx 整理得曲线 C 的方程为 136 2  xyx …………10 分 21B. 解：（1）直线l 的极坐标方程 sin 3 24        ，则 2 2sin cos 3 22 2      ， 即 sin cos 6     ， ………2 分 所以直线l 的直角坐标方程为 6 0x y   ；…………4 分 （2） P 为椭圆 2 2 13 xC y : 上一点，设 ( 3 cos sin )P  , ，其中  0 2,   ， 则 P 到直线l 的距离 | 2cos( ) 6 || 3 cos sin 6 | 6 2 2 d       ， ………8 分 ∴当 cos( ) 16     时， d 的最小值为 2 2 ． …………10 分 21C．证明：由柯西不等式可知 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1( 2 3 1 ) [( ) ( ) 1 ](2 3 ) 2 3 2 3 x y z x y z          ………4 分 所以 2 2 2 2 ( ) 242 3 1 1 1112 3 x y zx y z        ， ………8 分 当且仅当 11 12,11 4,11 6  zyx 时取等号． ………10 分18 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区域内作答．解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.解：（1） 1 2AF BF y y p   由 抛 物 线 的 定 义 得 0 02 4 2 4y p y p      …………2 分 2 8 .x y 所求抛物线方程为 …………4 分 （2）由题意得 AB 的斜率存在设 : ( 0, 0)AB y kx m k m    2 1 2 1 22 2 2 0 2 2 2 y kx m x pkx pm x x pk x x pm x py             2 2 2 1 2 1 2 2 24 2 p py y m m y y pk m        …………6 分 作 AA′⊥x 轴，BB′⊥x 轴，垂足为 A′，B′，     ' ' 2 22 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 3 3 3.......6 122 2( ) 2 2 31 44 4 PQ PQ OQ OQ PA PB PQ PA PB AA BB p pk p km pk mm m m y y p py y y y                  分 ………8 分 2 1 1 1 4 2 2 2 pk k AB x       存在直线 ：y= 符合题意 …………10 分 23.解：（Ⅰ）由于 13  和 13  都不属于集合 310 ,, ， 所以该集合不具有性质 P ； …………2 分 由于 02  、 04  、 06  、 24  、 26  、 46  、 00  、 22  、 44  、 66  都属于集合 6420 ,,, ， 所以该数集具有性质 P ………………………4 分 （Ⅱ） },,,{ 821 aaaA  具有性质 P ，所以 88 aa  与 88 aa  中至少有一个属于 A ， 由 8210 aaa  ，有 888 aaa  ，故 Aaa  88 ， Aaa  880 ，故 01 a ． 8210 aaa  ， 88 aaa k  ，故 )8,,3,2(8  kAaa k ． 由 A 具有性质 P 知， )8,,3,2(8  kAaa k ，又 18287888 aaaaaaaa  ，19 818728278188 ,,,, aaaaaaaaaaaa  ，即 )8,,2,1(89   iaaa ii ① ………………6 分 由 872 aaa  知， 73 aa  ， 74 aa  ，…，， 77 aa  均不属于 A ， 由 A 具有性质 P ， 37 aa  ， 47 aa  ，…，， 77 - aa 均属于 A ， 3837476777 aaaaaaaaaa   ，而 638  aa ， 077  aa ， 267 aaa  ， 357 aaa  ，…， 537 aaa  即 ),,,( 72178   iaaa ii ② …………8 分 由①②可知 ),,,)(( 82117898   iaaaaaa iii ， 即 781 aaaa ii   （ 8,,3,2 i ）． 故 821 aaa ,,,  构成等差数列 …………………………10 分