2020届湖南省娄底市高三高考仿真模拟文科数学试题（解析版）

娄底市 2020 届高考仿真模拟考试 数学（文科） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 ,复数 在复平面内对应的点位于第一象限,选 A. 2.设集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意解得 ,再由集合并集的概念即可得解. 详解】由 ， ， ，∴ . 故选:B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解和集合并集的运算,属于基础题. 3.函数 的零点 所在的区间为（ ） 【 z ( )1 2 1z i i⋅ + = + i z 1 2 (1 2 )(1 ) 3 3 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i i iz ii i i + + − += = = = ++ + − z { }2 2 0A x x x= − − ≤ { }2B x x= > A B = ( ],2−∞ [ )1,− +∞ [ ]1,2− ( )1,2− [ ]1,2A = − 2 2 0x x− − ≤ ( )( )1 2 0x x+ − ≤ [ ]1,2A = − [ )1,A B∪ = − +∞ ( ) 62 1 xf x x = − + 0xA. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求函数值判断 ,即可求解. 【详解】∵ 在区间 上是增函数，且 ， ， ∴ 的零点 . 故选:C. 【点睛】本题考查函数零点存在性定理,熟记定理应用的条件是关键,属于基础题. 4.已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量平行的坐标表示,可得 ,简单计算,可得结果. 【详解】∵ ， ， ， 或 .∴当 时， 命题成立， 反之，当 时， 不一定成立.所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示以及计算,同时考查了充分、必要条件,识记概念与计算公式，属基础 题 5.设双曲线 C： 的两条渐近线的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. ( )1,0− ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( ) ( )1 2 0f f⋅ < ( )f x ( )1,− +∞ ( )1 1 0f = − < ( )2 2 0f = > ( )f x ( )0 1,2x ∈ ( ),2a t= ( )4, 2b t → = − 4t = //a b → → ( )2 8 0t t − − = //a b → → ( )2 8 0t t − − = 2 2 8 0t t− − = 2t = − 4t = 4t = //a b → → //a b → → 4t = 4t = //a b → → 2 2 12 x y− = θ tanθ = 2 2 2 2 2【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，可知 ,利用二倍角公式,即可求解. 【详解】∵双曲线 C： 的两条渐近线为： ， ∴ ， . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,同时考查了直线的斜率与倾斜角的 关系的应用,属于基础题. 6.已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ，则数列 的前 2020 项和为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可求出等差数列的首项和公差,进而求得 ,则 ,根据裂项求和 即可得出结果. 【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 d， 由 , ， ，∴ ， . ∴ ， . 2tan 2 2 θ = 2 2 12 x y− = 2 2y x= ± 2tan 2 2 θ = 2 22tan 22 2tan 2 211 tan 12 2 θ θ θ × = = = − − { }na nS 5 2 73 12a a a= + + 3 6a = 1 nS       2018 2019 2019 2020 2020 2021 2021 2022 ( )1nS n n= + ( ) 1 1 1 1 1 1nS n n n n = = −+ + { }na 1a 5 2 7 3 3 12 6 a a a a = + +  = 1 1 5 12 2 6 a d a d + =  + = 1 2a d= = 2na n= ( )1nS n n= + ( ) 1 1 1 1 1 1nS n n n n = = −+ +∴数列 的前 2020 项和 . 故选:C. 【点睛】本题考查等差数列通项和求和公式中基本量的计算,考查裂项相消求数列的和,难度一般. 7.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的 1000 家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污 染情况综合折算成标准分 100 分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根 据该图可估计本市标准分不低于 50 分的企业数为（ ） A. 400 B. 500 C. 600 D. 800 【答案】B 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距,计算出 50 分以上的频率,再根据频数=频率样本容量,求得 结果. 【 详 解 】 根 据 频 率 分 布 直 方 图 经 计 算 得 50 分 以 上 的 频 率 为 ,所以本市标准分不低于 50 分的企业数为 500 家. 故选:B. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频数=频率样本容量的应用问题,属于基础题. 8.已知函数 （ 且 ），则关于 x 的不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 1 nS       2020 1 1 1 1 1 1 20201 12 2 3 2020 2021 2021 2021T      = − + − + + − = − =           ( )1 0.005 20 0.0125 20 0.015 10 =0.50− × + × + × ( ) x xf x a a−= + 0a > 1a ≠ ( ) 2 2 1log af x a +> ( )2,+∞ ( )10, 2,2   +∞   1 ,22     【分析】 先 证 明 为 偶 函 数 , 在 上 是 增 函 数 , 且 , 已 知 不 等 式 可 转 化 为 ,只需满足 ,计算解得对数不等式即可得出结果. 【详解】根据题意，函数 f（x）＝ax+a﹣x，其定义域为 R，又由 f（﹣x）＝ax+a﹣x＝f（x）， 即函数 f（x）为偶函数， 又由 f′（x）＝（ax﹣a﹣x）lna， 若 a＞1，当 x∈[0，+∞）时，ax﹣a﹣x≥0 且 lna≥0，此时 f′（x）≥0， 若 0＜a＜1，当 x∈[0，+∞）时，ax﹣a﹣x≤0 且 lna≤0，此时 f′（x）≥0， 则当 x∈[0，+∞）时，都有 f′（x）≥0，即函数 f（x）在[0，+∞）上为增函数， 可得 （ ， ）为偶函数且在 上 增函数, ,∴ ，即 ， ， 或 ，解得 或 .即 . 故选:B. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性在解不等式中的应用,考查对数不等式的解法,难度一般. 9.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 是 ( )f x [ )0,+∞ ( ) 2 1 11 af a a a − += + = ( ) ( )2log 1f x f> 2log 1x > ( ) x xf x a a−= + 0a > 1a ≠ [ )0,+∞ ( ) 2 1 11 af a a a − += + = ( ) 2 2 1log af x a +> ( ) ( )2log 1f x f> 2log 1x > 2log 1x > 2log 1x < − 2x > 10 2x< < ( )10, 2,2x  ∈ ∪ +∞   25 8 π 25 4 π 25 2 π 9 8 π【分析】 首先把三视图转换为几何体,观察可知几何体为正四棱锥,由正四棱锥性质,找到外接球的球心,根据勾股定理, 计算即可求得正四棱锥体的外接球的半径,最后求出球的表面积. 【详解】由三视图可知该几何体是一个底面边长为 2，高为 的正四棱锥. 设其外接球的球心到底面的距离为 d，半径为 R， 则 ，解得 ， . ∴其外接球的表面积为 . 故选:C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题,考查 学生的空间想象能力,属于中档题. 10.已知椭圆 E： （ ）的左焦点为 F，A、B 两点是椭圆 E 上关于 y 轴对称的点，若 能构成一个内角为 的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设椭圆 E 的右焦点为 ，连接 ,由图可知,四边形 为等腰梯形,计算可得 ， ， ,因为 ,借助正弦定理可知 , 计算即可得出结果. 【详解】设椭圆 E 的右焦点为 ，连接 ，则四边形 为等腰梯形，其中 ， 是一个内角为 的等腰三角形 ∴ ， ， ，∴在焦点三角形 中， 2 2 22 2 2R d d= − = + 3 24d = 5 24R = 2 254 2Rπ π⋅ = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ABF 2 3 π e = 1 2 3 2 3 1− 2 3− F′ BF′ FABF′ 6F FB π∠ ′ = 3FF B π∠ ′ = 2FBF π∠ ′ = 2 2 c c FFe a a BF BF ′= = = ′+ sin 2 sin sin6 3 FF BF BF π π π ′ =′+ + F′ BF′ FABF′ 2 3FAB π∠ = ABF 2 3 π 6F FB π∠ ′ = 3FF B π∠ ′ = 2FBF π∠ ′ = FF B′△， 即椭圆 E 的离心率为 . 故选:C. 【点睛】本题考查椭圆的定义及性质,考查利用正弦定理求解离心率,考查学生分析问题的能力,属于中档题. 11.已知函数 （ ）在区间 上不是单调函数，且其值域为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简可知 .由 ,借助三角函数的图象和性质可知 ,化简即可得出结果. 【详解】 . sin 22 3 1 3 1sin sin6 3 FFe BF BF π π π ′= = = = −′+ ++ 3 1− ( ) 2sin cos 6f x x x πω ω = + +   0>ω [ ]0,π 3 , 32       ω 1 2,3 3      1 2,3 3      1 2,3 3     1 2,3 3      ( ) 3sin 6f x x πω = +   ( ) 30 2f = 5 2 6 6 π π πωπ< + ≤ ( ) 3 3sin cos 3sin2 2 6f x x x x πω ω ω = + = +  又∵ 在 上的值域为 且 ，∴ ， . 故选:B. 【点睛】本题考查三角函数解析式的化简,考查正弦型函数的图象和性质,难度一般. 12.已知函数 的导函数为 ，且满足 ．当 时， ；若 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 令 ， ，∵当 时， ，∴ 在 递减，而 ，∴ ，∴ ，∴ 是 奇函数， 在 递减，若 ，则 ，∴ ，∴ ，即 ，故选 C. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上. 13.已知某市的 1 路公交车每 10 分钟发车一次，小林到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过 4 分钟的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】 由几何概型中的长度型,利用长度之比,计算即可得出结果. 【详解】当小林在上一辆车走开后 6 分钟内到达，候车时间会超过 4 分钟，则小林候车时间不超过 4 分钟 的概率为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查几何概型中的长度型,属于基础题. ( )f x [ ]0,π 3 , 32       ( ) 30 2f = 5 2 6 6 π π πωπ< + ≤ 1 2 3 3 ω< ≤ ( )f x ( )f x′ 2( ) 2 ( )= − −f x x f x ( , 0)x ∈ −∞ ( ) 2f x x′ < ( 2) ( ) 4 4+ − − ≤ +f m f m m m ( ]1−∞ −， ( ]2− −，∞ [ 1, )− +∞ [ 2, )− +∞ ( ) ( ) 2h x f x x= − ( ) ( ) 2h x f x x′ = ′ − ( ),0x∈ −∞ ( ) 2f x x′ < ( )h x ( )0−∞， ( ) ( ) 2h x f x x− = − − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22f x f x h x x h x x x− + = − + + + = ( ) ( ) 0h x h x− + = ( )h x ( )h x R ( ) ( )2 4 4f m f m m+ − − ≤ + ( ) ( ) ( )2 22 2f m m f m m+ − + ≤ − − ( ) ( )2h m h m+ ≤ − 2m m+ ≥ − 1m ≥ − 2 5 10 6 2 10 5P −= = 2 514.已知实数 x，y 满足 ，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域,由目标函数的几何意义,利用数形结合思想可求得 的取值范围. 【详解】画出 x，y 满足的区域图，易知 表示该区域内的点与点 连线的直线的斜率，联立 解得 即 则 . 故答案为: . 【点睛】本题考查线性规划中分式型目标函数的取值范围的求解,解题时要结合目标函数的几何意义,利用数 形结合思想求解,属于中等题. 15.如图所示，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，侧面 是等边三角形，且 平面 平面 ，E 为棱 上一点，若平面 平面 ，则 ______. 2 0 2 5 0 2 7 0 x y x y x y − + ≥  + − ≥  − − ≤ 1 yz x = + 3 2 z 1 yz x = + ( )1,0P − 2 0, 2 5 0, x y x y − + =  + − = 1, 3, x y =  = ( )1,3A max 3 3 1 1 2z = =+ 3 2 P ABCD− ABCD 3DAB π∠ = PAD PAD ⊥ ABCD PC EBD ⊥ ABCD PE EC =【答案】 【解析】 【分析】 取 的中点 O,连接 交 于 F 点,由已知可得 平面 ,由只需满足 则平面 平面 .根据 ,即可求得结果. 【详解】取 的中点 O，连接 交 于 F 点，∵ ， ，∴ . ∵平面 平面 ， ，∴ 平面 ,在 中,当 , 平面 ,则有平面 平面 ， ∴ . 故答案为: . 【点睛】本题考查面面垂直的性质,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,难度一般. 16.如图所示，在四边形 中， ， ， ， ，则 的 最大值为______. 【答案】 【解析】 1 2 AD OC BD PO ⊥ ABCD //OP EF EBD ⊥ ABCD PE OF EC FC = AD OC BD //OD BC 2BC OD= 2FC OF= PAD ⊥ ABCD PO AD⊥ PO ⊥ ABCD POC△ //OP EF EF ⊂ BDE BDE ⊥ ABCD 1 2 PE OF EC FC = = 1 2 ABCD 3BAD π∠ = 2 3BCD π∠ = 2BC = 3BD = AB AC → → ⋅ 2 1+【分析】 利用正弦定理可求得 ,由已知可得 A，B，C，D 四点共圆,根据“同弧圆周角相等”原理,则有 ,设 , ,则 ,由余弦定理可得 , 借助重要不等式化简即可求出结果. 【详解】在 中，由正弦定理得： ， ，∴ . 由已知条件可知 A，B，C，D 四点共圆，根据“同弧圆周角相等”原理， ， 又在 中设 ， ，则 ， ， ∴ .所以 . 故答案为: . 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查利用重要不等式求取值范围问题,难度一般. 三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，且 . （1）求证： ； （2）过 作截面与线段 交于点 H，使得 平面 ，试确定点 H 的位置，并给出证明. 【答案】（1）证明见解析；（2）H 为线段 上靠近点 P 的五等分点，理由见解析. 【解析】 4BDC π∠ = 4BAC π∠ = x AB= y AC= cos 4AB AC xy π→ → =⋅ ( )2 2 22 2 cos 4x y xy π= + − BCD 3 2 2 sinsin 3 BDCπ = ∠ 2sin 2BDC∠ = 4BDC π∠ = 4BDC π∠ = ABC x AB= y AC= ( )2 2 22 2 cos 4x y xy π= + − ( )2 22 2 2 2x y xy xy= + − ≥ − 2 2xy ≤ + 2cos 2 14 2xy xyAB AC π→ → = = ≤ +⋅ 2 1+ P ABCD− PAC ⊥ ABCD PA PC= //AB CD AB AD⊥ 2 4 4CD AD AB= = = BD PC⊥ BD PC //AP BDH PC【分析】 (1)连接 交 于点 E,由已知可证得 ,即得到 ,由于平面 平面 ,可证得 平面 ,进而证得结论; (2) 由 ，易知 ,由于 平面 ,可证得 ,根据对应边成比例可知 ,即可证得 H 为线段 上靠近点 P 的五等分点. 【详解】（1）连接 交 于点 E， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，则 ， ∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ，又 平面 ， ∴ . （2）由 ，易知 . ∴ ， 又 平面 ，平面 平面 ， ∴ ， ∴ ，即 H 为线段 上靠近点 P 的五等分点，即 . 【点睛】本题考查面面垂直的性质定理,线面垂直的判定,线面平行的性质定理,难度一般. 18.已知数列 满足 ， ，且 （ ， ）. （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前 n 项和. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 BD AC Rt RtABD DAC△ ∽ △ AC BD⊥ ABCD ⊥ PAC BD ⊥ PAC //AB CD AEB CED∽△ △ //AP BDH //AP EH 1 4 PH AE AB HC EC CD = = = PC BD AC //AB CD AB AD⊥ 1 2 AB AD AD CD = = Rt RtABD DAC△ ∽ △ 90AEB = °∠ AC BD⊥ ABCD ⊥ PAC ABCD  PAC AC= BD ⊥ PAC PC PAC BD PC⊥ //AB CD AEB CED∽△ △ 1 4 AE AB EC CD = = //AP BDH APC  BDH EH= //AP EH 1 4 PH AE HC EC = = PC 5PC PH= { }na 1 1a = 2 1 3a = 1 1 1 12 3n n n n n na a a a a a− + − ++ = 2n ≥ n ∗∈N 1 1 1 n na a+  −    { }12n n na a + 1 11 2 1n nS += − −(1) 两边同除以 ,得 ， ,化简 即可证得结论; (2) 由(1)知 ,构造可得 ,进而可知 ,即可求得 ,由 ,可知 ,则 ,即可得出结果. 【详解】（1）当 且 时，在 两边同除以 ， 得 ， ， 为常数，且 所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. （2）设数列 的前 n 项和为 ， 由（1）知 ， ，∴ ， 又由 ， ， 所以 . 【点睛】本题考查由递推关系证明等比数列,考查递推公式在求数列通项中的应用,考查累加求和的应用,难 度一般. 19.已知过点 的直线 l： 与抛物线 E： （ ）交于 B，C 两点，且 A 为线段 的中点. （1）求抛物线 E 的方程； （2）已知直线 ： 与直线 l 平行，过直线 上任意一点 P 作抛物线 E 的两条切线，切点分别为 1 1 1 12 3n n n n n na a a a a a− + − ++ = 1 1n na a− + 1 1 1 2 3 n n na a a+ − + = 1 1 1 1 1 12 n n n na a a a+ −  − = −    1 1 1 2n n na a+ − = 1 1 1 12 2n n n na a + + − = − 1 1 1 1 1 12 2 2 1n n n na a a + + − = − = = − = − 1 1 1 2 1n na + += − 1 1 1 1 1 =2nn n n n n n a a a a a a + + + −− = 1 12n n n n na a a a+ += − ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 1 1n n n nS a a a a a a a a+ += − + − + + − = − 2n ≥ *n∈N 1 1 1 12 3n n n n n na a a a a a− + − ++ = 1 1n na a− + 1 1 1 2 3 n n na a a+ − + = 1 1 1 1 1 12 n n n na a a a+ −  − = −    1 1 1 1 21 1 n n n n a a a a + − − = − 2 1 1 1 2a a − = 1 1 1 n na a+  −    { }12n n na a + nS 1 1 1 2n n na a+ − = 1 1 1 1 1 12 2 2 1n n n na a a + + − = − = = − = − 1 1 1 2 1n na + + = − 1 1 1 2 1n na + += − 1 1 1 2n n na a+ − = 1 12n n n n na a a a+ += − ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 1 1 1 11 2 1n n n n nS a a a a a a a a+ + += − + − + + − = − = − − ( )2,3A 1y x= + 2 2x py= 0p > BC l′ y x m= + l′M，N，是否存在这样的实数 m，使得直线 恒过定点 A？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在实数 使得命题成立 【解析】 【分析】 (1)直线方程与抛物线方程联立,借助韦达定理 即可求得 ,得出抛物线方程; (2)设 M，N 点的坐标分别为 ， ，直线 上任意一点 ,由 ,利用导数的几何意义可得点 M 处的切线 方程和点 N 处的切线 方程,由 都满足上述两个方程,即有 可得直线 的方程即为: ,点 代入即可得出存在实数 使得命题成立. 【详解】（1）由 ， ， ， 依题意 ， . 故抛物线 E 的方程为： . （2）设 M，N 点的坐标分别为 ， ，直线 上任意一点 ， 由 ，可得点 M 处的切线 的方程为： ， 点 N 处的切线 的方程为： ∵ 都满足上述两个方程，∴ MN 2 4x y= 3m = − 1 2 4x x+ = p ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y l′ ( )0 0,P x x m+ 2 4 2 x xy ′ ′ = =   PM PN ( )0 0,P x x m+ 1 0 1 0 2 0 2 0 ,2 ,2 x x y x m x x y x m  − = +  − = + MN 0 02 x x y x m− = + ( )2,3A 3m = − 2 1 2 y x x py = +  = ( )2 2 1 0x p x− + = 2 2 2 0x px p− − = 2 4p = 2p = 2 4x y= ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y l′ ( )0 0,P x x m+ 2 4 2 x xy ′ ′ = =   PM ( )1 1 1 1 12 2 x xy x x y x y= − + = − PN ( )2 2 2 2 22 2 x xy x x y x y= − + = − ( )0 0,P x x m+ 1 0 1 0 2 0 2 0 ,2 ,2 x x y x m x x y x m  − = +  − = +∴直线 的方程为： ， ∵直线 恒过定点 ，∴ ，得 ， 故存 实数 使得命题成立. 【点睛】本题考查求解抛物线方程,考查直线和抛物线的关系,考查恒过定点求解参数问题,难度较难. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分. 20.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动 车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的 电动车中随机抽取 100 辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级， 并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图. （1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取 9 辆，再从这 9 辆中随机抽取 2 辆，求至少 有一辆为电动汽车的概率； （2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电 动自行车每辆补助 300 元；②电动汽车每辆补助 500 元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助 400 元. 试求抽取的 100 辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据频数图，利用分层抽样得电动自行车应抽取 4 辆，电动汽车应抽取 5 辆，再利用古典概型和对立 事件求得：至少有一辆为电动汽车的概率为 ； （2）由频数图，计算样本中 100 辆电动车共补助 元，算出每辆电动车平均需补助的钱乘以 可 在 MN 0 02 x x y x m− = + MN ( )2,3A 0 02 32 x x m⋅ − = + 3m = − 3m = − 50000 5 6 20800000 5 6 41600 50000得估计出市政府执行此方案的预算． 【详解】（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取 （辆）， 电动汽车应抽取 （辆）. 从 9 辆电动车中抽取 2 辆，设电动汽车和电动自行车分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 可得抽法总数为 36 种， 其中 2 辆均为电动自行车的有 , , , , , ,共 6 种. “设从这 9 辆中随机抽取 2 辆，至少有一辆为电动汽车”为事件 ， 则 . （2）由条件可知，这 100 辆电动车中电动自行车 60 辆，电动汽车 40 辆，其中电池需要更换的电动自行车 8 辆，电动汽车 1 辆.根据补助方案可知，这 100 辆电动车共补助 （元） 由样本估计总体，市政府执行此方案的预算大约需要 （元）.即为所求. 【点睛】本题考查从图中抽取数据信息、古典概型计算概率、样本估计总体思想，考查基本数据处理能 力． 21.已知函数 （ ）. （1）若曲线 上点 处的切线过点 ，求函数 的单调递减区间； （2）若函数 在 上无零点，求 的最小值. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）求出函数的导数，计算 g′（1），求出 a 的值，从而求出 g（x）的递减区间即可； （2）问题转化为对 x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立，令 l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），根据函数的单 调性求出 a 的最小值即可． 试题解析： （1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx， ∴g′（x）=3﹣a﹣ ，∴g′（1）=1﹣a， . 20 9 420 25 × =+ 25 9 520 25 × =+ 1a 2a 3a 4a 5a 1b 2b 3b 4b 1a 2a 1a 3a 1a 4a 2a 3a 2a 4a 3a 4a A 6 5( ) 1 ( ) 1 36 6P A P A= − = − = 60 300 40 500 9 400 41600× + × + × = 41600 50000 20800000100 × = ( ) (2 )( 1) 2lnf x a x x= − − − a R∈ ( ) ( )g x f x x= + (1, (1))g (0,2) ( )g x ( )y f x= 1(0, )2 a ( )0,2 2 4ln 2− 1 2 2 1 lnx x − 2 1 lnx x − 1 2 2 x又 g（1）=1，∴1﹣a= =﹣1，解得：a=2， 由 g′（x）=3﹣2﹣ = ＜0，解得：0＜x＜2， ∴函数 g（x）在（0，2）递减； （2）∵f（x）＜0 在（0， ）恒成立不可能， 故要使 f（x）在（0， ）无零点，只需任意 x∈（0， ），f（x）＞0 恒成立， 即对 x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立， 令 h（x）=2﹣ ，x∈（0， ）， 则 h′（x）= ， 再令 m（x）= ﹣2，x∈（0， ）， 则 m′（x）= ＜0， 故 m（x）在（0， ）递减，于是 m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0， 从而 h′（x）＞0，于是 h（x）在（0， ）递增， ∴h（x）＜h（ ）=2﹣4ln2， 故要使 a＞2﹣ 恒成立，只要 a∈[2﹣4ln2，+∞）， 综上，若函数 y=f（x）在（0， ）上无零点，则 a 的最小值是 2﹣4ln2． （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程 为： ，倾斜角为锐角的直线 l 过点 与单位圆 相切. （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值. 1 2 1 0 − − 2 x 2x x − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 lnx x − 2 1 lnx x − 1 2 ( )2 22 2 1 lnx x x + − − 22lnx x + 1 2 ( ) 2 2 1 x x − − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 lnx x − 1 2 xOy 3 2 cos2 ρ θ= − ( )2,0F 2 2 1x y+ = AB【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)已知条件化简 ,利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得出结果,由倾斜角为锐角 的直线 l 过点 与单位圆 相切,可得 l 的倾斜角为 ,根据直线参数方程的定义即可得出 结果. (2)将直线参数方程和曲线 的普通方程联立,利用直线方程中参数的几何意义,可知 ,借助韦达 定理即可得出结果. 【详解】（1） ， ， ， 即曲线 C 的直角坐标方程为 . 又依题意易得直线 l 的倾斜角为 ，所以直线 l 的参数方程为： （2）将 代入 中，整理得 ， 所以 . 【点睛】本题考查极坐标和普通方程的互化,考查直线的参数方程中参数的几何意义的应用,难度一般. 选修 4-5：不等式选讲 23. . 2 2 13 x y+ = ( ) 22 2 2 2 x t t y t  = +  = 为参数 3AB = 2 2 2 3 cos 3sin ρ θ θ= + ( )2,0F 2 2 1x y+ = 4 π C 1 2AB t t= − 3 2 cos2 ρ θ= − ( ) ( )2 2 22 2 2 2 3 3 cos 3sin2 cos sin cos sin ρ θ θθ θ θ θ = = ++ − − ( )2 2 2cos 3sin 3ρ θ θ+ = 2 23 3x y+ = 2 2 13 x y+ = 4 π ( ) 22 2 2 2 x t t y t  = +  = 为参数 22 2 2 2 x t y t  = +  = 2 23 3 0x y+ − = 22 2 1 0t t − =+ 1 2 1 2 11, 2t t t t+ = − ⋅ = − ( )2 2 1 21 2 1 4 3t t tAB t t t+ − ⋅= − = = ( ) 2 2 3f x x x= − − −（1）求 的最大值 m 的值； （2）已知 ， ， ，证明： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 (1) 由 放 缩 法 可 知 , 由 绝 对 值 不 等 式 可 得 ,进而求得 的值; (2)由(1)可知, ,由于 化简,借助基本不等式即 可证得 ,进而证得结论. 【详解】（1）∵ （当且仅当 时， 取“ ”）， ∴函数 的最大值为 1，即 . （2）由（1）知 （ ， ）， ∴ ， ∴ （当且仅当 时，取“ ”）成立. 【点睛】本题考查绝对值不等式在求最值中的应用,考查基本不等式在不等式证明中的应用,难度一般. ( )f x 0a > 0b > a b m+ = 2 2 1 1 1 3 a b b a + ≥+ + 1m = ( ) 2 3 3 2 3f x x x x x x= − − − − − ≤ − − − ( ) ( )2 3 2 3 1x x x x− − − ≤ − − − = m 1a b+ = ( ) ( )2 2 2 2 3 1 11 1 1 1 a b a b b ab a b a    + ⋅ = + ⋅ + + +      + + + +    2 2 3 11 1 a b b a  + ⋅ ≥ + +  ( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 2 3 1f x x x x x x x x= − − − − − ≤ − − − ≤ − − − = 3x = = ( )f x 1m = 1a b+ = 0a > 0b > ( ) ( )2 2 2 2 3 1 11 1 1 1 a b a b b ab a b a    + ⋅ = + ⋅ + + +      + + + +    2 2 2 21 1 1 1 b aa b b aa b + += + + ⋅ + ⋅+ + 2 2 2 21 12 1 1 b aa b b aa b + +≥ + + ⋅ ⋅ ⋅+ + ( )22 2 2 1a b ab a b= + + = + = 2 2 1 1 1 3 a b b a + ≥+ + a b= =