2020 年高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）
1.已知集合 A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，则∁R（A∪B）＝（ ）
A. [﹣2，1] B. [1，4] C. （﹣2，1） D. （﹣∞，4）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知求出 A，B，再求 A∪B，进而求其补集．
【详解】∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}={x|x≤﹣2 或 x≥4}，
∴A∪B={x|x≤﹣2 或 x≥1}，则∁R(A∪B)=(﹣2,1).
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的基本运算，属于基础题.
2.复数 z 的共轭复数 满足 ，则 z＝（ ）
A. 2+i B. 2﹣i C. l+2i D. 1﹣2i
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得 ，再由共轭复数的概念得答案.
【详解】由 5，得 ，
∴z＝2+i.
故选：A.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.
3.在等差数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足 S8﹣S3＝45，则 a6 的值是（ ）
A 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的性质即可求解.
【详解】因为 S8﹣S3＝a4+a5+a6+a7+a8＝45，
由等差数列的性质可得，5a6＝45，
.则 a6＝9.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题.
4.在 中， ， ， ，则 在 方向上的投影是（ ）
A. 4 B. 3 C. -4 D. -3
【答案】D
【解析】
分析：根据平面向量的数量积可得 ，再结合图形求出 与 方向上的投影即可.
详解：如图所示：
，
，
，
又 ， ，
在 方向上 投影是： ，
故选 D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.
5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是( )
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 对应的直线进行平移，可得最优解，然后求
解即可．
的【详解】解：作出 ， 满足约束条件表示的平面区域
得到如图阴影部分及其内部，
其中 ，1 ， ， 为坐标原点
设 ，将直线 进行平移，
当 经过点 时，目标函数 达到最大值
2， ．
故选： ．
【点睛】本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单
的线性规划等知识，属于基础题．
6.命题 p：曲线 y＝x2 的焦点为 ；命题 q：曲线 的渐近线方程为 y＝±2x；下列为真命题的
是（ ）
A. p∧q B. ￢p∧q C. p∨（￢q） D. （￢p）∧（￢q）
【答案】B
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得到选项.
【详解】曲线 y＝x2 的焦点为（0， ），所以 P 是假命题； 是真命题，
曲线 的渐近线方程为 y＝±2x，q 是真命题，
所以 是真命题.
故选：B.
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.
7.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018 年全年总收入与 2017 年全年总收入相比增长了一倍，
实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运
营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A. 该企业 2018 年原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和
B. 该企业 2018 年研发费用是 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和
C. 该企业 2018 年其它费用是 2017 年工资金额的
D. 该企业 2018 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍
【答案】B
【解析】
【分析】
先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解．
【详解】解：由折线图可知：不妨设 2017 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t.
对于选项 A，该企业 2018 年原材料费用为 0.3×2t＝0.6t，2017 年工资金额与研发费用的和为 0.2t+0.1t＝0.3t，
故 A 错误；
对于选项 B，该企业 2018 年研发费用为 0.25×2t＝0.5t，2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和
为 0.2t+0.15t+0.15t＝0.5t，故 B 正确；
对于选项 C，该企业 2018 年其它费用是 0.05×2t＝0.1t，2017 年工资金额是 0.2t，故 C 错误；
对于选项 D，该企业 2018 年设备费用是 0.2×2t＝0.4t，2017 年原材料的费用是 0.15t，故 D 错误.
故选： .
【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属于基础题．
8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表
面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案.
【详解】在长为 1，宽为 1，高为 2 的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥 A-BCD.该三棱锥的外
接 球 即 为 长 方 体 的 外 接 球 ， 故 球 的 半 径 ， 所 以 外 接 球 的 表 面 积
.
故选：B
【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中.
9.已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数 的图象求出 、 的范围，从而得到函数 的单调性及图象特征，
从而得出结论．
【详解】解：由函数 的图象可得 ， ，故函数 是定义域内的减函数，且过定点 .结合所给的图像可知只有 C 选项符合题意.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图
象特征，属于基础题．
10.已知角 θ 的终边经过点（2，﹣3），将角 θ 的终边顺时针旋转 后，角 θ 的终边与单位圆交点的横坐标为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用任意角的三角函数的定义求出 sinθ，cosθ，设角 θ 的终边顺时针旋转 后得到的角为角 α，则 cosα＝cos
，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．
【详解】∵角 θ 的终边经过点(2,﹣3)，∴ ， ，
设角 θ 的终边顺时针旋转 后得到的角为角 α，
∴cosα＝cos (cosθ+sinθ) ，
∴终边与单位圆交点的横坐标为 .
故选：B．
【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义以及两角和与差三角函数公式的应用，属于基础题．
11.已知 a＝2log2 ，c＝5log5 ，则（ ）
A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜c＜a D. b＜a＜c
【答案】D
【解析】
【分析】
把 a，b，c 化为 ， ， ，比较大小 ，则 c>a>b，即可得解.
【详解】∵a＝2log2 ，c＝5log5 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ ,又 ， ，∴ ，
∴c＞a＞b.
故选：D．
【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了推理能力和运算求解能力，属于基础题.
12.若函数 在 单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在 单 调 递 增 ， 等 价 于 恒 成 立 ， 换 元 后 可 得
在 上恒成立，利用二次函数的性质可得结果.
【详解】 ，
，
设 ，
，
在 递增，
在 上恒成立，
因为二次函数图象开口向下，
， 的取值范围是 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求
参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已
知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
② 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围，
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，
小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞
穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚 ，
__________天后两只老鼠打穿城墙．
【答案】6【解析】
大老鼠每天打洞的距离是首项为 1，公比为 2 的等比数列，小老鼠每天打洞的距离是首项为 1，公比为 的等
比数列．所以距离之和 所以这两只老鼠相逢所需天数为 6 天.
14. 展开式中 的系数为__________．
【答案】-320
【解析】
【分析】
先求 展开式的通项公式 ，再求 的展开式中含 的项，最后求展开式中
的系数.
【详解】易知 展开式的通项公式为 ，所以 的展开式中含
的 项 为 与 ， 所 以 展 开 式 中 的 系 数 为
.
故答案为：-320
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.
15.已知点 是双曲线 左支上一点， 是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近
线恰是线段 的中垂线，则该双曲线的离心率是______ .
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得 ，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义求解离心率.
【详解】
由题：双曲线的一条渐近线恰是线段 的中垂线，O 是 的中点，
所以渐近线与 平行，所以 ，
，所以 ，又
所以 ，
所以 ，离心率 .
故答案为：
【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于根据题意找出等量关系，结合几何特征求解.
16.在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，△ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 A﹣BCD．
①当 时，三棱锥 A﹣BCD 的体积为 ；
②当面 ABD⊥面 BCD 时，AB⊥CD；
③三棱锥 A﹣BCD 外接球的表面积为定值．
以上命题正确的是_____．
【答案】③
【解析】
【分析】
在①中，由题意可得 平面 ACD，利用 即能求出三棱锥 A﹣BCD 的体积；在②中，过点
A 作 AE⊥平面 BCD，交 BD 于 E，则 AE⊥CD，即可得 AB 与 CD 不垂直；在③中，三棱锥 A﹣BCD 外接球
的球心为 O，半径为 ，从而三棱锥 A﹣BCD 外接球的表面积为定值．
【详解】∵在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，
∴AC=BD ，
△ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 A﹣BCD．
在①中，当 时, ， ，
∴ ， ，
又 ，∴ 平面 ACD，
∴ ，故①错误；
在②中，当面 ABD⊥面 BCD 时，过点 A 作 AE⊥平面 BCD，交 BD 于 E，
则 AE⊥CD，又 CD 与平面 ABD 不垂直，故 AB 与 CD 不垂直，故②错误；在③中，取 BD 的中点 O，连接 OA、OC，
∵OA＝OB＝OC＝OD ，
∴三棱锥 A﹣BCD 外接球的球心为 O，半径为 ，
∴三棱锥 A﹣BCD 外接球的表面积为定值，故③正确．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了空间位置关系及三棱锥体积、外接球相关问题的求解，考查了推理论证能力，属于中
档题．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17.已知在△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c， .
（1）求 A；
（2）若 b＝4，c＝6，求 sinB 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围 0＜A＜π，0＜B＜π 即可解得 A 的值.
（2）由余弦定理可得 a 的值，由正弦定理可求 sinB 的值.
【详解】（1）由 asinB 及正弦定理可得 ，
因为 A+B+C＝π，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 0＜A＜π，0＜B＜π，
所以 ，所以 ，
因此 ，即 .
（2）由余弦定理可得 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，得 .
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计
算能力和转化思想，属于基础题.
18.如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 是菱形，且 CA＝CB1．
（1）证明：面 CBA1⊥面 CB1A；
（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角 C﹣A1B1﹣C1 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）设 AB1 与 A1B 交于 O，连接 OC，先证明 AB1⊥平面 CA1B，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）由 A1C＝BC，故 CO⊥A1B，又（1）知 OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，故 OC⊥平面 ABB1A1，以 O 为原点，
分别以 OA，OB，OC 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 CA1B1 和平面 C1A1B1 的法向量，利用夹
角公式求出即可．
详解】（1）证明：设 AB1 与 A1B 交于 O，连接 OC，如图，
因为侧面 ABB1A1 是菱形，所以 AB1⊥A1B，
又 CA＝CB1，所以 OC⊥AB1，又 A1B∩CO＝O，
故 AB1⊥平面 CA1B，又 AB1⊂平面 CAB1，
故平面 CBA1⊥平面 CB1A；
【（2）由 A1C＝BC，故 CO⊥A1B，又（1）知 OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，
故 OC⊥平面 ABB1A1，以 O 为原点，分别以 OA，OB，OC 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
设 A1C＝BC＝BA1＝2，则 OC ，
则 ， ，A1(0,﹣1,0)，B(0,1,0)，
由 ，得 ，
所以 ， ， ，
设平面 CA1B1 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
设平面 C1A1B1 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
故 cos ，
又二面角 C﹣A1B1﹣C1 为锐角，
故二面角 C﹣A1B1﹣C1 的余弦值为 ．
【点睛】本题考查了面面垂直的判定及向量法求二面角的余弦值，考查了空间思维能力和数学运算能力，
属于中档题．
19.已知点 F1 为椭圆 的左焦点， 在椭圆上，PF1⊥x 轴．
（1）求椭圆的方程：
（2）已知直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的大小是否为定值？若
是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1） y2＝1；（2）∠AOB 为定值【解析】
【分析】
（1）由 PF1⊥x 轴，及点 P 的坐标可得 F1 的坐标，即 c 的值，将 P 的坐标代入，由 a，b，c 之间的关系的
关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程；
（2）分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线 l 的方程，
代入椭圆中求出 A，B 的坐标，进而可得数量积 的值为 0，可得∠AOB ；当直线 l 的斜率存在时，
设直线 l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入
数量积 的表达式，可得恒为 0，即∠AOB 恒为定值
【详解】（1）因为 PF1⊥x 轴，又 在椭圆上，可得 F1(﹣1，0)，
所以 c=1， 1，a2=c2+b2，
解得 a2=2，b2=1，
所以椭圆的方程为： y2=1；
（2）当直线 l 的斜率不存在时，由原点 O 到直线 l 的距离为 ，
可得直线 l 的方程为：x ，
代入椭圆可得 A( , )，B( , )或 A( , )，B( , )，
可得 ，所以∠AOB ；
当直线 l 斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+m，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由原点 O 到直线 l 的距离为 ，可得 ，可得 3m2＝2(1+k2)，①
直线与椭圆联立 ，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，
=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0，将①代入 中可得 =16m2+8>0，
x1+x2 ，x1x2 ，
y1y2＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2 ，
所以 ，
将①代入可得 0，
所以∠AOB ；
的综上所述∠AOB 恒成立．
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合，考查了运算能力，属于中档题．
20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到
离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压
力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4 小时内（含 4
小时）每辆每次收费 5 元；超过 4 小时不超过 6 小时，每增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8
小时，每增加一小时收费增加 4 元，超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小时，按
前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计 1000
辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：
（小时）
频数（车次） 100 100 200 200 350 50
以车辆在停车场停留时间位于各区间 频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．
（1）现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车
时长与司机性别的 列联表：
男 女 合计
不超过 6 小时 30
6 小时以上 20
合计 100
完成上述列联表，并判断能否有 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？
（2）（i） 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求 的概率分布列及期望 ；
（ii）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用大于 的车辆数，求 的
概率．
的参考公式： ，其中
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）列联表见解析，没有超过 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关；（2）（i）分布
列见解析， ；（ii）
【解析】
【分析】
（1）先根据频数分布表填写 列联表,再将数据代入 公式求解即可；
（2）（i） 的可取值为 5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii）先
求得 ,则 ,进而求得概率即可
【详解】（1）由题,不超过 6 小时的频率为 ,则 100 辆车中有 40 辆不超过 6 小时,60 辆超
过 6 小时,
则 列联表如下：
男 女 合计
不超过 6 小时 10 30 40
6 小时以上 20 40 60
合计 30 70 100
根据上表数据代入公式可得
所以没有超过 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关
（2）（i）由题意知： 的可取值为 5,8,11,15,19,30,则所以 的分布列为：
5 8 11 15 19 30
∴
（ii）由题意得 ,所以 ,
所以
【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查二项分布,考查离散型分布列及期望,考查数据处理能力与运算能
力
21.设函数 ，e 为自然对数的底数．
（1）求 f（x）的单调区间：
（2）若 ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0 成立，求正实数 a 的取值范围．
【 答 案 】（1 ） 的 单 调 增 区 间 为 ， 单 调 减 区 间 为 ， ； （ 2 ） 0 ＜
a ．
【解析】
【分析】
（1）求导得 ，求得 、 的解集即可得解；
（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0 成立⇔ x﹣lnx，由（1）可得当 x＝1 时，函数 y 取得极
大值 ，令 g（x）＝x﹣lnx,(x>0)，利用导数研究其单调性即可得出 x﹣lnx≥1．进而得出 a 的取值范围．
【详解】（1）函数 ，e 为自然对数的底数，
则 ，
令 可得 ， ，∴当 ， 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ， ；
（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0 成立⇔ x﹣lnx，x∈(0,+∞),
由（1）可得当 x=1 函数 y 取得极大值 ，
令 g(x)= x﹣lnx,(x>0)，g′(x)= 1 ，
可得 x=1 时，函数 g(x)取得极小值即最小值．
∴x﹣lnx≥g(1)=1，
当 时， 即为函数 y 的最大值，
∴ x﹣lnx 成立⇔ 1，解得 a ；
当 时， ，不合题意；
综上所述，0
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