2020年6月大数据精选高考数学模拟卷01（天津卷）（满分冲刺篇）（解析版）

1 2020 年 6 月高考数学大数据精选模拟卷 01 天津卷-满分冲刺篇（数学） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容. 第Ⅰ卷（共 45 分） 一、选择题：本题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分．每小题给出的四个选项只有一个符合 题目要求． 1．设全集 是实数集 ， 或 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于 ，所以 ， ，所以 ，故选 C． 2．设 ，则“ ”是“ ” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 ，得 ，解得 ， 是 的子集，故“ ”是“ ” 的充分而不必要条件.故选 A. 3．曲线 在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）. A． B． C．2 D．1 U R { 2M x x= < − }2x > { }2 4 3 0N x x x= − + < ( )UC M N∩ = { }2 1x x− ≤ < { }2 2x x− ≤ ≤ { }1 2x x< ≤ { }2x x < { }| 2 2M x x x= − 或 { }| 2 2UC M x x= − ≤ ≤ { }|1 3N x x= < < ( ) { }|1 2UC M N x x∩ = < ≤ x∈R 0 3x< < 1 2x − < 1 2x − < 2 1 2x− < − < 1 3x- < < ( )0,3 ( )1,3− 0 3x< < 1 2x − < 1xy xe −= 2e e2 【答案】C 【解析】 试题分析：由 ，得 ，故 ，故切线的斜率为 ，故选 C. 4．已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上一点，过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 求 ，不妨设 根据题意画出图形：如图 为抛物线 准线，过 作 垂线,交点为 ，设 ( )，可得 根据抛物线定义可知 ， 又 ，可得 在 和 1xy xe −= 2: 4C y x= F ( ),A AA x y A B 3 2AF BF= Ay = 3 3 2 4 4 2  Ay 0Ay ≥ BE 2: 4C y x= A x D  3 2AF BF= 2BF m= 0m > 3AF m= AF AB=  2: 4C y x= 2p = ∴ 2EF = Rt BEF△ Rt AFD 2 2 2BE BF EF= − 2 2 2AD AF FD= − ∴ 2 2 2 2BF EF AF FD− = − ( ) ( ) ( )2 2 222 2 3 3 2m m m∴ − = − −3 解得 ，故 点横坐标为 故： 5．已知函数 在区间 上单调递减，则 的最大值为 （ ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】 在区间 上单调递减， ,即 ， 当 时， ， ， ， 综上可知 . 3m = ∴ 9AB = A 9 1 8Ax = − = ∴ 2 4 8 32Ay = × = ∴ 4 2Ay = 4 2Ay = ( ) ( )2cos 2 3 cos 04 2 xf x x π ωω ω = − − >   0, 2 π     ω 6 5 4 3 3 2 ( ) cos 3 1 cos 2f x x x πω ω  = − + −     cos 3sin 3x xω ω= − − 2cos 33x πω = + −   ( )f x 0, 2 π     2 2 T π∴ ≥ 2 π π ω ≥ 0 2ω∴ < ≤ [0, ]2x π∈ [ , ]3 3 2 3x π π ω πω π+ ∈ + ∴ [ , ] [0, ]3 2 3 π ω ππ π+ ⊆ ∴ 2 3 ω ππ π+ ≤ 40 3 ω∴ < ≤ 40 3 ω< ≤4 6．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ，得 ； 由 ，得 ； 由 ，得 . ∴ . 7．在四面体 S﹣ABC 中，SA⊥平面 ABC， ，则该四面体的外接球的半径为( ) A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为 SA⊥平面 ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心 垂直于底面 ABC 的直线与中截 面的交点 O， 由 ，设 的外接圆的半径为 ，则 ，所以 ， 所以外接球的半径 2， 8．已知点 在直线 上，则 的最小值为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】由题意知 ， 所以 . 1 5 5 2 2 2log 55 5 5 c a b  = = =  ， ， a b c< < b a c< < c b a< < a c b< < 5 2log 5a = 2 055 5 1a = > = 1 5 2 5b = 5 012 5 ( )b  =    ∈ ， 2 55 c  =   2 5 log 5 0c = < c b a< < 3 2AB AC BC SA= = = =， 3 O′ 3AB AC BC= = = ABC∆ r 32 sin 60r =  3r = 2 2( ) 1 32 SAR r= + = + = ( )( ), , 0a b a b > 2 4 0x y+ − = 1 2 a b + 2 4a b+ = ( ) ( )1 2 1 1 2 1 4 12 2 2 4 2 4 24 4 4 b aa ba b a b a b    + = + + = + + + ≥ + =      5 当且仅当 ，即 时，等号成立. 9．已知函数 若关于 的方程 有且仅有两个不同的整数 解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 , 当且仅当 时， ， 方程有且仅有两个不同的整数解等价于， 有两个不同的整数解， 即 图象夹在 与 之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数， 画出 的图象，如图， ， 由图象可知，当 时，即 时， 图象夹在 与 之间的部分有且仅有两个点的横坐标 0， 为整数， 所以 的取值范围是 ，故选 A. 4b a a b = 1 2 a b =  = ( ) 2 1 , 0,1 1, >0, xf x x x x  ≤= −  − x ( ) ( ) 1 1f x a f x a− + − − = a 3 4,2 3  − −   1 1,2 3  − −   11, 2  − −   [ ]0,3 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1f x a f x a f x a f x a− + − − ≥ − − − − = ( ) 1a f x a≤ ≤ + ( ) ( ) 1 1f x a f x a− + − − = ∴ ( ) 1a f x a≤ ≤ + ( )y f x= y a= 1y a= + ( )y f x= ( ) ( )1 11 , 22 3f f− = − ∴ − = − 1 112 3a− ≤ + < − 3 4 2 3a− ≤ < − ( )y f x= y a= 1y a= + 1− a 3 4,2 3  − −  6 第Ⅱ卷（共 105 分） 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上．） 10．复数 的共轭复数是 ___________ 【答案】 . 【解析】 ，故该复数的共轭复数为 . 11． 展开式中的常数项为________. 【答案】 【解析】 ， 由 ，得 ， 所以的常数项为 . 12．某校为了解同三同学寒假期间学习情况，抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率 分布直方图（如图），则这 100 名同学中学习时间在 6 到 8 小时内的人数为 人． 【答案】30 13．过双曲线 的右焦点 F 作斜率为 k 的直线交双曲线的右支于 M．N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 P，则 ______． 【答案】1 2 1 2 i i + − i− 2 (2 )(1 2 ) 5 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i i i i ii i i + + += = =− − + i− 8 3 12 8x x  −   28 8 8 4 8 4 1 8 83 1(2 ) ( ) ( 1) 28 r r r r r r r rT C x C xx − − − + = − = − 8 4 0r− = 2r = 2 2 8( 1) 28C− = 2 2 2 2: 1( 0)3 x y aa a Γ − = > | | | | PF MN =7 【解析】设 ， 联立 ，得 ， ∴ ， ， 故： ， 线段 MN 的中点 ， 则中垂线方程为： ， 令 ，得 ， 所以 ， 故 ． 14．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各 掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把 乘以 2 后再减去 6；如果出现一个正面 朝上，一个反面朝上，则把 除以 2 后再加上 6，这样就可得到一个新的实数 ，对实数 仍按上述方法 进行一次操作，又得到一个新的实数 ，当 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为 ，则 的 取值范围是____． 【答案】 【解析】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况： 当 ，其出现的概率为 ， 1: , 2 ,MNl x my c c a k m  = + = =   2 2 2 2 13 x y a a x my c  − =  = + ( )2 2 2 2 2 42 0a b m y b cmy b− − − = 2 1 2 2 2 2 2b cmy y a b m + = − 4 1 2 2 2 2 by y a b m −⋅ = − 2 2 2 1 2 2 2 2 2 (1 )| | 1 | | | | ab mMN m y y a b m += + − = − 2 2 2 2 2 2 2 2( , )a c b cm a b m a b m− − 2 2 2 2 2 2 2 2 1b cm a cy xa b m m a b m  − = − − − −  0y = 3 2 2 2px c a b m = − ( )2 23 2 2 2 2 2 2 1 | | b c mcPF ca b m a b m + = − =− − | | 1| | 2 PF c MN a = = 1a 1a 1a 2a 2a 3a 3 1a a> 3 4 1a ( ,6] [12, )−∞ ∪ +∞ 3 1 12(2 6) 6 4 18a a a= − − = − 21 1( )2 4 =8 当 ，其出现的概率为 ， 当 ，其出现的概率为 ， 当 其出现的概率为 ， ∵甲获胜的概率为 ，即 的概率为 ， 则满足 整理得 . 15．已知正方体 的棱长为 ，其内有 2 个不同的小球，球 与三棱锥 的 四个面都相切，球 与三棱锥 的三个面和球 都相切，则球 的体积等于______，球 的表 面积等于______． 【答案】 【解析】因为正方体 的棱长为 , 所以三棱锥 是边长为 的正四面体, 的高为 , 设底面 的中心为 ,连接 ,则 , , 则球 是三棱锥 的内切球,设其半径为 , 则有 所以 , 所以球 的体积为 , 又球 与三棱锥 的三个面和球 都相切, 则设平面 平面 ,且球 和球 均与平面 相切于点 ,如下图所示, 3 1 1 1 (2 6) 6 32a a a= − + = + 21 1( )2 4 = 1 3 12( 6) 6 62 aa a= + − = + 21 1( )2 4 = 1 1 3 2( 6) 6 92 4 a aa = + + = + 21 1( )2 4 = 3 4 3 1a a> 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 18 4 18 9 94 4 a a a a a aa a − ≤ − >   + > + ≤   或 1 16 12a a≤ ≥或 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 3 1O 1 1A CB D− 2O 1 1A CB D− 1O 1O 2O 4 3 π π 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 3 1 1A CB D− 2 6 1 1CB D 3 2 1 1CB D O CO 2 3 2 2 23CO = × = 24 8 4AO = − = 1O 1 1A CB D− 1R 1 1 1 1 1 1 1 1 143 3A CB D CB D CB DV S AO S R− = × × = × × ×   1 1 14R AO= = 1O 4 3 π 2O 1 1A CB D− 1O //MNP 1 1CB D 1O 2O MNP E9 则球 是三棱锥 的内切球,设其半径为 , 故 , 因此在正四面体 中, , 所以球 的表面积为 , 三、解答题：（本大题 5 个题，共 75 分） 16．（本小题 14 分） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 ； （2）若 为锐角三角形，求 的取值范围. 【解析】（1）由题设知， ， 即 ， 所以 ， 即 ，又 所以 . （2）由题设知， ， 即 ， 2O A MNP− 2R 12 2AE AO R= − = A MNP− 2 1 1 4 2R AE= = 2O π ABC , ,A B C , ,a b c 2 cos cos cosb B a C c A= + B ABC c a 2sin cos sin cos sin cosB B A C C A= + 2sin cos sin( )B B A C= + 2sin cos sinB B B= 1cos 2B = 0 B π< < 3B π= ( ) 3 1cos sinsin 120sin 2 2 sin sin sin A AAc C a A A A ° +− = = = 3 1 1 2 tan 2 c a A = ⋅ +10 又 为锐角三角形，所以 ，即 所以 ，即 ， 所以 的取值范围是 . 17．（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， ， ， ，三角 形 是等边三角形，平面 平面 ，E，F 分别为 ， 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 【解析】（1）三角形 是等边三角形，点 为 的中点，所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，又 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以 . 连接 ，因为 E，F 分别为 ， 的中点，所以 . 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 又因为 ，所以 . 又 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 . ABC 30 90A° < < ° 3tan 3 >A 10 3tan A < < 1 3 1 1 22 2 tan 2A < ⋅ + < c a 1 ,22      S ABCD− ABCD //AD BC AD DC= 120ADC =∠ ° SAB SAB ⊥ ABCD AB AD SCD ⊥ SEF 2AB = SF SCD SAB E AB SE AB⊥ SAB ⊥ ABCD SAB  ABCD AB= SE ⊂ SAB SE AB⊥ SE ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD SE CD⊥ BD AB AD //BD EF AD DC AB= = ABD ADB∠ = ∠ 120BAD ADC∠ = ∠ = ° 30ADB∠ = ° 90BDC∠ = ° BD CD⊥ //BD EF CD EF⊥ SE EF E= CD ⊥ SEF CD ⊂ SCD SCD ⊥ SEF11 （2）过 E 作 ，则 ， ， 两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系. 在 中，易求得 ， ， . 则 ， ， ， ， . 故 ， ， . 设平面 的法向量为 ， 由 ，可取 . 则 . 故 与平面 所成角的正弦值为 . 18．（本小题 15 分） 已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的两焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 8，直线 l：y＝k(x－m)(m ∈R)与椭圆交于 P，Q 两点． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2.①若 m＝0，求 k1k2 的值；②若 k1k2＝－ ， 求实数 m 的值． //EN CD ES EF EN BDC 2 3BD = 2CD = 4BC = ( )0,0,0E ( )0, 3,0F ( )0,0, 3S 5 3 3, ,02 2C       1 3 3, ,02 2D       1 3 3, , 32 2SD  = −     5 3 3, , 32 2SC  = −     ( )0, 3, 3SF = − SCD ( ), ,n x y z= 1 3 3 32 2 5 3 32 2 0 3 0 n SD n S x y z x yC z = + − = +  ⋅ = −   ⋅ =     ( )0,2,3n = 3 26cos , 266 13 n SFn SF n SF ⋅= = = ×⋅      SF SCD 26 26 2 2 x a 2 2 y b 1 412 【解析】(1)因为椭圆 C 的两个焦点间距离为 2，两准线间的距离为 2× ＝8，所以 a＝2，c＝1，所以 b2＝ 3，所以椭圆的方程为 ＋ ＝1. (2)①设 P(x0，y0)，由于 m＝0，则 Q(－x0，－y0)， 由 ＋ ＝1，得 ，所以 . ②由(1)得 A(－2，0)．设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 消去 y，得(3＋4k2)x2－8mk2x＋4m2k2－12＝0， 所以 x1＋x2＝ ，x1·x2＝ . 而 k1k2＝ · ＝ · ＝ ＝－ ， 化简得 ＝－ ，即 m2k2＋mk2－2k2＝0. 因为 k2≠0，所以 m2＋m－2＝0，解得 m＝1 或 m＝－2(舍去)． 当 m＝1 时，Δ＞0，所以，m＝1. 19．（本小题 16 分） 已知等差数列 满足 ， ，数列 的前 项和 ， ． （1）求数列 、 的通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ，若存在正数 ，使 对一切 恒成立，求 的 取值范围． 2a c 2 4 x 2 3 y 2 0 4 x 2 0 3 y 2 2 0 0 33 4 xy = − 2 2 0 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 0 33 34 2 2 4 4 4 xy y yk k x x x x −−= ⋅ = = = −+ − + − − 2 2 14 3 ( ) x y y k x m  + =  = − 2 2 8 3 4 mk k+ 2 2 2 4 12 3 4 m k k − + 1 1 2 y x + 2 2 2 y x + ( )1 1 2 k x m x − + ( )2 2 2 k x m x − + ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 22 [ ( ) ] 4 x x m x x mk x x x x − + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12( 3 4= 4 12 23 4 8 )3 4 8 43 4 mk mm kk mk m k k k mk k − − ×+ − + × ++ ++ + 1 4 ( )2 2 2 2 2 2 3 12 4 16 16 k m m k mk k − + + 1 4 { }nb 3 2b = 2 5 1 6 8 1b b b b =+ + { }na n 2 1 2 4n nS b += ⋅ − *n N∈ { }na { }nb { }n na b n nT k 2 2 6 9 36 n n kT n a n n > − + *n N∈ k13 【解析】（1）因为数列 是等差数列，所以 ， ， 由 ，得 ，所以 ． 又 ，所以公差 ，所以 ， ，所以 ． 当 时， ，当 时， ， 经检验，当 时也满足上式，所以 ； （2）由（1）得， ， 所以 ，① ，② ① ②得 ， 所以 ． 因为不等式 对一切 恒成立， 所以 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立． 令 ， ，则 ， 当且仅当 时等号成立，所以 ，所以 ， 故 的取值范围是 ． 20．（本小题 16 分） 已知函数 （ ，且 ，e 为自然对数的底）. （I）求函数 的单调区间 （Ⅱ）若函数 在 有两个不同零点，求 a 的取值范围. { }nb 1 8 4 5b b b b+ = + 4 5 6 53b b b b+ + = 2 5 1 6 8 1b b b b =+ + 2 5 5 13 b b = 5 3b = 3 2b = 1 2d = 3 12 2 2n n nb − += + = 1 1b = 22 4n nS += − 1n = 3 1 1 2 4 4a S= = − = 2n ≥ 2 1 1 1 2 4 2 4 2n n n n n na S S + + + −= − = − − + = 1n = 12n na += ( )1 12 1 22 n n n n na b n+ += ⋅ = + ⋅ ( )1 2 32 2 3 2 4 2 1 2n nT n= × + × + + ++× ×L ( )2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 1 2n nT n += × + × + × + + + ×L − ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 14 1 2 4 2 2 2 1 2 4 1 2 21 2 n n n n n nT n n n − + + + − − = + + + + − + ⋅ = + − + ⋅ = − ⋅−L 12n nT n += ⋅ 2 2 6 9 36 n n kT n a n n > − + *n N∈ 2 6 9 36 nk n n > − + *n N∈ 6 36 9 k n n > + − *n N∈ ( ) 6 36 9 g n n n = + − *n N∈ ( ) 6 6 236 2 36 99 g n n n = ≤ = −+ − 6n = ( )max 2g n = 2k > k ( )2,+∞ 2( ) ln( )f x x ax e = + a R∈ 0a ≠ ( )f x ( ) ( ) ag x f x e−= − (0, )+∞14 【解析】（I）由 ，知 ①当 时，定义域为 得 ， 得 ； ②当 时，定义域为 得 ， 得 所以，当 时，增区间为 ，减区间为 ； 当 时，增区间为 ，减区间为 ； （Ⅱ）因为 有两个正零点，由（I）知 且 在 上单调递减，在 上单调递增. 设 时，指数函数是爆炸增长， ， 当 ，当 ， 因为 有两个正零点，所以有 ，由①得 ， 对于②，令 ， ， 在 上单调递增，且 ，由 知 ， 由② 得 . 综上所述， . 2( ) lnf x x ax e = + ( ) ln 1 ln( )f x ax aex′ = + = 0a > (0, ), ( ) 0f x′+∞ > 1x ae > ' ( ) 0f x < 10 x ae < < 0a < ( ,0), ( ) 0f x′−∞ > 1x ae < ' ( ) 0f x < 1 0xae < < 0a > 1 ,ae  +∞   10, ae      0a < 1, ae  −∞   1 ,0ae      2( ) ln ag x x ax ee −= + − 0a > ( )g x 10, ae      1 ,ae  +∞   , ln ,t tx e x x te t= = → −∞ | | | |e 0e t t tt = − → 20, ( ) ee ax g x −→ → − , ( ) 0x g x→ +∞ > min 1 1 2( ) ee e e ag x g a a − = = − + −   ( )g x 2 0 1 2 0 a a ee eae e − −  − > − + − − 1 2( ) xh x eex e −= − + − ' 2 1( ) 0xh x eex −∴ = + > ( )h x (0, )+∞ (1) 0h = ( ) 0h x < (0,1)x∈ 1 2 0aeae e −− + − < (0,1)a∈ (1 ln 2,1)a∈ −